〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次
当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：n a =；
当n a =；
当n 为偶数时， (0)
|| (0)
a a a a a ≥?==?-
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
1()0,,,m m n
n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算
1. 若n x a =，则x 叫做a 的n n >1，且n N *∈
n 次方根具有如下性质：
（1）在实数围，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.
（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：
n a =,||,a n a n ???为奇数
为偶数
；=（a ≥0）.
2. 规定正数的分数指数幂：m
n
a =（0,,,1a m n N n *
>∈>且）； 1m n
m n
a a
-
=
=
.
¤例题精讲：
【例1
】已知21n a =，求33n n
n n
a a
a a --++的值.
【例2】化简与求值：
（1
（2
???+
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
a 变化
对
图
象的影响
在第一象限，a 越大图象越高；在第二象限，a 越大图象越低．
第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）
1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
2. 以函数2x y =与1
()2
x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，总结如下性质：
定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域,和值域：
（1）1
32x
y -=； （2）51()3
x y -=；
【例2】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且. （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.
第3讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）
¤知识要点：
以函数2x y =与1
()2
x y =的图象为例，得出这以下结论：
（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.
（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限，图象由下至上，底数由下到大.
¤例题精讲：
【例2】已知21
()21
x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.
【例3】求下列函数的单调区间：（1）2
23
x x y a +-=； （2）1
0.21
x
y =
-.
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N
叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x
a x N a N a a N =?=>≠>．
（2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a
M M N N
-= ③数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =
>≠且 第4讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）
¤知识要点：
1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数
2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N
在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =?=.
4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：
【例1】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N
-=.
【例2】试推导出换底公式：log log log c a c b
b a
=
（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.
第5讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）
¤知识要点：
1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log a
a a M
M N N
=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.
2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1
log log a b b a
=. 同样，也可
以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a n
N N m
=
，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：
【例1】化简与求值：（1
）21
lg2lg5(lg 2
++
【例2】若2510a b ==，则
11
a b
+= .
【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；
（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
第6讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）
¤知识要点：
1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.
2. 由2log y x =与12
log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1
x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域：（1）y （2）y
【例2】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，数a 的取值围.
【例3】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值围.
第7讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）
¤知识要点：
1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.
2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.
3. 复合函数(())y f x ?=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ?==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.
¤例题精讲：
【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.
【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？
第8讲 §2.3 幂函数
知识要点：
1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.
2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.
¤例题精讲：
【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.
【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限的图象如图所示，则（ ）.
A ．101n m -<<<<
B ．1,01n m <-<<
C ．10,1n m -<<>
D ．1,1n m <->
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y x α
=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限，图象无限接近x 轴与y 轴．
④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q
p
α=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p
y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p
y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q
p
y x =是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α
=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，
其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线
y x =下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：2
()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2
()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b
x a
=-
顶点坐标是24(,)24b ac b a a
--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-
上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b
x a
=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-
上递增，在[,)2b
a -+∞上递减，当2b
x a
=-时，2max 4()4ac b f x a -=．
③二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠当2
40b ac ?=->时，图象与x 轴有两个交点
11221212(,0),(,0),||||||
M x M x M M x x a =-=
． （4）一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2
()f x ax bx c =++，从以下
四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2b
x a
=- ③判别式：? ④端点函数值符号．
①k ＜x 1
≤x 2
? ???△＝b 2
－4ac ≥0
af (k )＞0－b 2a ＞k
②x 1
≤x 2
＜k ? ???△＝b 2
－4ac ≥0
af (k )＞0－b 2a ＜k
③x 1＜k ＜x 2 ? af (k )＜0
④k 1
＜x 1
≤x 2
＜k 2
? ?????△＝b 2
－4ac ≥0a ＞0
f (k 1)＞0
f (k 2)＞0k 1
＜－b 2a
＜k 2或?????△＝b 2
－4ac ≥0a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＜0k 1
＜－b 2a
＜k 2
⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ? f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合
⑥k 1
＜x 1
＜k 2
≤p 1
＜x 2
＜p 2
? ?????a ＞0f (k 1)＞0
f (k 2
)＜0
f (p 1)＜0f (p 2)＞0
或?????a ＜0
f (k 1)＜0f (k 2)＞0
f (p 1)＞0f (p 2
)＜0
此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01
()2
x p q =
+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）
最小值
① 若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a
=-
③若2b
q a
->，则()m f q =
最大值
① 若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a
->，则()M f p =
(Ⅱ)当0a <时(开口向下)
最大值
①若2b p a -
<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a
=- x
x
x
x
x x
(q)0
x
③若2b
q a
->，则()M f q =
最小值
①若02b x a -
≤，则()m f q = ②02b x a
->，则()m f p =．
x
f
x
f
x
f
x
x
x
第一讲 函数的概念及三要素 1．函数与映射 函数 映射 两个集合A ，B 设A ，B 是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合 对应法则f ：A →B 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素 y 与之对应 名称 称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 函数y ＝f (x )，x ∈A 映射：f ：A →B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于 A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考向一 函数、映射的判断 【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 【套路秘籍】---千里之行始于足下
函数 1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的 函数. （1）变量：因变量，自变量 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k <0， b
函数的三要素 【知识点】 一、函数的定义域 （1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法： 常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ； ②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1 (0)x x ≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0 (0)x x ≠] ④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >] ⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合． 二、函数的值域 对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域． 三、解析式 （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； （2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法； （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． 课程类型： 1对1课程 ? Mini 课程 ? MVP 课程
【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2 f x x =- （2）0()32(2)f x x x = +- （3）1 ()1 2f x x x =+- 练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22 111 x x y x --= - （3）()3||f x x =- 练2 函数0()(12)13 g x x x x = --的定义域为 ． 例2 函数3()1log (63)f x x x = +-的定义域为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．[1,2)- D ．[1,2]- 练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ） A ．[1,3)- B ．(1,3)- C ．(1,3]- D ．[1,3] - 练4 函数1 ()ln(31) = +f x x 的定义域是（ ） A ．1 (,)3- +∞ B ．1 (,0)(0,)3- +∞U C ．1 [,)3- +∞ D ．[0,) +∞ 题型二 函数值域 ? 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在?? ? ???-∈1,32x 上的值域．
（一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
二、授课内容： 【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围 函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则 注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再 减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。 【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。 例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0
一、函数与映射的基本概念判断 1. 设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合 2. 设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈， ()x f x +是奇数” ，这样的映射f 有____个 3. 设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____ 4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“值同函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“值同函数”共有______个 5. 以下各组函数表示同一函数是________________ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。 二、函数的定义域 1.求下列函数的定义域 （1）2161x x y -+= ；（2 ）34x y x +=- 2.（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 （2）若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 （3）已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求 2f x y -的定义域。 3. 求函数()f x = 4. 若函数()f x = 3 442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）
函数的三要素练习题 （一）定义域 1 、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 2 _ _ _； 定义域为________； [1,1]-； [4,9] 3、若函数(1)f x + (21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。1][,)2 +∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。11m -≤≤ 5、求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(43 2-+--=x x x y 解：（1）???-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3 102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为 （－∞，－3 ）∪（－3，－1）∪[4，+∞] （2）y = {|0}x x ≥ （3）0 1(21)1 11y x x = +-++（二）解析式 1． 设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ) （A ）x y 32= （B ）2)2(-=x y （C ）24 1x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2 ,2(y x y x -+，则)14,6(--在f 下的原象是( ) （A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)2 7,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是 （A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与33 )(x x g = （D ）1 1)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）
函数概念及三要素 1．函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）． 记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的 。注：分段函数是 个函数，而不是多个函数。 3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。 方法一：函数定义域的求法 关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数 例题：)35lg(lg x x y -+= 的定义域为_______ 方法二：求函数解析式的常用方法 1、配凑法 2、待定系数法 3、换元法 4、解方程组法 例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。
例2、已知2 (31)965f x x x +=-+，则()f x = 。 例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。 例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。 例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。 方法三：分段函数 分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数 22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____． 2. 已知函数11,02()ln ,2 x f x x x x ?+<≤?=??>?，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取 值范围是（ ） （A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞
函数概念及其相关概念（2课时） 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2 y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①2 2 x y +=2 ②111x y -+ -= ③y=21x x -+- A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. 2 y x = C. () 2 y x = D.y=t 变式1.下列函数中哪个与函数3 2y x =-相同（ ） A. 2y x x =- B. 2y x x =-- C. 3 2y x x =-- D. 2 2y x x -= 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） O O O O X X X X y y y y
函数的定义及三要素 考点一、函数概念的理解 [例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. [例2】下列各图中，可表示函数)(x f y 的图象的只可能是（ ） 变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是( ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x 3； ②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2； ⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？
考点二、相等函数的判断 [例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________． ①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝x＋2与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2 变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2； (3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝ 1 x＋1； (3) y＝x－1＋1－x； (4)y＝ x＋1 x2－1.
第一章函数 第一讲函数的概念 【知识归纳】 (1) 映射 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B 中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析： ①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都 有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可； (2) 映射观点下的函数概念 如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). （3）函数概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. （4）函数的表示方法 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
函数的概念、表示法与定义域 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念： 二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法： ①) () (x g x f y = ，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0 )]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则 { ()0 0()1()1g x f x f x ><<>或； ⑤含参问题的定义域要分类讨论； ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 （3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。 （4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题: 1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，4 2 {4,7,,3}N n n n =+，* ,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为(B) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ． （1）* ,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2 ,,y x x P y Q =∈∈； （3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对
函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例1.求函数y = 的定义域。 （二）抽象函数 1.有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x 的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围； 2.四种类型 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域 强化训练： 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log 2x)的定义域； 3.已知(x)f 的定义域为［－2，2］，求2(x 1)f -的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域.
题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？ 例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域. 2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log 2x)的定义域. 3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x 2)定义域。 题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。 例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x ）=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练： 1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a ≦0。 二、与函数定义域相关的变形题型 （一）逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例7.已知函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围。 例8.已知函数27 (x)43 kx f kx kx += ++的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 （二）参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9.已知(x)f 的定义域为［0，1］，求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。
一、选择题 1．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()() 2200x x x h x x x x ?-+>?=?+≤??， 则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ） A ．偶函数，奇函数 B ．奇函数，偶函数 C ．偶函数，偶函数 D ．奇函数，奇函数 2．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数， 则)2 52()23(2+ +-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 3．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ） A .2a ≤- B .2a ≥- C .6-≥a D .6-≤a 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=， 则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．10- 6．函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 二、填空题 1．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞ 时，()(1f x x =， 则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 2．若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。 3．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。 4．若1()2 ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。 5．函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为____________。
第一讲函数的概念及三要素 1．函数与映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考向一函数、映射的判断 【例 1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) （2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( ) A．f：x→y＝ 1 2 x B．f：x→y＝ 1 3 x C．f：x→y＝ 2 3 x D．f：x→y＝x
【举一反三】 1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是 A．M={x|x∈Z},N={y|y∈Z}，对应关系f:x→y,其中y=x 2 B．M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=±2x C．M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2 D．M={x|x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=2 x 2．下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( ) A．B．C．D． 考向二函数定义域求法 类型一：已知解析式求定义域 的定义域是。 【例2-1】（1）函数y=√3?x lgx (x?1)0的定义域是。 （2）函数y= √12+x?x2
一、考点自我梳理： 1.函数的概念 设A、B 是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的_______数x，在集合B 中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的_______；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合_________叫做函数的值域．值域是集合B 的______。 两个函数为同一函数的条件:1._________________2._________________2.函数的定义域： （1）定义：________________________________________________________；（2）求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不能为________；②偶次方根的被开方数必须________；③零的 ________次方无意义；负分数指数幂的底数_______ ④对数函数的底数必须______，真数必须______ ⑤实际问题中的函数定义域要根据自变量的实际意义确定。⑥反函数的定义域由_________2、求函数解析式的常用方法: 求值域的常用方法: 请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：二、自主体验： 1.设{}{} 02,02M x x N y y =≤≤=≤≤给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） 2.下列各组函数是同一函数的是() ①f (x )＝－2x 3 与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x ；③f (x )＝x 0 与g (x )＝1x 0； ④f (x )＝x 2 －2x －1与g (x )＝t 2 －2t －1.A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3.已知f(x),g(x)分别由下表给出 则f[g(1)]+g[f(2)]=_________ x 123g(x) 3 2 1 x 123f(x) 2 1 1 知识树： 我的疑问： 我的收获与发现：
目录 函数三要素专题 (2) 模块一：函数定义域 (2) 考点1：具体函数求定义域 (2) 考点2：抽象函数求定义域 (4) 模块二：函数值域 (5) 考点3：直接法求值域 (5) 考点4：换元法求值域 (6) 模块三：函数解析式 (7) 考点5：换元法求解析式 (8) 课后作业： (8)
函数三要素专题 模块一：函数定义域 ⑴ 具体函数的自然定义域： 目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负； ⑵ 限制定义域： ① 人为规定的限制，如2 ()1[12]f x x x =+∈-，，； ② 实际背景的限制； ⑶抽象复合函数的定义域问题． 考点1：具体函数求定义域 例1.（1）（2017?西青区模拟）函数1 ()2f x x =+-( ) A ．{|2}x x ≠ B ．{|3x x <-或3}x > C ．{|33}x x - D ．{|33x x -且2}≠ （2）（2019春?海安县校级期中）函数()f x =( ) A ．{|0}x x > B ．{|1}x x C ．{|1x x 或0}x < D ．{|01}x x < （3）（2018秋?天河区校级月考）函数y =( ) A ．[2-，1]- B ．[2-，1] C ．[2，)+∞ D ．(-∞，1)(1?，)+∞
（4）（2018秋?道里区校级月考）函数 y =的定义域为( ) A ．[3-，2) [1-，2] B ．[3-，2)(1-?，2) C ．[3-，2](1-?，2] D ．[3-，2)(1-?，2] 例2.（1）（2018秋?蒸湘区校级月考）函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0，8] B ．[0，8) C ．[8，)+∞ D ．(,8)-∞ （2）（2018秋?文峰区校级月考）已知函数231 ()3 x f x ax ax -=+-的定义域是R ，则实数a 的取 值范围是( ) A ．13 a > B ．120a -< C ．120a -<< D ．13 a （3）（2018秋?沙坪坝区校级期中）若函数 ()f x R ，则实数a 的取 值范围是( )
【高考数学】函数的概念及三要素 【套路秘籍】 1．函数与映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【套路修炼】 考向一函数、映射的判断 【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
（2）集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( ) A ．f ：x →y ＝1 2x B ．f ：x →y ＝1 3x C ．f ：x →y ＝2 3 x D ．f ：x →y ＝x 【举一反三】 1．下列从集合M 到集合N 的对应关系中，其中y 是x 的函数的是 A ．M ={x|x ∈Z},N ={y|y ∈Z}，对应关系f:x →y ,其中y =x 2 B ．M ={x|x >0,x ∈R},N ={y|y ∈R}，对应关系f:x →y ,其中y =±2x C ．M ={x|x ∈R},N ={y|y ∈R},对应关系f:x →y ,其中y =x 2 D ．M ={x|x ∈R},N ={y|y ∈R}，对应关系f:x →y ,其中y =2 x 2．下图中，能表示函数y =f(x)的图象的是( ) A ． B ． C ． D ． 考向二 函数定义域求法 类型一：已知解析式求定义域 【例2-1】（1）函数y =√3?x lgx 的定义域是 。 （2）函数y = √12+x?x 2 (x ?1)0的定义域是 。
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同 时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ () ()例：函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝ arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的 定义域是 R ，值域是 .，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域 是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个 条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是 如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []（答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[] )(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
函数的概念,三要素的求法 一、函数的概念： 1． 函数的概念： 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：y = f (x )，x ∈A . 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集. （2）函数的表示方法 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. （3）典型例题： 1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同 2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 A B C D 3. 下列四种说法中，不正确的是（ ） A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域一定是无限集合 C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ . 5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数. 2.映射 x y o x y o x y o x y o
1.2.2函数的三要素 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. （三）教学方法 启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力. （四）教学过程 复习回顾范例分析 . ）求函数的定义域； 的值； 相等？ ； 2}.
．区间的概念： 表示； 表示； 示； ； . ； 有以下几种情况： . )
例1 求下列函数的定义域 （1）21 12 y x =-+； （2）22 4 x y x -= -；
（3）1 || y x x = +； （4）2y ； （5）1 ||3 y x =-； （6）y (a 为常数). 【解析】（1）x ∈R ； （2）要使函数有意义，必须使x 2 – 4≠0，得原函数定义域为{x | x ∈R 且x ≠±2}； （3）要使函数有意义，必须使x + |x |≠0，得原函数定义域为{x | x ＞0}； （4）要使函数有意义，必须使10, 40,x x -≥?? -≥? 得原函数的定义域为{x | 1≤x ≤4}； （5）要使函数有意义，必须使240, ||30;x x ?-≥?-≠? 得原函数定义域为{x | –2≤x ≤2}； （6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得 当a ＞0时，原函数定义域为{x | x ≥3 a }； 当a ＜0时，原函数定义域为{x | x ≤ 3 a }； 当a = 0时，ax – 3≥0的解集为?，故原函数定义域为?. 例2 （1）已知函数f (x )的定义域为(0, 1)，求f (x 2)的定义域. （2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x )的定义域. （3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x 2 – 2)的定义域. 【解析】（1）∵f (x )的定义域为(0, 1)， ∴要使f (x 2)有意义，须使0＜x 2＜1，即–1＜x ＜0或0＜x ＜1，∴函数f (x 2)的定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜1}. （2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x 的取值范围是0＜x ＜1，令t = 2x + 1，∴1＜t ＜3，∴f (t )的定义域为1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为{x | 1＜x ＜3}. （3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x ≤3， ∴–2≤x ≤3. 令t = x + 1，∴–1≤t ≤4， ∴f (t )的定义域为–1≤t ≤4. 即f (x )的定义域为–1≤x ≤4，要使f (2x 2 – 2)有意义，须使–1≤2x 2 – 2≤4， ∴≤x ≤或x 函数f (2x 2 – 2)的定义域为{x |x ≤≤x 注意：对于以上（2）（3）中的f (t )与f (x )其实质是相同的.