一 一点的应力状态与应力张量
二 主应力与应力不变量
对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为
ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ????
??????
如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，
新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。 已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)
它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ?
=?
=??
=?
（1.2）
在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力
N σ及切向剪应力N τ，即222
N N N
P στ=+ N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得
N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ?
=++?
=++??
=++?
求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ
222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5
而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2
N σ
在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上，
0N τ=，N σ即为主应力，等于合应力N P ，而主应力在坐标轴上的分量为
N N N N N N x l y m z n σσσ=?
?
=??=?
1-7 将式1-7代入1-4整理后得
()0()0()0x N yx zx xy y N zy xz yz z N l m n l m n l m n σστττσστττσσ?
-++=?
+-+=??++-=?
（1-8） 此外，法线N 的三个方向余弦应满足 2
2
2
1l m n ++= （1-9）
由上面四个方程可求得N σ及方向余弦l,m,n 。如果将l,m,n 看作未知量，则由式1-9可见，l,m.n 不能同时为零。因此线性方程组式1-8非零解的充要条件为系数行列式等于零。
0x N yx zx
xy y N zy xz yz z N
σστττσστττσσ--=- 展开行列式得到
22
1230N N N I I I σσσ---= 1-11
式中 1222
222232x y z
I x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz y zx z yz
I I I I σσσσσσσσστττσσστττστστστ?
=++?
?=---+++??=+---??
1-12
方程1-11有三个实根，即三个主应力。按三个主应力数值，分别由式1-8求出三个主方向。
当坐标方向改变时，应力分量均将改变，但主应力的数值是不变的，因此该式的关系也不变。由于系数123,,I I I 与坐标无关，故称作应力张量不变量，通常分别叫作应力张量第一不变量，第二不变量，第三不变量。
设三个正应力的平均值为平均应力，用m σ表示
12311()()33
m x y z σσσσσσσ=++=++
于是 ()x m x m σσσσ=+-
()y m y m σσσσ=+-
()z m z m σσσσ=+-
由此，应力张量可分解为两个分量
0-00+00m x m xy xz ij m yx
y m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ????????=-????????-????
等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。
0000=00m m m ij
m σσσδσ??????????
式中ij δ定义为 {
10=
ij δ≠当（i=j ）
当（i j ）
令 -x x m S σσ=，-y y m S σσ=，-z z m S σσ=，xy xy S τ=，yx yx S τ=，yz yz S τ=……，则应力偏量ij S 即为
-x xy xz x xy xz ij ij m ij yx
y yz xz y yz zx zy
z zx zy z S S S S S S S S S S S S S ττσσδττττ?????
???===?????????
???
三 应力空间
如果我们将1σ、2σ、3σ取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。
该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。我们就把这个空间称为应力空间。如图2-6 所示，P 点的坐标为（1σ 2σ 3σ），这个应力状态可写为三个矢量11()OP σ,22()OP σ,33()
OP σ的矢量和。
四 应力圆和Lode 参数
在传统塑性理论中，认为应力张量不影响屈服，所以对应力偏量特别感兴趣，而洛德（Lode ）
参数或洛德角是应力偏量的特征量。此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便，因而在岩土塑性理论中应用极为广泛。
设横坐标为正应力σ，纵坐标为剪应力τ，设已知应力1σ，2σ，3σ，令
11OP σ=，22OP σ=，33OP σ= 以12PP ,23P P ,13PP 为直径画三个圆，如图2-8（a ）。 其半径为
12
12322PP σστ-==，2323122P P σστ-==，3113222
P P σστ-== 1τ、2τ、3τ称为主剪应力，半径最大者为最大剪应力max τ，如果把图2-8（a ）中坐标原点O
移到新的位置'
O ，使 '
123
3
m OO σσσσ++=
=
这时 '111m O P S σσ=-=, '
222m O P S σσ=-=, '333m O P
S σσ=-=
由此所得移轴后应力圆即是描述应力偏量的应力圆图2-8（b ） 原点任意平移一个距离，就相当于在原有应力状态下叠加一个静水压力。在传统塑性力学中，这个叠加并不影响屈服函数和塑性变形。因此，对塑性变形有决定性意义的是应力圆本身。若以M 表示13PP 的中点，则
1max 131()2MP τσσ==
- 22131
(2)2
MP σσσ=-- 若考虑到中间应力2σ对屈服函数的影响，可由2MP 与1MP 之比确定2σ的相对位置，其比值用洛德参数u σ表示。
若主应力次序为123σσσ≥≥，则
21323211313
22121MP u MP σσσσσσβσσσσ---=
==-=--- 3-1a 或 2131311
()()22
u σσσσσσ=++- 3-1b 式中23
13
σσβσσ-=
-。2P 由3P 变到1P ，因此u σ和σθ的变化范围为
11u σ-≤≤ ，3030σθ-≤≤。。
由式3-1可见，u σ为主应力值的函数，说明是应力差的比例关系，而与应力大小无关。不管坐标纵轴原点位置移动多少，其u σ不变，可见u σ是描述应力偏量的特征值，它与应力偏
量不变量2J 、3J 有关，而与应力球张量无关。
由上可见，洛德参数或洛德角都不能表示一点的应力状态的特征值，因为它不表示应力球张量。然而它却能反映受力状态的形式，即主应力分量之间的比例关系。因而不同的洛德参数与洛德角可以反映材料的不同受力状态。 在弹性力学和传统塑性力学中，符号一般都是规定以拉为正，但在岩土力学都一般规定以压为正。
五 应力路径
1应力路径的基本概念 岩土的性质与本构关系，与应力或应变状态的变化过程有关，因此需要描述一个单元在它加载过程中的应力或应变的变化过程。通常称描述一单元应力状态变化的路线为应力路径，而称描述应变状态变化的路线为应变路径，目前过程上应用较多的是应力路径。
对岩土来说，一点的应力状态完全可由总主应力及其方向和孔隙压力所确定。有效主应力可用计算算出。
我们令三个总主应力或有效主应力为坐标轴，而建立应力空间或有效应力空间。如图2-12
所示，图上'1σ、'2σ及'3σ为三个有效主应力，将一单元的瞬时有效应力状态所有的点联结
起来的线，并标上箭头指明发展的趋向，就可得到有效应力路径，简称ESP 。同样可在主应力空间中给出总应力路径。简称TSP 。
通常，我们将总主应力轴与有效应力轴放在一起，在这张图上不仅能表示有效应力路径和总主应力路径，而且还能表示空隙压力的大小。
当略去其中间主应力2σ和'
2σ时，则可在二向应力平面上绘制有效应力路径和总主应力
路径。如图2-13所示。图中'''A B C 为有效应力路径，若在'B 的孔隙压力位u 值，则B 点代表瞬时总应力，因为有效应力与总应力之间的水平距离与垂直距离均为孔隙压力u 的值。
由目测可知，瞬时总应力与有效应力的点，必定沿坐标轴倾斜成45。
的线上，线段隔开，如图2-13所示。
一点的应变状状态，主应变，应变不变量
在外力的作用下，物体内各点的位置要发生变化，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始应力状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，称这种位移为刚体位移。如果物体各点发生位移后改变了各点间初始应力状态的相对位置，则物体就同时产生了形状变化，统称为该物体产生了变形。
在外力的作用下，物体内部质点产生相对位置的改变。设A 点的坐标为（x 、y 、z ）,其临近点的坐标为（x dx +、y dy +、z dz +），变形后A 点移到'A ,点B 移到'B 。A 点的位移向量分量为u 、v 、w ，B 点的位移分量为'u 、'v 、'w 。u 、v 、w 是坐标点x 、
y 、z 的函数，当dx 、dy 、dz 很小时，可以利用泰勒公式展开，只需要保留一次项，得'u 、
'v 、'w 与u 、v 、w 关系如下
'''u u u
u u dx dy dz x y z v v v
v v dx dy dz x y z w w w w w dx dy dz x y z ????=+
++?????
????=+++??????
???=+++?
????
后面的九个量构成了位移梯度张量,i j u ????，一般是不对称的二阶张量
,i j u u u x y z v
v v u x
y z w w w x
y
z ??????????????
?????=?????????????????????
将矩阵,i j u ????可以分解为两部分
,1111022221111022221122i j u v u w u v u u w x x y z z x y z x v u v w v v u u x y y y z x y w u w u w x z y z z ???????????????????++---?? ? ? ? ???????????????????????????????????????=+++- ? ? ???????????????????????????????++ ? ??????????????11022w v y z u w w u z x y z ??
??
??????????+ ??????
???
??????????--- ? ?????????????
前一项是一个对称张量，就是在小变形条件下的应变张量，应变量的矩阵形式是
1
12
21122112
2
x xy xz
xx
xy xz yx y
yz yx yy yz zx zy zz zx zy z εγγε
εεγεγεεεεεεγγε??????
????
??=?
?????????
??????
左式是工程力学的习惯写法，右式适用于使用张量下标记号。用张量下标记号，以ij ε表示应变张量，令123,,u u v u w u ===，则
1
111,11
xx u u u x x εε??==
==?? 122,11,211
(
)()22
xy v u u u x y εε??==+=+?? 由此 ,,1
()2
ij i j j i u u ε=
+ 应变张量的不变量是
'1123
'222
2122331'2223123
()()()2xx yy zz xx yy yy zz zz xx xy yz zx xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy
I I I εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε?=++=++?=-+++++?
?
=-++??=+---??=?
这里123εεε、、是三个主应变。 平均正应变表示为
'111()33
m xx yy zz I εεεε=++=
应变率张量
应变率
设介质处于运动状态，质点的速度可用t v 三个分量表示，它们是坐标位置和时间的函数。在微小时段dt 内，位移为 t t u v dt =
由于dt 是微量，因此对应的应变分量可用小变形公式。
,,,,11()()22
ij i j j i i j j i u u v v dt ε=+=+
令ij ij dt εε?
= 可得 ,,1
()2
ij i j j i v v ε?
=+ ij
ε?
称为应变率张量 一般情况下，应变率主方向与应变主方向并不重合，即使在小变形情况下也是如此。只有在小变形情况下，而且各分量都按同一比例变化时，其主应变率方向才能保持不变，才能成立。
应力张量的认识（一）
本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到 后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises 理论的思考
从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。初始，以一个基本定义记住 了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完 善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。 我将这部分思考分为以下三部分： 应力张量的认识（一） 应力张量的认识（二） 应力张量的认识（三） 本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力
初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。单位面积上的内力即是应力，表征内力的强 度。 为了研究某一点 P 处的应力，用某个截面在 P 点处切开物体，如下图所示。根据定义可以得到 P 点的正应力 σ、切应力 τ，他们的合成即为全应力 T。
需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。但是过 P 点有无数的截面，那么如何才能真正 描述 P 点的应力状态呢？
应力状态
点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有 任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。 通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。也即在 P 点截 取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同 的。这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。 由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。 问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相 反的？ 单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他 们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。所以，从各自的方向上来看，应 力方向还是相同的。
应力张量
根据上面的微单元体上的应力分量，是否可以求出任意截面的应力分量？
答案是肯定的。根据三个方向的静力平衡就可以列式计算得到上图的任意的法向为(n1,n2,n3)的截面上的应力 分量。 三个互相垂直的截面上的 9 个应力分量可以确定任意截面的应力，也就是说可以确定一点的应力状态了。同 时从这三个截面的选取上来看，他们和坐标系无关。 于是我们把用上面九个应力分量作为一个整体来描述一点应力状态的物理量叫作应力张量，记作
主应力 如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，则这一截面称为主平面，其法线方 向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。 求解方法依然是根据静力平衡条件。
应力张量的认识（一） 本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises理论的思考 从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。初始，以一个基本定义记住了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。 我将这部分思考分为以下三部分： 应力张量的认识（一） 应力张量的认识（二） 应力张量的认识（三） 本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。 应力 初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。单位面积上的内力即是应力，表征内力的强度。 为了研究某一点P处的应力，用某个截面在P点处切开物体，如下图所示。根据定义可以得到P点的正应力σ、切应力τ，他们的合成即为全应力T。 需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。但是过P点有无数的截面，那么如何才能真正描述P点的应力状态呢？ 应力状态 点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。 通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。也即在P点截取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同的。这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。 由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。 问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相反的？ 单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。所以，从各自的方向上来看，应力方向还是相同的。 应力张量 根据上面的微单元体上的应力分量，是否可以求出任意截面的应力分量？ 答案是肯定的。根据三个方向的静力平衡就可以列式计算得到上图的任意的法向为(n1,n2,n3)的截面上的应力分量。 三个互相垂直的截面上的9个应力分量可以确定任意截面的应力，也就是说可以确定一点的应力状态了。同时从这三个截面的选取上来看，他们和坐标系无关。 于是我们把用上面九个应力分量作为一个整体来描述一点应力状态的物理量叫作应力张量，记作 主应力 如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，则这一截面称为主平面，其法线方向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。求解方法依然是根据静力平衡条件。
应力坐标变换 进行数值计算分析的时候经常会遇到要对应力的计算结果进行坐标变换，在此将其计算公式罗列如下： 式中：l1,m1,n1为x’与x、y、z的夹角余弦；l2,m2,n2为y’与x、y、z的夹角余弦；l3,m3,n3为z’与x、y、z的夹角余弦；x’y’z’为新坐标系，xyz为旧坐标系。 计算最后得到的公式为： dx'=l1^2*dx+2*l1*m1*Txy+2*l1*n1*Txz+m1^2*dy+2*m1*n1*Tyz+dz*n1^2 dy’=l2^2*dx+2*l2*m2*Txy+2*l2*n2*Txz+m2^2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2^2*dz dz’=l3^2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3*n3*Txz+m3^2*dy+2*m3*n3*Tyz+n3^2*dz Tx’y’=(l1*n2+n1*l2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+n 1*n2*dz Ty’z’=(l2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+n 2*n3*dz Tx’z’=(l1*n3+n1*l3)*Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*
§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量 学习思路: 一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。 本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。 应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。 根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。 转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。 学习要点： 1. 坐标系的变换； 2. 坐标平面的应力矢量;
2. Kronecker δ 符号
一、 Kronecker 符号定义为：
?1, i = j δ ij = ? ?0, i ≠ j
δ ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
?δ 11 δ 12 δ 13 ? ?1 0 0? ?δ ? = ?0 1 0 ? δ δ 22 23 ? ? ? ? 21 ? ?0 0 1 ? ? ?δ 31 δ 32 δ 33 ? ? ?
1
二、
δ ij 的性质
2
三、例题
例题1： 若
e1 , e 2 , e 3
是相互垂直的单位矢量，则
ei ? e j = δ i j
e i ? e i = e1 ? e1 + e 2 ? e 2 + e 3 ? e 3 = 3
δ i i = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3
ei ? ei = δ i i
3
注意：
δ i j与δ ii不同
是一个数值，即
δ ii δi j
例题2：
δ ii = 3
的作用：1）换指标；2）选择求和。
Ai → Ak
δ k i Ai = δ k k Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字 母，因此可用变换后的字母 k 表示
4
例题3：
Tk j → Ti j
δ i kTk j = δ i iTij = Tij
特别地，
δ i kδ k j = δ ij , δ i kδ k jδ jm = δ i m
5
练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明∈ijk ∈ikj =-6。 5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= -ax 2+bx 3，u 2=ax 1-cx 3，u 3= -bx 2+cx 3；其中 a 、 b 、 c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
一 一点的应力状态与应力张量 二 主应力与应力不变量 对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为 ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ?????????? 如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。 已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2) 它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。 x y z dF ldF dF mdF dF ndF ?=?=??=? （1.2） 在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力 N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+ N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得 N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ?=++?=++??=++? 求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ 222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
作业题： （第2章~ 第3章） 1． 试据下标记号法，展开用张量符号表示的方程。其中，G 、λ 为常数。 ,,,,()0i j j i j ij k kj i G u u u f δλ+++= 2． 已知一点的应力状态为002ij a a a a a a a σ-????=-????-?? ，试求过此点的平 面 31x z ++=上的正应力和剪应力。 3． 已知受力物体内一点处应力状态为：????? ???????=220 22000x ij σσ（MPa ），且已知该点的一个主应力的值为2MPa 。 试求：① 应力分量x σ的大小 ；②主应力1σ、2σ和 3σ 。 4． 已知一点的应力状态为5005008005000750800750300ij a a a a a a a a σ????=-????--?? ，试求法线 为 11(,,22斜截面上的正应力和剪应力。 5．已知受力物体内一点处应力状态为： 5,0,11,3,3,8x y z xy yz xz a a a a a σσστττ=====-=-，试求与各坐标轴有相当 倾角的斜平面上的全应力、正应力和切应力。如果y σ=，别的应力不变，则该斜平面上的应力如何改变？ 6． 一点的应力张量不变量12315,60,54I a I a I a ==-=，试求主应力的大小和主轴。
7．已知受力物体内一点处应力状态为： 100,200,300,500,0x y z xy yz xz a a a a σσστττ====-==，试求主应力大小及其方向、最大切应力、正八面体剪应力、全应力的大小及方向。 8． 试证明用主应力表示的任意斜平面上的剪应力为： ()()()12222 222222122331l m m n n l τσσσσσσ??=-+-+-?? 式中,,l m n 是斜平面外法线对应力主轴的方向余弦。
2019年固体力学与岩石力学基础例题 第二章 应力分析 例题2.1 设某点的应力张量为 012120201?? ?= ? ??? σ 试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。 解： 设该平面的法线矢量为： ， ， 由几何关系知： 联立方程： 于是解得： ， ， 所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为： 该平面的法向应力和切向应力为： 解答完毕。
例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。 图2.1 解： 在OP 面上有应力边界条件： 式中， 为水的比重。 解答完毕。 例题2.3 已知一点的应力张量为 2201 211210σ?? ? ? ??? 过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ； 2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。 解： 由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即： 又根据几何关系： 解得： 2
解答完毕。 例题2.4 已知坐标系123x x x o 中一点的应力张量为 111213212223313233σσσσσσσσσ?? ?= ? ??? σ 如图 2.2（1）所示坐标系123x x x o 绕3x 轴逆时针旋转90°得到如图2.2（2）所示坐标系 123x x x '''o ，如图2.2（2）所示坐标系123x x x '''o 绕2x '轴逆时针旋转90°得到如图2.2（3） 所示坐标系123x x x ''''''o ，求此点在123x x x ''''''o 坐标系中的应力张量。 （1） （2） （3） 图2.2 解： 当坐标由图1变至图2时，新坐标相对于老坐标的方向余弦为： 根据现性代数坐标转换关系，可以得到： 1x '' 2x '' 3'' o 3x ' 2x '1x '90? o 1 x 3 x 2 x 90? o
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。
许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结 机床的位置 应力 应变 位移 油缸 27 5号顶尖 10 固定支撑钉 在分析中发现油缸所受的应力最大，油缸使用的是35钢，5号顶尖使用的材料是45钢，固定支撑钉使用的是T8，查《机械设计》三者都小于其许用应力，故设计满足要求。它们的主要力学性能参数如表，查《机械设计师手册》。 表4主要力学性能参数 材料名称 屈服强度( ) 抗拉强度 35钢 315 600 45钢 355 598 T8 900 采用安全系数法判断零件危险截面处的安全程度是疲劳强度计算中应用广泛的一种方法，其强度条件是：危险截面处的安全系数S 应大于等于许用安全系数 ，即 查《机械设计》S ，所以
塑性力学复习题 一、填空题 1．塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还和（加载历史）有关。 2．对一般金属，体积应变完全是（）的，静水压力不产生（）。它对屈服极限的影响（）。 3．下图是低碳钢作简单拉伸试验得到的应力—应变曲线。 （1）图中P点的纵坐标称为（），记作（）。Q点的纵坐标称为（），记作（）。对应于R点的应力称为（），对应于SA的应力称为（）。一般把（）称为屈服极限，以（）表示。 σ阶段，服从（）。 （2）在σ≤ s （3）σ—ε曲线的ABF段称为（）。 （4）卸载时卸掉的应力σ'与恢复的应变ε'之间也应当服从（）。 （5）经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了，屈服极限提高了。这种现象称为（）。 （6）σ—ε曲线至F点后开始下降，这是由于在F点处试件已开始出现（）现象。 ε=（）， 4．八面体面上的正应变为 8 γ（）。 剪应变为= 8 σ=（）。 5．用主应力表示的等效应力（或应力强度）为： i 用六个应力分量表示的等效应力（或应力强度）为： σ=（）。 i 6．用主应力表示的等效剪应力（或剪应力强度）为：T = （）。 用六个应力分量表示的等效剪应力（或剪应力强度）为： T = （）。 μ=（）。 7．应力状态的Lode参数为： σ ε=（）。 8．用主应变表示的等效应变（或应变强度）为： i 用六个应变分量表示的等效应变（或应变强度）为： ε= （）。 i 9．用主应变表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：Γ=（）。 用六个应变分量表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：
Γ=（ ）。 10．表示应变状态特征的Lode 参数为：εμ=（ ）。 11．第一应力不变量为：1I =（ ）=（ ）。 第二应力不变量为：2I =（ ）=（ ）。 第三应力不变量为：3I =（ ）=（ ）。 12．第一应变不变量为：1I '=（ ）=（ ）。 第二应变不变量为：2I '=（ ）=（ ）。 第三应变不变量为：='3I （ ）=（ ）。 13．应力偏张量的第一不变量为：=1J （ ）。 应力偏张量的第二不变量为：2J =（ ） =（ ）。 应力偏张量的第三不变量为：3J =（ ）=（ ）。 14．应变偏张量的第一不变量为：='1J （ ）。 应变偏张量的第二不变量为：='2 J （ ） =（ ）。 应变偏张量的第三不变量为：3J '=（ ）=（ ）。 15．在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界叫做（ ）。 16．主应力按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为（ ）。 17．主应力不按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为 （ ）。 18．用应力偏张量的第二，第三不变量表示的Tresca 屈服条件为： （ ）。 19．Mises 屈服条件为（ ） 或（ ）。 二、判断题（如果题中的说法正确，就在后面的括号里填“√”反之填“×”） 1．塑性应变和应力之间具有一一对应的关系。（ ） 2．进入塑性状态后，应力与应变之间呈非线性关系。（ ）。 3．一个已知应力状态（σ1，σ2，σ3）对应π平面上唯一的点S 。反之，π平面上的一点S 也唯一地确定它所代表的原始应力状态。（ ） 4．如果以单向拉伸得到的σ为基础，则Mises 屈服条件和Tresca 屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，（ ）在纯剪切时二者差异最大，约为15％。（ ） 三、选择题（只能选一个答案） 1．如果规定σ1≥σ2≥σ3，则最大剪应力为（ ）： a ．22 1max σστ-=； b ．231max σστ-=； c ．2 32max σστ-=。 2．单向拉伸（0,0321==>σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 3．纯剪切（312,0σσσ-==）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 4．单向压缩（0,0321<==σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。
复习题 一、选择题 01．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz 坐标系），一般确定一点应力状态需（ ）独立的应力分量。 A ．18个； B ．9个； C ．6个； D ．2个； 02．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小（ ）。 A ．一般不等于零； B ．等于极大值； C ．等于极小值； D ．必定等于零 ； 03．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为（ ）。 A ．π/2； B ．π/4； C ．π/6； D ．π； 04．正八面体单元微截面上的正应力σ8为：（ ）。 A ．零； B ．任意值； C ．平均应力； D ．极值； 05．从应力的基本概念上讲，应力本质上是（ ）。 A ．集中力； B ．分布力； C ．外力； D ．内力； 06．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的（ ）。 A ．线位移； B ．角位移； C ．刚性位移； D ．变形位移； 07．若物体内有位移u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体（ ）。 A ．一定产生变形； B ．不一定产生变形； C ．不可能产生变形； D ．一定有平动位移； 08．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系（ ）的关系式。 A ．应力分量与应变分量； B ．面力分量与应力分量； C ．应变分量与位移分量； D ．位移分量和体力分量； 09．当受力物体内一点的应变状态确定后，一般情况下该点必有且只有三个主应变。求解主应变的方程可得出三个根。这三个根一定是（ ）。 A ．实数根； B ．实根或虚根； C ．大于零的根； D ．小于零的根； 10．固体材料受力产生了塑性变形。此变形过程（ ）。 A ．必定要消耗能量； B ．必定是可逆的过程； C ．不一定要消耗能量； D ．材料必定会强化； 11．理想弹塑性模型, 这一力学模型抓住了（ ）的主要特征。 A ．脆性材料； B ．金属材料； C ．岩土材料； D ．韧性材料； 12．幂强化力学模型的数学表达式为σ=A εn ，当指数n=1时，该力学模型即为（ ）。 A ．理想弹塑性力学模型； B ．理想线性强化弹塑性力学模型； C ．理想弹性模型； D ．理想刚塑性力学模型； 13．固体材料的弹性模E 和波桑比ν（即横向变形系数）的取值区间分别是：（ ）。 . 0, 00.5; . 0, 11;. 0, 0.50.5; . 0, 00.5; A E B E C E D E νννν<<<>-<<<-<<><< 14．应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数(0ij ij U σε?=?)此式是用于（ ）。 A ．刚体； B ．弹性体； C ．弹塑性体； D ．刚塑性体 ； 15．主应力空间π 平面上各点的（ ）为零。 A ．球应力状态m ij σδ； B ．偏斜应力状态ij s ； C ．应力状态ij σ； D ．应变状态ij ε；
第一章弹塑性力学基础 1.1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 1.2对照应力张量与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 解：两者主方向相同。。 1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义： 解：μσ的定义、物理意义：； 1) 表征S ij的形式；2) μσ相等，应力莫尔圆相似，S ij形式相同；3) 由μσ可确定S1：S2：S3。 1.4设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应 力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解：该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为：
1.5利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解：求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为， 1.6 已知应力分量为，其特征方程为 三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解：求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系
代入数据得，， 1.7已知应力分量中，求三个主应力。 解：在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 1.8已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解：先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。 由此求得： 然后求得：，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 1.9 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第四章 4.1已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112n =，122 n = ，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和 剪应力n τ。 解：应力矢量T 的三个分量为 11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =- 总应力111.8T a 。 正应力26.04n i i T n a σ==。 剪应力108.7n a τ。 4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12?=?T m T n 。 证：利用应力张量的对称性，可得 12()()ij i j ji i j n m n m σσ?=??===??=?T m n σm m σn T n 。证毕。 4.3某点的应力张量为 01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=???????????????? 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ= 即 2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-= 上式有两个解：20n =或1y σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得 1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，
课件作业： 1、应力分析：已知某点应力状态的应力分量为： ? （1）、该点的应力张量、应力偏张量、应力球张量； ? （2）、求其主应力和主应力的方向(用两种方法)； ? （3）、求其主切(剪)面上的正应力、切(剪)应力； ? （4）、求其八面体上的正应力、切(剪)应力； ? （5）、求其等效应力； ? （6）、画出该点的应力莫尔圆，并标出主切(剪平)面和八面体平面的的位置。 解：（1） （2）、解法一： 状态的特征方程032213=---J J J σσσ中的应力不变量为： )(21125)(70 )(222322221=++-+=-=+++++-==++=xy z xz y yz x zx yz xy z y x x zx yx xy x z z y y x z y x J J J τστστστττσσστττσσσσσσσσσ 得力状态的特征方程： 011257023=+-σσσ 解得： 0,2545321===σσσ， 求三个主应力分量的作用方向：先求主应力451=σ的微分面的方向： 解此方程得可得451=σ的微分面的方向， 同理，可分别求得02532==σσ和所作用的微分平面的方向： 解法二： （3）、主切面上的正应力、切应力： 102/,352/21122112±=-±==+= ）（）（σστσσσ （4）、因为有：3 3 321±===l l l 3.3233/3218=++= =）（σσσσσm (5)、等效应力: []0512.392/2/32 312322218=-+-+-==） （）（）（σσσσσστσ （6）、57737.03 157785.07.540 =≈ =COS 2、应变分析：已知某受应力作用点的三个应变分量为：161430321-=-==εεε，，，试求60cos ==n m 线元 r r γε,。 解： x x 30,40,y xy y σσττ====
应力张量的认识（三）
本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到 后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises 理论的思考
前面两部分分别介绍了应力张量的基础和对齐本质的思考，最终得出了应力张量的本质是一个线性变换的结 论。这一部分是对上述结论的验证计算和关于严谨性方面的补充证明。 前面两部分参考链接 应力张量的认识（一） 应力张量的认识（二）
验证计算
为了加深对应力张量是线性变换的矩阵的理解，进行如下计算：从线性变换的角度求出变换矩阵（即应力张 量），并验证其相似性。 为了计算方便又不失一般性，取如下图所示的计算条件：
S1、S2 为全局绝对坐标系下的两个局部坐标系（他们由截取 P 的两两相互垂直的平面的法向决定），S1 和 全局坐标系重合，S2 为全局坐标系绕 z 轴逆时针旋转 90° 得到。P 点应力状态在 S1、S2 系下，分别可以用一 个应力张量表示，并且是相似的。接下来就从线性变换角度计算说明。 S1、S2 的基及过渡矩阵 根据局部坐标轴在全局坐标系下的方向余弦容易得到他们的基分别为：
α 基到 β 基的过渡矩阵 W 满足 β=αW 同理 β 基到 α 基的过渡矩阵 W 满足 α=βW 解出
-1 -1
线性变换在基下的矩阵 设全局坐标系描述下，应力张量表示为
设 T 表示应力张量对应的线性变换，T(α1)表示 α1 截面上的应力，显然 T(α1)=(σ11,σ12,σ13) T(β1)表示 S2 坐标系下 β1 截面上的应力，对应的是全局坐标系下 y 截面的应力，即 T(β1)=(σ21,σ22,σ23) 于是可得到
T T
根据 T(α)=αA，T(β)=βB，得到线性变换在两个基下的矩阵分别为
也就是 P 点在 S1、S2 坐标系下的应力张量（由于表示上的缘故，这里为转置关系）。 相似关系 验证可知 W AW=B，即 A~B
-1