第一讲 数的整除
一、内容提要：
如果整数A 除以整数B （B ≠0）所得的商A /B 是整数，那么叫做A 被B 整除． 0能被所有非零的整数整除．
一些数的整除特征 除 数
能被整除的数的特征 2或5
末位数能被2或5整除 4或25
末两位数能被4或25整除 8或125
末三位数能被8或125整除 3或9
各位上的数字和被3或9整除（如771，54324） 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整
除（如143，1859，1287，908270等）
7，11，13 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和
相减，其差能被7或11或13整除．（如1001，22743，17567，
21281等）
能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除．
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1 已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除．求x ，y
解：x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y =6．
∵328＋92x ＝567，∴x =3．
例2 己知五位数x
1234能被12整除，求x．
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8．
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8．∴x＝8．
例3 求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数．
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．
三、练习
1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296．
2若四位数a
987能被3整除，那么a=_______________．
3若五位数1234
x能被11整除，那么x＝__________．
4当m=_________时，5
35m能被25整除．
5当n=__________时，n
9610能被7整除．
6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．
7能被4整除的最大四位数是_____，能被8整除的最小四位数是______．88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________，8__________，9_________，11__________．9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个．
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？
11己知五位数A
1234能被15整除，试求A的值．
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．
第二讲倍数约数
一、内容提要
1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B/A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数．例如3/15，15是3的倍数，3是15的约数．2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．
5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．
7．在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．
解：列表如下：
正
整数正约数
个
数
计
正
整
数
正约数
个
数
计
正
整
数
正约数
个
数
计
2 1，2 2 31，
3 2 2×3 1，2，
3，6
4
22 1，2，4 3 32 1，3，32 3 22×3 1，2，3，
4，6，12
6
23 1，2，
4，8
4 33
1，3，
32，33
4 22×32
1，2，3，
4，6，9，
12，18，36
9
24 1，2，4，
8，16
5 34
1，3，32，
33，34
5
其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数，m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)
例如：求360的正约数的个数．
解：分解质因数：360＝23×32×5，
360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）．
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6．
最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]=360．
例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N．
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数．
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6．
经检验1和2不合题意，∴N＝6，3．
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．
解：∵[10，9，8]=360，∴所以所求的数是359．
三、练习
1．12的正约数有_________，16的所有约数是_________________
2．分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________
3．用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．
4．一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5．能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6．己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7．写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答____
8．一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9．一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
第三讲 质数 合数
一、内容提要
1．正整数的一种分类：1?????
质数合数
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．
2． 根椐质数定义可知
① 质数只有1和本身两个正约数，
② 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，
3．任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．
二、例题
例1 两个质数的和等于奇数a （a ≥5）．求这两个数．
解：∵两个质数的和等于奇数， ∴必有一个是2，
所求的两个质数是2和a －2．
例2 己知两个整数的积等于质数m ， 求这两个数．
解：∵质数m 只含两个正约数1和m ，
又∵（－1）（－m ）=m ，
∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m ．
例3 己知三个质数a ，b ，c 它们的积等于30，求适合条件的a ，b ，c 的值．
解：分解质因数：30＝2×3×5．
适合条件的值共有： ?????===532c b a ?????===352c b a ?????===523c b a ?????===253c b a ?????===325c b a ??
???===235
c b a ．
应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a ，b ，c ，d 它们的积等于210，即abcd =2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来．
例4 试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．
解：（本题答案不是唯一的）
设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5
那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数
即32，33，34，35就是所求的一组数．
本题可推广到n 个．令N 等于不大于n +1的所有质数的积，那么N ＋2，
N ＋3，N ＋4，……N ＋（n +1）就是所求的合数．
三、练习
1．小于100的质数共 个，它们是 ．
2．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝ ，Q ＝ ．
3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是 ．
4．如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是 ．
如果两个整数的积等于73，那么它们是 ．
如果两个质数的积等于15，则它们是 ．
5．两个质数x 和y ，己知xy=91，那么x = ，y = ，或x = ，y= ．
6． 三个质数a ，b ，c 它们的积等于1990．
那么 _____
__________a b c =??=??=?
7．能整除311＋513的最小质数是 ．
8．己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M ．
求M 及B A ＋A B
的值．
9．试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．
10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11．求适合下列三个条件的最小整数：
① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数．
12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，
那么这个质数是 ．
13．一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是 ．
第四讲零的特性
一、内容提要
（一）、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数．零是自然数，是整数，是偶数．
1．零是表示具有相反意义的量的基准数．
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支平衡可记作结存0元．
2．零是判定正、负数的界限．
若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0
记作a＞0 ?a是正数读作a＞0等价于a是正数
b<0 ?b是负数
c≥0 ?c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0 ?d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)
e≠0 ?e不是0（即e不是0，而是负数或正数）
3．在一切非负数中有一个最小值是0．
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0．
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）．
4．在一切非正数中有一个最大值是0．
例如－|x|≤0，当x＝0时，－| x |值最大，是0，（∵x≠0时都是负数），－（x－2）2≤0，当x＝2时，－（x－2）2的值最大，是0．
(二)、零具有独特的运算性质
1．乘方：零的正整数次幂都是零．
2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数．从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0．
3．乘法：零乘以任何数都得零．即a×0＝0，
反过来如果ab=0，那么a、b中至少有一个是0．
要使等式xy=0成立，必须且只需x=0或y=0．
4．加法：互为相反数的两个数相加得零．反过来也成立．
即a、b互为相反数?a+b=0。
5．减法：两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若a-b=0，则a=b；若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时，a-b>0；当a 例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米），误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下： 1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 二、例题 例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？ 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3．要使下列等式成立x 、y 应取什么值？为什么？ ①x （y －1）＝0， ② ｜x －3｜＋（y ＋2）2＝0 答：①根据任何数乘以0都得0，可知当x ＝0时，y 可取任何数； 当y ＝1时，x 取任何数等式x （y －1）＝0都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零，而｜x －3｜≥0，（y ＋2）2≥0， ∴它们都必须是0，即x －3＝0且y ＋2＝0， 故当x ＝3且y ＝－2时，等式｜x ｜＋（y ＋2）2 ＝0成立。 三、练习 1．有理数a 和b 的大小如数轴所示: b 0 a 2．比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接） 2a 0， －3b 0， a 1 0， － b 2 0， －a 2 0， －b 3 0， a +b 0， a －b 0， ab 0， (－2b )3 0， b a 0， b a - 0 3． a 表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。 ｜a ｜>a ， a 2> －a 2， a >－a ， a +1>a 4． x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。 ①（x －2）2有最小值0， ③ －｜x +3|有最大值0， ② 2－x 2有最大值2， ④ 3＋｜x －1｜有最小3。 5．绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 6．要使下列等式成立，字母x 、y 应取什么值？ ①0 x ＝0， ②x （x －3）＝0， ③｜x －1｜＋（y ＋3）2＝0 7．下列说法正确吗？为什么？ ① a 的倒数是a 1 ②n 表示一切自然数，2n －1表示所有的正奇数 ③ 如果a >b ， 那么22 m a m b > (a 、b 、m 都是有理数 ) 8．x 取什么值时，下列代数式的值是正数？ ① x （x －1） ② x （x ＋1）（x ＋2） 第五讲 数学符号 一、内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字．每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义． 数学符号一般可分为： 1． 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等． 2． 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等． 3． 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等． 4． 逻辑符号：略 5． 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部份记作Z （ b a ），而它的余数记作R （b a ）， 那么 Z （310 ）＝3，R （310）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么 []2.5＝5，[]2.5-＝－6，???? ??32＝0，[]3-＝－3． 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解． 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆． 二、例题 例1 设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n >为正整数n 除以3的余数 计算： ①〔4.07〕＋〔－732 〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉＋〔2 34> <〕． 解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔21 〕＝2＋0＝2 例2 ①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N （x ）表示整数x 的个位数， ① N （19871988）＝N （74×497）＝N （74 ）＝1 ②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3） ＝N （71）－N （33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 例3 定义一种符号★的运算规则为：a ★b =2a +b 试计算：①5★3 ②（1★7）★4 解：①5★3＝2×5＋3＝13 ②（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22 例4 设a ※b =a (ab +7), 求等式3※x =2※(-8)中的x 解：由题设可知：等式3※x =2※(-8)就是3（3x ＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕 ∴9x +21=－18 ∴x =－4 31 三、练习 1．设Q ＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q ＜2.15＞＝ Q ＜－12.3>= Q <－0.03＞＝ Q ＜51＞＝ 2．设｛n ｝表示不小于n 的最小整数，那么｛4.3｝＝ ｛－2.3｝＝ ｛－2｝＝ ｛－0.3｝＋｛0.3｝＝ 3．设〔m 〕表示不大于m 的最大整数 ①若m =2 则〔m 〕= ② 若n = －3.5则〔n 〕= ③若－1＜Y ＜0则〔Y 〕＝ ④若7≤b <8 则〔b 〕＝ ⑤若〔x 〕=4 则＿＿≤x ＜＿＿ ⑥若n ≤C 4．正整数a 和b 中，设a 除以b 的商的整数部分记作Z （b a ）余数记作 R （b a ），a b 的个位数记作n （a b ）,写出下列各数的结果： ①R （733）＋R （52）＝ ②Z （733）＋Z （52）＝ ③n (19891990)= 5．设n ！表示自然数由1到n 的连乘积 例如5！＝1×2×3×4×5＝120 计算：①120÷3! ②)!35(!3! 5- 6设=22 11 b a b a = a 1b 2－a 2b 1计算： ①21 43 ＝ ②11- 01-＝ 7．定义一种符号＃的运算法则为a ＃b =b a b a ++22 那么 ① 3＃2＝ ②2＃3＝ ② 1＃2）＃3 ＝ ④（－3）＃（1＃0）＝ 8．a ，b 都是正整数，设a ⊕b 表示从a 起b 个連续正整数的和． 例如2⊕3＝2＋3＋4 5⊕4＝5＋6＋7＋8 己知x ⊕5＝2005 求x 9．设［x ］表示不大于x 数的最大整数且{}x ＝x －［x ］求{}{}ππ＋－ 10．设［a ］表示不大于数a 的最大整数， 例如［2］＝1，［－2］＝－2 那么 ［3x +1］＝2x -21 的所有的根的和是 ． 第六讲 用字母表示数 一、内容提要和例题 1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字 计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃． 2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义． 例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数 解：①当a ≠0时， a 的倒数是a 1 ②设n 为整数， 2n 可表示所有偶数． 3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且 能使题设有意义． 例题① 化简：⑴｜x －3｜（x <3） ⑵| x +5| 解：⑴∵x <3，∴x －3<0， ∴｜x －3｜＝－（x －3）＝－x ＋3 ⑵当x ≥－5时，｜x ＋5｜＝x ＋5， 当x <－5时，｜x ＋5｜＝－x －5（本题x 表示所有学过的数） 例② 己知十位上的数是a ，个位数是b ，试写出这个两位数 解：这个两位数是10a +b （本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义，即a 表示1到9的整数，b 表示0到9的整数） 4， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使 左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明． 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是am bm a b =（m ≠0），m a m b a b ÷÷= （m ≠0） a 作为左边的分母不另说明a ≠0， ②d c a b c d a b ?=÷（d ≠0） d 在左边是分子到了右边变分母，故另加说明． 5， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆 用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明．例如： 乘法分配律，顺用a （b +c ）=ab +a c ， =?-)178 241716 16(8121724 172 -=1712 逆用5a +5b =5（a +b ）， 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14（6.25－5.25）=3.14 路程S =速度V ×时间T ， V =T S （T ≠0）， T =V S （V ≠0） 6， 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用． 例如：加法的符号法则 如果a >0，b >0， 那么 a +b >0，不可逆 绝对值性质 如果a >0，那么|a |=a 也不可逆（若|a |=a 则a ≥0） 7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式． 二、例题 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数，从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10 三位正整数从100到999共900个， 记作9×10 2 四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×10 3 （指数3=4-1） …… …… ∴n 位正整数共9×10 n -1个． 例2 A C D E B 在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后，图中共有几条线段？ 加n 点呢？ 解：以A 为一端的线段有： AC 、AD 、AE 、AB 共4条 以C 为一端的线段有：（除CA 外） CD 、CE 、CB 共3条 以D 为一端的线段有：（除DC 、DA 外） DE 、DB 共2条 以E 为一端的线段有：（除ED 、EC 、EA 外） EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 （条） 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n 个点，则共有线段1+2+3+……+n +1= n n 211++=2)2(+n n 条 三、练习 1， 右边代数式中的字母应取什么值？ ① 24 -x ②S 正方形=a 2 ③3的倍数3n 2， 用字母表示： ①一切奇数， ②所有正偶数， ③一个三位数， ④n 个a 相乘的结果， ⑤负数的绝对值是它的相反数． 3， 写出：⑴从1开始，n 个自然数的和是______________________ ⑵从11开始到2n +1 連续奇数的和（n >5）是__________ ⑶m 个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4， 已知999=103－1， 9999=104－1， 那么各位数都是9的n 位数 n 9999=_____ 5， 计算112= ，1112= ，（n ≤10时） n 2 1111=____________________ 6， 写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有10个点呢？ A E B C D O 第一章 有理数 课题：1.1 正数和负数 正数和负数的表示方法 一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。 正数、负数的概念 1）大于0的数叫做 ，小于0的数叫做 。 2）正数是大于0的数，负数是 的数，0既不是正数也不是负数。 【课堂练习】： 1．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________。 2．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239； 则正数有_____________________；负数有____________________。 3．下列结论中正确的是 …………………………………………（ ） A ．0既是正数，又是负数 B ．O 是最小的正数 C ．0是最大的负数 D ．0既不是正数，也不是负数 5．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，2 1-，2004，+2010； 其中是负数的有 ……………………………………………………（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【拓展训练】： 1．零下15℃，表示为_________，比O℃低4℃的温度是_________。 2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______ 地，最低处为_______地． 3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________。 4．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试 用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。 我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用__________ 和___________ 来分别表示它们。 例 (1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值； 解:(1)这个月小明体重增长__________ ,小华体重增长_________ ,小强体重增长_________ （2)2001年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%, 意大利增长0.2%, 中国增长7.5%. 写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率； 美国 -6.4% 德国__________ 法国___________ 英国__________ 意大利__________ 中国__________ 1）甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是 ； 七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套） 初一数学竞赛讲座 第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）. 5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位 数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得 E D A 2017七年级下册数学期末模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.） 1、下面四个图形中，∠1与∠2为对顶角的图形是（） A、B、C、D、 2、调查下面问题，应该进行抽样调查的是（） A、调查我省中小学生的视力近视情况 B、调查某校七（2）班同学的体重情况 C、调查某校七（5）班同学期中考试数学成绩情况 D、调查某中学全体教师家庭的收入情况 3、点3 (- P，)2位于（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4、如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸, 正确的是( ) A、 B、 C、 D、 5、下列命题中，是假命题的是（） A、同旁内角互补 B、对顶角相等 C、直角的补角仍然是直角 D、两点之间，线段最短 6、下列各式是二元一次方程的是（） A．0 3= + -z y x B. 0 3= + -x y xy C. 0 3 2 2 1 = -y x D. 0 1 2 = - +y x 7、某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半. 若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x，y的是（）. A、 ? ? ?x–y= 49 y=2(x+1)B、?? ?x+y= 49 y=2(x+1)C、?? ?x–y= 49 y=2(x–1)D、?? ?x+y= 49 y=2(x–1) 8、某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．小明得分要超过120分，他至少要答对多 少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x. 根据题意得：（） A、10x-5(20-x)≥120 B、10x-5(20-x)≤120 C、10x-5(20-x)＞ 120 D、10x-5(20-x)＜120 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请把下列各题的正确答案填写在答案卷上. 9、电影票上“6排3号”,记作（6,3）,则8排6号记作__________ . 10、 ? ? ? = - = + = 9 6 2 _________ y x y ax a时，方程组 ? ? ? - = = 1 8 y x 的解为． 11、如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件（填一个即可）． 12、为了了解某所初级中学学生对2008年6月1日起实施的“限塑令”是否知道，从该校全体学生1200 名中，随机抽查了80名学生，结果显示有2名学生“不知道”．由此，估计该校全体学生中对“限塑令”约 有名学生“不知道”． 13、甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为km d，则d的取值范围为． 三、解答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分) 14、解方程组 1 528 y x x y =- ? ? += ? ． 15、解不等式 1 32 2 x x - ≥+，并把它的解集在数轴上表示出来． 16、将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD＝∠E＝450，∠C＝300， AE BC ∥，求AFD ∠的度数． 17、已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长． 9.9 10.1 9.9 10.1 L＝10±0.1 第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ． 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、 BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键． 【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心． 初一下册数学辅导资料新人教版 填空题： 1、用正数或负数表示下列各题中的数量： (1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作______; (2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示______; (3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作______; (4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______; 2、最小的自然数是 ，的负整数是 ，最小的非负整数是 。 3. 将下列各数分别填入相对应的大括号里：5 ，32，2003，02.0，6.8，0 ，25，13 ，57，2。正数集合{ } 整数集合{ } 负数集合{ } 分数集合{ } 4. 不用负数，请讲出下列各题的意义。 (1)某公司在2003年上半年营销情况是50万元。 (2)向西走了150米。 (3)运走80吨大米。 三、解答题： 1、 把下列各数分别填在题后相对应的集合中：25，0，1，0.73，2，5 ，87，52.29，+28。 (1)正数集合： (2)负数集合： (3)整数集合：( 4)分数集合： (5)正整数集合： (6)负整数集合： (7)正分数集合：2、某地一天中午12时的气温是6°C，傍晚5时的气温比中午12时下 降了4°C，凌晨4时的温度比傍晚5时还低4°C，问傍晚5时的气温 是多少?凌晨4时的气温是多少? 答案：一、1、D;2、C;3、B;4、A 二、1(1)-4000米;(2)负2米;(3)+3万元;(4)-200米 2、0;-1;0 3、 正数集合{5，2003，6.8 ，57};负数集合 {32，02.0 ，25，13，2} 整数集合{5，2003，0，13，2};分数集合 {32，02.0，6.8 ，25 ，57} 4、(1)亏损50万元 (2)向东走了150米 (3)运进80吨大米三、1、(1)正数集合：0.73，2 ，87，+28 (2 )负数集合：25，1，5，52.29 (3)整数集合：0，1，2，5，+28 (4 )分数集合：25，0.73 ，87，52.29 (5)正整数集合：2，+28 (6)负整数集合：1，5 (7)正分 数集合：0.73 ，87 专题07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的 式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时， 代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？ 武康中学七（下）第一次数学基础知识竞赛 班级 姓名 学号 一、选一选（每小题 4 分，共 32 分） 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） （A ） x (a - b ) = ax - bx （B ） ax + bx + c = x (a + b ) + c （C ） x 2 - 2x +1 = (x -1)2 （D ） x 2 -1+ y 2 = (x -1)(x +1) + y 2 2. 已知某种植物花粉的直径为 0.00035 米，用科学记数法表示 该种花粉的直径是（ ） （A ）3.5×10 4 米 （B ）3.5×10 -4 米 （C ）3.5×10 -5 米 （D ）3.5×10 -6 米 3. 如图，由△ABC 平移得到的三角形有几个 （ ） （A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）15 4．小马虎在下面的计算中做对的题目是（ ） （A ） a 7 + a 6 = a 13 （B ） a 7 ? a 6 = a 42 （C ） (a 7 )6 = a 42 （D ） a 7 ÷ a 6 = 7 6 5. 下列图形中，∠1 与∠2 不是同位角的是（ ） （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 1 7．方程组? 6. 下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（ ） （A ） -m 2 + 4 （B ） -x 2 - y 2 （ C ） x 2 y 2 -1 （D ） (m - a )2 - (m + a ) 2 ?2x - y = 3 ? 4x + 3y = 1 的解是（ ） （A ） ??x = 1 （B ） ??x = -1 （C ） ??x = 2 （D ） ?x = -2 ? y = -7 ? y = -1 ? y = -1 ? y = 1 8. 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不 同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重， 骡子说：“你抱怨干嘛,如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！” 那么驴子原来所驮货物的袋数是（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填一填（每小题 4 分，共 28 分） 9. 当 x = 时，分式 3x - 9 的值为零. x - 2 10. 如图，请添一个使 EB//AC 的条件 。 11．分解因式：16a 2 - 9b 2 = . 12．计算： (- 1)0 ? 3-2 = . 3 13. 如图，直线 AB ，CD 被 EF 所截，且 AB ∥ CD ， 如 果 ∠ 1=125° ， 那 么 ∠ 2= ． 14. 若 非 零 实 数 a , b 满 足 2 a 2 - ab + 1 b 2 = 0 ， 则 b 4 a = 第十四讲图表信息问题 21世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的基本要求． 图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题． 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题． 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息，解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题． 【例题求解】 【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题： (1)慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车 早小时到达6地； (2)快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时； (3)A、B两地间的路程是． 思路点拨对于(2)，设快车追上慢车需t小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t的方程． 注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取． 【例2】已知二次函数c + =2的图象如图，并设M=b y+ ax bx + + - + 2， +2 - - + a a- a c b b b c a 则( ) A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0 思路点拨由抛物线的位置判定a、b、c的符号，并由1 x，推出相应y值的正负性． = ± 2014年暑假七年级数学复习班学习资料（01） 理想文化教育培训中心 学生:_________ 成绩____ 一、知识点梳理 1、相交线：在同一平面，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线就相交；这个公共点就叫做交点。 2、两直线相交，邻补角互补，对顶角相等。 3、垂线：如果两条相交线有一个夹角是直角，那么这两条直线互相垂直。 在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 公理：垂线段最短。 4、三线八角：同位角、错角、同旁角。 二、典型例题 例1、如图 ， OC ⊥AB ，DO ⊥OE ，图中与∠COD 互余的角是 ， 若∠COD=600，则∠AOE= 0。 例2、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠AOC 的对顶角是_____________， ∠AOD 的对顶角是_____________ 例3、如图∠B 与∠_____是直线______和直线_______被直线_________所截的同位角。 例4、已知：如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠２＝４∠１， 求∠２，∠３，∠ＢＯＥ的度数。 O 例1图 E D C B A O 例2图 F E D C B A 例3图 F C B A 三、强化训练 1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( ? ) A.150° B.180° C.210° D.120° (1) (2) (3) 3.下列说确的有( ) ①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④ 若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC?的度数为 ( ) A.62° B.118° C.72° D.59° 5.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30 C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°; D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 6.如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___. (4) (5) (6) 7.如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______. 8.如图5所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是 _______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______. 9.如图6所示,已知直线AB,CD 相交于O,OA 平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=?______. 七年级“希望杯”竞赛试卷 (考试时间90分钟，满分100分) 一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题3分，共10题，总共30分) 1．是任意有理数，则 的值( ). A ．大于零 B ． 不大于零 C ．小于零 D ．不小于零 2.某超市为了促销，先将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“××节大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电的原价为（ ） A. 2150元 B.2200元 C.2250元 D. 2300元 3.设， ＞，则 的值是（ ） A ． B. C. D. 4.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图（1）所示的立 方体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A ．21 B.24 C.33 D.37 5.某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。如果每只老虎每天吃肉 4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉 （ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 6.假设有2016名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1…… 的规律报数，那么第2010名学生所报的数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、不存在 8. 适合的整数的值的个数有 ………………（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米=10-9米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ） A 、0.5×10-9米 B 、5×10-8米 C 、5×10-9米 D 、5×10-10米 10、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（ ） A 3个 B 4个 C 5个 D 无数个 二、填空题（每题4分，共24分） 11.计算： = 。 12.平时我们常说的“刹那间……”，在梵文书《僧袛律》里有这样一段文字：“一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜（24小时）有三十须臾。”那 么，一刹那．．．是秒。 13. 当ｘ＝﹣2时，的值为9，则当ｘ＝2时，的值是。 14.对于任意有理数 我们规定 ，如果 ，那 么的取值范围是 。 15.为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，即 均为 （1 A B C D E 第十五讲 统计的思想方法 20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求． 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学． 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律． 【例题求解】 【例1】 现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示． (1)由观察所得， 班的标准差较大； (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分才可以及格． 思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案． 注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的： (1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势． 【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A ．2a+3b B ．b a +3 2 C ．6a+9b D ．2a+b 思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数． 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统 称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数 大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是 a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。 初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法 甲内容提要 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归 纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……， 归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ）， 三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1 (个) ③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明 朗化，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或 否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归 纳法证明） 乙例题 例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4 ……… 第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点 由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］× 21 + n , 即 2)1 (- n n 个交点。 第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示． 七年级数学复习班学习资料（01） 优胜教育教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩____ 一、知识点梳理 1、相交线：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线就相交；这个公共点就叫做交点。 2、两直线相交，邻补角互补，对顶角相等。 3、垂线：如果两条相交线有一个夹角是直角，那么这两条直线互相垂直。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 公理：垂线段最短。 4、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。 二、典型例题 例1、如图 ， OC ⊥AB ，DO ⊥OE ，图中与∠COD 互余的角是 ， 若∠COD=600 ，则∠AOE= 0 。 例2、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠AOC 的对顶角是_____________， ∠AOD 的对顶角是_____________ 例3、如图∠B 与∠_____是直线______和直线_______被直线_________所截的同位角。 例4、已知：如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠２＝４∠１， 求∠２，∠３，∠ＢＯＥ的度数。 O 例1图 E D C B A O 例2图 F E D C B A 例3图 F C B A F E O D C B A 3 2 1 三、强化训练 1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( ? ) A.150° B.180° C.210° D.120° O F E D C B A O D C B A 60?30? 34 l 3 l 2 l 1 12 (1) (2) (3) 3.下列说法正确的有( ) ①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④ 若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC?的度数为 ( ) A.62° B.118° C.72° D.59° 5.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30 C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°; D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 6.如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___. 2019-2020年七年级数学下册竞赛试题北师大版 一、选择题： 1、已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数、1、－1，那么表示（） （A）A、B两点的距离（B）A、C两点的距离 （C）A、B两点到原点的距离之和（D）A、C两点到原点的距离之和 2、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只元，稍后又买回3只羊，平均每只元，后来他以每只的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（） （A）（B）（C）（D）与、的大小无关 3、两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（） （A）273 （B）819 （C）1199 （D）1911 4、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐 5 人，租金24元，则该班至少要花租金（） （A）188元（B）192元（C）232元（D）240元 5、已知三角形的周长是，其中一边是另一边2倍，则三角形的最小边的范围是（）（A）与之间（B）与之间（C）与之间（D）与之间 6、两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的容积之比为 :1，另一个瓶子中酒 精与水的容积之比是 :1，把两瓶溶液混在一起，混合液中酒精与水的容积之比是( ）（A）（B） （C）（D） 二、填空题： 7、已知，，，且＞＞，则＝； 8、设多项式，已知当＝0时，；当时，， 则当时，＝； 9、将正偶数按下表排列成5列： 第1列第2列第3列第4列第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 第四行 32 30 28 26 ……………… 根据表中的规律，偶数2004应排在第行，第列； 10、甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已 知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是 __________米； 11、有人问李老师：“你班里有多少学生？”，李老师说：“我班现在有一半学生在参加数 学竞赛，四分之一的学生在参加音乐兴趣小组，七分之一的学生在阅览室，还剩三个女同学在看电视”。则李老师班里学生的人数是； 12、如图，B、C、D依次是线段AE上三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A、B、C、 D、E这五个点为端点的所有线段长度之和等于。 13、某个体服装经销商先以每3件160元的价钱购进一批童装，又以每4件210元的价钱购进比上一次多一倍的童装. 他想把这两批童装全部转手，并从中获利20%，那么，他需要以每3件______元出手。 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：七年级上数学辅导资料
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