作业习题答案
习题二
2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：
假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：
方法一：
有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
方法二：
对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。
2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？
证明：
根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
2.9将一个矩形分成(m+1)行
1
1
2
m
m
+
??
+
?
??
列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以
选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。
证明：
（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。
（2）每列中两个单元格的不同位置组合有
1
2
m+
??
?
??
种，这样一列中两个同色单元格的位
置组合共有
1
2
m
m
+
??
?
??
种情况
（3）现在有112m m +??
+
???
列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
将S 划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.
2.12证明：从1~200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。 设从1~200中任意选取的70个数构成一组，即 第一组： 1270,,,a a a ；
第二组： 12704,4,,4a a a +++ ； 第三组：12709,9,,9a a a +++ ；
显然，这三组数均在1~209之间，且共有3*70=210个数，根据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这70个数均不相同，所以这2个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：
1） 如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有4j i a a =+； 2） 如果这两个数分别来自第一组和第三组，则有9j i a a =+； 3） 如果这两个数分别来自第二组和第三组，则有5j i a a =+；
得证。
习题三
3.8 确定多重集{3,4,5}M a b c =???的11-排列数？
11!11!11!
277203!4!4!3!3!5!2!4!5!
++=
3.9 求方程123420x x x x +++=，满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。
14416803+-??= ???
3.10 架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？
解：n=20，r=4，1204117238044n r r -+-+??????=== ? ? ???????
3.17 一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后
过，求有多少种可能的比分记录？
解：根据题意，相当于求从点(0,0)到点(11,7)且从下方不穿过y=x 的非降路径数，即为：
11711171(117)!(1171)
-13260 10 12(111)!7!+-+-????+-+=
= ? ?+????
3.21 1)会议室中有2n +1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少
种摆法？ 解：
(1)
方法1：如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有
213123 3-1 2n n ++-+????= ? ?????
种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-(n+1)=n 个座位任意分到3排中，这样的摆法共有21(1)31233 2 2n n n +-++-+????
?=? ? ?????
种方案，所以符合题意的摆
法有：
23213 2 2 2n n n +++??????
-?= ? ? ???????
方法2：设第一排座位有x 1个，第二排座位有x 2个，第三排座位有x 3个。x 1+x 2+x 3=2n+1，且x 1+x 2≥(2n+1)/2，x 1+x 3≥(2n+1)/2，x 2+x 3≥(2n+1)/2，即x 1+x 2≥n+1，x 1+x 3≥n+1，x 2+x 3≥n+1，令y 1= x 1+x 2-n-1，y 2= x 1+x 3-n-1，y 3= x 2+x 3-n-1，可知y 1+y 2+y 3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且y i ≥0，1≤i ≤3。显然，x 方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应，有
1311312n n -+-+????= ? ?-????
种。
方法3：要求每行非空
如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有2112 3-12n n +-????
=
? ?????
种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当
于将n 个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有21133 22n n n +--????
?=? ? ?????
种方案，所以符合题意的摆法
有：
21322 2n n n +??????
-?= ? ? ???????
(2)会议室中有2n 个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？
解：
(2)
方法1：如果没有附加限制则相当于把2n 个相同的小球放到3个不同的盒子里，有
23122 2 2n n +-+????= ? ?????
种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n 个座位。这相当于将n 个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-n=n 个座位任意分到3排中，这样的摆法共有231233 2 2n n n -+-+????
?=?
? ?????
种方案。需要注意的是，三排中如果任意两排都是
n 个座位共有3种情况，这3种情况在23 2n +??
? ???
中被重复计算了2次，因此需要将重复减去的3次加上。所以符合题意的摆法有：
222133 2 2 2n n n ++-??????
-?+= ? ? ???????
方法2：设第一排座位有x 1个，第二排座位有x 2个，第三排座位有x 3个。x 1+x 2+x 3=2n ，且x 1+x 2≥n +1，x 1+x 3≥n +1，x 2+x 3≥n +1，令y 1=x 1+x 2-n-1，y 2=x 1+x 3-n-1，y 3=x 2+x 3-n-1，可知y 1+y 2+y 3=2(2n)-3n-3=n-3且y i ≥0，1≤i ≤3。显然，x 方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应，有
3311312n n -+--????= ? ?-????
种。 方法3：要求每行非空
如果没有附加限制则相当于把2n 个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，
有21212 2n n --????= ? ?????
种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n 个座位。这相当于将
n-1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-(n-1)=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有2(1)13322n n n ---????
?=? ? ?????
种方案，所以符合题意的摆法
有：
2113 222n n n --??????
-?= ? ? ???????
3.24 n (n ≥2)个不同的球分给甲、乙、丙3人，使得甲至少分得两个球，有多少种不同的分法？ 解：1
2322
2n
n
n
n n i
i n n i --=??--= ???
∑ 3.25 24个相同的球分堆，使得每堆的球不少于5，有多少种不同的分堆方法？
方法1：
24
5
24i
i i k
=?=∑
55266224242243(1())(1())(1()())
x x x x x x x ++++++++++ 5624
1
(1)(1)(1)
x x x =
--- 每堆去掉4个球，剩余球分堆的方法数
5
1
(244,)(20,1)(16,2)(12,3)(8,4)(4,5)18125026
i B i i B B B B B =-=++++=++++=∑
其中
(12,3)(9,1)(9,2)(9,3)
14(6,1)(6,2)(6,3)
1413(3,1)(3,2)(3,3)
141311112
B B B B B B B B B B =++=++++=++++++=++++++=
(8,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)12115B B B B B =+++=+++=
习题四
4.3 一项对于A,B,C 三个频道的收视调查表明，有20%的用户收看A ，16%的用户收看B ，
14%的用户收看C ，8%的用户收看A 和B ，5%的用户收看A 和C ，4%的用户收看B 和C ，2%的用户都看。求不收看A,B,C 任何频道的用户百分比？
解：设性质P 1是收看A 频道的用户百分比；P 2是收看B 频道的用户百分比；P 3是收看C 频道的用户百分比；Ai={x|x ∈S ∧x 具有性质P i }，i=1,2,3。S 是受调查的所有用户的集合。
||1S =；
123||20%,||16%,||14%A A A ===
121323||8%,||5%,||4%A A A A A A ?=?=?= 123||2%A A A ??=
根据定理4.1.1，有
123123121323123||||(||||||)(||||||)||1(20%16%14%)(8%5%4%)2%65%
A A A S A A A A A A A A A A A A ??=-+++?+?+?-??=-+++++-=
4.4 某杂志对100名大学新生的爱好进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其
中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，求有多少人只喜欢看电影？ 解： 方法1：
设性质P 1喜欢看球赛；P 2喜欢看戏剧；P 3喜欢看电影。Ai={x|x ∈S ∧x 具有性质P i }，i=1,2,3。
S 是100名大学新生的集合。
||100S =
123||58,||38,||52A A A ===
121323||18,||?,||16A A A A A A ?=?=?= 123||12A A A ??=
由题意可得，这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，
12312312132312313||||(||||||)(||||||)||100(583852)(18||16)120
A A A S A A A A A A A A A A A A A A ??=-+++?+?+?-??=-++++?+-=
所以可得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有
13||(583852)100(1816)1226A A ?=++--++=
因此只喜欢看电影的人有
12331323123||||||||||A A A A A A A A A A A ??=-?-?+??
=52-(26+16)+12=22人 方法2：
1231212||||||||||100(5838)1822A A A S A A A A ??=--+?=-++=
A
C
B
65
方法3：
设只喜欢看球赛的人数为x ；设只喜欢看电影的人数为y ；喜欢看球赛和电影但不喜欢看戏
剧的人数为z ，则
1003858185216x y z x z y z ++=-??
+=-??+=-?
解得y=22，所以22人只喜欢看电影。
4.5 某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次，跟他们中任二位一起吃
过6次晚餐，和任意三位一起吃过4次晚餐，和任意四位一起吃过3次晚餐，任意五位一起吃过2次晚餐，跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过8次晚餐而没碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐? 解：设n 为在外面共吃过晚餐的次数，性质Pi(1≤i ≤6)表示他和第i 位朋友吃过晚餐，Ai(1≤i ≤6)
表示他和第i 位朋友吃过晚餐的次数。显然满足对称筛公式，其中
(1)12,(2)6,(3)4,(4)3,(5)2,(6)1,N N N N N N ======
由题可得方程：
123456
123456666666||12643218
A A A A A A n C C C C C C ?????=-?+?-?+?-?+?=解得吃饭次数为123456
6666661264321836C C C C C C ?-?+?-?+?-?+=
4.13 计算棋盘多项式
。
解：
2)+(1+x)*R(
)
球赛
戏剧
电影
= x3+3x2+x+(1+x)[xR()+R()]
= x3+3x2+x+(1+x)[x(1+x)+(1+4x+2x2)]
= 5x3+12x2+7x+1
4.14 A,B,C,D,E五种型号的轿车，用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。要求A型车不能涂成黑色；B型车不能涂成红色和白色；C型车不能涂成白色和绿色；D型车不能涂绿色和蓝色；E型号车不能涂成蓝色，求有多少种涂装方案？
解：
红
白
蓝
绿
黑
蓝
绿
白
红
黑
红
白
绿
蓝
黑
1.若未规定不同车型必须涂不同颜色，则：
????=
涂装方案43334432
2.若不同车型必须涂不同颜色，则：
禁区的棋盘多项式为：
=R()R()=(1+x)(xR()+R())
=(1+x)(xR()R()R())
=(1+x)(x(1+2x) 2+(1+3x+x2)2)
=1+8x+22x2+25x3+11x4+x5
所以：
N =5!-r1×4!+r2×3!–r3×2!+r4×1!- r5×0! =5！-8*4！+22*3！-25*2！+11*1！-1=20
习题五
5.1 求如下数列的生成函数。
（1）)1()1( k a k k ；（2）k k k k a 2)1(-=； （3）6+=k a k ； （4）)2(+=k k a k ； （5）?
??
? ??+=k
k n a k ； （6）3k k a ??
= ???； 解：
12
00
1
(1)()(1)(1)[(1)]'[]'1(1)k
k
k k k k x A x k x x x x ∞
∞
+===-+=-==++∑∑ 2
2(2)()(1)2(2)(12)k
k
k
k k k k x
A x k x k x x ∞∞
==-=-=-=
+∑∑
222
66665(3)()(6)6(1)1(1)(1)
k
k
k k k k x x x x
A x k x kx x x x x x ∞∞∞
===+--=+=+=
+==----∑∑∑ 1
2
323
1(4)()(2)(1)[]''[]'
1123(1)(1)(1)k
k k k k k x A x k k x x k k x
kx x x x x x x x x
x x x ∞∞
∞
-====+=++=+---=
+=
---∑∑∑
1
01
(5)()(1)k k n k n k A x x k x ∞
-=+??== ?-??
∑ 323200
00023432
2332334
4
32111(6)()36623141(1)16(1)2(1)3(1)4332426(1)(1)k k k k k
k k k k k k k k k A x x x k x k x kx
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞
∞∞∞∞=====??-+===-+ ???+++=-+---++-++-+==--∑∑∑∑∑
3
303333340(6)()33333(1)k k k k k k k k k k k k k k A x x x x x x
k k k x x x k x ∞
∞∞∞
-====∞
=????????==== ? ? ? ?--????????
+??== ?
-??
∑∑∑∑∑
5.3 已知数列{}k a 的生成函数是x
x x x A 31932)(2
--+=，求k a .
20
2392()32331313k k k x x A x x x x x x ∞
=+-==+=?+--∑
9
1
23
1
k n
n a n =?=??≠? 5.15 知数列{k a }的指数生成函数是2()5x x G x x e =+，求k a 。
22
0()5252!!
k x
x k x x G x x e k ∞==+=+∑
72
52k k a k =?=?
≠?
6.5 平面上有n 条直线，它们两两相交且沿有三线交于一点，设这n 条直线把平面分成()f n 个区域，求()f n 的递推关系并求解.
解：设n-1条直线把平面分成(-1)f n 个区域，则第n 条直线与前n-1条直线都有一个交点，即在第n 条直线上有n-1个交点，并将其分成n 段，这n 段又把其所在的区域一分为二。
0101#11()(1),(2) (1)2 10 1 *()()12
(1)()2
1(1) ()12
f n f n n n f x x f n b b n n b b n n
f n c c n n f n =-+≥?∴?
=?-===+==+=+
=+∴=+
齐次特征方程：特征根：非齐次特解：代入递推关系得：，
代入递推关系得：
6.6 一个1n ?的方格图形用红、蓝两色涂色每个方格，如果每个方格只能涂一种颜色，且不允许两个红格相邻，设()f n 有种涂色方案，求()f n 的递推关系并求解.
解：
设f (n )为n ?1的方格图形的涂色方案。
当n=1时，f (1)=2，即一个方格有红、蓝两种涂色方案。 当n=2时，f (2)=3，即两个方格有（红、蓝），（蓝、红）、（蓝、蓝）三种涂色方案。由于不允许两个红格相邻，所以不存在（红、红）的情况。
当n>2时，如果第一个格子涂为蓝色，则剩余n-1个格子的涂色方案数为f (n -1)；如果第一个格子涂为红色，由于不允许两个红格相邻，所以第二个格子必为蓝色，则剩余n-2个格子的涂色方案数为f (n -2)。于是，当n>2时涂色方案数为f (n )= f (n -1)+ f (n -2)。
(1)2;(2)3;
() (-1) (-2).
f f f n f n f n ==??
=+? 先求解这个递推关系的通解，它的特征方程为
,012=--x x
解这个方程，得
.2
5
1,25121-=+=
x x
所以，通解为
.251251)(21n
n c c n f ???
? ??-+???? ??+= 代入初值来确定1c 和2c ，得
12122,3 3.
22
=??+=?? 求解这个方程组，得
21,c =
?
?2
2.c =??
所以，原递推关系的解为
3
3
11()22n n f n ++???
=-????
（ ,2,1,0=n ）.
6.7 核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内1个α粒子可反应产生出3个β粒子，而1个β粒子又可反应产生出1个α粒子和2个β粒子.若在t =0s 时刻反应堆中只有1个α粒子，求t =100s 时刻反应堆里将有多少个α粒子和β粒子.
解：
设t 时刻反应堆中α粒子数为()f t ，β粒子数为()g t
212#1212()(1),(2)()3(1)2(1)(0)1,(0)0()3(2)2(1),(2)(0)0,(1)3 230 3,1
()3(1)3344
3 ()34t t
f t
g t n g t f t g t f g g t g t g t n g g x x x x g t c c c c g t =-≥??
=-+-??==?
=-+-≥??
==?--===-=?+?-==-
∴=?齐次特征方程：特征根：齐次通解：代入递推关系得：
，t 11
3
(1)43333 ()3(1)(1)4444
t t
t t t f t ---?-∴=?-?-=+?-
6.8 求下列n 阶行列式的值n d
21000
121000
1
2
000012
n d =?
解：当n=1时，122d == 当n=2时，221
312
d =
= 当n>2时，-1-22n n n d d d =-
先求解这个递推关系的通解，它的特征方程为
2210,x x -+=
解这个方程，得
121.x x ==
所以，通解为
12()1 1.
n n f n c c n =+?
代入初值来确定1c 和2c ，得 12122,
2 3.
c c c c +=??
+=?
求解这个方程组，得 11,c =21.c = 所以，原递推关系的解为
()1f n n =+ （ ,2,1,0=n ）.
6.9设h(n)表示n+2条边的凸多边形为它的对角线划分所得的区域数，其中假定没有二条对角线在凸多边形内有一公共点。定义h(0)=0，对n=l ，2，…，证明
1()(1)3n h n h n n +??
=-++ ???
证明：
如图所示，在凸n+2边形中，划出以任意两相邻边为边的三角形，例如△ABC 。则余下的是n+1个顶点的凸多边形，它的对角线划分所得的区域数为h(n-1)。由A 点引出的对角线共有n-1条，分△ABC 为n 块。下面我们计算一下由A 点引出的对角线对n+1条边的凸多边形划分所增加的区域数。
在n+1个顶点中仟取三个，不妨设为D ，F ，H ，其中必有一个顶点(这里是F)使得对角线AF 把D 和H 分在两边。所以对角线DH 必与对角线AF 相交。又由题意知，这个交点不会有其它对角线通过。这说明每新增加一个交点必与n+1个顶点中的三个顶点相对应。故新增加的交点数为C(n+1,3)个。
另外，从A 引出的每一条对角线上的交点数正好与这条对角线在凸n+1边形内截成的线段数相同，而每一线段恰好把n+1边形内某一区域分为两个，故新增加区域数为C(n+1,3)个。所以有
1()(1)3n h n h n n +??
=-++ ???
这是一个线性常系数非齐次递推关系，可以求得
2(1)()42n n n h n +??
+=
+ ???
《组合数学》试题 姓名 学号 评分 一、填空题（每小题3分，共18分） 1、 红、黄、蓝、白4个球在桌上排种排法。成一圈，有 2、设P 、Q 为集合，则|P ∪Q| |P| + |Q|. 3、0max i n n i ≤≤????=?? ????? 。 4. 366个人中必有 个人生日相同。 5.的系数为的展开式中，342326 41x x x x i i ?? ? ??∑= 。 6.解常系数线性齐次递推关系的常用方法称为 法 。 二、单项选择题（每小题2分，共12分） 1、数值函数f = (1,1,1,...)的生成函数F(x) =（ ） A 、(1+x)n B 、1－x C 、(1－x)－1 D 、(1+x)－n 2、递推关系f(n) = 4f(n －1)－4f(n －2)的特征方程有重根2，则（ ）是它的一般解 。 A 、C 12n －1+C 22n B 、( C 1+C 2n)2n C 、C(1+n)2n D 、C 12n +C 22n . 3、由6颗不同颜色的珠子可以做成 （ ）种手链。 A 、720 B 、120 C 、60 D 、6
4、=??? ??-∑=n k k k n 0 )1(（ ）。 A 、2n B 、0 C 、n2n －1 D 、1 5、设F(x),G(x)分别是f 和g 的生成函数，则以下不成立的是（ ） 。 A 、F(x)+G(x) 是f+g 的生成函数 B 、F(x)G(x) 是fg 的生成函数 C 、x r F(x) 是S r (f)的生成函数 D 、F(x)－xF(x) 是?f 的生成函数. 6、在无柄茶杯的四周画上四种不同的图案，共有（ ）种画法。 A 、24 B 、12 C 、6 D 、3 三、 解答题（每小题10分，共70分） 1. 有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有多少种不同的排列方 式？ 2. 公司有5台电视机，4台洗衣机，7台冰箱，现要把其中3台电视机，2台洗 衣机，4台冰箱选送到展销会，试问有多少种选法？ 3. 设S = {1, 3?2, 3?3, 2?4, 5}是一个多重集，那么由集合S 的元素能组成多少个 不同的四位数。 4.试求在1到300之间那些不能被3, 5和7中任何一个整除的整数个数。 5. 解非齐次递推关系 1201 693,20,1n n n a a a n a a --++=≥??==? 6. 将字母a,b,c,d,e,f,g 排成一行，使得模式beg 和cad 都不出现的排列总数是多少？ 7. 某次会议有10个代表参加，每一位代表至少认识其余9位中的一位，则10位代表中至少有两位代表认识的人数相等。
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学试题集 一.简单题目 可以根据需要改成选择题或者填空题 1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页） 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有15P 个； （2）选2个，即构成两位数，共有25P 个； （3）选3个，即构成3位数，共有35P 个； （4）选4个，即构成4位数，共有4 5P 个； 由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页） （1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定； （2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。 5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ， 剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种， 根据乘法原理，就座方式总共有： (8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种） （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。 可分成三种情况分别讨论： ① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ； ② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ； ③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；
各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为： (14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000 C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页） 解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程 123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。 该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。 故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种） ? 另解： 因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有： 212019181716(,6)(1661,6)54264654321 RC C ?????∞=+-= =?????（组） 即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页） 母函数为： 2 323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ? 方法二： ()()()()()220 22220 02222023 ()(1)00121121n n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞ +==∞+==-=++-"=++=""????== ? ?-???? =-∑∑∑∑∑
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
《组合数学》期末试题（A ）姓名班级学号成绩 一，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负 号相邻，问有多少种不同的排法。 二，在1和100之间既不是某个整数的平方，也不是某个整数的 立方的数有多少个？ 三，边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两 个点，其距离不大于1/3。 四，凸10边形的任意三条对角线不共点，试求(1)这凸10边形的 对角线交于多少个点？(2)又把所有对角线分割成多少段？五，求和=?? ???∑k－（－）k+1111n k n k 六，求解递推关系--++=??==?12016930,1 n n n a a a a a 七，用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成红色，问有多少种方法？ 八，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？注，1-4、6题各15分，第5题10分，第7题8分，第八题7分。
北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期 《组合数学》期末试题答案 一， (15) 解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。 --------5分 则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分 1n m +????? ?种方式。----15 备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分 二， （19分） 解：设A 表示是1-100内某个数的平方的集合，则 |A|=10, -----4分 设B 表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分 由容斥原理得 100|||||| 100104288A B A B A ∩=??+∩=??+=B --------19分 三， （15分） 证明：将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。 - ------5分 由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，----12分 此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。从而得证。 -------15分 四， （15分） 解：（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分 （2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1 i
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
组合数学课后标准答案
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习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
第一部分：填空题。 题目1:求n 元布尔函数f (x1，x2，…，xn ）的数目，其中布尔函数是指含有与（∧）、或（∨）、非（－）等基本布尔运算的函数。 解答：设有n 个布尔变元x 1，x 2，…，x n ，其中x i ∈{0，1}，i =1，2，…，n ，根据乘法原理(x 1，x 2，…，x n )共有2n 种不同指派，对每个指派，布尔函数取值为{0，1}，故不同的布尔函数的数目为：22n 。 （考试中会给定n 的具体数值，带入公式直接计算即可。） 题目2：n 对夫妻围一圆桌而坐，求每对夫妻相邻而坐的方案数。 解答：夫妻相邻而坐，可以将一对夫妻看成一个整体，其圆排列数为(n -1)!，由于每对夫妻可以交换位置，故所求方案数为(n -1)!×2n 。 题目3：求多重集合M = {∞·a 1, ∞·a 2, …, ∞·a n }的r 排列数。 解答：在构造的M 的一个r 排列时，第一项有n 种选择，第二项有n 种选择，……， 第r 项有n 种选择，故M 的r 排列数为n r 。 (一般地，n 元多重集合表示为：M = {k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }其中：a i （i = 1, 2, …, n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2, …, n ）表示元素a i 的个数。) 题目4：求多重集合M = { k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }的全排列数。 解答：先把M 中的所有的k 1 + k 2 + … + k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 1 + k 2 + … + k n )!。但是这里k i !个a i 是相同的，所以k i !个a i 的位置相同并且同其他元素排列也相同的排列是同一个，故M 的全排列数为： ! !!)! (2121n n k k k k k k +++。 题目5：确定1054321)(x x x x x ++++的展开式中x 13 x 2 x 34 x 52的系数。 解答：??? ? ??=???? ?????? ?????? ?????? ??2,4,1,310224617310 ! 2!4!1!3!10! 0!2!2! 2!4!6! 6!1! 7!7!3! 10= ? ? ? = （? ?? ? ??r n 表示从n 中取r 个的组合，与r n C 的意义完全相同。试题中可能会改变具体的数值，例如求15 54321)(x x x x x ++++的展开式中x 15x 24 x 34 x 52的系数，只需按上述过程计算即可。） 题目6： 求正整数n 的有序k 分拆的个数，要求第i 个分部量大于等于p i 。 解答：分拆的个数为：?? ? ? ? ??---+∑=111k p k n k i i ，其中（1≤i ≤k ）。 例如：9的有序3分拆，要求所有分部量都大于等于2，其个数为：
组合数学及其图论 1、一个图G 是指一个有序三元组（V （G ），E （G ），G ?），其中G ?是：________________. 关联函数 2、 是有40个点的简单图且 中任两个点之间有且只有1条路，则 。 39 3、只有一个顶点所构成的图称为：________________ 平凡图 4、如果H 是G 的子图，其中V （H ）=V （G ）和E （G ）=E （H ）至少有一个不成立，就称H 是G 的：_____________. 真子图 5、设G 是p 阶简单图，则__________________等号成立当且仅当G 是完全图。 q(G)≤p(p-1)/2 6、如果一条途径的_________与___________相同，就称这条途径为闭途径。 起点 终点 7、如果对图G=（V ，E ）的任何两个顶点u 与v ，G 中存在一条（u-v ）路，则称G 是___________否则称为是______________ 连通图、 非连通图 8、设G 是P 阶连通图，则__________________. q(G)≥p-1 9、若二分图 有Hamilton 回路，则 与 满足 。 10、若G 是2-边连通图，则G 有强连通的________________. 定向图 11、边数最少的连通图是 。
树 12、没有回路的连通图称为_______________. 树 13、的图是图或图。 平凡图，不连通图 14、树T的每一个非悬挂点都是T的 __________. 割点 15、二分图中若与满足，则必有完美对集。 16、给定一个图G，如果图G的一个生成子图T是一棵树，则称T是G的一个_______________. 生成树 17、设G是无环图，e是G的一条边，则 τ(G)=___________________________. τ （G－e）+τ (G·e) 18、是阶简单图，则，等号成立当且仅当是图。 ，完全图 2、 19、___________________________的生成树称为最优生成树。 连通赋权图中具有最小权 20、的一个对集是最大对集的充要条件是。 中无可扩路 21、一个有向图D，如果略去每条弧的方向时所得无向图是一棵树，就称D为_____________________. 有向树 22、经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如果这条迹是闭的，则称这条闭迹为G的 ________________. Euler环游 23、是简单图且，则。
排列组合 一、选择题： 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113232 33A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的 选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5． 6． A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 6．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 7．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 8．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n n A -- B ．1569n A - C ．1555n A - D ．1469n A -
9．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 10．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 11．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S 的值为 A. 20128 B ．15128 C ．16128 D ．21 128 15．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. （8640 ） 17．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个. （840） 18．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x = . （2） 5．若2222345363,n C C C C ++++=L 则自然数n =_____.(13) 19．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？( 2n ) 20．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个. (23) 22．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.105 23．8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?_______ 480 25．7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
1 第一章 排列组合 1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？ 解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10； 千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1； 故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。 2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()6 2 -1＝14。 （或： ()()41 42 *2+＝14） （3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53 -1 种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有 ()()2*)2,2(41 52 -P 种。 （4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。 3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。 解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。 以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则 m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。 因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故 a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。 因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。 5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数 字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数： ()())4,4(2)5,5(53 5 3 P P ??-? 只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)
习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整 数倍。 证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有 两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通 过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2009 年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、(14分) 现安排从星期一至星期五对5个项目A, B, C, D, E 进行评审，每个项目安排一天，每天安排一个项目。但要求项目A 不安排在星期二评审，项目B 不安排在星期三和星期五评审，项目C 不安排在星期四评审，项目D 不安排在星期一评审，项目E 不安排在星期三和星期四评审。问有多少种不同的评审安排方案？ 解 原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)= = 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 -----------------5分 所以安排方案数为 5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 -----------------4分 = 25 即共有25种。 -----------------1分 二、（10分）用2种颜色对下图的小圆点着色，证明必存在两列，其着色完全相同。 证明：因每个小圆点有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案, -------------5分 学 号 姓 名 学 院 …… … …… …… …密 …… …… … 封 … … … … … 线 … … … … … 以 … … … … … 内 … … … … … 答 … …… … … 题 … …… … … 无 … … … … … 效… … … …… …… … A B C D E 1 2 3 4 5
期末试卷 2012—2013学年第二学期 课程：组合数学 专业：数学与应用数学 年级：2010 本试卷共2页 满分：100分 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1、将5个苹果分给3个小孩，有_______种不同的分法. 2、多项式()4012324x x x x +++中项22012x x x ??的系数是 . 3、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为________. 4、Fibbonacci 数F(9)= . 5、6()x y +所有项的系数和是________. 6、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含xyz ，1项包含常数项，求包含xy 的项有 个. 7、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为 . 8、把某英语兴趣班分成两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数 . 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9、在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ ） A 、20!5! B 、20!15! C 、2015 D 、1520 10、某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。这个年级参加课外学科小组人数（ ）。 A 、50 B 、57 C 、43 D 、11 11、组合式???? ??50120与下列哪个式子相等？（ ） A 、???? ??60120 B 、???? ??50119+???? ??49119 C 、512???? ??49120 D 、???? ??49119 12、从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除？（ ） A 、167 B 、200 C 、166 D 、33 13、商店有六种饮料供选择，若小明每天至少和一种饮料（喝过的不再选择），5天里 把全部饮料都喝过，则有多少种不同的安排？（ ） A 、9 B 、16 C 、90 D 、1800 14、...0110p q p q p q r r r ????????????+++= ??? ??? ???-???????? ????（ ） min{,}r p q ≤。 A 、1p q r +?? ?-?? B 、p q r +?? ??? C 、1p q r +?? ?+?? D 、 1p q r ++?? ??? 15、有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ ）只小鸟。 A 、15 B 、16 C 、17 D 、18 16、()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（ ）项。 A 、n B 、3n n +?? ??? C 、4n ?? ??? D 、!n