《应用数理统计》复习题 第一章 概率知识 一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值， 求X 的概率分布律. 解：X 的可能取值为3、4、5， 1.010 1 }3{35 33== ==C C X P ， 3.0103 }4{352311====C C C X P ， 6.010 6 }5{35 2411== = =C C C X P ， 故X 的概率分布律为 6 .03.01.05 43k p X . 二、设连续型随机变量X 的密度函数为?? ?<≤=., 0, 10,)(其它x Ax x f （1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：? ∞+∞ -=1)(dx x f ， 有 11 =?Ax , 解得2=A . （2）t d t f x F x ?∞ -=)()( 当0≤x 时， 0)(}{)(?∞ -==≤=x dt t f x X P x F ， 当10≤
2、0cos 21 )(22 ??∞ ∞--===π πxdx x dx x xf EX ； ???∞ ∞---====22202 2 22 2 14cos cos 21)(πππ πxdx x xdx x dx x f x EX ; 14 )(2 2 2-= -=∴πEX EX DX . 四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1; (,)0, x y f x y π?+≤=??其它. . 故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞ -∞ ?-≤≤-≤≤?===????? ? 其它其它; 同理 11()0, Y y f y -≤≤=??其它 . 于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立. 五、设X 的概率密度为? ? ?≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有： 1= ?? += ∞+∞ -1 d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+, 且有12 7 =EX = ? ? += ∞+∞ -10 d )(d )(x bx a x x x xf = 3 2b a +, 联立上述两式解得: 1,5.0== b a 又= )(2X E 12 5 d )5.0(1 02= +? x x x , 于是 =DX =-22)()(EX X E 2)12 7(125-14411=. 六、1．设随机变量)3,2(~2 N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）. A . 2 B . 3 C . 9 D . 0 2. 设随机变量),(~2 σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ). (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定
第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业 参考答案 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第五章 方差分析 课后习题参考答案 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：() 3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =??? ? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.70112 112 11=???? ??-???? ??=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7 .137=-=A T e S S S 当 H 成立时， ()() ()r n r F r n S r S F e A ----= ,1~/1/ 本题中r=3 查表得 ()()35 .327,2,195.01==---F r n r F α且F=>，在95%的置信度下，拒绝原假 设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程
组建效应检验 Dependent Variable: 存活日数a 70.429235.215 6.903 .004 137.73727 5.101 208.167 29 方差来源菌型误差总和 平方和自由度 均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289) a. 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙 39 40 43 50 50 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3) i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
第二章 参数估计 课后习题参考答案 2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。 解： ()()()p Np X D Np X E -==1, 令() ?????-==p Np S Np X 12 解上述关于N 、p 的方程得： 2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22 (),0(;)0,0x x f x x x ααααα ?-?=??≤≥? 其中参数α的矩法估计。 解：12 2 ()()a E x x x dx α αα== -? 22 02 2 ()x x dx α α α=- ? 232 1 22 133 3 αααααα α = - =-= 所以 133a x α∧ == 其中121,21 (),, ,n n x x x x x x x n = +++为n 个样本的观察值。 2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。 ?? ? ??? ? -=-==X S p S X X p X N 2221???
解： () () () ∑∑====-= ===n i i n i i S X X n X D X X n X E 1 22 1 0255 .01 4025 .2321 2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1 ,<<=ββ βx f 的总 体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。 解： () ()()()4.22?2 ,1 ,407 .012 .110 1 2 2 1==== === =-===? ?∑∑==X X dx x dx x xf X E x f X X n S X n X n i i n i i β β β ββ ββ β参数：总体方差：总体均值： 2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ， μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为( )2 1N σ，的 MLE 。 解：(1) ()()()()() ()()() () ()X x n x x L x n x L e x L x f e x f n i i n i i i n i i i x n i n i i x i n i i i =∑=∑=-=??∑---=∑= == ===--=-- =∏1 112 2 2 1 2 1?0,ln 212ln 2,ln 21 ,,21,1 2 2 μ μμ μμπμπμμπ μμμ
第三章测试卷一、单选题 1. (2分)设随机变量X的分布列如下表，则常数c = （）. ? A. 0 ? B. 1 ? C. ? D. C 2. (2分) ? A. 0.9 ? B. 0.5 ? C. 0.75 ? D. 以上都不对 C 3. (2分)
? A. ? B. ? C. ? D. A 4. (2分) 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x，下列正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. B 5. (2分) ? A. 0 ? B. 1 ? C.
? D. C 6. (2分) ? A. 0.625 ? B. 0.25 ? C. 0.5 ? D. 0.0625 D 7. (2分) ? A. ? B. ? C. ? D. C 8. (2分)
? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. 4 B 9. (2分)某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）件. ? A. 0.3 ? B. 0.5 ? C. 0.2 ? D. 0.9 D 10. (2分) ? A. 0.5
? C. 1.5 ? D. 0 C 11. (2分) ? A. 9 ? B. 6 ? C. 30 ? D. 36 B 12. (2分) 设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为F(x)、f(x)，则下列选项中正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. A 13. (2分)
? B. 0.2 ? C. 0.7 ? D. 条件不足，无法计算B 14. (2分) ? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. π/2 C 15. (2分) ? A. 1 ? B. 0 ? C.
第二章 参数估计（续） P68 2.13 设总体X 服从几何分布：{}()1 1k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明 样本均值1 1 n i i X X n == ∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。 证明： 总体X 服从几何分布， ∴()1= E X p ，()2 1-= p D X p . 1 () ()1 11 11 11==????===??== ? ????? ∑ ∑ n n i i i i E X E X E X n E X n n n p p . ∴样本均值11n i i X X n == ∑ 是()E X 的无偏估计量。 2 () 2222 1 11 1111==--???? ===??= ? ?????∑ ∑n n i i i i p p D X D X D X n n n n p np . ()()()()11 11 ln ln 1ln 1ln 1-??=-=+--??；X f X p p p p X p . () 111ln 111111f X p X X p p p p p ?--= - =+?--；. () () 2 11 2 2 2 ln 11 1f X p X p p p ?-=- + ?-；. ()()()()21112 2 2 22ln 11 1111f X p X X I p E E E p p p p p ???? ?? ?--=-=--+=+???????--?????? ? ?? ? ； () ()() ()12 2 2 2 2 211 11 111111111??-= + -= + ?-=+? ?---?? p E X p p p p p p p p ()()() () 2 2 2 111 1 111-+= + = = ---p p p p p p p p p .
习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2(4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05 X N n α==， 1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝域为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体 的均值有显著性变化. 设立统计原假设 22220010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.025 20.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {}2222 00201//K s c s c σσ=><%%或 由于220/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有 显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命
2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {}00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52 （0.05α=）？ 解 （1）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知 2(,)X N μσ:,μ已知 设立统计原假设 0010 :500,:H H μμμμ==≠,拒绝域 {}00K x c μ=-> 当0.05α=时，2500.89,34.5, 5.8737x s s === 临界值 12(1) 4.5149c t n α-=-?=，由于 00.8889x c μ-=<， 所以接受0H ，机器工作正常. （2）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知 2(,)X N μσ:，σ 已知
应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：
目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社
第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：
i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++
4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：） 2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10< 应用数理统计 第二章 数理统计基本概念 1、设()12,, ,n ξξξ为0—1分布的一个样本，问： （1）求样本均值ξ的期望与方差；（2）求修正样本方差2 *S 的期望；（3）试证()21S ξξ=-。 解：由于()0,1ξ ，所以E p ξ=，()1D p p ξ=- （1）()11 1111n n n i i i i i E E E E p n n n ξξξξ===??==== ???∑∑∑ ()()()22211 11111111n n n i i i i i D D D D np p p p n n n n n ξξξξ===??====-=- ???∑∑∑ （2）() ()222112 *1111n n i i i i E S E E n n n ξξξξ==??????=-=-?? ???--????? ?∑∑ ()()()()()()2222111111n n i i i i i E nE D E n D E n n ξξξξξξ==????????=-=+-+????? ???????--????∑∑ ()()()22111111n p p p n p p p p p n n ??????= -+--+=-??????-???? （3）由于()0,1ξ ，所以2 1 1 n n i i i i ξξ===∑∑，故 ()()22 2222 22111111111n n n n i i i i i i i i S n n n n n ξξξξξξξξξξξξ====??=-=-=-=-=-=- ???∑∑∑∑，得证。 2、设总体()0,1N ξ ，()12,,,n ξξξ为其样本，问： （1）求样本方差2S 的分布密度；（2）求样本标准差S 的分布密度。 解：（1）由于()0,1N ξ ， 所以根据定理，()() () ()2 2 21 2 2 1 2 *11n i n i i i n S n ξξξξχσσ==--= =--∑∑， 而()21n χ-的分布密度为： ()11221 21,01;1220 ,0n x n x e x n f x n x ----?>?-??? -=Γ? ? ????≤? () 2 2 1 1n i i S n ξξ ==-∑，所以样本方差2S 的分布密度为： 第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7.137=-=A T e S S S 当 0H 成立时， ()()()r n r F r n S r S F e A --- -= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α 应用数理统计期末复习指导 一、复习重点 第一章 绪 论 数理统计学是一门对客观不确定现象进行数据搜集、整理、表列和分析的科学，其目的是了解客观情况，探索数据内在结构及现象之间的规律性。 对搜集的全部数据加以整理来研究这些数据的特征，这称为描述统计。建立在样本数据的基础上对总体的特征做出估计和推断，这称为推断统计。 数理统计学的发展大致经历了古典统计学、近代统计学和现代统计学三个阶段。 第二章第二章 数据的搜集、整理与描述 统计表最主要的内容是指标名称与指标数值。 数据集中趋势的计量：（１）均值（算术平均数）；（２）几何平均数；（３）中位数；（４）众数；（５）切尾均值。 离散趋势的计量：（１）极差，又称为全距。极差是数据中最大值和最小值之差；（２）四分位差；（３）平均差，它是数据值与其均值之差绝对值的平均数；（４）方差和标准差。方差是数据值与其均值离差平方和的平均数。方差不仅可以用来反映值代表性的高低，而且也是数据离散趋势的最主要的统计数量特征；（５）离散系数。 第三章 概率基础 凡是一个行动或过程会导致一毓可能的结果之一，但具体发生哪一个结果是不确定的，这种行动或过程统称为随机试验。随机试验所有可能结果的集合称作样本空间。随机试验的每一个可能的结果称为随机事件。 凡是必然发生的事件称为必然事件。必然不发生的事件称为不可能事件。如果事件Ａ的发生必然导致事件Ｂ的发生，则称事件Ａ包含于事件Ｂ，记作 。两个事件Ａ、Ｂ中至少有一个发生称为两个事件的并，记作 。两个事件Ａ、Ｂ中同时发生称为两个事件的交，记作 。事件Ａ发生而事件Ｂ不发生称为两个事件的差，记作Ａ－Ｂ或 。样本空间与事件Ａ的差称为事件Ａ的逆事件或对立事件，互补事件，记作 。事件Ａ与事件Ｂ不可能同时发生称两个事件互不相容或互斥，记 。事件的运算满足： B A ?B A B A B A A A -Ω=? =B A 第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。 应用数理统计基础（庄楚强） 考试共8道题 1、样本的数据期望与方差 2、2χ 分布的概念与性质 3、一连续型函数（只有一个未知参数）的无偏估计 4、一正态分布的置性区间 5、两个未知参数函数的矩估计 6、①求一离散型的总体似然估计 ②求未知参数的信息量 ③求得的似然估计是否是最小方差估计 7、正态分布的假设检验 8、一离散型总体的假设检验 第二章、数理统计的基本概念与抽样分布 第一节、数理统计的几个基本概念 重点：统计量，书中例题2、习题第四题 第三节、常用统计分布 重点：常用统计分布（2χ、t 、F ）的定义及性质 第四节、抽样分布 重点：定理1及推论、定理4及推论 本章习题4、5、7、9、13、19、20 第三章、参数估计 掌握：矩估计、极大似然估计、区间估计 本章习题1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29 第四、章假设检验 重点：第二节、一个正态总体均值与方差的检验 第三节、两个正态总体均值与方差的检验 第四节、非正态总体均值的假设检验 书上的例题、习题37、38、39、40 第二章的统计量与常见统计 分布（每题12分） 第三章参数估计中的矩估 计、极大似然估计、估计量的评选标准、区间估计。 （共51分） 第四章中的正态总体均值与方差的检验、非正 态总体均值的假设检验。（共25分） 第一章概率论复习与补充1、概率 2、期望 数据期望的性质 性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c. 推论：E(Eξ) = Eξ 性质2：随机变量ξ与常量 c 之和的数学期望等于ξ的期望与这个常量 c 的和E(ξ+c)=Eξ+c 性质3：E(cξ) = cE ξ 性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数 E(k ξ+c)=k E ξ+c 3、方差 习题三 2.设总体的分布密度为： (1),01 (;)0, x x f x ααα+<<=???其它 1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1?α 和极大似然估计量2?α .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 . 解 计算其最大似然估计： ()() 11 1 1 1 (,)11ln (,)ln(1)ln n n n n i i i i n n i i L x x x x L x x n x α α αααααα===??=+=+??=++∏∏∑ 11 21 ln (,)ln 01?10.2112 ln n n i i n i i d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑ 其矩估计为： ()1 3.40.10.20.90.80.70.766 X = +++++= 3077 .01 21?,212) 1()1(11 01 21=--==++=++=+=?++X X X x dx x EX αααααααα 所以：12112??,11ln n i i X n X X α α=?? ?- ?==-+- ? ?? ? ∑， 12??0.3077,0.2112αα≈≈. 3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计. .解 最大似然估计： 1 1 (,),ln ln i n x n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏ 7 11120000?ln 0,,2010001000 i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1 ?0.05X λ ==. 4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率. 解 设灯泡的寿命为x ,2 ~(,)x N μσ,极大似然估计为：2 21 1??,()n i i x x x n μ σ===-∑ 根据样本数据得到：2??997.1,17235.81μ σ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075. 5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下： 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~ ()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的 最大似然估计为x ，所以 ().150/1*42*310*220*117*0?=++++==X L λ 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 . 7. 设1234,,,X X X X 是总体X 的样本，设有下述三个统计量： 123411 1 6 3 ?()()X X X X a ++=+ 第五章回归分析 §5.1 一元线性回归 在自然界的现象中，同一过程中的各种变量之间往往存在着一定的关系，这种关系大致可以分为两类： 确定性关系 例如电路中的电压V、电阻R和电流I三者之间服从欧姆定律V=IR只要知道其中两个变量的值，另一个变量的值就唯一确定了． 相关关系 例如人的年龄、身高、体重和血压之间也存在一定的关系，一般来说年龄大的、体重重的人血压也要相应的高一些，但这种关系并不是确定的，因为即使年龄和体重都相同的人，其血压也不一定相同． 又如在土地和耕作条件相同的条件，每亩的施肥量、播种量与农作物的产量之间也存在一定的关系，一般来说施肥量、播种量适当时产量较高，同样这种关系也不是确定的，具有某种随机性， 变量之间这种不确定性关系在社会现象和自然现象中普遍存在，其原因主要是由于一些随机因素的干扰和测量上的误差，我们称变量之间的这种不确定关系为相关关系． 回归分析就是分析和处理这些具有相关关系的变量之间关系的一种有效方法． 在研究具有相关关系的变量之间的关系时，往往要考虑一些变量的变化对另一些变量的影响，这其中的一些变量就相当于通常函数中的自变量，对它们能赋予一个需要的值（如施肥量、播种量）或能取到一个可观测但不能人为控制的值（如年龄、身高），这类变量称为自变量（预报变量），而因自变量变化而变化的这类变量称为因变量（响应变量）． “回归”一词是英国统计学家高尔顿（P.Galton 1882-1911）在1889年发表的关于遗传的论文中首先应用的．他在研究前辈与后代身高之间的关系时，发现儿子的身高介于父亲身高与种族（父辈）平均身高之间，有回归于种族平均身高的趋势．后来他的朋友，英国著名统计学家K.Pearson等人搜集了上千个家庭成员的身高数据，分析出儿子的身高y与父亲的身高x大致可归结为以下关系： y = 0.516 x +33.73 (英寸) 从而进一步证明了Galton的回归定律．这就是“回归”一词最早在遗传学上的含义．发展到今天，回归的现代意义要比原始的意义广泛的多． 在回归分析中要研究的主要问题是： (1)确定因变量（响应变量）和自变量（预报变量）之间的定量关系表达式即建立回归模型． (2)对回归模型进行检验．最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案
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