梯度下降法和梯度的关系

梯度下降法和梯度的关系

关于梯度下降法不做解释，网上有很多讲解。

这里只讨论梯度下降法和梯度之间的关系，先让我们了解一下导数、偏导数、方向导数、和梯度的概念。

导数：定义就不讲了，含义：一元函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。几何意义：一元函数曲线在这一点的斜率。

偏导数：针对多元函数而言，一个多元函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（沿某一坐标轴方向的导数）。

方向导数：每一个变量的偏导数乘以方向余弦（在解析几何里，一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。）的和。

梯度：表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

好的，看完了这些定义，我们发现梯度是定义在方向导数的基础上的，而梯度下降法只求了偏导。刚开始这还真的有点困扰我。其实问题的关键在于梯度下降法是对损失函数求梯度，这些损失函数都是一元函数。而对于一元函数而言，梯度、导数、偏导数、方向导数是统一的。

VB梯度下降算法

VB梯度下降算法 function grad_ascent(x,y,z,px,py,N,mu,xstart,ystart) xga(1)= xstart; yga(1)= ystart; zga(1)=func(xga(1),yga(1)); for i=1:N gradx = ( func(xga(i)+eps,yga(i))-func(xga(i),yga(i)) )/eps; grady = ( func(xga(i),yga(i)+eps)-func(xga(i),yga(i)) )/eps; xga(i+1) = xga(i) + mu*gradx; yga(i+1) = yga(i) + mu*grady; zga(i+1)=func(xga(i+1),yga(i+1)); end hold off contour(x,y,z,10) hold on quiver(x,y,px,py) hold on plot(xga,yga) S = sprintf('Gradiant Ascent: N = %d, Step Size = %f',N,mu); title(S) xlabel('x axis') ylabel('yaxis') DEMO clear print_flag = 1; width = 1.5; xord = -width:.15:width; yord = -width:.15:width; [x,y] = meshgrid(xord,yord); z = func(x,y); hold off surfl(x,y,z) xlabel('x axis') ylabel('yaxis') if print_flag, print else, input('Coninue?'), end [px,py] = gradient(z,.2,.2); xstart = 0.9*width;

梯度下降法求函数极小值

%%%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数极小值%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数：f(x,y)=(x-2)^2+(y-4)^2 % 目的：求极小值和对应的极小值点坐标 % 方法：梯度下降法 % 理论： % 方向导数：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的，有必要研究函数沿任一指定方向的变化率。 % 函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分，那么函数在改点沿任一方向l的方向导数存在，其值为： f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β)，其中，cos(α)，cos(β)是方向l % 的方向余弦。 % 梯度：是与方向导数有关联的另一个概念，梯度是一个向量，表示为：f'x(x0,y0)*i+f'y(x0,y0)*j。 % 关系： % f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β) % =grad f(x0,y0)*el % =|grad f(x0,y0)|*cos(θ)，其中el=（cos(α)，cos(β)）是与方向l同方向的单位向量。 % 变化率：函数沿某个方向的变化率指的是函数值沿这个方向变化的快慢。 % θ=0，el与梯度同向，函数增加最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模；% θ=π，el与梯度反向，函数减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值； % θ=π/2，el与梯度方向正交，函数变化率为零； %% clear

syms x y b f=2*(x-2)^2+(y-4)^2; %求解函数的极小值点 Grad=[diff(f,x),diff(f,y)]; %求梯度 eps=1e-3; v=[x,y]; v0=[0,0]; Grad0=subs(Grad,v,v0);%求V0的梯度值 M=norm(Grad0);%梯度的模，方向导数 n=0; %% while n<=100 d=-Grad0;%寻优搜索方向 fval=subs(f,v,v0);%函数值 %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求出最优步长，然后确定下一刻的坐标点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %设步长变量为b,将v0=v0+b*d带入函数，求导，令导数等于零，解出最佳步长b1,此为一维寻优。得到下一刻坐标点v0=v0+b1*d ft=subs(f,v,v0+b*d);%将步长变量带入函数 dft=diff(ft);%求导 b1=solve(dft);%得到该方向的最优步长

浅谈梯度下降法

浅谈梯度下降法 前些时间接触了机器学习，发现梯度下降法是机器学习里比较基础又比较重要的一个求最小值的算法。梯度下降算法过程如下： 1）随机初始值0a ； 2）迭代k k k k s a a α+=+1，直至收敛。k s 表示在k a 处的负梯度方向，k α表示学习率。 在这里，简单谈一下自己对梯度下降法的理解。 首先，要明确梯度是一个向量，是一个n 元函数f 关于n 个变量的偏导数，比如三元函数f 的梯度为(f x ,f y ,f z )，二元函数f 的梯度为(f x ,f y ），一元函数f 的梯度为f x 。然后要明白梯度的方向是函数f 增长最快的方向，梯度的反方向是f 降低最快的方向。 我们以一元函数为例，介绍一下梯度下降法。 设f(x) = (x-1)2+1/2， 上图给出了函数f 的图像和初始值x 0，我们希望求得函数f 的最小值，因为沿负梯度方向移动一小步后，f 值降低，故只需x 0沿着负梯度方向移动一小步即可。 而f 在点x 0的导数大于0，从而f 在点x 0的梯度方向为正，即梯度方向为f ’(x 0)，

故由梯度下降法可知，下一个迭代值))('(0001x f x x -?+=α，也就是说x 0向左移动一小步到了x 1，同理在x 1点的导数同样大于零，下一次迭代x 1向左移动一小步到达x 2，一直进行下去，只要每次移动的步数不是很大，我们就可以得到收敛1的解x 。 上述证实了我们对分析（蓝色倾斜字体）的验证。 同样，如果处置选在了最小值的左边，即如图所示： 由于f ’(x 0)<0，所以梯度方向为负，负梯度方向为正，故需将x 0沿负梯度方向移动一小步，即向右移动一小步，这样使得f 值更小一些。或用梯度下降法迭代公式))('(1k k k k x f x x -?+=+α，依次我们可以得到如图所示的x 1,x 2,...,x k ,...，直到收敛至最小值。 对于二元函数，我们也可以通过实例验证梯度下降法的合理性：

四元数姿态的梯度下降法推导和解读

四元数姿态的梯度下降法推导和解读 笔者前面几篇文章讨论的是基于四元数的互补滤波算法，并单独对地磁计融合部分做了详细的讨论和解释。而本文讨论的姿态融合算法叫做梯度下降法，这部分代码可以参见Sebastian O.H. Madgwick在2010年4月发表的一篇论文（An efficient orientation filter for inertial andinertial/magneticsensor arrays），这篇论文利用四元数微分方程求解当前姿态，然后分别利用加速度计和地磁计进行补偿，推导出两种姿态融合算法。两种算法均为梯度下降法，而其中地磁计的处理方式笔者已经在《四元数姿态解算中的地磁计融合解读》一文中详细讨论了，这里笔者将对Madgwick对于加速度计和地磁计的梯度下降法做出详细的解释，期间一定有个人不足的地方，仅供参考，希望和各位网友一起学习！ 首先来谈谈什么是梯度。维基百科中解释的是“标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。”很显然，梯度和变化率有关。现在我们引入标量函数f(x)，对标量函数f(x)求导，不难得到f’(x)就是梯度，就是曲线在某一点的斜率。梯度下降法就是我们顺着这个在某一点下降速度最快的反方向一直走，走到一个极值点，这个点就是最优解（稳定解）。 那么这个梯度的概念和我们的姿态解算有什么关系？ 我在前面的文章中已经说明：我们求解姿态就是求解的转换矩阵（矩阵元素就是四元数）。这个转换矩阵是有误差的，我们所要做的工作就是采用某种算法，消除误差，最后得到的解就是我们的近似精确解，也就是姿态四元数了。消除误差四个字，在实际的实现过程中，是通过误差函数来实现的。定义误差函数ef(x)，那么我们的工作就是令ef(x)=0，求解上述方程得到x的值。我们在求解高阶方程的时候，一般的方法就是求导，求极值点，根据这些值来判断精确值个数和位置。这是我们高中所学习到的知识，在这里是一样的。只不过，这里的误差函数ef(x) 不再是之前讨论的简单的标量函数了，他的自变量x变成了向量[q0 q1 q2 q3]。这也就是说，原先的标量函数ef(q) 变成了如今的标量函数ef([q0 q1 q2 q3]) ，他仍然是标量函数，但是自变量是向量[q0 q1 q2 q3]。 对上述自变量是向量的标量函数，我们要用梯度法求解，就必须求导。标量函数对向量求导很简单，只需要分别对向量中的各个变量求偏导即可： 但是，我们的姿态解算是三维姿态，不是一维姿态，所以，这里的ef(q)并不是一个标量函数，实质上是一个向量函数ef ( q )，这个向量函数里面有三个元素，分别对应xyz轴的三个分量，每个分量又由一个四元数向量q构成。那么现在就引入了一个较为复杂的误差函数ef ( q )，该误差函数不光自变量是一个向量，并且因变量也是一个向量，这种函数叫做多元向量函数。那么我们现在的问题就转化为求多元向量函数的极值问题。 针对上述极值问题，在计算机中，多采用数值解法，如最速下降法、牛顿法、共轭梯度法。我们这里讨论就是第一种算法，又叫做梯度下降法。PS：梯

梯度下降法理论及部分代码实现

梯度下降法 梯度下降法是一种最优化算法，常用来优化参数，通常也称为最速下降法。 梯度下降法是一般分为如下两步： 1）首先对参数θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量； 2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。 以一个线性回归问题为例，应用libsvm 包里的数据heart_scale.mat 数据做测试。假设要学习这么一个函数： +++==22110)()(x x x h x h θθθθ 那么损失函数可以定义成： 2||||2 1)(Y X J -=θθ （1） 其中X 看以看成一行一行的样本向量，那么Θ就是一列一列的了。目标很简单，就是求损失J 最小值时候的解Θ： 先直接求导，对于求导过程，详解如下： 首先定义损失变量： ∑=-=n j i j ij i y X r 1θ 那么损失函数就可以表示成： ∑==m i i r J 1 221 一步一步的求导： ∑=???=??m i j i i j r r J 1)(θθ 再求： ij j i X r =??θ 那么把分步骤合起来就是： ∑∑==-=??m i ij n k i k ik j X y X J 11 )(θθ 令导数为0，求此时的Θ，整理一下，有： ∑∑∑====m i m i j ij n k k ik ij y X X X 111^θ 用矩阵符号将上面的细节运算抽象一下： 0=-=??Y X X X J T T θθ

让导数为0，那么求得的解为： Y X X X T T 1)(-=θ 求解矩阵的逆复杂度有点儿高，可以用梯度下降来求解： ][)()(1111Y X X X J J T i T i i i i --=??-=?-=----θγθθ θγθθγθθ （2） 其中γ就是下降的速度，一般是一个小的数值，可以从0.01开始尝试，越大下降越快，收敛越快。 迭代终止的条件取： εθθ<--||||1i i 部分代码如下： w_old=zeros(size(X,2),1);%%初始化参数w k=1; while 1 minJ_w(k) = 1/2 * (norm(X*w_old - Y))^2; %%损失函数 公式(1) %%norm 默认为L2标准化 w_new = w_old - gamma*(X'*X*w_old - X'*Y);%%梯度下降公式 %%公式（2） if norm(w_new-w_old) < epsilon %%终止条件 W_best = w_new; break ; end w_old = w_new; k=k+1; end 实验结果：

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法 （参见：神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化） 优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点，这里讨论的是迭代的方法 梯度下降法 首先，给定一个初始猜测值 ，然后按照等式 k k k k ΡαΧ+=X +1 （1） 或 k k k k k P =X -X =?X +α)(1 （2） 逐步修改猜测。这里向量 k P 代表一个搜索方向，一个大于零的纯量 k α 为学习 速度，它确定了学习步长。 当用 k k k k ΡαΧ+=X +1 进行最优点迭代时，函数应该在每次迭代时都减小，即 ) ()(1k k F F X

梯度下降法求函数极小值

%% %%%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数极小值 %%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数：f(x,y)=(x-2)^2+(y-4)^2 % 目的：求极小值和对应的极小值点坐标 % 方法：梯度下降法 % 理论： % 方向导数：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的，有必要研究函数沿任一指定方向的变化率。 % 函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分，那么函数在改点沿任一方向l的方向导数存在，其值为：f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β)，其中，cos(α)，cos(β)是方向l % 的方向余弦。 % 梯度：是与方向导数有关联的另一个概念，梯度是一个向量，表示为：f'x(x0,y0)*i+f'y(x0,y0)*j。 % 关系： % f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β) % =grad f(x0,y0)*el % =|grad f(x0,y0)|*cos(θ)，其中el=（cos(α)，cos(β)）是与方向l同方向的单位向量。 % 变化率：函数沿某个方向的变化率指的是函数值沿这个方向变化的快慢。 % θ=0，el与梯度同向，函数增加最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模； % θ=π，el与梯度反向，函数减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值； % θ=π/2，el与梯度方向正交，函数变化率为零； %% clear clc syms x y b f=2*(x-2)^2+(y-4)^2; %求解函数的极小值点

利用梯度下降法实现线性回归的算法及matlab实现

利用梯度下降法实现线性回归的算法及matlab实现 1.线性回归算法概述 线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，先给定一个训练集，根据这个训练集学习出一个线性函数，然后测试这个函数训练的好不好（即此函数是否足够拟合训练集数据），挑选出最好的函数（cost function最小）即可； 注意： (1)因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数； (2)线性回归可分为单变量线性回归和多变量线性回归；对于单变量线性回归而言，只有一个输入变量x； (1).单变量线性回归 我们能够给出单变量线性回归的模型： 我们常称x为feature，h(x)为hypothesis；上述模型中的θ0和θ1在代码中分别用theta0和theta1表示。 从上面“方法”中，我们肯定有一个疑问，怎么样能够看出线性函数拟合的好不好呢？我们需要使用到Cost Function（代价函数），代价函数越小，说明线性回归地越好（和训练集拟合地越好），当然最小就是0，即完全拟合。cost Function的内部构造如下面公式所述： 其中： 表示向量x中的第i个元素； 表示向量y中的第i个元素； 表示已知的假设函数； m为训练集的数量； 1

虽然给定一个函数，我们能够根据cost function知道这个函数拟合的好不好，但是毕竟函数有这么多，总不可能一个一个试吧？因此我们引出了梯度下降：能够找出cost function函数的最小值； 梯度下降原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快；当然解决问题的方法有很多，梯度下降只是其中一个，还有一种方法叫Normal Equation； 方法： (1)先确定向下一步的步伐大小，我们称为Learning rate(alpha)； (2)任意给定一个初始值：(用theta0和theta1表示)； (3)确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新； (4)当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降； 算法 ： 特点： (1)初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值； (2)越接近最小值时，下降速度越慢； 梯度下降能够求出一个函数的最小值； 2

梯度下降法-Gradient Descent

1. 梯度下降法(Gradient descent) 梯度下降法，通常也叫最速下降法(steepest descent)，基于这样一个事实：如果实值函数 f(x) 在点x 处可微且有定义，那么函数 f(x) 在 x 点沿着负梯度(梯度的反方向)下降最快。 假设x 是一个向量，考虑f(x) 的泰勒展开式： )(, )()())(()()()(12是方向向量为步长标量；其中k k k k k k k k k k k k k k k k d d x x x x x f x f x o x x f x f x x f αα=-=???+≈?+??+=?++ 如果想要函数值下降，则要()||()||||||cos (),0k k k k k k f x x f x x f x x ??=????<。如果想要下降的最快，则需要k k x x f ??)(取最小值，即cos (),1k k f x x =-，也就是说，此时x 的变化方向(k x ?的方向)跟梯度)(k x f ?的方向恰好相反。 那么步长如何选取呢？的确，很难选择一个合适的固定值，如果较小，会收敛很慢；如果较大，可能有时候会跳过最优点，甚至导致函数值增大；因此，最好选择一个变化的步长，在离最优点较远的时候，步长大一点，离最优点较近的时候，步长小一点。 k α小k α大k α变化的 一个不错的选择是||)(||k k x f ?=αα，于是牛顿迭代公式变为：)(1k k k x f x x ?-=+α，此时α是一个固定值，称为学习率，通常取0.1，该方法称为固定学习率的梯度下降法。 另外，我们也可以通过一维搜索来确定最优步长。 1.1 梯度下降法的一般步骤： Step1给定初始点0x ,迭代精度0 >ε，k =0. Step3 计算最优步长) (min arg k k k d x f ααα+=；

Logistic回归梯度下降法

Logistic回归学习材料 广义线性模型（generalizedlinear model） 这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。 ?如果是连续的，就是多元线性回归； ?如果是二项分布，就是Logistic回归； ?如果是Poisson分布，就是Poisson回归； ?如果是负二项分布，就是负二项回归。 Logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。 常规步骤 Regression问题的常规步骤为： 1. 寻找h函数（即hypothesis）； 2. 构造J函数（损失函数）； 3. 使J函数最小并求得回归参数（θ） 构造预测函数h Logistic回归实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为： 下面左图是一个线性的决策边界，右图是非线性的决策边界。

对于线性边界的情况，边界形式如下（n：特征个数；m：样本数）： 构造预测函数为： 函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为： 构造损失函数J J函数如下，它是基于最大似然估计推导得到的。 下面详细说明推导的过程： （1）式综合起来可以写成： 取似然函数为： 对数似然函数为：

最大似然估计就是求使取最大值时的θ，将取为下式，即： 因为乘了一个负的系数-1/m，所以取最小值时的θ为要求的最佳参数。 梯度下降法求的最小值 θ更新过程： θ更新过程可以写成： 更新过程向量化（Vectorization） 训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同特征的取值：

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法

(1) (5) 梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法 （参见：神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化） 优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点，这里讨论的是迭代的方法 梯度下降法 首先，给定一个初始猜测值 ，然后按照等式 逐步修改猜测。这里向量 ？ k 代表一个搜索方向，一个大于零的纯量 〉k 为学习 速度，它确定了学习步长。 当用 工k 二 X k a k P k 进行最优点迭代时，函数应该在每次迭代时 都减小，即 F （、 k 1 ■ F （二 k ） 考虑 的F （X ）在X k 的一阶泰勒级数展开: F （工 k J = F （乂 「 -< k ） （4） 其中， g T 为在旧猜测值X k 处的梯度 (2) * T" F(x)二 F(x) 'F(x) =*(X - x *) 1 (X - X * ) 2 2 F (x) (3) F (工 k ) g ： *

(1) (5) g k = ▽ F （x ） x=x k 要使 F （工 k -1V : F k ） 只需要（4）中右端第二项小于 0，即

T g T k k k k k （ 6） （6） 选择较小的正数:A 。这就隐含g ：P k o ° 满足g ：P k 0的任意向量成为一个下降方向。如果沿着此方向取足够小步长，函数一 定递减。并且，最速下降的情况发生在 g ： P k 最小的时候，容易知道，当P k = -g k 时g ：P k 最 小，此时，方向向量与梯度方向相反。 在（1式中，令P k =-g k ，则有 k 1 X k a k g k （ 7） 对于式（7）中学习速率的选取通常有两种方法：一种是选择固定的学习速率 ：“, 另一种方法是使基于学习速率 的性能指数或目标函数 F （X ki ）在每次迭代中最小化，即 沿着梯度反方向实现最小化： X k1 = X k -，k g k ° 注意: 1、对于较小的学习速度最速下降轨迹的路径总是与轮廓线正交，这是因为梯度与轮廓 线总是正交的。 2 、如果改变学习速度，学习速度太大，算法会变得不稳定，振荡不会衰减，反而会增 大。 3、稳定的学习速率 对于任意函数，确定最大可行的学习速度是不可能的，但对于二次函数，可以确定 一个上界。令特 征函数为： 1 X T AX d T X c 2 I F(X)二 AX d 代入最速下降法公式（7）中 X k 1 二 X k -a k g k 二 X k -ajAX k d) = (I -a k A ) X k -a k d ( 9) 在动态系统中，如果矩阵［I -aA ］的特征值小于 1则该系统是稳定的。可用赫森矩阵 A 的特征值来表示该矩阵的特征值，假设 A 的特征值和特征向量分别为 匚仆’2, 'n ［和 立,Z 2,…Z n 二那么 g F(x)二 (8) 那么梯度为

机器学习中的最优化方法(梯度下降法)

机器学习中的最优化方法（梯度下降法） 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。 梯度下降法（Gradient Descent） 梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示： 牛顿法的缺点： （1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示； （2）直线搜索时可能会产生一些问题； （3）可能会“之字形”地下降。

从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。 在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。 比如对一个线性回归（Linear Logistics）模型，假设下面的h(x)是要拟合的函数，J(theta)为损失函数，theta是参数，要迭代求解的值，theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。其中m是训练集的样本个数，n是特征的 个数。 （1）将J(theta)对theta求偏导，得到每个theta对应的的梯度：

随机梯度下降法概述

本节开始介绍第一个机器学习模型：线性回归模型（Linear Regression Model)。线性回归的目的是预测连续变量的值，比如股票走势，房屋的价格预测。从某种程度上说，线性回归模型，就是函数拟合。而线性回归，针对线性模型拟合，是回归模型当中最简单一种。形式化描述回归模型：对于给定的训练样本集包含N个训练样本{x(i)} 相应的目标值 {t(i)}}(i=1,2,....N)，我们的目的是给定一个新样本x 预测其值t，注意与分类问题不同是{t(i)}属于连续变量。 最简单的线性回归模型： (1) 其中，x={x1,x2,x3,...x D}，D个特征项，w={w1,w2,w3...w D}，被称为参数或者权重。线性回归模型的关系是求出w。 上面的公式可以简化为： (2) 其中Φj(x)被成为集函数，令Φ0(x)=1，则上式又可以写成： (3) 集函数的一般有多项式集函数，比如Gaussian集函数，Sigmoidal集函数。为方便出公式推导，我们假设：

最简单的集函数形式：Φj(x) = xj 为了求出模型参数（一旦w 求出，模型就被确定），我们首先需要定义出错误函数或者（error function)或者又被成为损失函数（cost function)，优化损失函数的过程便是模型求解的过程。 我们定义线性回归模型的损失函数： (4) 优化当前函数有很多方便，包括随机梯度下降算法（gradient descent algorithm）算法步骤如下： 1)随机起始参数W; 2)按照梯度反方向更新参数W直到函数收敛。 算法公式表示： (5) 其中，η表示学习速率(learning rate)。倒三角表示对损失函数求导，得到导数方向。对公式(4)求导后： (6)

R语言梯度下降法代码附解释

Advanced Statistical Analysis Homework 3 Due on Friday, December 2, 2016 Problem 1. Please interpret the R code below, and explain it in terms of mathematical derivations. 随机梯度下降法(stochastic gradient descent)和批梯度下降法(batch gradient descent)

随机梯度下降法和批梯度下降法是对于多样本迭代的两种策略，其中，随机梯度下降法是在每一次迭代中，随机的选择m个样本来求取的值，而批梯度下降法在每次迭代中，需要先求出所有样本的梯度值。相比之下，随机梯度下降法高效。 A. 随机梯度下降法： Repeat{ for i = 1 to m{ 对于每一个j进行操作 } } 这里的m为随机选择的m个样本。 B. 批梯度下降法： Repeat 直到收敛{ 对于每一个j进行操作 } 这里的m为整个样本数。需要先求出在本次迭代中整个样本关于j的导数和，再计算出，对于大样本，很耗时。 最小二乘法 A. 需要用到的公式 首先我们定义为一个m*n矩阵，它在(i,j)上的元素值为 。定义n*n的方矩阵A的迹trA为

我们可以证明trABCD = trDABC = trCDAB = trBCDA 同时，下面两个公式也可以证明： B. 最小二乘法求线性回归 对于m个样本，每个样本的n个特征值可以表示为一维列向量Xi，则m个样本，可以组成样本矩阵m*(n+1)，其中的1为常量参数： 这里每一行为一个样本的特征向量； 我们设Y向量为样本特征值对应的目标值，则： 由于，我们可以得到： 到这里，我们需要求X-Y的平方和，假设各个特征之间是相互独立的，则(X-Y)转置*(X-Y)可以得到除了对角线之外都为0的矩阵，而对角线上的值，为X-Y的平方值。

梯度下降法

梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的搜索方向，使得每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯度下降法是2范数下的最速下降法。 最速下降法的一种简单形式是：x(k+1)=x(k)-a*g(k),其中a称为学习速率，可以是较小的常数。 g（k）是x(k)的梯度。 直观的说，就是在一个有中心的等值线中，从初始值开始，每次沿着垂直等值线方向移动一个小的距离，最终收敛在中心。 对于某一个性能指数，我们能够运用梯度下降法，使这个指数降到最小。若该指数为均方误差，我们便得到了最小均方误差（LMS）算法。 https://www.doczj.com/doc/9b8106716.html,/kuai_su/youhuasheji/suanfayuanli/3.7.asp 多维无约束优化算法——梯度法 一、基本原理 通过变量轮换法、共轭方向法等的讨论，我们知道对多维无约束问题优化总是将其转化为在一系列选定方向进行一维搜索，使目标函数值步步降低直至逼近目标函数极小点，而方向的选择与迭代 速度、计算效率关系很大。人们利用函数在其负梯度方向函数值下降最快这一局部性质，将n维无约束极小化问题转化为一系列沿目标函数负梯度方向一维搜索寻优，这就成为梯度法的基本构想。据此我们将无 约束优化迭代的通式中的搜索方向取为负梯度向量或单位负梯度向量，即可分别得到两种表达形式的梯度法迭代公式 （1） （2） 式中，，分别为函数在迭代点处的梯度和梯度的模;两式中均为最优步长因子，各自分别通过一维极小化和 。

按照梯度法迭代公式(1)或(2)进行若干次一维搜索，每次迭代的初始点取上次迭代的终点，即可使迭代点逐步逼近目标函数的极小点。其迭代的终止条件可采用点距准则或梯度准则，即当 或时终止迭代。 二、迭代过程及算法框图 梯度法的具体迭代步骤如下: (l)给定初始点，迭代精度，维数n。 (2)置。 (3)计算迭代点的梯度 计算梯度的模 计算搜索方向 (4)检验是否满足迭代终止条件?若满足，停止迭代，输出最优解： ；否则进行下一步。 (5)从点出发，沿负梯度方向进行一维搜索求最优步长，使 。 (6)计算迭代新点。

利用梯度下降法的分类实现

. 模式识别 ` 题目利用梯度下降法的分类实 现 院系 专业班级 学生姓名 学号 二○一八年三月

1、问题重述 利用Matlab软件编写梯度下降法函数，利用该函数对以下三组数据进行分类1）数据一： 第一类：（0,0）（0,1） 第二类：（1,0）（1,1） 2）数据二： 第一类：（90,150）（90,160）（80,150）（60,140） 第二类：（60,105）（50,80）（50,90）（80,125） 3）数据三： 第一类：（0,0）（1,1） 第二类：（1,0）（0,1） 要求在以下不同情况下进行测试，并对结果进行对比分析。 1）初始权值取3种不同的值； 2）步长取不同的值，可以尝试变步长方法； 3) 采用单样本修正法和全样本修正法两种方式； 4) 单样本情况下不同的样本迭代次序，从1到n，和，从n到1。

2、算法流程 梯度下降法利用函数的极值原理来进行寻优，是一种常用的线性分类方法。 2.1算法特性 梯度下降法的运算结果和执行过程具有不定性，这是由算法本身特点所导致的。梯度下降算法往往会随着实验的重复展现不同的结果。最终的寻优结果与初始权值的选择和样本数据的迭代顺序有关。此外，在使用梯度下降法之前最好首先确定所求结果的大致位置，这样可以缩短运算时间，提高运行效率和准确程度。 2.2定步长与变步长 梯度下降的步长直接影响着算法的效率。合理选择步长dt可以极大的减轻运算压力，提高算法的精度。常用的固定增量法是按定步长的方式进行运算的，每次迭代算法以同样的速率前进，直到找到最优结果。 随着运算次数的增加，权向量越来越接近最优结果，此时适当的减小步长，可以提升算法的运行效率。除了定步长方式，本次作业还选择了线性变步长的算法，即dtk+1=a*dtk。根据黄金分隔定律，将a选为0.618，以此实现变步长的梯度下降法。 2.3固定增量法 固定增量法是一种代表性的梯度下降法，它的核心是迭代运算。每次迭代利用误分类的数据修正权向量，直到权向量满足要求或者算法运行时间达到上限。 根据修正方法的不同，固定增量法又分为单样本修正法和批量修正法。 单样本修正法是每出现一个误分类的样本就修正一次权向量。而批量修正法则是将所有样本数据都计算一次后，再根据误分类的样本修正权向量，之后再进入下次迭代。 单样本修正算法和批量修正算法的核心流程如下图所示。