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几种可降阶的高阶方程

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讲稿

偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0(' =?，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得 ),()),((2 1 )()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+= ),(2 ),()(2 00x Ax x b Ax x J λλ+ -+= ),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-= 必要性:由0)0(' =?,得,对于任何n R x ∈,有 0),(0=-x b Ax , 由线性代数结论知, b Ax b Ax ==-00,0 充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈, 0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2 补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意 )()(0I C x ∞∈?,有 ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()(' 1?? ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到 )(0)()(021I C x g g b a ∞ ∈?=-??? 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等. 补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式

几类分数阶微分方程边值问题和初边值问题的

几类分数阶微分方程边值问题和初边值问题的数值方法聂宁明摘要分数阶微积分实际上已有三百多年的历史,由于缺乏物理、力学背景的支持,它的发展极其缓慢.直到20世纪后期,人们才意识到在石油渗流、地下水污染防治、黏弹性材料、信号与图象处理、控制、量子力学、金融及生命科学等多个领域,分数阶微积分和分数阶微分方程都有重要的应用,从而开始重视对其数值算法的研究. 本文针对几类分数阶常微分方程边值问题和分数阶偏微分方程初边值问题,构造不同的数值方法进行求解并给出相应的误差分析. 第一章介绍分数阶微积分的历史和发展现状,并给出分数阶微积分的基本定义和性质. 第二章考虑Riemann-Liouville分数阶微分方程两点边值问题,先讨论分数阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性条件,然后用打靶法对其进行数值求解,并对线性情形,给出误差分析. 第三章介绍如何用三次样条配置法来数值求解分数阶微分方程两点边值问题,并给出误差估计和数值算例. 第四章运用谱方法求解分数阶微分方程的边值问题和初边值问题.第一节用谱方法求解高阶导数是二阶,低阶导数是分数阶的微分方程两点边值问题,分析谱逼近解的收敛性,并通过数值算例验证谱精度.第二节,将谱方法用于求解稳态分数阶对流扩散方程,分析算法的稳定性和收敛性,并通过数值计算验证算法的可行性.第三节以地下水污染问题中抽象出来的空间分数阶扩散方程为例,介绍谱方法求解分数阶偏微分方程初边值问题的过程.对该方程,在空间方向用Galerkin谱方法进行数值逼近,在时间方向用向后Euler差分格式进行离散求解,分析方法的稳定性和收敛性,并通过数值算例验证理论分析结果. 为了进一步说明分数阶微分方程的意义,在第五章中给出了分数阶微分方程在石油渗流问题中的一个应用实例.通过对破裂可形变地层中裂口附近的渗流情况的研究,给出了分数阶微分方程模型的建模过程,并用数值计算的结果说明分数阶微分方程模型在实际中优于整数阶微分方程模型的事实.

微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类：第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组

可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程解法 ①())(x f y n =型的微分方程对())(x f y n =两边积分，有 ()?+=-11)()(C dx x f x y n ， ()()212])([C dx C dx x f x y n ++=??-， …… 依次进行n 次积分即得通解． ②()y x f y '='',型的微分方程方程的特点是右端不显含y ，令p y ='，则p y '=''，于是原方程化为),(p x f p ='，是关于p 的一阶方程，若其解为),(1C x p ?=，即 ),(1C x dx dy ?=，积分求解即可． ③()y y f y '='',型的微分方程方程的特点是右端不显含自变量x ，令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''，于是原方程化为),(p y f dy dp p =，是关于p 的一阶方程，若其解为),(1C y p p =，即),(1C y p dx dy =，再积分求解即可．例题1求下列各微分方程的通解（1）x x y x y e 1+'=''；（2）()221 12y y y y '+-='' 解（1）原方程属于()y x f y '='',类型．令p y ='，则p y '=''，原方程可化为 x x p x p e 1+= '，此为P 的一阶线性方程，其通解为 () 1111e e e e C x C dx x p x dx x x dx x +=????????+???=???? ??-??? ??--，

所以 () 1e C x dx dy x +=，分离变量后得 () dx C x dy x 1e +=，两边积分，得原方程的通解为 2212 1e )1(C x C x y x ++-=．（2）原方程为属于()y y f y '='',类型．令p y ='，则dy dp p y =''，代入原方程得 22112p y y dy dp p +-=，当0=p 时，得0==dx dy p ，即C y =为原方程的解；当0≠p 时，得 p y y dy dp 1 122+-=，分离变量 dy y y p dp 1 122+-=，两边积分 ()1 2ln arctan 1ln ln C y y p +-+=，即 ()y y C p arctan 21e 1-+=，从而 () y y C dx dy arctan 21e 1-+=，分离变量，再两边积分后，得原方程通解为 2arctan 1e C x C y +=．练习练习1求方程222()0d y dy y dx dx -=的通解练习2求方程1'''y y x = 的通解。

二阶常微分方程边值问题的数值解法

摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；

ABSTRACT This article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；

二阶常微分方程地降阶解法

航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant

高阶方程的降阶技巧

高阶方程的降阶技巧目录一．高阶方程的引入及定义 (1) 二．几类常见的可降阶的高阶微分方程 (2) （一）()y f x ' '=型的微分方程………………………………………2 （二） (,)y f x y '''= 型的微分方程 (3) （三）(,)y f y y ' ''=型的微分方程.............................................4 （四）二阶方程的幂级数解...............................................................5 三．其他情况的高阶微分方程............................................................7 四．总结.......................................................................................12 参考文献 (12)

高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。关键词:线性微分方程，降阶，非零特解

一．高阶方程的引入及定义所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数. 函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程 (,,, ,)0n n dy d y F x y dx dx = （1）的左端为y 及, ,n n dy d y dx dx 的一次有理整式。则称（1）为n 阶线性微分方程.不是线性方程的方程称为非线性微分方程. 如果函数()y x ?=代入方程（1）后,能使它变为恒等式.则称函数()y x ?=为方程（1）的解. 我们把含有n 个独立的任意常数12,n c c c 的解12(,)n y c c c ?=称为n 阶方程（1）的通解.

二阶常微分方程的降阶解法.

郑州航空工业管理学院毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

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