基于主成分分析的我国地区经济指标研究 09统计班徐晓旺 【摘要】 地区经济的发展对我国现代化进程形成巨大的推动作用，而经济指标是评判地区发展水平的重要标志。根据搜集的相应数据建立数据库，基于主成分分析、同时运用聚类分析以及判别分析的多元统计方法，对全国各地区的经济状况进行综合指标分析。研究各省经济发展在全国的分布特征、筛选出具备可对比性的指标，进而探究造成差异的原因，同时具有针对性地提出相关建议。 【关键词】 主成分分析；聚类分析；判别分析；地区经济指标 一、引言 随着社会的不断进步，经济发展的车轮将会继续滚动。在整体水平提升的同时不难发现：我国各地区间发展势必存留着一定的差距，了解其具体的分布特征注定会是一个非常值得深入挖掘的信息。结合对进出口总额、居民消费水平等9个经济指标的研究，致力于分析各地区硬件发展水平、人民生活状况的异同与经济发展的相关性。 本文将对中国31个省份地区的经济指标进行分析。首先，应用主成分分析的方法对众多指标做降维处理并赋予各主成分以实际意义以获取综合性指标；进而，基于主成分分析结果通过聚类分析法把我国的31个地区分类；最后，根据聚类的结果建立判别函数同时运用判别分析将新疆、广东两个省份归类。 二、主成分分析 搜集到的经济指标为：进出口总额、地区生产总值、固定资产投资、邮电业务量、客运量、货运量、公交车运营数、居民平均工资和居民消费水平这九项指标。 在运用SPSS软件对以上数据开始分析前首先进行标准化处理，接着通过SPSS的操作，得到了如下的总方差分解结果（见表一）： 表一
由表一中结果可以看到保留2个主成分为宜，这2个主成分集中了原始9个变量信息的88.392%，可见效果比较好，这样原来的9个指标就可以通过这2个综合指标来反映。此时，这2个主成分就起到了降维的作用。通过SPSS进一步的操作还可以得到如下的主成分系数矩阵（见表二）： 表二 由表二可以得出前2个主成分的线性组合为： Y1 = 0.852 X1 + 0.979 X2 + 0.821 X3 + 0.957 X4 + 0.885 X5 + 0.742 X6 + 0.967 X7 + 0.226 X8 + 0.513 X9 Y2 = 0.393 X1 - 0.113 X2 - 0.419 X3 - 0.032 X4 - 0.233 X5 - 0.483 X6 + 0.109 X7 + 0.915 X8 + 0.786 X9 通过对上述线性组合的观察，我们可以得出：在主成分1中进出口总额、地区生产总值、固定资产投资、邮电业务量、客运量、货运量和公交车运营数这几项指标的系数明显比主成分2的系数大，可以将Y1归类为地区经济发展中的硬件基础指标；在主成分2中平均工资和消费水平指标的系数最大，可以将Y2归类为地区经济发展中的居民生活指标。 这样就将繁冗的9个指标归结为上述2个，这两项指标相互作用，共同反映地区经济发展情况。 主成分得分如下（见表三）： 表三
第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 当2 σ已知时，用统计量n X z σ μ -=
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第七章 因子分析 7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。 答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。 因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。 7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说，①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。 7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。 答：对于因子模型 1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p = 因子载荷阵为1112 121 2221212 (,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ????? ?==?? ?? ?? ? ? A i X 与j F 的协方差为： 1Cov(,)Cov(,)m i j ik k i j k X F a F F ε==+∑ =1 Cov( ,)Cov(,)m ik k j i j k a F F F ε=+∑ =ij a 若对i X 作标准化处理，=ij a ,因此 ij a 一方面表示i X 对j F 的依赖程度；另一方面也反映了
多元统计分析思考题
《多元统计分析思考题》 第一章回归分析 1、回归分析是怎样的一种统计方法，用来解决什么问题？ 概念：回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决的问题:自变量对因变量的影响程度、方向、形式 2、线性回归模型中线性关系指的是什么变量之间的关系？自变量与因变量之 间一定是线性关系形式才能做线性回归吗？为什么？ 3、实际应用中，如何设定回归方程的形式？ 4、多元线性回归理论模型中，每个系数（偏回归系数）的含义是什么？ 5、经验回归模型中，参数是如何确定的？有哪些评判参数估计的统计标准？ 最小二乘估计两有哪些统计性质？要想获得理想的参数估计值，需要注意一些什么问题？ 6、理论回归模型中的随机误差项的实际意义是什么？为什么要在回归模型中 加入随机误差项？建立回归模型时，对随机误差项作了哪些假定？这些假定的实际意义是什么？ 7、建立自变量与因变量的回归模型，是否意味着他们之间存在因果关系？为什么？ 8、回归分析中，为什么要作假设检验？检验依据的统计原理是什么？检验的 过程是怎样的？
9、回归诊断可以大致确定哪些问题？回归分析有哪些基本假定？如果实际应 用中不满足这些假定，将可能引起怎样的后果？如何检验实际应用问题是否满足这些假定？对于各种不满足假定的情形，分别采用哪些改进方法？ 10、回归分析中的R2有何意义？它能用来衡量模型优劣吗？ 11、如何确定回归分析中变量之间的交互作用？存在交互作用时，偏回归系 数的意义与不存在交互作用的情形下是否相同？为什么？ 12、有哪些确定最优回归模型的准则？如何选择回归变量？ 13、在怎样的情况下需要建立标准化的回归模型？标准化回归模型与非标准 化模型有何关系？形式有否不同？ 14、利用回归方法解决实际问题的大致步骤是怎样的？ 15、你能够利用哪些软件实现进行回归分析？能否解释全部的软件输出结 果？ 第二章判别分析 1、判别分析的目的是什么？ 根据分类对象个体的某些特征或指标来判断其属于已知的某个类中的哪一类。 2、有哪些常用的判别分析方法？这些方法的基本原理或步骤是怎样的？它 们各有什么特点或优劣之处？ 3、判别分析与回归分析有何异同之处？ 4、判别分析对变量与样本规模有何要求？ 5、如何度量判别效果？有哪些影响判别效果的因素？
第三篇 多元统计分析作业题 1 证明题 1）已知ψ==A X E X Z T T T ，这里用到关系1-ψ=E A 。以二变量为例证明： 12*-Λ=ψ=A X A X Z T T T 1)(-=T T A X 。 式中X 为标准化原始变量矩阵，A 为载荷矩阵，Z 为非标准化主成分得分，Z *为标准化的因子得分，E 为单位化特征向量构成的矩阵即正交矩阵，Ψ为特征根的平方根的倒数构成的对角阵，Λ为特征根构成的对角阵，对于二变量有 ?????? ??=ψ21 /10 /1λλ, ?? ? ???=Λ21 00λλ. 2）对于二变量因子模型，我们有 ?? ?++=++=222221122 112211111εεu f a f a x u f a f a x . 试以 x 1为例证明1 2 22==+j x j j u h σ ，这里∑== p k kj j a h 1 2 22 21 211a a +=。 2 计算题 1）现有一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度x 1和宽度x 2。所测数据如下（表2.1）。 要求： ① 利用Excel 对数据进行主成分分析。 ② 借助SPSS 对该数据进行主成分分析，并计算结果与Excel 的计算结果进行对比，理解各个表格所给参数的含义。 ③ 用本例数据验证证明题?的推导结果。 表2.1 古生物腕足动物贝壳标本数据 样品编号 长度x 1 宽度x 2 样品编号 长度x 1 宽度x 2 1 3 2 14 12 10 2 4 10 15 12 11 3 6 5 16 13 6 4 6 8 17 13 14 5 6 10 18 13 15 6 7 2 19 13 17 7 7 13 20 14 7 8 8 9 21 15 13 9 9 5 22 17 13
多元统计分析期末复习 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． )' ,...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )')((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ
(3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确),(~∑μP N X μ ∑ μ p X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ) ()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )' )(() ()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ∑μX ) 1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X
第三章 多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。 第一节 一元统计分析中的有关概念 多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。 一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量 随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。 (二)随机变量的概率分布函数 随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为： )()(x X P x F ≤= 随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。 1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。 设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ，…， 记为 k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ） 称k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。 离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1） 0≥k p ，Λ,2,1=k （2）11 =∑ ∞ =k k p 2、连续型随机变量的概率分布 若随机变量X 的分布函数可以表示为 dt t f x F x ?∞-=)()( 对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称 )(x f 为X 的概率分布密度函数，简
应用多元统计分析习题解答第七章
第七章 因子分析 7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。 答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。 因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。 7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说，①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。 7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。 答：对于因子模型 1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++ ++ 1,2,,i p = 因子载荷阵为1112 12122 21212(,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ??????==????????A i X 与j F 的协方差为： 1Cov(,)Cov(,)m i j ik k i j k X F a F F ε==+∑ =1Cov(,)Cov(,)m ik k j i j k a F F F ε=+∑ =ij a
多元统计分析第三章假设检验与方差分析
第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 当2 σ已知时，用统计量n X z σ μ -=
《应用多元统计分析》第七章因子分析实验报告 第七章因子分析实验报告实验项目 名称 因子分析的上机实现 实验 目的及要求 SPSS 软件中 factor analysis的计算机操作及结果分析，使 学生能熟练应用计算机软件进行因子分析与结果分析，培养 实际应用能力。 实验 内容 对企业经济效益体系的 8 项指标建立因子分析模型（附表数据）。这 8 项指标分别为： x1- 固定资产利税率， x2- 资金利税率， x3- 销售收入利税率， x4- 资金利润率， x5- 固定资产利润
率， x6- 资金周转天数， x7- 万元产值能耗， x8- 全员劳动生产率。 在分析过程中，提取因子的方法为“主成分”法，并以数据的“相关阵”为分析矩阵，并且提取 3 个因子，采用“最大方差旋转法”进行因子旋转。 （1）则这 3 个因子的累积方差贡献率为多少？ （2）请写出原始变量 x1 和 x2 的因子表达式； （3）所提取的 3 个公共因子分别在 8 个指标中的哪些指标上 有较大载荷？并据此说明所提取的公因子概括了企业的 何种能力？ （4）分别写出因子得分表达式，并计算“大同”企业的综合因子得分。 实验步骤 实验环境
Windows xp 、Windows vista、Windows 7等，软件SPSS 11.0 版本及以上。 实验结果与 分析 1 ．选择菜单项 Analyze → Data Reduction → Factor。， 2 ．打开 Factor Analysis 对话框，将原始变量“固定资产利税率”到“全员劳动生产率”移入Variables列表框中。如下图。 3、单击点击 Extraction 按钮，打开 Extraction 子对话框，如错误！未找到引用源。，设置有关因子提取的选项。如果选 择相关系数矩阵，则表示首先对原始数据进行标准化，然后 再进行因子分析；如果选择协方差矩阵，则表示直接对原始 数据进行因子分析。这里我们选择默认的相关系数矩阵。因 子碎石图其实就是样本协差阵的特征根按大小顺序排列 的折线图，可以用来帮助确定提取多少个因子。提取的 3 个公共因子，所以我们在Mumber of factors中输入3即可。 4．点击 Rotation 按钮，打开 Rotation 子对话框，如图 7-4 ，设置有关因子旋转的选项。
第三章多元统计分析 §4 聚类分析 分类是人类认识世界的方式，也是管理世界的有效手段。在科学研究中非常重要，许多科学的研究都是从分类研究出发的。没有分类就没有效率；没有分类，这个世界就没有秩序。瑞典博物学家林奈（Carl von Linnaeus, 1707-1778）因为对植物的分类成就被后人誉为“分类学之父”，后人评价说“上帝创世，林奈分类”——能与上帝的名字并列的人不多，另一个著名的科学家是牛顿。由此可见分类成果的重要性。最初分类都是定性了，后来随着科学的发展产生了定量分类技术，包括基于统计学的聚类方法和基于模糊数学的聚类技巧。本节主要讲述统计学意义的数字分类方法思想和过程。 1 聚类的分类 分类研究的成果的重要性决定了方法的重大实践意义。在任何一门语言的语法学中，都要对词词汇进行分类，词汇分类可以根据词性：名词，动词，形容词……；英文还可以根据首字母分类：ABCD……；汉字则还可以根据笔划，如此等等。在生物学中，将生物划分为：界，门，纲，目，科，属，种。例如白菜（种）属于油菜属、十字花科、十字花目、双子叶植物纲、被子植物亚门、种子植物门、植物界；老虎（种）则属于猫属、猫科、食肉目、哺乳动物纲、脊椎动物亚门、脊索动物门、动物界。这样，整个世界的生物就可以建立一个等级谱系，根据这个谱系，我们可以比较容易地判断那些生物已经认识了，哪些生物尚未发现，哪些生物已经灭绝了。如果发现了新的生物，就可以方便地将其归类。在天文学中，天体可以根据视觉区域分类，也可以根据发光性质与光谱特征进行分类。在地理学中，城市既可以根据地域空间分类，也可以根据城市的职能进行分类。 表3-3-1 各种生物在分类学上的位置举例 位置白菜虎 界植物界动物界 门种子植物门脊索动物门 亚门被子植物亚门脊椎动物亚门 纲双子叶植物纲哺乳动物纲 目十字花目食肉目 科十字花科猫科 属油菜属猫属 种白菜虎 当我们走进一家图书馆，如果它们的图书没有分类编目，我们要找到一本图书与大海捞针没有什么区别。分类的方式也会影响工作的效率。书店的图书一般根据科学门类进行分类摆设，但有一段时间一家书店改为按照出版单位进行分类排列，结果读者很难找到所需图书，这家原本效益挺好的书店很快收到了消极影响。 早期的分类，一般根据事物的属性与特征进行划分，属于定性分类的范畴。随着人们认识的深入和研究对象复杂程度的增加，单纯的定性分类方法就不能满足要求了，于是产生了定量分类技术，即所谓数字分类。本节要讲述的就是根据多个指标进行数字分类的一种多元
第1章 矩阵知识补充 矩阵是多元统计分析的基本工具。考虑读者已学过线性代数，本章补充一些必不可少的矩阵知识，作为多元统计分析的基础。未学过线性代数的读者，可以先自学一本线性代数书，再阅读本章 。 本书中向量和矩阵全用黑体字表示。 以k a ,...a 1为对角线上元素的矩阵记为diag(k a ,...a 1),即 diag(k a ,...a 1)=???? ??????k 1 a 0...0a 矩阵的谱分解 定理（矩阵的谱分解） 设实对称矩阵 A 的特征值和相应的单位特征向量是 k k e e ,...,,...11λλ，其中k e e ,...1两两正交；则 '...'111k k k e e e e A λλ+=。 证明 因为A 实对称，存在正交阵T ，使得'T T A Λ=，其中 []k e e e T ...21= 是以k e e ,...1为元素的分块矩阵； []k diag λλλ...21=Λ 是对角阵，对角线上元素为 k λλ,...1。于是 []???? ? ? ??????????????? ???='...''0...0............0...00...0 (212) 12 1 k k k e e e e e e A λλλ。 根据分块矩阵乘法原理，'...'111k k k e e e e A λλ+= 。
定义 （）式称为A 的谱分解。当特征值无重根时，单位特征向量在不计正负号条件下是唯一的，即同一个矩阵只有同一形式的谱分解。 当特征值有重根时，由于单位特征向量不唯一，同一个矩阵可以有不同形式的谱分解。 例 ???? ??????----=020212022A 。 的特征值和相应的单位特征向量是 ???? ? ???????????????-??????????---3/23/23/1,3/13/23/2,3/23/13/2,2,4,1 所以 [][][]3/2,3/2,3/13/23/23/1)2(3/1,3/2,3/23/13/23/243/2,3/1,3/23/23/13/21?? ?? ? ?????-+-?? ??? ?????-+--??????????--=A 例（谱分解形式不唯一）若 ?? ????=4004A A 的特征值为1，1；相应的特征向量是 ??????=ααsin cos 1e ，? ? ????-=ααcos sin 2e 其中α是任意常数。A 的谱分解就可以是 '4'42211e e e e A += 容易证明，当k λλ,...1全不为零时，'...'1 11111k k k e e e e A ---+=λλ。 矩阵开平方与比较
3-8假定人体尺寸有这样的一般规律，身高(X 1)，胸围(X 2)和上半臂围(X 3)的平均尺寸比例是6:4:1，假设()()1,,X n αα=L 为来自总体()123=,,X X X X '的随机样本，并设()~,X N μ∑。试利用表3.4中男婴这一数据来检验其身高、胸围和上半臂围这三个尺寸变量是否符合这一规律（写出假设H 0，并导出检验统计量）。 解：设32,~(,),~(,)Y CX X N Y N C C C μμ'=∑∑。 121231233106,,,,,014C X X X μμμμμμμ??-?? ? == ? ?-?? ? ??其中，分别为 的样本均值。则检验三个变量是否符合规律的假设为 0212:,:H C O H C O μμ=≠。 检验统计量为 2 1(1)1~(1,1) (3,6)(1)(1) n p F T F p n p p n n p ---+= --+==--， 由样本值计算得：=(82,60.2,14.5)X '，及 15840.2 2.5=40.215.86 6.552.5 6.559.5A ?? ? ? ??? ， 2-1(1)()()()=47.1434T n n CX CAC CX ''=-，
221(1)12 =18.8574(1)(1)5 n p F T T n p ---+= ?=--， 对给定显著性水平=0.05α，利用软件SAS9.3进行检验时，首先计算p 值： p =P {F ≥18.8574}=0.0091948。 因为p 值=0.0091948<0.05，故否定0H ，即认为这组男婴数据与人类的一般规律不一致。在这种情况下，可能犯第一类错误·且犯第一类错误的概率为0.05。 SAS 程序及结果如下： prociml ; n=6;p=3; x={7860.616.5, 7658.112.5, 9263.214.5, 815914, 8160.815.5, 8459.514 }; m0={00,00}; c={10 -6,01 -4}; ln={[6]1}; x0=(ln*x)`/n; print x0; mm=i(6)-j(6,6,1)/n; a=x`*mm*x; a1=inv(c*a*c`); a2=c*x0; dd=a2`*a1*a2; d2=dd*(n-1); t2=n*d2; f=(n+1-p)*t2/((n-1)*(p-1)); print x0 a d2 t2 f; p0=1-probf(f,p-1,n-p+1); fa=finv(0.95,2,4); print p0; run ;
Equation Chapter 1 Section 1 Array《多元统计分析》 Multivariate Statistical Analysis ? ? < 主讲：统计学院许启发（） 统计学院应用统计学教研室 School of Statistics 2004年9月
第一章绪论 【教学目的】 1．让学生了解什么是多元统计分析它的发展与现状； 2．让学生了解多元统计分析的主要范畴、功能； 3．回顾相关的矩阵理论和多元正态分布理论； 4．; 5．阐述多元数据的表示方法。 【教学重点】 1．从一元到多元的过度； 2．多元正态理论及其相关命题。 §1 引言 一、什么是多元统计分析 在实践中，常会碰到需要同时观测若干指标的问题。例如衡量一个地区的经济发展水平：总产值、利润、效益、劳动生产率等；在医学诊断中，有病还是无病，需做多项检测：血压、体温、心跳、白血球等①。 提出问题：如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和处理有两种做法：分开研究；同时研究。但前者会损失一定的信息量。 ` 多元统计分析就是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门学科，利用其中的不同方法可对研究对象进行分类和简化。 二、多元统计分析的产生和发展 1．1928年Wishert发表论文《多元正态总体样本协方差阵的精确分布》，是多元统计分析的开端； 2．20世纪30年代，Fisher, Hotelling, 许宝碌等奠定了多元统计分析的理论基础； 3．20世纪40年代，在心理学、教育学、生物学等方面有不少应用，但由于计算量大，发展受到限制； 4．20世纪50年代中期，随着计算机的出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学和社会学方面得到广泛应用； 5．20世纪60年代，通过应用和实践又完善和发展了理论，使得它的应用范围更广； 6．20世纪70年代初期，才在我国受到各个领域的极大关注，近30多年在理论上和应用上都取得了若干新进展。 三、多元统计分析的主要范畴（研究内容） 在对社会、经济、技术系统的认识过程中，都需要收集和分析大量表现系统特征和运行状态的数据信息。这类原始数据集合往往由于样本点数量巨大，用于刻画系统特征的指标变量众多，并且带有动态特性，而形成规模宏大、复杂难辨的数据海洋。如何分析和认识高维复杂数据集合中的内在规律性，简明扼要地把握系统的本质特征；如何对高维数据集合进行最佳综合，迅速将隐藏在其中的重要信息集中提取出来；如何充分发掘数据中的丰富内涵，清晰地展示系统结构，准确地认识系统元素的内在联系，以及直观地描绘系统的运动历程。利用统计学和数学方法，对多维复杂数据集合进行科学分析的理论和方法，就是多元统计数据分析研究的基本内容。 ！ ①实际上，每项指标都是随机变量。
第三章 多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。 第一节 一元统计分析中的有关概念 多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。 一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量 随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。 (二)随机变量的概率分布函数 随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为： )()(x X P x F ≤= 随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。 1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。 设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ， …，记为 k k p x X P ==)(（ ,2,1=k ） 称k k p x X P ==)(（ ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。 离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1） 0≥k p ， ,2,1=k （2）11 =∑∞ =k k p 2、连续型随机变量的概率分布 若随机变量X 的分布函数可以表示为 dt t f x F x ?∞-=)()( 对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称 )(x f 为X 的概率分布密度函数，简
第七章因子分析 7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。 答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、 简化数据的技术。② 两种分析的求解过程是类似的， 都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。因 子分析可以说是主成分分析的姐妹篇， 将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。 因子分 析也可以说成是主成分分析的逆问题。 如果说主成分分析是将原指标综合、 归纳，那么因子 分析可以说是将原指标给予分解、演绎。 因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标 变换到变异程度大的方向上为止， 突出数据变异的方向， 归纳重要信息。而因子分析是从显 在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因 子模型。 7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量， 通过具体指标测评抽象因子的统计分析方 法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说，①因子 分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类； 用空气中各种成分的比例对 空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。 即是探索未能观察的或不能观 测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。 在社会调查 分析中十分常用。③因子分析的另一个作用是用于时空分解。 如研究几个不同地点的不同日 期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判 断各自的影响和变化规律。 7.3 简述因子模型、一 m 卜中载荷矩阵A 的统计意义。 答：对于因子模型 X i =a i 1F 1 - mF ? a j F j I" a m F m ? ；i i =1,2,Hl , p X i 与F j 的协方差为: m Cov(X i , F j ) =Cov(' a ik F k °F j ) k=i m = Cov(' a ik F k ,F j ) Cov(「F j ) k d = a ij 若对X i 作标准化处理，=a j ,因此a ij 一方面表示X i 对F j 的依赖程度；另一方面也反映了 变量X i 对公共因子F j 的相对重要性。 m 变量共同度h ：a i2 i "2|||, p j 4 a ii 因子载荷阵为 a 2i III a 22 III a pi a p2 III III III III a im a 2m III a pm T A ，川，Am ) 一
何晓群《多元统计分析》第三版（2012）数据下载 第2章 [例2-1] 1999年财政部、国家经贸委、人事部和国家计委联合发布了《国有资本金效绩评价规则》。其中，对竞争性工商企业的评价指标体系包括下面八大基本指标：净资产收益率、总资产报酬率、总资产周转率、流动资产周转率、资产负债率、已获利息倍数、销售增长率和资本积累率。下面我们借助于这一指标体系对我国上市公司的运营情况进行分析，以下数据为35家上市公司2008年年报数据，这35家上市公司分别来自于电力、煤气及水的生产和供应业，房地行业，信息技术业，在后面各章中也经常以该数据为例进行分析。
习题3.今选取内蒙古、广西、贵州、云南、西藏、宁夏、新疆、甘肃和青海等9个内陆边远省份。选取人均GDP、第三产业比重、人均消费支出、人口自然增长率及文盲半文盲人口占15岁以上人口的比例等五项能够较好的说明各地区社会经济发展水平的指标。验证一下边远及少数民族聚居区的社会经济水平与全国平均水平有无显著差异。
数据来源：《中国统计年鉴》（1998）。 5项指标的全国平均水平 μ0=（6212.01 32.87 2972 9.5 15.78）/ 第3章 例3-1 若我们需要将下列11户城镇居民按户主个人的收入进行分类，对每户作了如下的统计，结果列于表3-1。在表中，“标准工资收入”、“职工奖金”、“职工津贴”、“性别”、“就业身份”等称为指标，每户称为样品。若对户主进行分类，还可以采用其他指标，如“子女个数”、“政治面貌”等，指标如何选择取决于聚类的目的。 表3-1 某市2001年城镇居民户主个人收入数据 X1 职工标准工资收入 X5 单位得到的其他收入 X2 职工奖金收入 X6 其他收入 X3 职工津贴收入 X7 性别 X4 其他工资性收入 X8 就业身份 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 540.00 0.0 0.0 0.0 0.0 6.00 男国有1137.00 125.00 96.00 0.0 109.00 812.00 女集体1236.00 300.00 270.00 0.0 102.00 318.00 女国有1008.00 0.0 96.00 0.0 86.0 246.00 男集体1723.00 419.00 400.00 0.0 122.00 312.00 男国有1080.00 569.00 147.00 156.00 210.00 318.00 男集体1326.00 0.0 300.00 0.0 148.00 312.00 女国有1110.00 110.00 96.00 0.0 80.00 193.00 女集体1012.00 88.00 298.00 0.0 79.00 278.00 女国有1209.00 102.00 179.00 67.00 198.00 514.00 男集体1101.00 215.00 201.00 39.00 146.00 477.00 男集体 例3-3 English Norwegian Danish Dutch German French One En en een ein un Two To to twee zwei deux Three Tre tre drie drei trois Four Fire fire vier vier quatre Five Fem fem vijf funf einq Six Seks seks zes sechs six seven Sju syv zeven siebcn sept
第一章 回归分析 填空：1 人们通过各种实践，发现变量之间的相互关系可以分成确定性关系和随机关系两种类型。 2 总离差平方和可以分解为回归平方和和误差平方和两个部分，其中回归平方和在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。 3 回归方程显著性检验时通常采用的统计量是F 。 简答：1 什么是确定性关系？什么是相关关系？ 答：设X 和Y 分别是p 维变量和q 维变量，对于X 任意取定某值x 时，如果都有确定的Y=y 与之相对应，即变量X 与Y 之间存在的一种完全确定的一一对应的关系，称之为确定性关系；如果与之相对应的另一变量Y 的值虽然不确定，但它按照某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系，称之为有不确定性的相关关系。 3 Pearson 相关系数等于0意味着变量间不存在任何关系，这种说法正确吗？为什么？ 计算：不对 因为相关系数为0，意思是不相关，但不相关代表无线性关系或相互独立，并不能说明变量间不存在其他关系。 1 现收集了92组合金钢中的碳含量x 及强度y ，且求得 03.29415126.263019.07989 .45,1255.0=====yy xy xx L L L y x (1) x x b a y 8191.877776.34+=+=∧ ∧ ∧; 即：x y 8191.877776.34+= (2)求y 与x 的相关系数； (3)列出对方程作显著性检验的方差分析表
(4)在x=0.1时，求y ?的点估计。由（1）知：x y 8191.877776.34+=∧ 得当x=0.1时；5595.431.08191.877776.34=?+=∧ y 2 某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育年数的一个回归方程为： 10.360.0940.1310.210i i i i edu sibs medu fedu =-++ R2=0.214 式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，m edu 与fedu 分别为母亲与 父亲受到教育的年数。问 （1）若m edu 与 fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？ 根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个=11个。 （2）请对m edu 的系数给予适当的解释。medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。 （3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数均为12年，另一个的父母受教育的年数均为16年，则两人受教育的年数预期相差多少年？ 首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.131?12+0.210?12=14.452; 10.36+0.131?16+0.210?16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364 操作： 问玉米的不同品种的平均产量是否有显著差异？ 答：P=0.001<0.05拒绝原假设，故不同品种的平均产量有显著差异 2 下面列出在不同重量下弹簧的长度： （1）在直角坐标系下作散点图，并判断Y 关于X 的相关关系是否线性；（①图形、旧对话框、散点、简单