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指数函数及其性质导学案

指数函数及其性质导学案

指数函数及其性质导学案

2.1.2 指数函数及其性质（学案）

（第1课时）

【知识要点】 1.指数函数；

2.指数函数的图象；

3.指数函数的单调性与特殊点【学习要求】

1.理解指数函数的概念与意义；

2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点；

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）

1.指数函数的概念

（1）函数x

y 073.1=与x

y )2

1(=的特点是 .

（2）一般地，函数x a y =（）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象 x x y 2= x

y )

2

1(=

图象

x y 2=

x

y )

2

1(=

2-

5.1-

1-

5.0- 0 5.0

1

5.1

2

（2）两个图象的关系

函数x

y 2=与x

y )2

1

(=的图象，都经过定点，它们的图象关于对称.

通过图象的上升和下降可以看出，是定义域上的增函数，是定义域上的减函数.

（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：

10<a

定义域值域

【基础练习】

1.指出下列哪些是指数函数

（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=；

（6）24x y =；（7）x x y =；（8）)12

3.求下列函数的定义域及值域：（1）3

-=x a y ；（2）x

4.下列关系中正确的是（）.

（A ）313232)21()51()21(<< （B ）32

（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)2

【典型例题】

例 1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，

例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5

1.函数b x a a a y +?+-=)33(2是指数函数，则有（）. （A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且

2.若函数)(x f 与x

1()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（）.

（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1

x x y 的定义域是（）.

（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R

4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2

∈==x x y y B ，则（）.

（A ）B A ? （B ）B A ≠

? （C ）B A = （ D ）Φ=B A

a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）. （A ）0

6. 函数13-=-x y 的定义域和值域分别为 .

7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 .

8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的倍（精确到01.0）.

9.（1）比较21)54(与31

(的大小并说明理由.

b a =且1>b ，比较a a -与b b 2-的大小.

10.已知函数b a

+=2)(的图象过点)3,2

（1）求)(x f 的解析式；（2）画函数)(x f y =的图象；

1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的

，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？

2.1.2 指数函数及其性质（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.

2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单

调性和特殊点.

3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.

【重点】指数函数的概念和性质.

【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）

1.指数函数的概念

（1）函数x y 073.1=与x

1(=的特点是解析式都可以表示为x a y = 的形式 . （2）一般地，函数x

a y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象 x x y 2= x

5.0- 70711.0 414.1 0 1 1 5.0 414.1 70711.0

25.0 （2）两个图象的关系

1(=的图象，都经过定点 )1,0( ，它们的图象关于y 轴对称.通

过图象的上升和下降可以看出， x

y 2=是定义域上的增函数，x

(=是定义域上的减函数.

（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：

值域 ),0(+∞

过定点)1,0(，即0=x 时，1=y

在R 上时减函数

在R 上时增函数

【基础练习】

1.指出下列哪些是指数函数

（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x

y π=；（6）24x y =；（7）x x y =；（8）)12

()12(≠>-=a a a y x

且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）. 2.作出x

解：?????<≥==-0

3.求下列函数的定义域：（1）3

解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞. （2）要使式子有意义，则需要x x 22

-为实数，因此，定义域为R . （3）要使式子有意义，则需要

-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（ D ）.

3232)21()51()21(<< （B ）32

)21()21()51(<< （D ）31

【典型例题】

例 1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，

【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a 就可以了. 解：因为x a x f =)(得图象经过点),3(π，所以

π=)3(f ，即π=3a

1π=a ，于是3

)(x x f π=. 所以，1)0(0

【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.

例2 比较下列各题中两个值的大小：

【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数解：（1）5

.1，37.1可看作函数x

y 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函

y 7.1=在R 上是增函数.

因为35.2<，所以35

（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.

因为2.01.0->-，所以2.01

.0--<. （1）由指数函数的性质知 17.17

【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，

或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.

1.函数b x a a a y +?+-=)33(2是指数函数，则有（ C ）. （A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且

2.若函数)(x f 与x

1()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ C ）.

（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1

x x y 的定义域是（ B ）.

（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R

4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2

∈==x x y y B ，则（ A ）.

（A ）B A ? （B ）B A ≠

? （C ）B A = （ D ）Φ=B A

a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B ）. （A ）0

6.当]1,1[-∈x 时，函数x x f 3)(=的值域是 ]3,3

1[ . 7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 )1,2( .

8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 47.1 倍（精确到01.0）.

9.（1）比较21)54(与31

(的大小并说明理由.

b a =且1>b ，比较a a -与b b 2-的大小.

解：（1） 21)54(与31

(底数不同，指数也不同，

∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31

x y = 在+∞,0(）上是增函数

()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数， 31

b a = ∴只需比较22b b

b b b >∴>2,1 ，即b b 222-<-

b y =是增函数，b b b b 222

--<∴，即b a b a 2--<

10.已知函数b a

+=2)(的图象过点)3,2

(1) 求)(x f 的解析式；

(2)画函数)(x f y =的图象；

解：（1）由题意知：21)0(,3)2

(=+==+=b f b a f ，

1412)(2+=+=∴x x x f

1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的

，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？

解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则经过第一次漂洗，4

1)431(?=-=a a y ，经过第二次漂洗，2)4

=a a y …… ……

经过第x 次漂洗，x a a y )4

1(......4141?=??= 若使存留污垢不超过原来的%1，

即%1?≤a y ，

1. 至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%

2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案

第四节指数与指数函数突破点一指数幂的运算 [基本知识] 1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N * .式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示 x n ＝a ??? ? x ＝ n a 当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a 当n 为偶数且n >1时. 2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 负分数指数幂：a － m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质 a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q) (a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1) 4 －a 4 ＝－a .( ) (2)(－a )24 ＝(－a )12 ＝－a .( ) (3)(n a )n ＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．计算：π0 ＋2－2 ×? ?? ??2141 2＝________.

答案：118 2．设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析： a 2 a ·3 a 2 ＝ a 2a ·a 23 ＝ a 2a 53 ＝ a 2 a 51×32 ＝a 2 ·a - 56 ＝a - 526 ＝a 76 . 答案：a 76 3．若2a －12 ＝ 3 1－2a 3 ，则实数a 的取值范围为________．解析： 2a －1 2 ＝|2a －1|， 3 1－2a 3 ＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤1 2. 答案：? ????－∞，12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A ．1 B ．a C ．a 1 5 D ．a 1710 (2)? ????2 350＋2－2·? ????2 14-1 2－(0.01)0.5 ＝________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4＝ a 3 a 1 2 ·a 45 ＝a 143--25 ＝a 1710 .故选D.

幂函数、指数函数及其性质

第8课幂函数、指数函数及其性质【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3 y x =，1 y x =，1 2y x =的图像了解它们的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值1 2 -． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2 ．【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1）0.2 0.4 ，0.20.2 ，0.2 2 ， 1.6 2；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，1 21 ()3 ．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1） 0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111 32 2111()()()223 >>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值；

指数函数及其性质教学设计

一、标题与单位指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2）建宁一中肖秀勇二、教学设计（一）内容和内容解析本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。（二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。（三）教学问题诊断分析

指数函数及其性质教案

指数函数及其性质教案课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A 版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I ）,2.1.2指数函数及其性质教学目标 1. 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 2. 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 3. 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。教学重点﹑难点重点：指数函数的概念和图像难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质教学流程设计（一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数)0()2 1 (5730≥=t P t 的解析式与问题1中函数 )20,(073.1* ≤∈=x N x y x 的解析式有什么共同特征？师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到x a y =的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 3.剖析概念（1）规定底数a 大于零且不等于1的理由：如果a =0，?????≤>无意义时，当；恒等于时，当x x a x a x 000 如果,2 1 ,41,)4(,0= -=

人教新课标版数学高一必修1学案 2.1.2指数函数及其性质(二)

2.1.2指数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a对函数图象的影响．基础自测 1．下列一定是指数函数的是() A．y＝－3x B．y＝x x(x>0，且x≠1) C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x 2. 指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则() A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．01 D．02 C．－1

规律方法比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较????4313，223，????－233，????3412的大小．解简单的指数不等式【例2】如果a 2x ＋1≤a x － 5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－ x ，则x 的取值范围是____________．指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．

指数与指数函数复习学案

指数与指数函数复习学案（解析篇）【高考要求】指数函数（B ）【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用（课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾）一、根式 1．根式的概念 2．两个重要公式 (1)n a n ＝??? a ， n 为奇数， |a |＝? ???? a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数； (2)(n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)．二、有理数指数幂 1．幂的有关概念 (1)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．

三、指数函数的图象和性质函数 y ＝a x (a >0，且a ≠1) 图象 0 1 图象特征在x 轴上方，过定点(0,1) 性质定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性减函数增函数函数值变化规律当x >0时，y >1 当x <0时，y >1；当x >0时，0

10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案

技能训练（十）指数与指数函数序号：NO.10 日期：2019.12.19 【考纲传真】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13 的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．【知识通关】 1．根式 n 次方根概念如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的__________，其中n ＞1，n ∈N * 表示当n 是_______时，a 的n 次方根x ＝n a 当n 是_______时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根 0的任何次方根都是__，记作n 0＝0 根式概念式子n a 叫做______，其中n 叫做________，a 叫做_________ 性质 (n a )n ＝__ 当n 为奇数时，n a n ＝__ 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝___________ 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂

①正分数指数幂：a m n ＝_____ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a -m n ＝_______＝_______ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝_______ (a＞0，r，s∈Q)； ②(a r)s＝_____ (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝______ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R 值域_________ 性质过定点______ 当x＞0 时， ______；x ＜0时， ________ 当x＞0时，________；x＜0时，_______ 在R上是 _______ 在R上是_______ 【题型全通】 [题型一]指数幂的化简求值

3.1《指数函数的图像和性质》教学设计

§3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计一、教学指导思想与理论依据通过学习新课标和新的教育理念，我深深感受到：在中学数学的教学过程中，不仅要重视让学生掌握知识，更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程；重视学习过程中的情感体验；重视培养学生自主探究，合作交流，勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多，强调的多，学生未必会记住；教师讲得精彩，学生未必能理解；学生做题多，未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式，多种教学手段进行，在适当的时候，合理的运用多媒体，能有益的辅助教学，提高课堂效率，丰富教学内容。新课标的教育宗旨是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中，要联系生活实际，联系学生已有的知识经验，学习内容要有层次。二、教材分析：本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。（一）教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，特别是通过这部分的学习，对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透，有很大的促进作用，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。（二）教材分析和教材处理：教材在安排这一节内容时，共安排了三个课时，《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ?? ? ??=21的图象和性质》、《指数函数的图像和性质（1）》、《指数函数的图像和性质（2）》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识，第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质，第三课时侧重性质的应用。我对教材内容进行了重新的整合与处理，这部分内容的重点在于学生根据图像研究指数函数的性质，难点在于性质的运用。性质的研究必须以具体的指数函数图像为载体，而列

高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数》教案

《指数函数及其性质》教材分析本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．教学目标 1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质． 2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质． 3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．教学重难点【教学重点】掌握指数函数的概念和性质．【教学难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．课前准备引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．教学过程

（一）创设情景，揭示课题 1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？ 2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？ 3．（备选引例）（1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？（2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长． ○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ ○2到2050年我国的人口将达到多少？ ○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？（3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？（二）研探新知 1．指数函数的概念

指数函数及其性质导学案

<<指数函数及其性质>>导学案探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即），第3次由4个分裂成8个（即），如此下去，如果第x 次分裂得到个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式是在2x y = 和 1()2 x y =中，指数 x 是自变量，底数是一个大于0 且不等于1的常量。我们把这种自变量在指数位置，而底数是大于0不等于1的常量的函数称为指数函数。（一）指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域为。思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①x a 前面的系数为 ②a 的取值范围 ③指数只含（二）巩固练习 1、下列函数是指数函数的序号为 ①x y ? ? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦1 2 -=x y 2、已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 1．用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、x y ?? ? ??=21的图像。 -2 -1 0 1 2 1 2 4 4 2 1 通过图像，分析以下问题：问题1、分别说出x y 2=、x y ?? ? ??=21的性质（定义域、值域、单调性、特殊点） 1 1 2 3 -2 -3 2 -1

问题2、x y 2=与x y ?? ? ??=21的图像有什么关系？问题3、底数a 选取不同的值（如3x y =、13x y ?? = ??? ）函数图像又会如何呢？试画出草图并与上图作比较。 2．通过比较，会发现指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下：《巩固训练》 1. 1+=x a y 过定点 _. 2. 若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________. 例2：已知指数函数x a x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值. 1．下列函数中，指数函数的个数是（） ①x y 32?= ②13+=x y ③x y ?? ? ??=32 ④2x y = ⑤12-=x y ⑥x y )3(-=

指数函数及其性质导学案

2。1。2 指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】 1.指数函数； 2.指数函数的图象; 3.指数函数的单调性与特殊点【学习要求】 1。理解指数函数的概念与意义; 2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点; 【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 54 页～第57页） 1。指数函数的概念 (1）函数x y 073.1=与x y )2 1(=的特点是。（2）一般地，函数x a y =（ )叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质（1)列表、描点、作图象 x x y 2= x y )2 1 (= 图象 x y 2= x y )2 1(= 2- 5.1- 1- 5.0- 0 5.0 1 5.1 2 （2）两个图象的关系函数x y 2=与x y )2 1(=的图象,都经过定点，它们的图象关于对称. 通过图象的上升和下降可以看出，是定义域上的增函数, 是定义域上的减函数. （3)类比以上函数的图像,总结函数性质，填写下列表格：

10<a 图象定义域值域性质【基础练习】 1。指出下列哪些是指数函数 (1）x y 4=；（2）4 x y =；(3）x y 4-=；(4）x y )4(-=;（5）x y π=；（6)24x y =；（7）x x y =；（8))12 1 ()12(≠> -=a a a y x 且。 2。作出x y 3=的图象. 3。求下列函数的定义域及值域：（1）3 -=x a y ；（2）x x y 22 3-=；（3）11 )2 1 (-=x y 4.下列关系中正确的是（）. （A ）313232)21()51()21(<< （B)32 3231)5 1()21()21(<< (C)323132)21()21()51(<< （D ）313232)2 1()21()51(<<

(完整版)指数函数及其性质教案

2.1.2指数函数及其性质教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。三、教学过程：（一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。问题2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .

指数函数及其性质优秀教案

指数函数及其性质【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。【教学重难点】重点：指数函数的概念和性质及其应用。难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。【教学过程】【第一课时】一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。二、讲授新课指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =-

（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。

指数运算与指数函数(学案)

指数运算与指数函数高考要求知识梳理知识点一：有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ． n

2.根式概念式子a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂正分数指数幂：a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二：指数函数的图像和性质 1.指数函数概念：形如0(>=a a y x 且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R

知识点三：指数函数性质的运用（比较大小）指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大考点解析典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算例2、已知 01x <<，且1 3x x -+=，求112 2 x x - -的值. 典型习题二：指数函数的图像问题例1、已知函数2 ()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为（） )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x

指数函数及其性质教学设计

性质（第一课时）教学设计教学设计一、教材分析指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。二、学情分析学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索，

培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。四、教学重、难点重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。五、教学学法教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。六、教学过程（一）创设情境有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。

指数导学案

指数与指数函数（预习案）命题人张慧班级姓名 1、了解指数函数模型的实际背景。 2、理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。 1、根式和正数的分数指数幂（1）=a n m (a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。（2）=-a n m (a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。（3）0的任何次方根都是，即 =0。（4）() =n a n （n ∈N +）。（5）当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a 。 2、有理指数幂的运算性质（1）a a s r ?= （a>0,r,s ∈Q ）. （2） ()a r s = （a>0,r,s ∈Q ）. (3 )()ab r = (a>0,b>0,r ∈Q). （4）=÷a a s r （a>0,r,s ∈Q ）. 3、指数函数一般地，函数y=a x (a>0,a ≠1,x ∈R)叫做，其中x 是自变量。

4. 指数函数的图像与性质 1 .已知函数()()1,0≠>+=-a a x f a a x x ，若f(-1)=3,则f(0)+f(2)的值为（） A.13 B.9 C.7 D.11 2. 若定义域为R 的函数f(x)满足条件：f(0)=1,f(3x)=[f(x)]3,则f(x)可能是（） A.f(x)=2x B.f(x)=x 3 C.f(x)=(1/4)x D.f(x)=log 2(x+1) 3. 函数f(x)=a x-2009+2009(a>0,a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点坐标为 4. 函数f(x)=(1/5)x -3x 在闭区间[-1,1]上的最大值等于。 5. 函数()()3/23+=x x f 的单调递减区间是，该函数的最大值是。通过这堂课的学习，我明确了收获与感受疑惑之处

指数函数及其性质教学设计

指数函数及其性质教案一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。三、教学过程：（一）创设情景：问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课：引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以01的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。 · 1．指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。的含义：设计意图：为按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，引导学生用区间表示：（0，1）∪（1，+∞）问题：指数函数定义中，为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的。对于底数的分类，可将问题分解为： (1)若a<0会有什么问题（如，则在实数范围内相应的函数值不存在） ! (2)若a=0会有什么问题（对于，都无意义） (3)若a=1又会怎么样（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R；并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。 1：判断下列函数哪些是指数函数

指数函数及其性质(学案3)

2.1.2指数函数及其性质（第三课时）自学导引： 1.若f(x)的单调递增区间[m,n],则) 1() (>=a a y x f 的单调递增区间为 2. 若 f(x)的单调递减区间[s,t],则 )1()(>=a a y x f 的单调递减区间为 3. 若 f(x)的单调递增区间[m,n],则 )10()(<<=a a y x f 在区间[m,n]上 4. 若 f(x)的单调递减区间[s,t],则 )10() (<<=a a y x f 在区间[s,t]上 5.如果函数f(x)的定义域为A ，那么函数 )10()(≠>=a a a y x f 且的定义域为。 6. 如果函数f(x)的值域为[m,n]，那么函数 )10() (≠>=a a a y x f 且的值域为。典例分析：一.复合函数的单调性例1.求下列函数的单调区间。（1）11 ()()142 x x y =-+；（2）2 2) 2 1 (++-=x x y ；二、解指数不等式例2：（1）不等式 22 12 2≤-x ）（的解集为。（2）设函数??? ??>≤-=-) 0()0(12)(21x x x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是。三、指数函数图象变换例3.利用函数()2x f x =的图像，作出下列函数图象，并总结出规律。（1） f （x+2）；（2）f （x ）-2；（3）f （-x ）；（4）-f （x ）；

课后作业： 1、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 2、函数3 22 2)(--=x x x f 的单调递增区间是 . 3、分别求函数 2 32)(++-=x x a x f （0 a ，且1≠a ）的单调递增区间和递减区间。 4、当a ＞1时，判断函数y =1 1 -+x x a a 是奇函数. 5、已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是。 6、设0 a 5 3x -x 2+成立的 x 的集合。 7、作出函数||()2x f x =的图像，并指出其单调区间。

《指数函数图像及其性质》教学设计

《指数函数的图像与性质》教学设计一、教学目标 1．知识与技能掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图像与性质. 3．情感、态度、价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．二、教学重难点教学重点：指数函数的图像与性质教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学方法：自主探究式四、教学手段：多媒体教学五、教学过程：（一）创设情境 1、复习：（1）指数函数的定义；（2）指数函数解析式的特征。 2、导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。（二）自主探究 1．画一画：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、x y ?? ? ??=21的

2．说一说：通过图像，分析x y 2=、x y ?? ? ??=21的性质； 3.比一比：x y 2=与y ??? ??=21的图像有哪些相同点，哪些不同点？ 4．想一想：在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像，试分析性质。 5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下：

例2. （2 3例1.（1）

（四）当堂检测 1.课本第73页练习1 1. 2.解下列不等式： 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> （五）课堂小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）你学会了哪些数学思想方法？（六）布置作业必做题：课本77页，A 组.4,5，6 选做题：课本77页，B 组1，6. 六、教学反思

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