1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)
dy
y
dx y x ?=-???=≤≤?
取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n
n y = …2分
（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：
1
12341213
2430.1(22)0.90483756
(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n n
n n
n n y y k k k k y k y k y k y k y k y
k y k y +?=++++=??
=-??=-+=-??=-+=-??=-+=-??即0.9048375n
n y = ……（4分）
2. 对常微分方程初值问题12
(0)1(01)
dy
y
dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n
n y =
……………….(2分)
（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：
1
12341213
2430.1(22)0.9512196
/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n n
n n
n n y y k k k k y k y k y k y k y k y
k y k y +?=++++=??
=-??=-+=-??=-+=-??=-+=-??即0.95145314n
n y =……(4分)
《数值分析》复习题
一、填空题
1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%
1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。
2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。
3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。 2.利用平方差的方法
4. 在数值计算中，当a _____________
5. 在数值计算中，计算356-应变成 来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为 来计算。 3.f 的位数与f （x ）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为0
7. 若5
4
3
()2792100f x x x x x =-+-+，则1
2
3
4
5
[1,4,4,4,4,4]f =______________，
123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为
3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，
4(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x
9. 当()f x x =时，(,)n B f x = 。
10. 代数式222236()66
x x
R x x x +=++ ______________,
323222122
()23
x x R x x x ++=++ __________________.
11. 已知方程组1231231
23103127322115
x x x x x x x x x --=-??
-++=??+-=-?，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：
，收敛的G S -迭代格式为：
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,
12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -????????????-=????????????-??????
，那么收敛的Jacobi 迭代格式：
12.化为线性方程2.调整排序
收敛的G-S 迭代格式： 。
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,
13. 求积公式0
()n
n k
k k I A
f x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是________它是插值型
____________;
当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0
()()n
n n k
k k I b a C
f x ==-∑至少有___n+1__P103_____次代
数精度；
高斯求积公式
()()()n
b
k k a
k f x x dx A f x ρ=≈∑?
至少有_____2n+1_P116____次代数精度。
14. 设7227
22
7
22
7n n A R ??????
?
?
?=∈???????
?
，则矩阵A 的特征值的界为 （2.2）与7的和、差为界 ，矩阵1
A -的特征值的界为 界的倒数 。
A ∞=max （1<=i<=n ）∑(j(1,n))|aij|等价于每一列中最大值的和 1A = max （1<=j<=n ）∑(i(1,n))|aij|等价于每一行中最大值的和 2A =作业第五章12 P116
15. 已知1235A -??=??-??，314x ??
??=-??????
，那么A ∞
1A = ________,
2A ∞12x = ________,
其中相等的范数有_______A ∞=____________1x =__________. 二、判断题
1. 如果插值节点01,,...,n x x x 互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式是存在且唯一。（ x ）
2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。 （ x ）
3. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x 在[,]a b 上具有直到三阶的连续函数。（ ）
4. 已知1 2.53 3.5A -??=?
?--??，51x -??
=????
，那么1A =1x 。 （ 1 ）
5. 法来完成。 （ 1 ）
6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。 （ 1 ）
7.。 （ ）
8. 在使用松弛法（SOR ）解线性代数方程组AX b =时，若松弛因子ω满足11ω-≥，则迭代法一定不收敛。 （ 1 ） 9. 求解单变量非线性方程()0f x =，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。 （ 1） 10. 常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。 （ 1 ） 11. 解单变量非线性方程()0f x =，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen 迭代法，则为3阶收敛。 （ 1 ） 三、计算解答题和证明题
构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12.0e和72.0e的近似值。
1.列出牛顿的插值表
2.Px=f（x0）+……P32
3、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75
（2）
4、二分法求根 作业第七章1
(1) 方程034
=-+x x 在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：
1
1*2
++-≤
-n n a
b x x ）; (2) 方程3
2
()33f x x x x =+--在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;
(3) 方程4210x x +-=,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。 第六章
5、用适当的方法解方程组：(1)1231231
23424421051145219
x x x x x x x x x ++=??
++=??++=-?;
(2)123310413150134x x x ??????
??????=??????
????????????
; (3)123210315210231x x x -????????????-=????????????-??????. 作业第四章14
6、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分
dx x
?
3
1
1
，误差限不超过310-。 7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分
cos x e xdx π
?
，已知134.778519T =-，217.389259T =-，
413.336023T =-，812.382162T =-
8、设方程组12341234
123412347239210683032910
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-??++-=??--+-=??-+-=?，写出Jacobi 迭代法和G S -迭代法的迭代格式，
并证明它们是收敛的。
9、对常微分方程初值问题 （1）(0)1(01)dy
y
dx y x ?=-???=≤≤?
（2）2(0)1(01)dy y dx y x ?=-???=≤≤?（3）12
(0)1(01)
dy
y dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比较。
10
11、设A 是正交矩阵，证明2()1Cond A =。 12、（1）当()f x x =时，(,)n B f x x =； （2）1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?； （3）如果A 是正交阵，则2()1cond A =。 13、证明：适当选取待定参数a , 求积公式
)]()0([)]()0([2
)(''20
h f f ah h f f h
dx x f h
-++≈?
的代数精度可达到3=m 。
14、试证明：适当选取待定参数0A , 1A ，2A ，求积公式
)2()()0()(2130
0h f A h f A f A dx x f h
++≈?
的代数精度可达到2=m 。
15、证明Chebyshev 多项式()n T x 满足微分方程
2'''2
(1)()()()0n n n x T x xT x n T x --+=。
16、已知方阵221111321A ????=??????
， （1） 证明：A 不能分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；
（2） 试通过交换A 的行，进行LU 分解。
二、课本习题
1．每章的“复习与思考题” 2. P48, 2,4,8,16;
P94,7,10,13,16,19; P135,1,14;
P176,7,8,9,10,13,19,20; P209,1,2;
P238,1,3,7,12; P275,1,2; P315,1,4,10.
1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)
dy
y
dx y x ?=-???=≤≤?
取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n
n y = …2分
（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：
1
12341213
2430.1(22)0.90483756
(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n n
n n
n n y y k k k k y k y k y k y k y k y
k y k y +?=++++=??
=-??=-+=-??=-+=-??=-+=-??即0.9048375n
n y = ……（4分）
2. 对常微分方程初值问题12
(0)1(01)
dy
y
dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n
n y =
……………….(2分)
（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：
1
12341213
2430.1(22)0.9512196
/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n n
n n
n n y y k k k k y k y k y k y k y k y
k y k y +?=++++=??
=-??=-+=-??=-+=-??=-+=-??即0.95145314n
n y =……(4分)
…….. .(10分)
常微分方程初值问题数值解法 朱欲辉 （浙江海洋学院数理信息学院, 浙江舟山316004） [摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法.然而在生产实 际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正 公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点. [关键词]：常微分方程;初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计 Numerical Method for Initial-Value Problems Zhu Yuhui (School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004) [Abstract]:In the course about ordinary differential equations, the methods for analytic solutions of some typical equations are often discussed. However, in scientific research, the problems are very complex and the analytic solutions about these problems can’t be e xpressed explicitly. In this paper, some numerical methods for the initial-value problems are introduced. these methods include Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method and some linear multistep method (e.g. Adams formula and predicted-corrected formula). The stability and convergence about the methods are presented. Some numerical examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theoretical analysis. [Keywords]:Ordinary differential equation; Initial-value problem; Numerical method; Convergence; Stability;Error estimate
贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 实验日期： 年 月 日 学 号： 姓名： 指导教师： 实验成绩： 一、实验名称 实验六: 常微分方程初值问题数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用Euler 法, Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 1. 取步长h=0.1,0.05,0.01, ,用Euler 法及经典4阶Runge-Kutta 法求解初值 问题 ?? ?=≤≤++-=1 )0() 10(2222'y t t t y y 要求: 1) 画出准确解(准确解22t e y t +=-)的曲线,近似解折线; 2) 把节点0.1和0.5上的精确解与近似解比较,观察误差变化情况. 2. 用 Euler 法,隐式Euler 法和经典4阶R-K 法取不同步长解初值问题 ?? ? ??= ∈-=21 )0(],1,0[,50'y x y y 并画出曲线观察稳定性. 注：题1必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Euler 法： 输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 Euler 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x h a b m n =?+=-? 步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n n n y x f h y y ?+?+
步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 经典4阶R-K 法： 输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 4阶R-K 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x h a b m n =?+=-? 步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n y x f K ?，)5.0,(15.02hK y x f K n n +?+， )5.0,(25.03hK y x f K n n +?+，),(314hK y x f K n n +?+ )22(6 43211K K K K h y y n n ++++?+ 步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 六、调试过程及实验结果 >> shiyan6 Y1 = 0.8000 0.6620 0.5776 0.5401 0.5441 0.5853 0.6602 0.7662 0.9009 1.0627 Y2 = 0.8287 0.7103 0.6388 0.6093 0.6179 0.6612 0.7366 0.8419 0.9753 1.1353
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
常微分方程初值问题 12.1引言 在数学模型中经常出现的常微分方程在科学的许多分支中同样出现，例如工程和经济学。不幸的是却很少出现这些方程可得到表示在封闭的形式的解的情况，所以通常采用数值方法来寻找近似解。如今，这通常可以非常方便的达到高精度和在解析解和数值逼近之间可靠的误差界。在本节我们将关注一阶微分方程（12.1）形式关于实值函数y的实变 量x的结构和数值分析方法，其中和f是一个给定的实值函数的两个变量。为了从解曲线的无限族选择一个特定的积分构成（12.1）的通解，微分方程将与初始条件一起考虑：给定两个实数和，我们寻求一个（12.1）的解决方案，对于有 （12.2） 微分方程（12.1）与初始条件（12.2）被称为一个初值问题。如果你认为任何（12.1），（12.2）形式的初始值问题具有一个唯一解，看看以下例子。 例12.1考虑微分方程，初始条件，其中α是一个固定的实数，α∈（0，1）。 这是一个关于上述想法的简单验证，对于任何非负实数C， 是初值问题在区间[ 0，∞）上的一个解。因此解的存在性是肯定的，但解不一定唯一；事实上，初始值问题的解有一个无限族，当参数。 我们注意到，在与α∈（0，1）相反的情况下，当α≥1，初值问题，具有唯一解y（x）≡0。 例12.1表明函数f必须遵循相对于它的第二个参数的一定的增长性条件，以保证（12.1），（12.2）有唯一解。精确的保证初始值问题（12.1），（12.2）假设f解的存在惟一基于下面的定理。 定理12.1（Picard theorem）假定实值函数是连续的矩形区域D定义 ；当时；且f 满足Lipschitz条件：存在L＞0则 。
1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01) dy y dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。 解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n n y = …2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法： 1 12341213 2430.1(22)0.90483756 (0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n n n n n n y y k k k k y k y k y k y k y k y k y k y +?=++++=?? =-?? =-+=-??=-+=-??=-+=-?? 即0.9048375n n y = ……（4分） 2. 对常微分方程初值问题12 (0)1(01) dy y dx y x ?=-???=≤≤? 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。
解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n n y = ……………….(2分) （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法： 1 12341213 2430.1(22)0.9512196 /2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n n n n n n y y k k k k y k y k y k y k y k y k y k y +?=++++=?? =-?? =-+=-??=-+=-??=-+=-?? 即0.95145314n n y =……(4分) 《数值分析》复习题 一、填空题 1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100% 1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。 2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。 3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。 2.利用平方差的方法 4. 在数值计算中，当a _____________
--------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==- 显示单步法 7.2.1 显示单步法的一般形式 1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ?+=+=- 定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ?在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内
第八章常微分方程初值问题的解法 在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术. 8.1引言 本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析. 8.1.1 问题分类与可解性 很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①： g(t,y,y′,?,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ?k+2→?. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法. 在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题. 如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式： y(k)=f(t,y,y′,?,y(k?1)) ,(8.2) 其中函数f: ?k+1→?. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程. 通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),?,u k(t)=y(k?1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为： {u1′=u2 u2′=u3 ? u k′=f(t,u1,u2,?,u k) .(8.3) 本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组. 例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程： y′=y . [解] 采用分离变量法进行推导： ①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.
常微分方程初值问题数值求解 学生：张玉娟 学号：3070942232 指导老师：梁鹏 摘 要：数值求解是指在没有办法知道未知函数的解析表达式的情况下，近似计算未知函数在其定义域 中的某些离散点上的函数值。本文利用欧拉方法、梯形方法和龙格_库塔方法三种单步法基于Matlab 求解常微分方程初值问题。 关键词：常微分初值问题；数值求解；欧拉方法；梯形方法；龙格_库塔方法；Matlab 实现 1 引言 很多科学技术和工程问题常用微分方程的形式建立数学模型，因此微分方程的求解是很有意义的。建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些典型的方程，而对于绝大多数的微分方程问题，很难或者根本不可能得到它的解析解，实际问题终归结出来的微分方程主要靠数值解法。因此，研究微分方程求解的数值方法是非常有意义的。本文介绍了欧拉法、梯形法和四阶龙格_库塔方法三种单步法，通过Matlab 的平台运行。 2 建模 常微分方程初值问题的数学模型是：求y ()y x =，使之满足 0'()(,)()y x f x y x b y a y =≤≤??=?，(a ),, (1) 其中0y ，a ，b 是已知的常数，(,)f x y 是已知函数，且满足条件： (,)(,')'f x y f x y L y y -≤-， 式中的L 是不依赖于y ，'y 的常数，称为利普希茨（Lipschitz ）常数。 由常微分方程理论知识可知，上述问题存在唯一解()y x 。现在的目标就是计算区间[],a b 上等节点i x a ih =+处该未知函数的函数值()i y x ，其中()/h b a N =-，0,1,2,...,i N =。为此，可以用求解常微分方程问题的单步法，即欧拉方法、梯形方法和龙格_库塔方法求解。 3 算法求解和程序设计 3.1 欧拉方法 将微分方程离散化，用向前商 1()() n n y x y x h +-代替微分()n y x ，代入（1）中的微分方程，可得 1()() (,())1,2,3,...n n n n y x y x f x y x n h +-==，（） 化简可得