本科生毕业设计（论文）题目：线性表的设计和实现
学生姓名：张三
学号： 1153
院系：基础科学学院信息技术系
专业年级：2012级信息与计算科学专业
指导教师：李四
年月日
摘要
随着现代物流业的发展，如何优化和配置物流的运输路径成为了一个热点的问题。其中，最具代表性的问题就是如何在一个道路网络中选择两点之间的合适路径，使其距离最短。为了解决这个问题，本文介绍了两种最常用的最短路径求解方法——DIJKSTRA算法与FLOYD算法，分析了它们的适用范围以及时间复杂度。最后，对一个具体的航空公司物流配送问题进行了求解，得到了理论最优路径。
关键词：最短路径问题；DIJKSTRA算法；物流运输
ABSTRACT
With the development of modern logistics industry, how to optimize and configure the transport path of logistics has become a hot issue. Among them, the most representative problem is how to select the appropriate path between two points in a road network to minimize the distance. In order to solve this problem, this paper introduces two most common shortest path solutions ——Dijkstra algorithm and Floyd algorithm, and analyzes their application range and time complexity. Finally, a specific airline logistics distribution problem is solved, and the theoretical optimal path is obtained.
Keywords：Minimum path problem；Dijkstra algorithm；Logistics transportation
目录
第一章引言
研究背景
在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示。最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
研究现状
本节主要讨论两个方面的问题，首先简要回顾最短路径算法研究现状，然后概要总结最短路径算法分类。
最短路径算法研究现状
最短路径问题一直是计算机科学、运筹学、地理信息科学等学科领域的研究热点。国内外大量专家学者对此问题进行了深入研究。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。常用的路径规划方法有:平行最短路径搜索算法，蚁群算法，基于矩阵负载平衡的启发算法, EBSP*算法和Dijkstra算法等。创门在空间复杂度、时间复杂度、易实现性及应用范围等方面各具特色但是因为Dijkstra算法可以给出最可靠的最短路径，并且容易实现，所以备受青睐和并被广泛应用。
经典的Dijkstra算法的时间复杂度为，直接应用到大规模城市路网时，最短路径查询时间难以令人接受，专家学者纷纷开展Dij kstra优化算法研究，概括起来，以往研究者主要是从5个方面对最短路径算法进行性能优化：(1)基于数据存储结构的优化，以空间换取时间；( 2 )基于路网规模控制的优化；(3)基于搜索策略的优化；( 4 )优先级队列结构的优化；( 5 )基于双向搜索的并行计算优化。
最短路径算法分类
由于问题类型、网络特性的不同，最短路径算法也表现出多样性。
(1)按照最短路径问题分类，最短路径问题通常可分为2个基本类型：一是单源最短路径问题，即查找某一源点到其余各点的最短路径；另一类是查找某个节点对之间的
最短路径。
最短路径问题具体可细分为以下几种，单源最短路径问题，单对节点间最短路径、所有节点间最短路径、k则最短路径、实时最短路径、指定必经节点的最短路径以及前N条最短路径问题等，本文的研究范畴属于单对节点间最短路径问题。
(2)按照网络类型和表示方法分类，网络可以分为稀疏网络和非稀疏网络，常用的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵方法能够在时间内查询到任意两个节点之间是否有一条边，它的空间复杂度为。现实生活中网络节点往往很多，动辄上万，而且是稀疏网络居多，比如城市路网，所以用邻接矩阵表示既不现实，又浪费空间。
邻接表是另一种存储网络拓扑的数据结构，它是一种链式存储结构，对于交通网络等稀疏图，采用邻接表数据结构存储网络拓扑数据空间复杂度仅
为，不存在存储空间的浪费。邻接表数据结构已被证明是网络表达中最有
效率的数据结构，在最短路径算法中得到了广泛应用。
第二章 最短路径问题的基本理论知识
最短路问题的定义
最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题的Dijkstra 算法
Dijkstra 算法的局限性
在了解和使用某种算法之前，我们先要明白这种算法有怎样的局限性。只有深入理解来每一种算法的局限性，才能根据具体的问题选择合适的算法来求解。
Dijkstra 算法最大的局限性在于不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。如果某张图中存在长度为负数的边，那么Dijkstra 算法将不再适用，需要寻找其他算法求解。
Dijkstra 算法求解步骤
(1) 先给图中的点进行编号，确定起点的编号。 (2) 得到图的构成，写出图的矩阵
(3) 根据要求求出发点S 到终点E 的最短距离，那么需要从当前没被访问过的结点集合unvist={u | u {1,2,3...}}n ∈中找到一个距离已经标记的点的集合中
vist={u | u {1,2,3...}}n ∈的最短距离，得到这个顶点；
(4) 利用这个顶点来松弛其它和它相连的顶点距离S 的值
(5) 重复步骤(2)和(3)，直到再也没有点可以用来松弛其它点，这样我们就得到了由起点S 到其它任意点的最短距离。
Dijkstra 算法的时间复杂度 我们可以用大符号将Dijkstra 算法的时间复杂度表示成边数m 与顶点数n
的函数。?
Dijkstra 算法最简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的
集合Q ，因此搜索Q 中最小元素的运算(Extract-Min(Q))只需要线性搜索Q 中的所有元素，据此我们可以知道算法的时间复杂度是
。?
对于边数少于n 2稀疏图而言，我们可以用邻接表来更有效的实现Dijkstra
算法。为了达到这一目的，需要将一个二叉堆或者斐波纳契堆用作优先队列来寻找最小的顶点(Extract-Min)。当用到二叉堆的时候，算法所需的时间为
简单案例分析
给出对应的结点之间的关系（表2-1为对应的结点之间的关系）
长度 A B C D E A 0 2 15 10 10 B 2 0 11 1 5 C 15 11 1 20 7 D 10 10 20 0 3 E
10
5
7 3
表2-1
需要注意的是，其中（A,B ）= 2 表示结点A 到B 的长度为2 第一步：进行编号，假定A 点即为起点。 第二步：得到图
第三步：首先从起点A 开始找到距离A 最近的点，那就是A 点了； 第四步：把A 点标记到已经用过的的集合
用A 来更新其它点
到起点的距离得到的集合
表示起点到B,C,D,E 的距离分别为2,15,10,10
第五步：重复上述步骤：得到
{,}vist A B =,{,,}unvist C D E =,
dist =
02133
7A B C D E
继续重复上述步骤，最后的到{,,,,}vist A B C D E =,unvist =?,得到的
dist =
02133
6A B C D E
，
即最短路求解完毕。
最短路问题的Floyd 算法
算法定义
除了Dijkstra 算法，另外一种简单的最短路算法是floyd 算法，它也经常被用于解决含有有向图或者是负权的最短路径问题，并且能够用于计算有向图的传递闭包。该算法的时间复杂度为
，空间复杂度为。
算法思想原理
Floyd 算法是非常常见的使用动态规划来寻找最优路径的算法。如果我们用简单的
语言解释，总体要实现的目标是找到从点i 到点j 的最短路径。如果我们换一个角度，从动态规划的角度观察，那就必须得要对这个目标进行一个重新的诠释。
从任意节点i 到任意节点j 的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i 到j ，2是从i 经过若干个节点k 到j 。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u 到节点v 的最短路径的距离，对于每一个节点k ，我们检查
是否成立，如果成立，证
明从i 到k 再到j 的路径比i 直接到j 的路径短，我们便设置
，这样一来，当我们遍历完所有节点k ，Dis(i,j)中记录
的便是i 到j 的最短路径的距离。
算法过程描述
（1）从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没
有边相连，则权为无穷大。
（2）对于每一对顶点u 和v ，看看是否存在一个顶点w 使得从u 到w 再到v 比己知的路径更短，如果是的话需要更新它。
算法适用范围
⑴ 无向图最短路问题；?
⑵ 稠密图效果最佳；? ⑶ 边权可正可负。
算法简单实例
图3-2 无向图
根据图3-2，用Floyd算法找出任意两点的最短路径步骤如下表3-2：
distk[1] distk[2] distk[3] MIN A->B 1 3 7 1 A->C 1 3 5 * 1 A->D 3 3 5 3 B->C 2 2 6 2 B->D * 4 4 * 4 C->D 2 4 6 2
表3-2 Floyd算法步骤流程
第三章实际案例分析
问题描述
问题的背景及假设
网上购物一直是常见的消费方式，其依托于物流业逐渐蓬勃发展，每个送货人员都需要以最快的速度送货，而且往往会发送多个地方，所以有必要设计耗时最小的路线。
现在考虑一个快递公司，总部在地图上的O点，派送人员需要将货物发往城市很多，如何设计交货方案，以便花费最少的时间。物流地图如图1所示，下表中显示了每个点的信息，假设托运人只能沿着这些连接的线行进，而不采取任何其他路线。
（1）最大承载能力为50公斤，货量最大为1立方米。
（2）调度员的平均速度为24公里/小时。假设每件货物要交出需要3分钟，为了简单起见，在同一地点有几件商品，这些货物只需每3分钟一次交割即可。
现在派送者将向50个地点发送100件货物。问题要求如下：
1. 假设货物从1到30到指定地点并返回。设计最快的路线和方式来求出结果。要求标记送货线路。
2. 假设送货人员从上午8点开始交货，1到30天货物交货时间不能超过规定的时间，请设计最快的路线和方式。要求标记送货线。
具体数据请参见附录。
符号说明
M所载货物的质量总和；
i
V所载货物的体积总和；
i
m第i件货物的质量；
i
v第i件货物的体积；
i
d从i点到j点的距离权值；
ij
B任意两节点之间最短路径距离矩阵；
ij
模型的建立与求解
模型一
我们首先对题中所给的数据进行汇总分析，得出30
301
i M mi ==
?
=公斤，V 30=30
1
i i v =?=立
方米，所以均未超出送货员的载重，所以送货员可以一次性将货物送完。而题中数据显示送货员需到达的节点数位22个（包括出发点O ）如下表
0 13 14 16 17 18 21 23 24 26 27 31
32
34
36
38
39
40
42
43
45
49
表3-1 节点数
利用程序用Floyd 算法我们可以得出任意两点之间最短路径的距离矩阵ij B 其中（i,j=1…22），
（1）先根据题目数据给初始矩阵(,)B i j 赋值，其中没有给出距离的赋inf ，以便于更新。 （2）进行迭代计算。对任意两点(,)i j ，若存在k ，使(,)(,)(,)B i k B k j B i j +<，则更新
(,)(,)(,)B i j B i k B k j =+。
（3）直到所有点的距离不再更新停止计算。则得到最短路距离矩阵 (,)B i j 。由旅行售货员问题(TSP)建立矩阵()n n d ?,
；其中()i j d ?表示点i 到点j 的距离权值。d 为对称
矩阵，令()i i d ?=0。现求节点0到各节点再到节点0的最短距离，要求各线路上的权值最小。设立变量()i j x ?, 其关系如下:
当节点i 和节点j 连通，ij x =1；当节点i 和节点j 不连通，ij x =0；目标函数为寻找一条从起点0到各节点再到节点0的最短距离，要求各线路上的权值和最小，故目标函数为：最短路径
11
min j n
n
ij ij i d z x ===
邋 （3-1）
（1） 对起始点0至少有一条路径出去，故有
12
1n
j j x =3? （3-2）
（2） 对其余各节点，恰有一条路径进去，故有
1
1n
ki k k i
x =1=? （3-3）
（3） 所有节点不出现闭合回路，约束为()()()1i j ij n
nx u u -+?；
总的线性规划模型为：
11
min j n n
ij ij i d z x ===
邋 （3-4）
(1)
12
1n
j j x =3?
(2)
1
1,2,3,...,n
ki k k i
i n x =1==? 约束条件. (3) 1,,1,2,...,i j ij u u nx n i j n -+?=
(4) 01ij x =或
利用lingo 软件编程算出在各约束条件下的最短路径距离、最短路径所经过的各节点的顺序得：
最短距离 . 最短时间
各节点行进路线为：
0→26→27→39→36→38→43→42→49→45→40→34→24→13→18→14→16→32→23→17→21→0
图3-1 节点路线表
模型二
问题2题目增加了时间约束，所以我们需要在模型一的基础上进行改进。送货员从早上8:00出发，需要分别在9:00、9：30、10：15、12:00之前件货物送到各指定点。根据“时间要求越早，先送的原则”，将22个节点按时间限制划分为四个区域，然后分阶段依次解决各区域的最短路径，得出各出发点和各终点。从而得出总距离最短路径。
首先我们在图中描出各节点坐标，找到各节点位置。如下图：
图3-2 节点位置表
阶段1：要求9:00送到：
限制在此时间段的节点为三个：13、18、24，送货员8:00从O 点出发，需选择最短路径在9:00之前将货物送达。根据各节点之间的距离和上图，我们很容易得出此段最短路径出发点为18，终点为24，从而路线为18→13→24，再根据示以及问题1所得数
据，确定最优线路为18→13→19→24。
最后验证结果：根据路径我们算得此路径距离:
++=10999.83 m.
从而得出此段用去的时间=*3/20=<60min，从而可以知道按此路径送货员能按时将货物送到。
阶段2：要求9:30送到：
根据题中信息知，限制在此时间的点为：31,34,40,45。
同上阶段相同，结合数据和上图分析的出发点为31，终点为45，从而我们可以得到两种行程路线：31→34→40→45或31→40→34→45。需要对两条路线进行对比优化。
两种路线的行程总路程如下：
路线1 24—31 31—34 34—40 40—45
路程（m）
路线2 24—31 31—40 40—34 34—45
路程（m）
表3-2 行程路线表
对比两组数据，可以选定线路1为最佳方案。
按此路径行进距离=+++=米。
得出耗时=*3/20=<30min+。即得出满足时间要求。
阶段3：要求10:15送到：
此时间要求共有四个指定地点：49，42，43，38。
分析可得起点为42，终点为38，从而得到两种送货路线：42→49→43→38或
42→43→49→38。两种路线的总路程如下：
路线1 45—42 42—49 49—43 43—38
各段路程（m）
路线2 45—42 42—43 43—49 49—38
各段路程（m）
表3-3 总路程表
分析比较两组数据，可以选定线路1为最佳方案。
同上对数据进行验证：
按此路径行进距离=+++=米
得出耗时=*3/20=<45min.
即能够按时件货物送到。
阶段4：要求12：00到达：
此时间段共有十个指定地点：26，21，14，17，23，32，39，36，27，16。分析可确定36为起点。起点确定终点不确定。
对此我们进行迭代算法：即从出发点开始，找出到出发点的最近距离的一个点，然后依次迭代计算，再以找出的点为出发点，找出到该点的最短距离的点，如此进行下去，则可以找出一条较短的行进路线。
首先以36为起点，具体计算过程如下：
点36 到其他点的距离（单位：m）如下：
36 27 21 39 32 17 26 23 14 16
距离
表3-4 点36距离表
所以确定27为第二次所到地点。
点27到其他点的距离（单位：m）如下：
27 39 26 21 32 17 23 14 16
距离1779．923
表3-5 点27距离表
所以确定39为第三次所到地点。
由线路图可知，离开39后需要回到27，才能送货到其它地点，则再根据上述表格选取除39外距离27最近的地点的，即是第四次所到地点，易知26为第四次所到地点（途经31）。
点26到其他点的距离（单位：m）如下：
26 21 17 14 23 32 16
距
离
表3-6 点26距离表
可得21为第五次所到地点。
点21到其他点的Euclid距离（单位：m）如下：
21 17 14 23 32 16
距离
表3-7 点21距离表
可得17为第五次所到地点。
点17到其他点的Euclid距离（单位：m）如下：
17 23 14 32 16
距离
表3-8 点17距离表
理论上讲应该选取点23，但根据线路图以及剩余送货的地点，综合考虑后选取次优解即
14为第六次送货地点。
点14到其他点的Euclid距离（单位：m）如下：
14 16 23 32
距离
表3-9 点14距离表
可得16为第七次所到地点。
点16到其他点的距离（单位：m）如下：
16 23 32
距离
表3-10 点17距离表
可得23为第八次所到地点，32为终点。
由以上结果可得最佳送货路线如下：
36→27→39→（27）→（31）→26→21→17→14→16→23→32
在图中标出路线：
图3-3 路线表
所以综上考虑将各阶段的路径连接起来形成的最终最短路径为：
0→18→13→19→24→31→34→40→45→42→49→43→38→36→27→39→27→31→26→21→17→14→18→23→32。
得出最短路径距离minZ=
时间minT=
第四章总结
优点
对于题中各数据的处理，采用的工具、方法比较先进，各种计算方法精确，误差较小。在解决问题时，我们把原图变为完全图，利用全局线性规划法充分发挥lingo软件包求最优解功能。并且成功地对0—1变量进行了使用和约束，简化了模型建立难度，同时给出了在各种约束条件下的最短路径的计算方法，具有较强的实用性和通用性，在日上生活中经常可以用到。
缺点
由于数据较多，难以对模型结果进行验证，只能一步一步的对模型进行优化。
参考文献
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[12] 贺国先. 集装箱公铁联运的费用加权最短路计算机算法[J]. 铁道学报, 2006, 28(1):1-5.
致 谢
大学四年的学习生活即将结束，在此，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能够成功的完成，要特别感谢我的导师XXX
教授的关怀和教导。
附录
附录A 实际案例背景数据
图1 快递公司送货地点示意图
O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米
本科生毕业设计（论文） 题目：线性表的设计和实现 学生姓名：张三 学号： 201107011153 院系：基础科学学院信息技术系 专业年级：2012级信息与计算科学专业 指导教师：李四 年月日
摘要 随着现代物流业的发展，如何优化和配置物流的运输路径成为了一个热点的问题。其中，最具代表性的问题就是如何在一个道路网络中选择两点之间的合适路径，使其距离最短。为了解决这个问题，本文介绍了两种最常用的最短路径求解方法——DIJKSTRA算法与FLOYD算法，分析了它们的适用范围以及时间复杂度。最后，对一个具体的航空公司物流配送问题进行了求解，得到了理论最优路径。 关键词：最短路径问题；DIJKSTRA算法；物流运输
ABSTRACT With the development of modern logistics industry, how to optimize and configure the transport path of logistics has become a hot issue. Among them, the most representative problem is how to select the appropriate path between two points in a road network to minimize the distance. In order to solve this problem, this paper introduces two most common shortest path solutions ——Dijkstra algorithm and Floyd algorithm, and analyzes their application range and time complexity. Finally, a specific airline logistics distribution problem is solved, and the theoretical optimal path is obtained. Keywords：Minimum path problem；Dijkstra algorithm；Logistics transportation
摘要：主要介绍最短路径问题中的经典算法——迪杰斯特拉(Dijkstra)算法和弗洛伊德（Floyd）算法，以及在实际生活中的运用。 关键字：Dijkstra算法、Floyd算法、赋权图、最优路径、Matlab 目录 摘要 (1) 1引言 (1) 2最短路 (2) 2.1 最短路的定义 (2) 2.2最短路问题常见算法 (2) 3 Dijkstra算法 (2) 3.1Dijkstra算法描述 (2) 3.2 Dijkstra算法举例 (3) 3.3算法的正确性和计算复杂性 (5) 3.3.1贪心选择性质 (5) 3.3.2最优子结构性质 (6) 3.3.3 计算复杂性 (7) 4 Floyd算法 (7) 4.1Floyd算法描述 (8) 4.2 Floyd算法步骤 (11) 4.3 Floyd算法举例 (11) 5 Dijkstra算法和Floyd算法在求最短路的异同 (11) 6 利用计算机程序模拟算法 (11) 7 附录 (11) 8 论文总结 (13) 9 参考文献 (13)
1 引言 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2 最短路 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图 的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在的() 0ij w ≥的情况下选择Dijkstra 算法。 定义1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。 定义2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,假设[i,j] 的权记为()i j W ，,若i 与j 之间没有边相连接，那么()i j =W ∞，。路径P 的定义为路径中各边的长度之和，记W （P ）。图G 的结点u 到结点v 距离记为d(u,v)，则u 、v 间的最短路径可定义为 { ()min P 0d(u,v)=,u v W =∞（），不可达时 。 2.2 最短路问题常见算法 在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。这两种算法中,网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图,并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息。在进行图的遍历以搜索最短路径时,以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别,直到获得最后的优化路径。 Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法,也是其它算法的基础。为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径,通常采用两种方法。一种方法是每次以一个结点为源点,重复执行Dijkstra 算法n 次。另一种方法是由Floyd 于1962年提出的Floyd 算法,其时间复杂度为 ()3O n ,虽然与重复执行Dijkstra 算法n 次的时间复杂度相同,但其形式上略为简单,且实际运 算效果要好于前者。 3 Dijkstra 算法 3.1 Dijkstra 算法描述
:算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue
最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法
有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
物流运输系统规划 设计报告 班级 10161 组号 03 组长 组员02陈恒 07刘莹 19许文君 目录 第一章物流运输系统规划的内容 1.1物流运输系统规划的内容 1.1.1影响运输系统规划设计的因素
1.1.2运输系统规划设计标准 1.2 物流运输系统规划的原则 1.3 物流系统运输线路选择 1.3.1 运输线路选择的因素 1.3.2 运输线路选择方法 第二章案例分析 2.1案例一 2.2 案例二 第三章方案设计 3.1 设计背景 3.2 运输系统流程分析 3.3 运输系统问题分析 3.4 解决方案 3.4.1 运输路线与方式的最优选择 3.4.2.车辆的调度优化与解决空载行驶问题的方案
第一章物流运输系统规划的内容 1.1物流运输系统规划设计的内容 1)确定物流运输战略 物流运输战略是为寻求物流的可持续发展，就物流运输的目标以及达成目标的途径与手段而制订的长远性、全局性的规划与谋略。物流运 输战略的确定直接决定运输系统规划的其他要素。在进行运输系统规划 设计时，首先需要对运输系统所处环境进行分析。环境分析主要包括国 家的宏观运输政策、运输市场的发展状况、物流系统综合战略、其他物 流节点的情况等。在对上述问题进行分析的基础上，确定运输系统战略，明确运输系统规划的方向。 2)选择运输路线 在组织运输系统完成货物的运送工作时，通常存在多种可供选择的运输路线。运输工具按不同的运输路线完成同样的运送任务时，由于运 输工具的利用情况不同，相应的运输效率和运输成本也会不同。因此， 选择时间短、费用省、效益好的运输路线是运输系统规划设计中的一项 重要内容，这也是运输战略的充分体现。 3)选择运输方式 如何选择适当的运输方式、运输战略是物流运输合理化的重要问题。 一般来讲，可以在考虑具体条件的基础上，对货物品种、运输期限、运 输成本、运输距离、运输批量以及安全性等具体项日作认真研究考虑， 可以使用一种运输方式也可以使用联运方式。 4)运输过程控制与信息系统 物流运输系统目标的实现依赖于有效的过程控制。由于运输过程的瞬间变动性，对运输过程控制的难度远远高于对固定节点的控制，因此
天津大学 管理与经济学部 夏令营学术论文展示 学校：四川大学 姓名：赵欢 专业：工程管理 申请专业：管理科学与工程 研究方向：工程管理 申请类型：学术型硕士
一、研究目的 1. 了解配送中心运输配送系统相关的数量方法在管理决策中的有效运用。 2. 锻炼运用节约算法法处理实际问题的能力 3. 加强商业调查能力的训练 二、研究内容与研究步骤 1、数据调查 我选择的调查对象是成都市的红旗连锁红旗超市, 成都红旗连锁有限公司成立于2000年6月。2010年5月20日，成都红旗连锁股份有限公司正式创立。公司现已发展成为中国西部地区最具规模的以连锁经营、物流配送、电子商务为一体的商业连锁企业。目前在四川省内已开设上千家连锁超市，就业员工上万人，累计上缴税收6亿以上;拥有两座现代化的物流配送中心;与上千家供货商建立了良好的互利双赢的商业合作关系。 我就近选择了位于成都市武侯区簇马路2段11号的配送中心，对其半径三公里范围内的红旗超市配送进行了具体的数据调查和记录。 红旗连锁配送中心：成都市武侯区簇马路2段11号（选址如图1，A为该配送中心） 配送范围：半径3000m 图1：
2、模型建立 第一步：据调查出的配送中心及网点分布图，绘制出配送网点模型图如下： 图2： 第二步：由实地咨询及资料查阅后收集到的各网点和配送中心之间的路程数据，给出配送中心与分店，商店与商店之间的距离，0表示配送中心（完整数据见附
表1：网点距离表） 第三步：车辆数分析（完整数据见附表1：车辆调度情况） 第四步：分店需求量分析（完整数据见附表1：每个分店平均每天的需求量） 三、背景 据介绍，自红旗连锁成立以后，其公司决策层就提出为适应市场发展需要，必须跟上先进零售企业信息化管理的步伐，完成对各分店的POS/MIS自动化管理系统，实现配送中心与财务中心的联网，以达到对单列商品准确的进、销、存的科学信息化管理，合理安排和使用流动资金，加快商品及资金周转率，以形成一套健全的、高效的商品自动化管理系统，包括商品的进销存管理系统、供应链管理系统，同时逐渐提升公司内部的信息化管理。据悉，为了实现这一系列的信息化目标，公司每年在信息化上的投入就达到了几百万；公司领导更是亲自着手企业各流程的改造与管理，使企业能够更好的往信息化道路上发展。 业务流程图 该超市配送中心物流管理系统主要包括采购、进货、退货、销售几个方面。其中与供应商、连锁店、仓库、顾客之间有着实际联系。
第1章物流系统 1.简述“物流”的概念 物流是对原材料、中间产品、最终产品及相关信息从生产地到消费地的流动和存储进行规划、实施和控制的全过程。通过这个全过程使这些材料和产品的流动和存储达到最高的效率和最低的成本。 物流是物质实体从供给者到需求者的物理移动，它由一系列创造时间价值和空间价值的经济活动组成，包括运输、储存、配送、包装、装卸搬运、流通加工及物流信息处理等多项基本活动，是这些活动的统一。 物流是物质资料从供给者到需求者的物理性运动，主要是创造时间价值和空间价值，有时也创造一定的加工价值。 2.物流系统是指在一定的时间和空间内，由所需位移的物资、运输设施设备、装卸搬运机 械、包装设备、仓储设施、人员和信息系统等。 3.简述物流系统的流动结构（7个流动要素） 流体、载体、流向、流量、流程、流速、流效 4.简述物流系统的功能和作用 运输——通过载体发挥作用，实现流体的空间位移并在满足服务目标的情况下降低运输费用。 储存——起缓冲、调节、平衡供需矛盾的作用，克服产品生产与消费在时间上的差异，是物品产生时间上的效益。 包装——生产的终点、流通的起点。便于销售和物流作业。 装卸搬运——衔接运输和储存环节 流通加工——弥补生产过程中的加工不足，更有效地满足用户或本企业的需要 物流信息处理—— 5.物流系统有哪些类型？ 按物流系统性质分类：社会物流系统：全社会的物流整体，伴随商业活动发生，与物流过程 和所有权的更迭相关 行业物流系统 企业物流系统——生产企业物流系统（管理层、控制层和作业层） 商业企业物流系统 物流企业物流系统 生产企业物流——供应物流系统 生产物流系统 销售物流系统（产成品的库存管理、仓储发货运输、订货处理&顾客服务） 回收物流系统 废弃物流系统 按物流活动的空间范围分类：地区物流系统 国内物流系统 国际物流系统
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。
1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题
物流配送最优路径规划
关于交通运输企业物流配送最优路径规划的 研究现状、存在问题及前景展望 摘要：本文综述了在交通运输企业的物流配送领域最优路径规划的主要研究成果、研究存在问题及研究方向。主要研究成果包括运用各种数学模型和算法在运输网中选取最短或最优路径；从而达到路径、时间最优和费用最优；以及物流配送网络优化、车辆系统化统一调度的发展。今后研究的主要方向包括绿色物流，运输系统及时性和准确性研究等。 关键词：物流配送；最优路径；路径规划 Overview of scheme on Shortest Logistics Distribution Route in Transportation Industry Student: Wan Lu Tutor: Chen Qingchun Abstract: This paper reviewed of the optimal path planning about the main research results, problems and direction in the field of transportation enterprise logistics distribution. Main research results include using various mathematical model and algorithm selection or optimal shortest path in the network. So we can achieve the optimal path, the shortest time and minimum cost. At the same time, logistics distribution network optimization, the vehicle systematic development of unified scheduling are the research issues.The main direction of future research include green logistics, transportation system accurately and timely research and so on. Key words: Logics Distribution; Optimal Path; Path Planning 引言 物流业在我国的新兴经济产业中占据了重要了地位，称为促进经济快速增长的“加速器”。而物流配送作为物流系统的重要环节，影响着物流的整个运作过程以及运输企业的发展趋势和前景。采用科学、合理的方法来进行物流配送路径的优化，是物流配送领域的重要研究内容。近年，国内外均有大量的企业机构、学者对物流配送中最优路径选择的问题，进行了大量深入的研究，从早期车辆路径问题研究，到根据约束模型及条件不断变化的车辆最优路径研究，以及随着计算机学科的发展而推出的针对物流配送路径最优化的模型和算法等方面，都取得丰硕的学术成果。但是对于绿色物流配送的研究仍然不足。鉴于物流配送最优路径研究的重大理论意义和实践价值，为对我国物流配送的效率水平有一个系统的理解和把握，有必要对现有成果进行统计和归纳。本文尝试对我国运输企业物流配送最优路径规划进行探讨，以期为今后做更深人和全面的研究提供一定的线索和分析思路。 1 国内外研究现状 1.1 国内研究现状 1.1.1 主要研究的问题
课程设计任务书
目录 第1章概要设计 (1) 1.1题目的内容与要求 (1) 1.2总体结构 (1) 第2章详细设计 (2) 2.1主模块 (2) 2.2构建城市无向图 (3) 2.3添加城市 (4) 2.4修改城市距离 (5) 2.5求最短路径 (6) 第3章调试分析 (7) 3.1调试初期 (7) 3.2调试中期 (7) 3.3调试末期 (7) 第4章测试及运行结果 (7) 附页（程序清单） (10)
第1章概要设计 1.1题目的内容与要求 内容：给出一张无向图，图上的每个顶点表示一个城市，顶点间的边表示城市间存在路径，边上的权值表示城市间的距离。试编写程序求解从某一个城市出发到达任意其他任意城市的最短路径问题。 要求： 1)能够提供简单友好的用户操作界面，可以输入城市的基本信息，包括城市名 称，城市编号等； 2)利用矩阵保存城市间的距离； 3)利用Floyd算法求最短路径； 4)独立完成系统的设计，编码和调试； 5)系统利用C语言完成； 6)按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2总体结构 本程序主要分为四个模块（功能模块见图1.1）：主模块对整个程序起一主导作用，开始构建一城市无向图，对其进行添加城市顶点，以及对原来的距离数据进行修改，整体构建结束可以实现求一城市到其他城市的最短路径问题。 图1.1 功能模块图
第2章详细设计 2.1主模块 用户根据屏幕上显示的操作提示输入要进行操作的模块，通过调用相对应的模块程序，达到用户所想进行操作。程序的总框架大致分为四个模块：1.建立城市无向图2.添加城市模块3.修改城市距离4.求最短路径。具体实现过程见2.2：建立城市无向图2.3：添加城市2.4：修改城市距离2.5：求最短路径。流程图中通过输入n，由n的值来选择调用相对应子函数，实现所选择的功能，调用完后可以返回调用主函数进行下一次选择，从而实现反复调用子函数而实现四个模块的功能等。 图2.1 主模块流程图
数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221
实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include 单源最短路径的Dijkstra算法： 问题描述： 给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。算法描述： Dijkstra算法是解单源最短路径的一个贪心算法。基本思想是：设置顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist做必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 源代码： #include //-------------------------------------数据声明------------------------------------------------//c[i][j]表示边(i,j)的权 //dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度 //prev[i]记录从源到顶点i的最短路径上的i的前一个顶点 //--------------------------------------------------------------------------------------------- void Dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[], int c[][LEN]) { bool s[LEN]; // 判断是否已存入该点到S集合中 for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = c[v][i]; s[i] = false; //初始都未用过该点 if (dist[i] == MAX) prev[i] = 0; //表示v到i前一顶点不存在 else prev[i] = v; } dist[v] = 0; s[v] = true; for (int i = 1; i < n; i++) 最短路径算法及其路径规划中的应用 摘要： 这篇文章把徒步运动的路径规划问题转化为求解图中任意两点间的最短路径问题，进而针对此问题介绍了Floyd算法，对该算法的时间花费进行分析，并介绍了在实际问题中如何灵活运用该算法解决路径决策中遇到的问题。 关键词：路径规划、最短路径、决策、Floyd算法 将实际地图的转化为有向图 在策划一次徒步旅行时，设计正确的旅行的线路特别重要，首先我们必须先要得到那个地区的地图，以便进行后续的线路规划。当我们拿到某一地区的地图时，我们可以把地图上的每一条线路用线段表示，用顶点表示地图上的岔路口，即多条线段的交点，这样就形成了一个由点和线段组成的图。我们可以在每条线段上标上数字，表示两点之间的实际距离，或者表示通过这条路径所需的时间。当然，如果两点之间没有线段相连，我们可以认为距离为无穷大，用∞表示。有时候某些线路是单向的，即只能从一个方向到另一个方向，不能逆行。这种情况在具体的路径设计中非常常见，比如，在繁华的都市内会有一些单行道，在山区景点中，常会出现一些上山索道，这些都是单向线路的常见例子。有时候，沿某条线路的两个方向所需的时间不同，这种例子更为常见，比如上山与下山，顺风与逆风等等。对于这两种情况，我们可以在表示路径的线段上加上箭头表示该路径的方向，形成有向图。 到达v2的距离为8，而从v2到v1的距离为3。 从点v1到v0的距离为5，而从v0到v1的距离 为∞。这种带有箭头的有向图，比不带箭头的无 向图能够表示更一般的情形，可以说无向图只是 有向图的一种特殊情况。 如果我们知道任意两点间的最短路径，这对 我们进行路径规划将会有很大的帮助，但当地图 较为复杂时，凭直觉估计最短路径的方法往往不 可靠，这时就必须借助计算机的强大计算能力，寻找最短路径。下面，我们就以 这种有向图为工具，来探究寻找最短路径的方法。 最短路径算法在物流运输 中的应用 Last revision date: 13 December 2020. 本科生毕业设计（论文）题目：线性表的设计和实现 学生姓名：张三 学号： 1153 院系：基础科学学院信息技术系 专业年级： 2012级信息与计算科学专业 指导教师：李四 年月日 摘要 随着现代物流业的发展，如何优化和配置物流的运输路径成为了一个热点的问题。其中，最具代表性的问题就是如何在一个道路网络中选择两点之间的合适路径，使其距离最短。为了解决这个问题，本文介绍了两种最常用的最短路径求解方法——DIJKSTRA算法与FLOYD算法，分析了它们的适用范围以及时间复杂度。最后，对一个具体的航空公司物流配送问题进行了求解，得到了理论最优路径。 关键词：最短路径问题；DIJKSTRA算法；物流运输 ABSTRACT With the development of modern logistics industry, how to optimize and configure the transport path of logistics has become a hot issue. Among them, the most representative problem is how to select the appropriate path between two points in a road network to minimize the distance. In order to solve this problem, this paper introduces two most common shortest path solutions —— Dijkstra algorithm and Floyd algorithm, and analyzes their application range and time complexity. Finally, a specific airline logistics distribution problem is solved, and the theoretical optimal path is obtained. Keywords：Minimum path problem；Dijkstra algorithm；Logistics transportation 数据结构课程设计报告撰写要求 （一）纸张与页面要求 1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。 2．封页和页面按照下面模板书写（正文为：小四宋体1.5倍行距）。 3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。 （二）课设报告书的内容应包括以下各个部分：（按照以下顺序装订） 1.封页(见课设模版) 2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否则教师拒绝给予成绩。 2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整) 3.目录 4.正文一般应包括以下内容: （1)题目介绍和功能要求（或描述） 课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将内容做更详细的具体的分析与描述； （2) 系统功能模块结构图 绘制系统功能结构框图及主要模块的功能说明； （3) 使用的数据结构的描述: 数据结构设计及用法说明; （4) 涉及到的函数的描述 ; （5) 主要算法描述( 程序流程图) （6) 给出程序测试/运行的结果 设计多组数据加以描述（包括输入数据和输出结果） （7) 课程设计的总结及体会 （8) 参考文献 格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：出版社，出版年 5.附录：程序清单 (应带有必要的注释) 沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：利用弗洛伊德（Floyd)算法求解 最短路径 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术(物联网方向) 班级：34010105 学号： 姓名： 指导教师： 说明：结论（优秀、良好、中等、及格、不及格）作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。 数据通信与计算机网络大作业 Dijkstra 最 短 路 径 算 法 【摘要】 摘要:最短路径分析在地理信息系统、计算机网络路由等方面发挥了重要的作用, 对其进行优化很有必要。本文分析了传统 的最短路径算法(即Dijkstra 算法)的优化途径及现有的优化算法, 然后在Dijkstra 算法的基础上, 采用配对堆结构来实现路 径计算过程中优先级队列的一系列操作, 经理论分析与实验测试结果对比, 可以大大提高该算法的效率和性能。 【关键词】 最短路径; Dijkstra 算法; 【正文】 随着计算机网络技术和地理信息科学的发展, 最短路径问题无论是在交通运输, 还是在城市规划、物流管理、网络通讯等方面, 它都发挥了重要的作用。因此, 对它的研究不但具有重要的理论价值, 而且具有重要的应用价值。研究最短路径问题通常将它们抽象为图论意义下的网络问题, 问题的核心就变成了网络图中的最短路径问题。此时的最短路径不单指“纯距离”意义上的最短路径, 它可以是“经济距离”意义上的最短路径, “时间”意义上的最短路径, “网络”意义上的最短路径。关于最短路径问题, 目前所公认的最好的求解方法, 是由F.W.Dijkstra 提出的标号法, 即Dijkstra 算法。 1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是求最短路径的最基本和使用最广泛的算法。在求从网络中的某一节点(源点)到其余各节点的最短路径时, 经典Dijkstra 算法将网络中的节点分成三部分: 未标记节点、临时标记节点和最短路径节点(永久标记节点)。算法开始时源点初始化为最短路径节点, 其余为未标记节点, 算法执行过程中, 每次从最短路径节点往相邻节点扩展, 非最短路径节点的相邻节点修改为临时标记节点, 判断权值是否更新后, 在所有临时标记节点中提取权值最小的节点, 修改为最短路径节点后作为下一次的扩展源, 再重复前面的步骤, 当所有节点都做过扩展源后算法结束。具体算法描述如下: 设在一非负权简单连通无向图G= 数据结构课程设计 —省会城市最短路径求解一、类关系图 说明：Graph类继承Form类，同时嵌入了CityInf结构体和List类。 Graph类的几个重要函数、类、结构体 private void Init()//初始化函数 private void ShowMap_Paint(object sender, PaintEventArgs e) //绘制地图 private bool GetMinDistanceFun(int entry) //采用迪杰斯特拉算法获得最短路径private void BFS(int StartPoint, int[] visited, string name) //广度优先遍历函数private void DFS(int StartPoint, int[] visited, string name)//深度优先遍历函数private void Prim()//求解最小生成树 Prim算法 private class List //广度优先遍历用到的队列类 public struct CityInf//存放城市信息：城市名称、城市坐标、状态值 二、流程图 三、主要算法的实现 1．用迪杰斯特拉算法实现省会城市间最短路径的求解 private bool GetMinDistanceFun(int entry) { int inputnodenum = CityData.citysum; int[] Mark = new int[inputnodenum]; //标志位数组标记数据在哪个集合 int mindis = 0, nextnode = 0;//最短路径，下一个城市结点 int i, j; //第一轮距离数组记录从起始点到其他所有点的边权值 for (i = 0; i < inputnodenum; i++) { Distance[i] = GetCityWeight(entry, i); //所有标志位清零 Mark[i] = 0; //如果起始结点可以抵达某个结点 if (i != entry && Distance[i] < MaxWeight) { RoutePath[i] = entry; //则把该结点首先放入路径数组 } else { RoutePath[i] = -1;//表示该路径不通 } } //初始状态下集合存放找到最短路径顶点集合的中只包含源点entry 所以把它在Mark 中标记出来 Mark[entry] = 1; //在还没有找到最短路径的结点集合中选取最短距离结点nextnode for (i = 1; i < inputnodenum; i++) { //设定每轮的初始最小距离为无穷大 mindis = MaxWeight; for (j = 0; j < inputnodenum; j++) { //保证每次循环mindis是到entry的最小值 if (Mark[j] == 0 && Distance[j] < mindis)//如果没有进入最短路径且距离小于最小距离 { nextnode = j; mindis = Distance[j];//记录本次循环的最短路径 } }单源最短路径的Dijkstra算法
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