函数与方程思想在解题中的应用
【思想方法诠释】
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函
数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题
（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
【核心要点突破】
要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题
例2：已知函数2
11
()2cos cos
cos 2,222
x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--或()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围。
要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题
例3：（1）已知
且
那么（）
（2）设不等式对满足m ∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求x 的取值
范围．
要点考向4：运用函数与方程思想解决最优化问题
例4：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面
设AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.
【跟踪模拟训练】
一、选择题
1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为( )
(A)32 (B)43 (C)49 (D)60
2．方程有解，则m的最大值为（）
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，
满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积
为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（）
4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )
(A)1
6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值
范围是（）
+∞ -∞ +∞ +∞
A B C D
1,).(,0]).[1)
二、填空题
7．的定义域和值域都是[1，k]，则k=
8．已知数列中，，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则m= ,n= 9.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0,
且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
三、解答题
10.已知函数f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的图象在x=2处的切线互相平行.
(1)求m的值；(2)设F(x)=g(x)-f(x).当x∈［1,4］时,F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范围.
习题答案
1．C 2．A 3. A 4．B 6．A 7．3 8．10、9 9．（-∞,-3）∪（0，3）10.（1）6 (2) t≤1
高考数学函数与方程的 思想方法 Last revised by LE LE in 2021
第4讲 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝n b ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元
函数与方程思想在高考中的应用 组长：潘云鹏 12033034 组员：夏炎 12304177 杨岑 12304154 张瑶 12304184 孙雪 12304013 高清华 12304196 谭博闻 12304159 郭志岩 12304143 刘春旭 12304009 函数与方程思想在高考中的应用
摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议. 一.函数与方程思想的概念 1.函数思想 函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解．应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题．． 2.方程思想 方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解．许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、
深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理．两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径． 3.函数与方程思想的相互转化 很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的． 方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维． 二.函数思想在解题中的应用分析 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的
方程应用试题 姓名___________ 应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想 1．已知25A x mx n =-+，2 321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为 （2）函数与方程思想 3．若函数2 1 5m m y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m = 4．已知反比例函数k y x = 与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为 二．方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程 （1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． 34 C ．2 3 D ．2 7．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ， 则CE 的长________. 8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 AD AC 的值为( ) ． A ． 1 2 B ．51- C ．1 D ．51+ 9．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值 （3）圆与方程思想 通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程 10．如图，ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为 11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A ′ G D C 6题 第7题 F A D O E B C E B O 第10题 O B A P D 第11题 第8题
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用 摘要 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，数和形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常的直观形象，另一方面，一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更丰富、更精确、更深刻，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。 数形结合包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，在高中阶段用的较多的是以形助数。数量关系如果能有效地结合图形，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，巧妙地应用数形结合的思想方法来处理一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，达到优化解题途径的目的，在选择题，填空题中，数形结合更能显示出其简捷的优越性。 关键词：数形结合思想方法应用解题
第一章 绪论 数学是研究现实世界中空间形式与数量关系的一门学科，故数学的研究是围绕数和形展开的，而数形结合的实质在于数量关系决定着几何图形属性，几何图形的属性反映着数量关系[1]。在现代数学研究中，数形结合既是一种常用的数学方法又是一种数学思想。由此可见，在高中阶段，掌握并熟练运用这一思想是十分必要的。本文针对数形结合思想的形成和演进，数形结合思想解题能力的培养，以及在高中数学解题中的应用范围和数形结合思想在解题中的实际应用做了浅显成述。
第二章数形结合思想的概述和历史演进 2.1数形结合思想的概述 数学的两个最古老、最普遍的研究对象是数、形，在某些条件的作用下，两者可以相互转化。中学数学研究的对象可以分为数和形两大部分，数与形的联系则称作数形结合，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面[1]。以形助数，即借助形的直观性来阐明数之间的关系；以数助形，即借助数的精确性来阐明形的某些属性。 2.2数形结合思想的历史演进 随着时间的推移，数学得到了不断的拓展和充实，数学中最原始的研究对象数与形也在不断地变化，从最初因需要而产生数到欧几里德撰写的《几何原本》，再到从笛卡尔创立平面直角坐标系到近、现代数学研究，数形结合一直伴随其行。在古希腊数学时期，毕达哥斯拉学派在研究数学时，就借助形来归纳数的性质，这便是早期的“数”与“形”结合的体现。 数轴的建立使人类对数与形的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可视为点，点可当作数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算可以几何化。1637年，笛卡尔在其《几何学》中，首次提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有数的代数方程来表示和研究曲线[2]。笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系，把有序数对) P与平面上的点 x , (y 一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程组的解集一一对应起来。于是就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数的研究。
数学思想方法的简单应用（1） 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 1.证明：若 则为整数． 解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得 ，于是此时(1)式的值等于－4． 若x＋y＋z＋t≠0，则 由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4． 2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=． （1）求a、b的值及函数f（x）的解析式； （2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
高中数学竞赛专题一函数与方程思想 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路． 和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。 一、考点回顾 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的． 如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的 在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用
函数与方程思想在初中数学解题中的应用 张猛 【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。 关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例 数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。 一：函数与方程思想的地位与作用 函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。 目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用
的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。 本文例析函数与方程思想在解题中的应用: 二：函数与方程思想的应用案例 通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。 1 求代数式的值 例1 已知 22a b ==求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。 解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。 当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=； 当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得 ∴ 原式=1?11=11。 解题反思：此题若将a ,b 的值分别代入所求式中计算，显然运算过程很麻烦。观察发现，所求式中两个括号内的二次项系数之比与一次项系数之比相等，因此可先算出a +b =4,ab =1.利用根与系数的关系构建一元二次方程，这样解起来就简便多了，体现了方程思想的简捷性。 2 解应用问题 例2 某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂同时加工这批产品。已知甲厂单独完成加工任务比乙厂单独完成加工任务多用20天，而乙厂每天比甲厂多加工8件产品。公司每天需付甲厂加工费800元，每天需付乙厂加工费1200元。 （1）甲、乙两个工厂每天各加工多少件新产品？ （2）请你计算两厂合作完成加工任务公司所付费用。 解：（1）设甲厂每天加工x 件新产品，则乙厂每天加工（x +8）件。 依题意得方程 960960208x x -=+。
函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； (4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题是_____________ 解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*) 作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不
浅谈初中数学中的方程教学与方程思想 方程是数学发展史上的一个重要里程碑.它可以包容和展示丰富的数量关系，使数学语言有了质的飞跃；用等式作为数学思维的工具，对不同结构形式的方程，人们逐步探索出一套分类处理解方程的方法.正是源于解决数学问题的需求意识发展，人类才创造出方程这一璀璨的数学明珠.今天，课改教材遵循知识的历史发展观：阐明形成方程知识的背景，强调数学思维发展依赖数学工具、语言的功能创新；重视等式变形意义：解方程所采用的数学法则、方法和程序，不仅是学生对方程类型辨识和结构分析，而且又是对数学本质和意义理解的感悟，更是数学化归思想、优化意识在解题对策中的思辨.教材编写意图，旨在让学生体验：方程建模是解决实际问题的有效手段，它是小学后数学新思维、新语言、新方法、新功能的发展. 一、重视方程解法的教学 （一）引导学生探究并理解方程的解法原理 要让学生把方程解法掌握得更好、更牢固，而不是空中楼阁，就必须让学生理解方程的解法原理。一元一次方程解法原理是等式基本性质；一元二次方程按其解法不同其解法原理有两个，直接开平方法、配方法，公式法的解法原理是平方根的定义即若则叫做的平方根，即；因式分解法的解法原理是若则；二元一次方程组解法原理是通过等量代换进行消元转化成一元一次方程来解 （二）进行适量的解方程（组）的训练，让学生形成较稳定的解方程（组）的能力
解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组的能力是新课程标准规定的初中阶段的学生必须掌握的一项基本技能，要形成熟练的解方程（组）的能力，适当的训练是必须的，而且在训练时，选题应该典型有代表性，全面有覆盖性。 （三）适时归纳解方程（组）基本步骤和基本思路。在训练的基础上，适时对解方程（组）的基本步骤和基本思路进行归纳，可以使学生站在更高的层次上理解方程解法和思路，掌握得会更好、更牢固。例如解一元一次方程的基本步骤是①有分母去分母；②有括号去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；处理方程或方程组的基本思路是：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化，总而言之一句话，消元降次简单化。 二、重视方程应用题的教学 （一）用方程来解决问题是初中数学学习的重点、难点。《新课程标准》对方程提出了这样的要求“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”，因此对于方程的应用，也应当成为教学的一大重点，对绝大多数学生来说学习方程的一个重要原因就是能够应用它解决问题，包括数学的问题和非数学的问题。列方程（组）解应用题，是初中数学的一个难点，许多学生怕应用题，主要是他们理不清纷繁复杂的数量及其关系，或者难以将实际问题数学化，因而列不出正确的方程，教学中要把握这个重点，设法破解这个难点。 （二）重视教会学生审题和寻找相等关系的方法
方程思想 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。 1. 要具有正确列出方程的能力 有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。 2. 要具备用方程思想解题的意识。 有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。 3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。 例题分析 例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k 元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k 的值。 分析：可以设商店第一次购进x 盘录音带，则第二次购进2x 盘录音带。根据题意，列出方程： ()()(x x k x x x k x x x k +? =?+?+?= +??≠=23163221 4 120%)326366 5 019 解这个方程：两边除以，得： 答：k 的值是19。 小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x 是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x 以后可以方便我们解题。 例2：?ABC AB AC 中，，=以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于F ，DE 切半圆于D ，交AC 于E ，若AB ：BC ＝5：6，且AF ＝7，求CE 的长。 解：连结AD 、FD 。 AB 是直径 ∴∠=? =∴∴=ADB AC AB D BC CD BD 90 是中点
高中数学数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2 =++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<
函数与方程的思想方法 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个 领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ) (x f y=，当0 = y时，就转化为方程0 ) (= x f， 也可以把函数式 ) (x f y=看做二元方程0 ) (= -x f y，函数与方程这种相互转化的关系十 分重要。 函数与表达式也可以相互转化，对于函数 ) (x f y=，当0 > y时，就转化为不等式 ) (> x f，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。 函数 ) ( ) ( ) (* N n bx a x f n∈ + =与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比 较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。 第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等； 第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题； 第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等； 第四层次：构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”
专题01 函数与方程思想 思想方法诠释 1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想． 2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想. 【典例讲解】 要点一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [解析] (1)当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2 －1. 设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝????t －a 2＋1＝????t －t ＋ln t 2＋1＝????t 2－ln t 2 ＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为3 2，故选D. (2)因为函数f (x )＝log 3(9x ＋t 2)是定义域R 上的增函数，且为“优美函数”，则f (x )＝x 至少有两个不等 实根，由log 3(9x ＋t 2)＝x ，得9x ＋t 2＝3x ，所以(3x )2－3x ＋t 2＝0有两个不等实根．令λ＝3x (λ>0)，则λ2－λ＋t 2 ＝0有两个不等正实根，所以????? Δ＝1－4t 2>0，t 2>0， 解得－12 函数与方程习题 1.下列函数中有2个零点的是 ( ) (A) lg y x = (B) 2x y = (C) 2 y x = (D) 1y x =- 2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( ) (A)至少有一个零点 (B)只有一个零点 (C)没有零点 (D)至多有一个零点 3.若[],a b 函数()f x 在上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( ) (A)一定没有零点 (B)至少有一个零点 (C)只有一个零点 (D)零点情况不确定 4.若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +?? > ??? ．则 ( ) (A) ()f x 在, 2a b a +? ?????上有零点 (B) ()f x 在,2a b b +?? ???? 上有零点 (C) ()f x 在, 2a b a +? ?????上无零点 (D) ()f x 在,2a b b +?? ???? 上无零点 5.已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若()()120g x g x <，则 ( ) (A) 1x ，2x 介于3x 和4x 之间 (B) 3x ，4x 介于1x 和2x 之间 (C) 1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻 (D) 1x ，2x 与3x ，4x 相间相邻 6.设函数???-∞∈-+∞∈-=) 1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41 )(-x f 的零点是____________ 7.已知关于x 的一元二次方程2x 2 +px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是____________ 8.函数y=-x 2 +8x-16在区间[3,5]上零点个数是__________ 9.已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表： 浅谈数形结合思想在解题中的应用 摘 要：本文主要探讨了数形结合思想在中学学生思维中的形成过程以及在中学数学的几方面的应用，如集合、函数、解方程与不等式、解析几何以及三角函数． 关健词：数形结合；数学思想 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，来解决一类数学问题的一种思想方法．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，也就是代数与图形之间的相互转化，使代数问题几何化，几何问题代数化．同时把握好数形结合思想，有助于中学生空间思维的形成． 数形结合是数学解题中常用的思想方法，无论是在平时的数学应用中，还是在高考都起到了重要的指导作用．因此中学生掌握好数形结合思想是有重要意义的． 既然如此，那中学生要如何掌握这种思想方法呢？在哪些地方可以用数形结合呢？本文就围绕这两个方面展开，进行谈讨． 一、如何在中学生的思维中建立数形结合思想 这部分内容是在我们老师在平时的授课过程中完成的．首先，就是在我们平时老师的授课时，对于一些概念的几何意义要让学生彻底理解，要让学生达到能要自己的大脑中根据几何意义把图形画出来的效果，同时也能在不同的条件下准确地将图形画出．其次，是在平时练习中，凡是能用数形结合思想来解决的问题，老师都应提出并引导学生用这种思维方法去解决，从而加深学生对相应知识的掌握，进一步步在学生的思维中建立数形结合的思想模型．最后，就是在学生平时自己做练习时，若出现了此类问题的，则要求学生试着用数形结合思想方法来解决问题，从而更进一步地在学生思维中树立数形结合思想． 二、下面就分析数形结合思想在几个知识面上的应用． 1． 数形结合思想解决集合问题上的应用 此类问题在平时的练习中都会出现,而数形结合思想却是解题中所使用的重要思想,往往能够提高我们做题的速度和正确率.对于选择题中的集合问题往往我们都用数轴和维恩图结合”数”来解决;而对于后面的解答题,常常都会出现较为复杂的图形,但都会借助坐标轴、图形以及题意,即数形结合来解决问题.如: 例1：(2005年天津高考)设集合S={}8|{},3|2||+<<=>-a x a x T x x R T S = ，则a 的取值范围是( ) A -3 难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，数学中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●难点磁场 1.（★★★★★）关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 . 2.（★★★★★）对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0) （1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点； （2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx + 1 212 +a 对称，求b 的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=log m 3 3 +-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1） ?>+-03 3 x x x ＜–3或x ＞3. ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有 0) 3)(3() (6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数. ∴??? ???? -=+-=-=+-=) 1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 勾股定理 （外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约 2000字） 勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。 这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家 毕达哥拉斯。毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。 虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡 献。据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。后 来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的 追随者。他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。因此 理的，他们就尝试了知识压制。它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。 毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。毕达哥拉斯定理指出, 对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和 根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和 A 和B ,等于蓝色的正方形面积，正方形三区 他在数学上有许多贡献, 2的平方根被认为是不合 2 Area Square B =b Area Square C = / 的数字显示。 在广场的地方就可以表现在两个不同的方式: 1。由于两个长方形和正方形面积的总和: 2。作为一个正方形的面积之和四个三角形: 2 2 /ab\ 2 (a +b) = c 1= c + 2ab 因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是: 2 2 2 a +b = c 对于一个直角三角形的边长 a ，b 和c . 其中c 是斜边长度。 虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理, 但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉 斯早一千年。现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。 如果用欧几里德的算法使用, 很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容: "一个大广场边a+ b 是分成两个较小的正方形的边 a 和 b 分别与两个矩形 A 和B ,这两个矩形各 可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线 c 。四个三角形可安排在另一侧广场 a+b 中函数及方程思想习题
浅谈数形结合思想在解题中的应用
函数方程思想
数形结合思想在解题中的应用外文文献翻译
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