=，量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m λ T=b （常量）；
并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
dv e
c
hv d kT
hv v v 1
1833
-?
=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）
λρρd dv v v -=， （3）
有
,1
18)()(5-?=?=??
? ??-=-=kT
hc v v e
hc c
d c d d dv λλλ
πλλρλλ
λρλρ
ρ
这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511
86'
=????
?
??
-?+--?=-kT
hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011
5=-?+--kT
hc
e kT
hc λλ
? kT
hc
e
kT
hc
λλ=
--
)1(5 如果令x=
kT
hc
λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk
hc T m =
λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知
K m T m ??=-3109.2λ
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv ，
λ
h
P =
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2
c E e μ<<动），那么
e
p E μ22
= 如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6
1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
p
h =
λ nm
m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296
6
2=?=????=
==--μμ
在这里，利用了
m eV hc ??=-61024.1
以及
eV c e 621051.0?=μ
最后，对
E
c hc e 2
2μλ=
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是kT E 2
3
=
（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据
eV K k 3101-=?，
知本题的氦原子的动能为
,105.12
3
233eV K k kT E -?=?==
显然远远小于2
c 核μ这样，便有
E
c hc 2
2核μλ=
nm
m m
37.01037.0105.1107.321024.193
9
6
=?=?????=
---
这里，利用了
eV eV c 962107.3109314?=??=核μ
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为
T
kc hc E
c hc 2
2
22μμλ=
=
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——
玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124
109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，
并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?=nh pdq
其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有
2
22
12kx p E +=μ
这样，便有
)2
1(22kx E p -
±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
2
2
1kx E =
可解出 k
E
x 2±
=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
??
-+
+
-
=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )21
(2)()21(222μμ
?
nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-??
+-
-
+
)2
1
(2)21(222μμ
?
h
n dx kx E x x 2)21(22=-?
+
-
μ
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
θsin 2k
E
x =
这样，便有
h n
k E d E 2
sin 2cos 222
2=???
? ???-
θθμπ
π
?
?-
=?
22
2cos 2cos 2π
π
θθθμh n
d k E E
?
h n
d k
E 2
cos 222
2=
?
?=π
πθθμ
这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分
?-?
=22
2sin 2π
πθθμ
d k
E B
这样，便有
??--?
=-?=?
=+22
22
2cos 2,
22π
ππ
πθ
θμ
μ
πθμ
d k
E B A k
E d k
E B A （1）
??--==22
22
,
cos )
2(2cos π
ππ
π???
θθμ
d k
E
d k
E
这里? =2θ，这样，就有
0sin ==-?-π
π
?μ
d k
E
B A （2）
根据式（1）和（2），便有
k
E A μ
π
=
这样，便有
h n
k
E 2
=
μ
π
? k
h n E μπ2=
,
k nh μ=
其中π
2h
h =
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
B q R
υυμ
=2
? qBR p ==μυ
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
?
=π
θ20
)(nh R qBRd
? nh qBR =?π22 ? nh qBR =2
又因为动能耐μ
22
p E =，所以，有
μμ22)(2
222R B q qBR E =
= ,
22B nBN q nB qBn =?==μμηη 其中，μ
2η
q M B =
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 B BM E =?
具体到本题，有
J J E 232410910910--?=??=?
根据动能与温度的关系式
kT E 2
3=
以及
J eV K k 223106.1101--?==?
可知，当温度T=4K 时，
J J E 2222106.9106.145.1--?=???=
当温度T=100K 时，
J J E 2022104.2106.11005.1--?=???=
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
2c hv E e μ==
此外，还有
λ
hc
pc E =
=
于是，有
2
c hc
e μλ
=
?
2c hc e μλ=
nm
m m 3126
6104.2104.21051.01024.1---?=?=??= 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
)]r ()r ()r ()r ([m
2i ]
e )r (e )r (e )r (e )r ([m
2i )
(m 2i J e
)r ( )
t (f )r ()t r (**Et i
Et i **Et i Et i **Et
i
ρρρρηρρρρηηρρρ
ρηηηηηψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（，
可见t J 与ρ
无关。
由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r
e r -==
1)2( 1)1(21ψψ
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21ρ
ρ
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0
ρρρ r mr
k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr ρ
ηρηρ
ηρ
ηηρ30
20
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1ρ
ρ与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr
k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ik r ik r ik r ik r *
2*222ρ
ηρηρηρ
ηηρ-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J ρ
ρ与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx
e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何这个波函数能否归一化
∞==??∞
∞
dx dx ψψ*Θ
∴波函数不能按1)(2
=?
∞
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12
==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
η 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-<η① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤η② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+->η③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψη
令22
2η
mE
k =
，得 0)()
(222
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B ⑥
0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0ΛΘ==?=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件
1)(2
=?
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
x a n a x a
A πψsin 2)(22=
∴=
?
2
2
2ηΘmE k = ),3,2,1( 222
2
2Λη==
?n n ma E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),(ηπψ #
. 证明（）式中的归一化常数是a
A 1=
'
证：??
?
??≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （）
由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2
222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-
'=+-'=+'==-----∞
?
?
??πππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=' #
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
2
22
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x α
α
π
α
π
α
αψω--?=
??
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπ
αω--=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±
==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。
222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
α
αααπ
αω----=---=而
0142 )(32
1212<-=±
=e dx x d x παω
可见μω
α
η
±
=±=1
x 是所求几率最大的位置。 #
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+-η ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=--+--ψψψμη ②
利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=-+--ψψψμη ③
比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④
由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2
-=-ψψψψ 可见，12
=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x (
ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
一粒子在一维势阱中
??
??
?≤>>=a x a
x U x U ,0 ,0)(0 运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+-η 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx
d 211012
2
2ψψψμ=+-η a x <<∞- ① Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx
d ψψμ=-η a x a ≤≤- ②
Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx
d 233032
2
2ψψψμ=+-η ∞< Ⅰ： 0) (212 01 =--''ψμψη E U ④ Ⅱ：. 0E 222 2=+''ψμψη ⑤ Ⅲ：0) (232 03 =--''ψμψη E U ⑥ 令 2 2 2202 12 )(2η ηE k E U k μμ=-= 则 Ⅰ： 012 11 =-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 022 22 =-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213 =-''ψψk ⑨ 各方程的解为 x k x k 3222x k x k 11 1 1 1 Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有 0 )(0 )(31=?∞=?-∞E A 有限有限ψψ 因此 x k 3x k 111 Fe Be -==ψψ 由波函数的连续性，有 ) 13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a () 12( Fe a k cos D a k sin C ),a ()a () 11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a () 10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232a k 22322222a k 12122a k 211 11 1 -----=-?'='=+?=+=?-'=-'+-=?-=-ψψψψψψψψ 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 F e k aD k sin k aC k cos k 00 F e aD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k 00aD k cos aC k sin B e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+---- 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 0Be k a k sin k a k cos k 0 e a k cos a k sin 00 a k sin k a k cos k e k 0 a k cos a k sin e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=-------- ] a k 2cos k k 2a k 2sin )k k [(e ] a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin e k a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0a k cos a k sin e k e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0a k sin k a k cos k e 022122122a k 222 1222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122a k 2222a k 21a k a k 12222a k 2222a k 1a k 12222a k 222222a k 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-==---------=------------------ ∵ 012≠-a k e ∴02cos 22sin )(22122 12 2=--a k k k a k k k 即 022)(2122 12 2=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式 a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21221222+=+- a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21 221222+-=+ 2cos k 2 2sin )( 0 2cos 2 2sin ) 1( 0 cos sin cos sin cos sin 0)cos sin )(sin cos ( 0)cos sin )(sin cos ( )cos sin )(sin cos (0 )cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212 22122212 22222122212222122221 222122212221222122212221 2 2212221 2 2212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k # 解法三： (11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=?- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=?- )a ( k a tgk k ) 12()10() 13()11(122=?+- (11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=? (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=? 令 ，，a k a k 22==ηξ 则 )d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或 )f ( a U 2)k k (2 202 22122ημηξ=+=+ 合并)b ()a (、： 212 221222k k k k a k tg -= 利用a k tg 1a tgk 2a k 2tg 2222-= # 解法四：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：1101 2 2ψψψμE U =+''-η （χ≤0） Ⅱ：22 2 2ψψμE =''-η （0＜χ＜2a ） Ⅲ：3303 2 2ψψψμ E U =+''-η （χ≥2a ） k a ctg k ) 1( ) 1( ) 1 ( ) 1( ??? ? ? ? ???=--''=+''=--''?0)(2020)(232 0322212 01ψμψψμψψμψηηηE U E E U ?????=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 32 132 222222202 11211ψψμψψμψψηη束缚态0＜E ＜0U x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 1 1 1 1 32221cos sin -+-++=+=+=ψψψ )(0 )(31=?∞=?-∞E B 有限有限ψψ 因此 x k x k Fe Ae 1131 -==∴ψψ 由波函数的连续性，有 ) 7( Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2() 6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2() 5( C k A k ),0()0() 4( D A ),0()0(a k 22232a k 212222322121211 1 --=+?=-=-?'='=?'='=?=ψψψψψψψψ (7)代入(6) a k D k k a k C k k a k D a k C 21 2212222sin 2cos 2cos 2sin +-=+ 利用(4)、(5)，得 a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0a k 2cos 2a k 2sin )k k k k ( A 0]a k 2cos 2a k 2sin )k k k k [( A a k 2sin D k k a k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 22122 12221221 2 21221 2 2121222221=---=+-∴≠=+-+-=+即得 两边乘上Θ # 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ???????<≤≤-<≤<∞=，，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10 x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d ψψψμ=+-η 对各区域的具体形式为 Ⅰ：)0( )(21112 <=+''-x E x U ψψψμη Ⅱ：)0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμη Ⅲ：)( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμη Ⅳ：)( 02442 x b E <=+''-ψψμ η 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ 而 . 0) ( 222 02 =--''ψμψηE U ① 0) ( 232 13 =++''ψμψη E U ② 0242 4 =+''ψμψηE ③ 对于束缚态来说，有0<<-E U ∴ 022 12 =-''ψψk 2021) ( 2ηE U k -=μ ④ 03233 =+''ψψk 2 123) ( 2η E U k +=μ ⑤ 04244 =+''ψψk 2 24/2ηE k μ-= ⑥ 各方程的解分别为 x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 3 3 1 1 42232cos sin -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，得 0 )(4=?∞E 有限， ψ ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得 A B -=?= )0()0(21ψψ ∴ )(332x k x k e e A --=ψ a k D a k C e e A a a x k x k 2232cos sin )()()(33+=-?=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133 sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨ b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243 cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩ 由⑦、⑧，得a k D a k C a k D a k C e e e e k k a k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- (11) 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)sin cos ()sin cos ( 223 22232=+-=+D b k b k k k C b k b k k k (12) 令21 11 11k k e e e e a k a k a k a k ?-+=--β，则①式变为 0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 0)sin cos ()cos sin ()cos sin ()sin cos ( 2222223 22232=+-+-+a k a k a k a k b k b k k k b k b k k k ββ )()1()( 0)1)(((cos ))((sin 0cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 0)cos sin ( )cos sin ()sin cos )(sin cos ( 3 23223223222222223222322222223 22232223 2 22223 2 22ββββββ ββ ββ-+ =-=+-+--=+---+++++=+-??--++k k k k a b tgk k k a b k k k a b k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k 即 把β代入即得 )()1()( 111111112132322a k a k a k a k a k a k a k a k e e e e k k k k e e e e k k a b tgk -----+--++=- 此即 为 所 要 求 的 束 缚 态 能 级 所 满 足 的 方 程 。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。 ）） （） （b k a k e k b k a k e k b k a k e k b k a k e k k e e k b k a k e k b k a k e k k b k a k e k b k a k e k k e e e k b k k b k k e b k b k a k a k e e k e k b k k b k k e b k b k a k k a k k e e e k b k k b k k e b k b k a k k a k k k e e a k a k e e b k b k b k b k b k b k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k 222223222223212222223222222232322222222132222222222322222222222 22sin sin sin cos cos cos cos sin )( sin cos sin sin cos sin cos cos )( sin cos cos sin 0 cos sin )( sin cos cos sin 0 sin cos ) (00sin cos 0cos sin 0 sin cos )(0cos sin )(33331133331133113311331111--------------------++-+------=----= +------==---+--- 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 广东第二师范学院 量子力学期中考试试卷 2014-2015 学年 第 一 学期 考试日期：2014年11月 日 考试地点：海珠校区 楼 课室 一、填空题（每空2分，共20分） 1、德布罗意的物质波理论认为粒子的能量E 、动量P 与物质波的频率v 和波长λ的关系为( νh E = )、( n h p λ = 或λ h p = ) 。 2、量子力学中用（波函数）描写微观体系的状态。 3、()2 ,t r Ψ 是粒子t 时刻（在r 处的概率密度），()2 ,t p c 是粒子t 时刻（具有动量p 的概 率密度）。（注：照最后一道大题写是概率分布函数的也算对了，但是只写是概率就不对） 4、扫描隧道显微镜是利用（隧道效应）制成的。 5、氢原子电子的第n 个能级是（2 n ）度简并的。 6、F ?的本征值λ组成连续谱，则本征函数λφ的正交归一性表达式（ 书P70 ()λλτφφλλ'-=' ?δd * ） 。 7、坐标和动量的不确定关系式（()() 422 2 ≥??x p x 或()()2 ≥??x p x ）。 8、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的（共同本征函数）。 二、求角动量算符的对易关系[] y x L L ?,?（5分） 证明：书P77 三、证明当氢原子处于基态时，电子在与核的距离为0a r (玻尔半径)处出现的概率最大（10分）书P67 四、证明厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。（10分）证明：书P69 五、一粒子在一维势场 , ()0, , x a U x a x a x a ∞<- ? ? =-≤≤ ? ?∞> ? 中运动，求粒子的能级和对应的波函数（20 分） 解：书P26例题 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.doczj.com/doc/9f18301955.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980） 第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 2002级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明：（共25分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、证明 )??(2 2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系。（6分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求 1、0=t 时氢原子的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。 四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 由下面的矩阵给出 ?? ??? ??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里，H H H '+=???)0(，C 是一个常数，1< 第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 量子力学期中考试考 试 量子力学期中考试试题 物理常数：光速：8 1 2.99810c m s -=??；普朗克常数：34 6.62610 h J s -=??；玻尔兹曼常数： 231.38110/B k J K -=?；电子质量：319.10910e m kg -=?；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==?；电子电荷：191.60210e C -=? 一、填空题： 1、量子力学的基本特征是 。 2、波函数的性质是 。 3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。 4.一粒子用波函数Φ(,)ρ rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。 5、线性谐振子的零点能为 。 6、厄密算符的本征值必为 。 7、氢原子能级n =5 的简并度为 。 8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。 9、测不准关系反映了微观粒子的 。 10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。 11. 通常把 称为束缚态。 12. 波函数满足的三个基本条件是： 。 13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。 15. 坐标与动量的不确定关系是： 。 16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。 17. 何谓定态： 。 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱 量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2. 2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω量子力学期末考试题解答题
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