Power Series Expansion and Its Applications
In the previous section, we discuss the convergence of power series, in its convergence region, the power series always converges to a function. For the simple power series, but also with itemized derivative, or quadrature methods, find this and function. This section will discuss another issue, for an arbitrary function ()f x , can be expanded in a power series, and launched into.
Whether the power series ()f x as and function? The following discussion will address this issue. 1 Maclaurin (Maclaurin) formula
Polynomial power series can be seen as an extension of reality, so consider the function ()f x can expand into power series, you can from the function ()f x and polynomials start to solve this problem. To this end, to give here without proof the following formula.
Taylor (Taylor) formula, if the function ()f x at 0x x = in a neighborhood that until the derivative of order 1n +, then in the neighborhood of the following formula :
200
0()()()()()()
n
n f x f x x x x x x x r x =
+
-
+-
+
+-+… (9-5-1) Among
1
0()()
n n r x x x +=-
That ()n r x for the Lagrangian remainder. That (9-5-1)-type formula for the Taylor.
If so 00x =, get
2
()(0)()n
n f x f x x x r x =
+++
++…, (9-5-2)
At this point,
(1)
(1)
1
1
1()
()
()(1)!
(1)!
n n n n n f
f
x r x x
x
n n ξθ+++++=
=
++ (01θ<<).
That (9-5-2) type formula for the Maclaurin.
Formula shows that any function ()f x as long as until the 1n +derivative, n can be equal to a polynomial and a remainder.
We call the following power series
()
2
(0)(0)
()(0)(0)2!
!
n n
f f
f x f f x x x n '''=++
++
+…… (9-5-3)
For the Maclaurin series.
So, is it to ()f x for the Sum functions? If the order Maclaurin series (9-5-3) the first 1n + items
and for 1()n S x +, which
()
2
1(0)(0)
()(0)(0)2!
!
n n
n f f
S x f f x x x n +'''=++
++
…
Then, the series (9-5-3) converges to the function ()f x the conditions
1lim ()()n n s x f x +→∞
=.
Noting Maclaurin formula (9-5-2) and the Maclaurin series (9-5-3) the relationship between the known
1()()()n n f x S x r x +=+
Thus, when
()0n r x =
There,
1()()n f x S x +=
Vice versa. That if
1lim ()()n n s x f x +→∞
=,
Units must
()0n r x =.
This indicates that the Maclaurin series (9-5-3) to ()f x and function as the Maclaurin formula (9-5-2) of the remainder term ()0n r x → (when n →∞).
In this way, we get a function ()f x the power series expansion:
()
()
(0)
(0)
()(0)(0)!
!
n n n
n
n f
f
f x x f f x x n n ∞
='=
=+++
+∑
……. (9-5-4)
It is the function ()f x the power series expression, if, the function of the power series expansion is unique. In fact, assuming the function f (x ) can be expressed as power series
20120
()n n
n
n n f x a
x a a x a x a x ∞
==
=+++++∑……, (9-5-5)
Well, according to the convergence of power series can be itemized within the nature of derivation, and then make 0x = (power series apparently converges in the 0x = point), it is easy to get
()
2
012(0)(0)
(0),(0),,,,,2!
!
n n
n f f
a f a f x a x a x n '''===
=
…….
Substituting them into (9-5-5) type, income and ()f x the Maclaurin expansion of (9-5-4) identical.
In summary, if the function f (x ) contains zero in a range of arbitrary order derivative, and in this range of Maclaurin formula in the remain der to zero as the limit (when n → ∞,), then , the function f (x ) can start forming as (9-5-4) type of power series.
Power Series
()
2
0000000()()()
()()()()()1!
2!
!
n n
f x f x f
x f x f x x x x x x x n '''=+
-+
-++
-……,
Known as the Taylor series.
Second, primary function of power series expansion
Maclaurin formula using the function ()f x expanded in power series method, called the direct expansion method.
Example 1
Test the function ()x f x e =expanded in power series of x . Solution because
()
()n x
f
x e =,(1,2,3,)n =…
Therefore
()
(0)(0)(0)(0)1n f f f f
'''====…,
So we get the power series
2
1112!
!
n
x x x n ++
++
+……, (9-5-6)
Obviously, (9-5-6)type convergence interval (,)-∞+∞, As (9-5-6)whether type ()x f x e
=
is Sum
function, that is, whether it converges to ()x
f x e = , but also examine remainder ()n r x .
Because
1
e
()(1)!
x
n n r x x
n θ+=
+ (01θ<<)，且x x x θθ≤≤,
Therefore
1
1
e
e
()(1)!
(1)!
x
x
n n n r x x
x
n n θ++=
<
++,
Noting the value of any set x ,x
e is a fixed constant, while the series (9-5-6) is absolutely convergent, so
the general when the item when n →∞, 1
0(1)!
n x
n +→+ , so when n → ∞,
there
1
0(1)!
n x
x
e
n +→+,
From this
lim ()0n n r x →∞
=
This indicates that the series (9-5-6) does converge to ()x f x e =, therefore
2
1112!
!
x
n
e x x x n =++
++
+…… (x -∞<<+∞).
Such use of Maclaurin formula are expanded in power series method, although the procedure is clear, but operators are often too Cumbersome, so it is generally more convenient to use the following power series expansion method.
Prior to this, we have been a function
x
-11, x e and sin x power series expansion, the use of these
known expansion by power series of operations, we can achieve many functions of power series expansion. This demand function of power series expansion method is called indirect expansion .
Example 2
Find the function ()cos f x x =,0x =,Department in the power series expansion. Solution because
(sin )cos x x '=,
And
3
521
111sin (1)
3!5!
(21)!
n
n x x x x x
n +=-
+
-+-++……，（x -∞<<+∞）
Therefore, the power series can be itemized according to the rules of derivation can be
3
42111cos 1(1)
2!4!
(2)!
n
n
x x x x
n =-
+
-+-+……,（x -∞<<+∞）
Third, the function power series expansion of the application example
The application of power series expansion is extensive, for example, can use it to set some numerical or other approximate calculation of integral value.
Example 3 Using the expansion to estimate arctan x the value of π.
Solution because πarctan 14
=
Because of
3
5
7
arctan 3
5
7
x
x
x
x x =-
+
-
+…, (11x -≤≤),
So there
1114arctan 14(1)357π==-
+-+…
A vailable right end of the first n items of the series and as an approximation of π. However, the convergence is very slow progression to get enough items to get more accurate estimates of πvalue.
此外文文献选自于：
Walter.Rudin.数学分析原理(英文版)[M].北京：机械工业出版社.
幂级数的展开及其应用
在上一节中，我们讨论了幂级数的收敛性，在其收敛域内，幂级数总是收敛于一个和函数．对于一些简单的幂级数，还可以借助逐项求导或求积分的方法，求出这个和函数．本节将要讨论另外一个问题，对于任意一个函数()f x ，能否将其展开成一个幂级数，以及展开成的幂级数是否以()f x 为和函数?下面的讨论将解决这一问题．
一、 马克劳林(Maclaurin)公式
幂级数实际上可以视为多项式的延伸，因此在考虑函数()f x 能否展开成幂级数时，可以从函数
()f x 与多项式的关系入手来解决这个问题．为此，这里不加证明地给出如下的公式．
泰勒(Taylor)公式 如果函数()f x 在0x x =的某一邻域内，有直到1n +阶的导数，则在这个邻域内有如下公式：
()
2
0000000()()
()()()()()()()2!
!
n n
n f x f
x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-+
-++
-+…,(9-5-1)
其中
(1)
1
0()
()()
(1)!
n n n f
r x x x n ξ++=
-+．
称()n r x 为拉格朗日型余项．称(9-5-1)式为泰勒公式． 如果令00x =，就得到
2
()(0)()n
n f x f x x x r x =+++++…， (9-5-2)
此时，
(1)
(1)
1
1
1()
()
()(1)!
(1)!
n n n n n f
f
x r x x
x
n n ξθ+++++=
=
++, (01θ<<)．
称(9-5-2)式为马克劳林公式．
公式说明，任一函数()f x 只要有直到1n +阶导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和． 我们称下列幂级数
()
2
(0)(0)
()(0)(0)2!
!
n n
f f
f x f f x x x n '''=++
++
+…… (9-5-3)
为马克劳林级数．那么，它是否以()f x 为和函数呢?若令马克劳林级数(9-5-3)的前1n +项和为
1()n S x +，即
()
2
1(0)(0)
()(0)(0)2!
!
n n
n f f
S x f f x x x n +'''=++
++
…，
那么，级数(9-5-3)收敛于函数()f x 的条件为
1lim ()()n n s x f x +→∞
=．
注意到马克劳林公式(9-5-2)与马克劳林级数(9-5-3)的关系，可知
1()()()n n f x S x r x +=+．
于是，当
()0n r x =
时，有
1()()n f x S x +=．
反之亦然．即若
1lim ()()n n s x f x +→∞
=
则必有
()0n r x =．
这表明，马克劳林级数(9-5-3)以()f x 为和函数?马克劳林公式(9-5-2)中的余项()0n r x → (当n →∞时)．
这样，我们就得到了函数()f x 的幂级数展开式：
()
()
2
(0)
(0)(0)
()(0)(0)!
2!
!
n n n
n
n f
f f
f x x f f x x x n n ∞
='''=
=++
++
+∑
……(9-5-4)
它就是函数()f x 的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的．事实上，假设函数()f x 可以表示为幂级数
20120
()n n n n
n f x a
x a a x a x a x ∞
==
=+++++∑……， (9-5-5) 那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令0x =(幂级数显然在0x =点收敛)，就容易得到
()
2
012(0)(0)
(0),(0),,,,,2!
!
n n
n f f
a f a f x a x a x n '''===
=
……．
将它们代入(9-5-5)式，所得与()f x 的马克劳林展开式(9-5-4)完全相同．
综上所述，如果函数()f x 在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限(当n →∞时)，那么，函数()f x 就可展开成形如(9-5-4)式的幂级数．
幂级数
()
00000()()
()()()()1!
!
n n
f x f
x f x f x x x x x n '=+
-++
-……,
称为泰勒级数．
二、 初等函数的幂级数展开式
利用马克劳林公式将函数()f x 展开成幂级数的方法，称为直接展开法． 例1 试将函数()x f x e =展开成x 的幂级数． 解 因为
()
()n x f
x e =,
(1,2,3,)n =…
所以
()
(0)(0)(0)(0)1n f f f f
'''====…，
于是我们得到幂级数
2
1112!
!
n
x x x n ++
++
+……， (9-5-6)
显然，(9-5-6)式的收敛区间为(,)-∞+∞，至于(9-5-6)式是否以()x
f x e =为和函数，即它是否收敛于()x
f x e =，还要考察余项()n r x ．
因为
1
e
()(1)!
x
n n r x x
n θ+=
+ (01θ<<)， 且x x x θθ≤≤，
所以
1
1
e
e
()(1)!
(1)!
x
x
n n n r x x
x
n n θ++=
<
++．
注意到对任一确定的x 值，x
e 是一个确定的常数，而级数(9-5-6)是绝对收敛的，因此其一般项
当n →∞时，
1
0(1)!
n x
n +→+，所以当n →∞时，有
1
0(1)!
n x
x
e
n +→+，
由此可知
lim ()0n n r x →∞
=．
这表明级数(9-5-6)确实收敛于()x f x e =，因此有
2
1112!
!
x
n
e x x x n =++
++
+…… (x -∞<<+∞)．
这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法．
在此之前，我们已经得到了函数
x
-11，x e 及sin x 的幂级数展开式，运用这几个已知的展开式，
通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式．这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法．
例2 试求函数()cos f x x =在0x =处的幂级数展开式． 解 因为
(sin )cos x x '=，
而
3
521
111sin (1)
3!5!
(21)!
n
n x x x x x
n +=-
+
-+-++……,（x -∞<<+∞）
， 所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得
3
42111cos 1(1)
2!
4!
(2)!
n
n
x x x x
n =-
+
-+-+……,（x -∞<<+∞）
． 三、 函数幂级数展开的应用举例
幂级数展开式的应用很广泛，例如可利用它来对某些数值或定积分值等进行近似计算． 例3 利用arctan x 的展开式估计π的值． 解 由于πarctan 14
=，
又因
3
5
7
arctan 3
5
7
x
x
x
x x =-
+
-
+…， (11x -≤≤)，
所以有
1114arctan 14(1)357
π==-
+-+…．
可用右端级数的前n 项之和作为π的近似值．但由于级数收敛的速度非常慢，要取足够多的项才能得到π的较精确的估计值．
此外文文献选自于：
Walter.Rudin.数学分析原理(英文版)[M].北京：机械工业出版社.
浅谈数学中的变形技巧 目录 摘要 ............................................................................................................................ I ABSTRACT ................................................................................................................ I I 第一章绪论. (1) 第二章数学变形的概述 (1) 2.1 什么是数学变形 (1) 2.2 在中学数学中常用的基本方法 (2) 第三章变形技巧在初等数学中的一些应用 (2) 3.1一元二次方程的变形技巧 (3) 3.2三角函数的变形技巧 (4) 3.3 “0”的变形技巧 (7) 3.4 “1”的变形技巧 (9) 第四章代数变形中常用的技巧 (11) 4.1 代数恒等式和恒等变形 (11) 4.2 代数中常见的变形 (12) 4.2.1 整式变形 (12) 4.2.2 分式变形 (13) 4.2.3 根式变形 (18) 4.2.4 指数变形 (21) 4.2.5 对数变形 (22) 4.2.6 复数变形 (23) 第五章结论 (24) 参考文献 (25) 致谢 (26)
浅谈数学中的变形技巧 浅谈数学中的变形技巧 学生：冯继东指导老师：郑宗剑 摘要变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了变形技巧在初等数学和代数中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。 关键词：初等数学;代数;变形;技巧 I
谈变形技巧在初等数学中的一些应用 摘要:变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了在初等数学中的" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用。掌握好并灵活运用它，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。 关键词:初等数学；变形；技巧 数学是一个有机的整体, 各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透, 从而构成了一个互相交错的立体空间. 所以, 为了培养数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力, 除了对各单元知识, 及一些开放探索性问题, 实践应用性问题等综合内容进行系统复习外, 在最后阶段的复习中, 应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重 视, 并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题, 这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法, 是针对各种不同的数学知识而定的一种策略. 不同的问题可以用不同的方法, 相同的问题也可以有各种不同的方法 ( 即所谓的一题多解 ). 各种数学方法与数学知识一样, 是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富, 并且是数学知识所不能替代的.在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：? 逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。? 数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。而变形也是数学中的一种重要的方法之一。变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为，亦可表述为等。若问？，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如等。可见"变形"实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名数学问题的解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。我们在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效。下面我们分别来谈谈这几种变形技巧的应用。 1.1 一元二次方程的变形技巧
数学史与数学教育 一、数学史有它的教育价值： 普及数学史是新课程改革的基本旨趣；学史能够给数学课堂教学添色增彩；中小学教材渗透着丰富有趣的数学史；数学史是认识数学知识本质的催化剂；数学史本身蕴含着当下教材基本知识。 二、数学发展的几个阶段 目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期： （一、）萌芽数学时期（公元前600年以前）； （二、）常量数学时期（前600年至17世纪中叶）； （三、）变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；（四、）近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；（五、）现代数学时期（20世纪40年代以来）。 第一阶段有一下两项重要成果：计数制度的产生和使用（如图1）。测量和 图1 作图（如图2赵爽对勾股定理证明方法，图文结合）。
图2 第二阶段是常量数学时期（初等），那个时期数学发展的两条主线： 1.中国初等数学的辉煌成就、 2.灿烂的古希腊数学。 其中中国初等数学的辉煌成就有三次发展高潮：（1）两汉时期；（2）魏晋南北朝时期；（3）宋元时期。 领先的成就有： 1、计算技术的创用 2、加、减、乘（九九表）、除；分数、小数、近似计算 3、更相减损术、比例算法、盈不足术 4、刘徽的“割圆术”，祖冲之的“圆周率”，祖暅原理，算经十书 宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。贾宪三角（杨辉三角）；秦九韶《数书九章》之“正负开方术”、“大衍求一术”；朱世杰之《算学启蒙》、《四元玉鉴》的“招差术”、“垛积术”；李冶是的“天元术” 第三时期变量数学时期主要有：几何学的变革；微积分的创立与
发展；多分支的形成：集合论、抽象代数、复变函数等，这几个重要成果。 几何学的变革时期代表人物有费尔玛、高斯、笛卡尔等。笛卡尔在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系，把几何和代数达到了完美的统一。 微积分虽然不是牛顿与莱布尼兹发现创造的，但却是他俩大体完成的。牛顿改变了以往从“和的极限”到“定积分”的老路，开创了从导数到不定积分到定积分的新路。清楚得表明了他对微分和积分互逆关系的认识。莱布尼兹认识到求积依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限窄小的矩形之和。更重要的是他认识的求和（积分）与求差（微分）运算的可逆性。 数学方法：（1）化归的方法、（2）变换的方法、（3）类比的方法、（4）归纳的方法、（5）合情推理的方法、（6）反证法、（7）数形结合的方法、（8）分类讨论的方法、（9）运筹的方法。 数学观点：（1）近似的观点、（2）抽象的观点、（3）一一对应的观点、（4）对称的观点、（5）多样性和统一性的观点、（6）“变中有不变”的观点、（7）偶然性与必然性的观点、（8）运算与结构的观点、（9）博弈的观点、（10）关系、等价关系、序关系、相关关系、比例关系、函数关系的观点 数学思想：（1）“命题需要证明,证明依靠逻辑”的思想、（2）量化的思想、（3）数学建模的思想、（4）最优化的思想、（5）公理化的思想、（6）数学机械化的思想、（7）数据处理与数理统计的
代数变形中常用的技巧 数学与应用数学专业 摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。关键词代数变形技巧 两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。 代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。 代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。 一、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。 例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。 解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ①(1-x2)(1-y2)-4xy ②x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。 解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)
数学史与数学教育绪言（一） 1 【单选题】（A）于1758年出版的著作《数学史》是世界上第一部数学史经典著作。 ?A、蒙蒂克拉 ?B、阿尔弗斯 ?C、爱尔特希 ?D、傅立叶 2 【单选题】首次使用幂的人是（C）。 ?A、欧拉 ?B、费马 ?C、笛卡尔 ?D、莱布尼兹 3 【单选题】康托于（B）年起开始出版的《数学史讲义》标志着数学史成了一门独立的学科。?A、1870 ?B、1880 ?C、1890 ?D、1900 4 【判断题】历史上最早的数学史专业刊物是1755年起开始出版的《数学历史、传记与文献通报》。错误 5 【判断题】公元前5世纪的《希腊选集》中记载了关于丢番图年龄的诗文。（错误） 数学史与数学教育绪言（二） 1 【单选题】卡约黎的著作《数学的历史》出版于（B）年。 ?A、1890
?C、1898 ?D、1902 2 【单选题】史密斯的著作《初等数学的教学》出版于（A）。 ?A、1900 ?B、1906 ?C、1911 ?D、1913 3 【单选题】（D）数学史教授卡约黎倡导为教育而研究数学史。 ?A、德国 ?B、法国 ?C、英国 ?D、美国 4 【判断题】四等分角以及倍立方问题同属于三大几何难题，是被证明无法用尺规做出的。（错误） 5 【判断题】史密斯倡导建立了ICMI。（正确） 数学史与数学教育绪言（三） 1 【单选题】Haeckel的生物发生定律应用于数学史中即为（C）。 ?A、基础重复原理 ?B、往复创新原理 ?C、历史发生原理 ?D、重构升华原理 2 【单选题】史密斯的数学史课程最早开设于（C）年。
?B、1890 ?C、1891 ?D、1892 3 【单选题】《如何解题》、《数学发现》的作者是（C）。 ?A、庞加莱 ?B、弗赖登塔尔 ?C、波利亚 ?D、克莱因 4 【判断题】M.克莱因认为学生学习中遇到的困难也是数学家历史上遇到的困难，数学史可以作为数学教育的指南。（正确） 5 【判断题】18世纪欧洲主流学术观点不承认负数为数。（正确） 数学史与数学教育绪言（四） 1 【单选题】HPM的研究内容不包括（D）。 ?A、数学教育取向的数学史研究 ?B、基于数学史的教学设计 ?C、历史相似性研究 ?D、数学史融入数学科研的行动研究 2 【单选题】HPM的主要目标是促进三方面的国际交流与合作，其中不包括。D ?A、大中学校数学史课程 ?B、数学史在数学教学上的运用 ?C、各层次数学史与数学教育关系的观点 ?D、数学史对数学发展的推动作用 3
浅谈数学中的变形技巧 永城职业学院基础部 邮编476600 陈颂 地址：河南省永城市东城区学府路002号 摘要：在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。 关键词：等式；不等式；变形 在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。 一、等式变形 例如：1cos sin 22=+αα的变形 我们知道，1cos sin 22=+αα是三角函数中一个非常基础而且重要的公式。许多相关公式也可以与这个公式相互照应。 例如，由公式r y =αsin ，r x =αcos ，（知识点：角的概念的推广）我们把此代入公式得到： 122=?? ? ??+??? ??r x r y ， 即222r y x =+，此式由勾股定理得出。 又若在一个直角三角形中，我们有c a = αsin ，c b =αcos ，则代入公式有 122=?? ? ??+??? ??c b c a 即222c b a =+，即为勾股定理。 二、不等式变形 例如：不等式ab b a 222≥+的变形。 以上不等式可以变形为：0222≥-+ab b a ，由完全平方公式得：()02≥-b a ，此式显然成立。故原不等式成立。 我们再将公式变形得：ab b a ≥+2 2 2，此式不太常用，但是我们可以熟悉一下这个形式。
NO.6 时代教育TIME EDUCATION June 关于数学史融入数学教育的思考刘婧摘要：数学史与数学教育关系研究是一个新兴的学术领域，其教育作用已得到我国数学教育界的普遍关注。为了促进数学史与数学教育有机地融合，数学史与数学教育的关系、以教育取向为目的的数学史研究、基于数学史的课堂教学是研究的主要内容。关键词：数学史数学教育融合中图分类号：G420 文献标识码： A DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2010.06.065 1 问题的提出许多年来，数学家、教育家以及历史学家都在探询是否数学的教学能从数学史与数学教育的整合中受益。不可否认的是，数学教育并没有实现为所有学生的目标，因此，研究数学史的融入能否提高现实状况是一个值得关注的问题。近年对数学史的兴趣和价值探讨日渐增多。1972 年，数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of mathematics,简称HPM）成立，标志着数学史与数学教育关系研究成为一门学术领域[1]。本文旨在阐述数学史在数学教学中所起到的作用，以及如何借助历史促进数学教学。2 数学史与数学教育的融合将数学史整合进数学教育可以通过多种方式使学生、教师和研究者受益。学生能体验到数学是一项在人类影响下探索、发现、改变和扩展的活动，不再将数学看成是一个已经完成的制造品，而是不断自我完善和发展的知识体系，同时，学习者将感受到社会和文化对数学的影响。另外，数学史强调数学课题之间的联系和数学在其他学科中的作用，能帮助学生从更广泛的视角看待数学，从而加深学生的理解。数学史能提供一个较好的机会去看待数学的本质。当一个教师自身对数学的感知和理解改变时，将会影响数学教学的方式，因此影响学生看待数学的方式。此外，史学知识能帮助教师理解学习的不同阶段与典型的困难。从个人的角度上说，历史也能维持教师在数学上的兴趣。教育研究者在课题研究时也能从数学史中受益。它能提供教师和研究者大量有趣的数学问题、资料和方法，可在教学和教材中显形或隐性地利用。数学史的了解能让研究者从新的角度分析学生的学习。20 世纪初盛行的生物起源法则（Biogenetic Law）提出：个体的数学学习遵循着数学自身的发展历史。然而，简单地研究数学史会发现学生学习与数学发展过程并不完全具有一致性。之后，Freudenthal 提出数学再创造” “ （Guided Reinvention）的概念说明数学史与数学教育的关系：提倡学生经历数学家探索问题的过程并不意味着按数学家思考的顺序进行，……但是我们所遵循和关注的不是数学家实际的历史足迹，而是经过完善、更具指导性的历史过程[2]。3 教育取向的数学史研究数学的思想是历史地并且合乎逻辑地发生和发展的。数学教育应当遵循数学历史和逻辑相统一的辩证思想。数学史研究[3] 的一个重要目的就是“教育的目的” 。基于数学思想的历史与逻辑，探究符合学生认知规律，并摸索适合学生数学思维能力发展的教育方式。因此，数学史研究不是纯粹的数学史研究，而是数学史助益数学教学的规律性探究；它也不是纯粹的教学实践，而是数学史促进数学教育的应用性研究[4]。以教育取向为目的的数学史研究，其功能是将数学知识、思想的历史形态加工整理成教师和学生能够方便使用的教育形态基金项目：渭南师范学院研究生专项科研计划项目（09YKZ036）。。从这个意义上说，数学史还只是教师重新运用和思维加工的材料。目前，数学史运用于课堂教学主要采用链接式和融入式的方法。所谓链接式，是在原先的教学中简单地叠加数学史料。而融入式则指依据历史发生原理（即个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似）使数学史成为数学文化的载，体，数学课程的有机组成部分。对比链接式中机械生硬的使用数学史料，融入式的教育方式能更好地帮助学生把握住数学知识的本质，优化学生的数学观念。作为一名教师，在了解一段数学史的基础上设计教学，很大程度取决于对数学史”再创造”的能力。以学习和理解古人数学思维进展过程为教学设计的切入点，捕捉有教育意义的历史题材，并依托数学教育心理学等教育理论中的认知发展规律汲取教学启示，以课堂现实状况为落脚点，明细
浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文 浅谈中学数学中的若干变形技巧 江苏高邮市三垛中学赵静 变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。 一、掌握变形技巧的意义 在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。 二、变形技巧在数列中的应用 （一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型
等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入
研究，就会找到其内在的规律。 参考文献： [1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999. [2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008. [3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007. [4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004. [5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.
三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。 解析：已知 显然有： 由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜ 点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。 解析：设θ＋15°＝α，则 原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝ 证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） 所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ
高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形 一、三角变换及求值 解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）； （2）角的变换； （3）。 2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型： （1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； （2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； （3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。 例1：已知向量,且 (Ⅰ求tan A的值；(Ⅱ求函数R的值域 解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0, 因为cosA≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为x R,所以.当时，f(x有最大值， 当sinx=-1时，f(x有最小值-3 所以所求函数f(x的值域是 二、正、余弦定理的应用 解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。 2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。 例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值.
因式分解的常见变形技巧 技巧一 符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指点迷津 y-x= -(x-y) 体验过程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y) 小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2 实践详解 各项提出符号，可用平方和公式. 原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2 技巧二 系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。 体验题2 分解因式 4x 2-12xy+9y 2 体验过程 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x -3y)2 小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题2 分解因式2 21439 xy y x ++ 实践详解 原式=(2x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2=(2x +3y ) 技巧三 指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。 体验题3 分解因式x 4-y 4 指点迷津 把x 2看成(x 2)2,把y 4看成(y 2)2,然后用平方差公式。 体验过程 原式=(x 2)2-(y 2)2=(x 2+y 2)(x 2-y 2)=(x 2+y 2)(x+y)(x-y) 小结 指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关 系。 实践题3 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4 指点迷津 把a 4看成(a 2)2，b 4=(b 2)2 实践详解 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2
本文内容详情如下： 数学史与数学教育绪言（一） 1 【单选题】（A）于1758年出版的著作《数学史》是世界上第一部数学史经典著作。 ?A、蒙蒂克拉 ?B、阿尔弗斯 ?C、爱尔特希 ?D、傅立叶 2 【单选题】首次使用幂的人是（C）。 ?A、欧拉 ?B、费马 ?C、笛卡尔 ?D、莱布尼兹 3 【单选题】康托于（B）年起开始出版的《数学史讲义》标志着数学史成了一门独立的学科。?A、1870 ?B、1880 ?C、1890 ?D、1900 4 【判断题】历史上最早的数学史专业刊物是1755年起开始出版的《数学历史、传记与文献通报》。错误 5 【判断题】公元前5世纪的《希腊选集》中记载了关于丢番图年龄的诗文。（错误） 数学史与数学教育绪言（二） 1
【单选题】卡约黎的著作《数学的历史》出版于（B）年。 ?A、1890 ?B、1894 ?C、1898 ?D、1902 2 【单选题】史密斯的著作《初等数学的教学》出版于（A）。 ?A、1900 ?B、1906 ?C、1911 ?D、1913 3 【单选题】（D）数学史教授卡约黎倡导为教育而研究数学史。 ?A、德国 ?B、法国 ?C、英国 ?D、美国 4 【判断题】四等分角以及倍立方问题同属于三大几何难题，是被证明无法用尺规做出的。（错误） 5 【判断题】史密斯倡导建立了ICMI。（正确） 数学史与数学教育绪言（三） 1 【单选题】Haeckel的生物发生定律应用于数学史中即为（C）。 ?A、基础重复原理 ?B、往复创新原理 ?C、历史发生原理 ?D、重构升华原理
2 【单选题】史密斯的数学史课程最早开设于（C）年。 ?A、1889 ?B、1890 ?C、1891 ?D、1892 3 【单选题】《如何解题》、《数学发现》的作者是（C）。 ?A、庞加莱 ?B、弗赖登塔尔 ?C、波利亚 ?D、克莱因 4 【判断题】M.克莱因认为学生学习中遇到的困难也是数学家历史上遇到的困难，数学史可以作为数学教育的指南。（正确） 5 【判断题】18世纪欧洲主流学术观点不承认负数为数。（正确） 数学史与数学教育绪言（四） 1 【单选题】HPM的研究内容不包括（D）。 ?A、数学教育取向的数学史研究 ?B、基于数学史的教学设计 ?C、历史相似性研究 ?D、数学史融入数学科研的行动研究 2 【单选题】HPM的主要目标是促进三方面的国际交流与合作，其中不包括。D ?A、大中学校数学史课程 ?B、数学史在数学教学上的运用 ?C、各层次数学史与数学教育关系的观点
基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种： 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4 x －3＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B ．1 C ．5 D ．－1 【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－???? ?? 43－x ＋（3－x ）＋3≤－24 3－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x >0，y >0，且2x 2 ＋y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2 ＋1＋y 2322＝3×??? ?922.当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝42 2 时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1???? 1b ＋1的最小值． [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值． 【解】 由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1，
代数变形中常用的技巧 代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。 两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。 代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。 代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。 一、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。 例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。 解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ① (1-x2)(1-y2)-4xy ② x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。 解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy
因式分解的常见变形技巧 技巧一 符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指点迷津 y-x= -(x-y) 体验过程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y) 小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太 清晰的情况下。 实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2 实践详解 各项提出符号，可用平方和公式. 原式=-a 2-2ab-b 2 =-( a 2+2ab+b 2) = -(a+b)2 技巧二 系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。 体验题2 分解因式 4x 2-12xy+9y 2 体验过程 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2 =(2x -3y)2 小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题2 分解因式2 21439 xy y x ++ 实践详解 原式=(2 x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2 =(2x +3 y )2 技巧三 指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。 体验题3 分解因式x 4-y 4
指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。 体验过程原式=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) 小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。 实践题3分解因式a4-2a4b4+b4 指点迷津把a4看成(a2)2，b4=(b2)2 实践详解原式=(a2-b2)2 =(a+b)2(a-b)2 技巧四展开变换 有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。 体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab 指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。 体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab = a2+ b2+2a+2b+2ab = a2+ b2+2(a+b+ab) 小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，当于重新分组。实践题4x(x-1)-y(y-1) 指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。实践详解原式= x2-x-y2+y =(x2-y2)-(x-y) =(x+y)(x-y)-(x-y) =(x-y)(x+y-1) 技巧五拆项变换 有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。 体验题5 分解因式3a3-4a+1 指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成 -3a-a试试。 体验过程原式= 3a3-3a-a+1 =3a(a2-1)+1-a =3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1)[3a(a+1)-1] =(a-1)(3a2+3a-1) 另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。
关于数学史与数学教育之间关系的文献综述 专业：学科教学（数学）学号：2012101631 姓名：谭睿 摘要：新的数学课程标准提出了发展数学文化的理念。在数学教学过程中渗透数学史的教学有利于数学文化的生成，并且 在培养数学兴趣，数学思维，和数学情感方面也大有助益。 本文就所参考的20篇针对有关数学史，数学文化与数学教 学的关系进行论述的文献进行综合阐述。 关键词：数学史，数学文化，数学教学 1、选题背景 自2004年起，截止至2010年底，全国陆续完成高中阶段的新课程的改革。在高中总体的课标体系中，强调了学科的整合性，旨在建立科学与人文相结合的科学人文性课程文化观。在数学新课程标准中将“双基”教学的课程目标体系，扩充为“四基”，即“基本知识，基本技能，基本思想和基本活动经验。在数学教育的理念上突出了对课程目标的全面认识，体现了推进素质教育、培养学生创新精神和实践能力的指导思想。最新版的普通高中课程标准实验教科书《数学》较以往教材更重视引入数学文化知识. 研究表明, 数学文化知识不仅使学生了解数学的发展和应用, 而且是学生理解与掌握数学的一个有效途径. 它能引起学生学习动机、激发学生学习数学的兴趣. 使学生能真正体会数学思维的过程, 培养学生的探索精神, 感受数学在文化史和科学进步史上的地位与影响以及其人文价值, 从而提升了学生的数学素养.《普通高中数学课程标准》提倡高中数学课程中设置“体现数学的文化价值, 并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求, 设立‘数学史选讲’等专题”等内容. 并具体提出了“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程的内容”“学生通过数学文化的学习, 了解人类社会发展与数学发展的相互作用, 认识数学发生、发展的必然规律”等要求[1]（《课堂教学渗透数学文化提升学生的数学素养》，崔君芳，2006,12）
高中数学变形技巧在函数恒成立问题中的应用 ： 高中数学变形技巧在函数恒成立问题中的应用 变形技巧是数学解题的重要工具.高中学生运用变形技巧的能力制约和 影响了他们解题技能的高低，也是他们解题速度快慢的体现.在解题过 程中，条件不充分或者条件的表现形式较为隐蔽的情况经常出现，在 这种情况之下，变形的意义就被充分地体现出来，通过变形技巧的运用，将题目中分散的元素集中起来，将问题从复杂的形式转化为简单 的形式.是一种将复杂问题简单化的手段，是解决数学问题的重要途径. 一、三角恒等变换技巧 1.三角函数变换的理论基础.三角函数是一个重要的基本初等函数.它 是联系几何与代数的桥梁，也是一种描述周期现象的重要数学模型， 在数学和各个领域中的作用十分重要.三角函数作为高中数学教学的重 要内容，是数学基础技能训练的基础，也是数学教学的重难点部分.在 三角函数教学中，三角函数的解题技巧是十分丰富的.同样，三角函数 中的解题复杂性也是相当高的.三角恒等变换在整个初等数学中是关键 的解题工具，而且三角公式众多，方法灵活多变.学生若能熟练掌握三 角恒等变换的技巧，不仅能加深对三角公式的记忆和理解，而且能提 高自己的逻辑思维能力. 2.三角函?当浠坏木咛宸绞?.对于含同角的三角函数式，变换函数名法，是指利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式来进行变换， 通过“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途径将所需变换的式 子中函数的种类进行减少或统一.从数学教学实质上来看，这是“归一”思想的运用，有利于问题的解决或者发现解题的途径.例如，利用常用 公式进行三角函数名称的变换，常见的万能公式有：sinα=2tan（α2）1+tan2（α2）；cosα=1-tan2（α2）1+tan2（α2）；tanα=2tan （α2）1-tan2（α2）.将这三个公式的变换运用在三角恒等变换中， 实现三角函数名称之间的变换，即可以解决很多三角函数问题.三角函