参考解答： 一、 填空题
1. A 定解 B 初值（或Cauchy 问题） C 存在性、唯一性和稳定性
2. D 双曲
3. E (1)(2)(4)
4. F [x-3t,x+t] ,G 决定区域
5. H 22
2(21)(1,2,)4n n L πλ-==L I
(21)cos (1,2,)2n x X n L
π-==L 二、解：无界区域上波动方程2
00,,0
|(),|()
tt tt t t t u a u x t u x u x ?ψ==?=-∞<<+∞>??==?? 的达朗贝尔公式为：
22
()()1(,)()2
2x at
x at x at x at u x t d a
??ψξξ+--++=
+
? 对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：
2(),()||x x x x ?ψ==即可，2a = ,代入达朗贝尔公式得
2222222
2(2)(2)1()||2224,25(4)
,24
x t
x t
x t x t u x d x xt t x t
x t x t ξξ
+--++=+??++≥?=?+
?? 二、
解：设(,)()()u x t X x T t =，则()''()4''()()X x T t X x T t =，
分离变量成为''()''()
4()()T t X x T t X x λ==-，则''()()0,'(0)'(1)0''()4()0X x X x X X T t T t λλ+===??+=?
， 解前一方程，得固有值22(0,1,2,)n n n λπ==L 和固有函数()cos X x n x π=，
代入方程''()4()0T t T t λ+=中可得()cos 2sin 2T t A n t B n t ππ=+，
1,2,3,)n =L （ 由叠加原理，原方程有解1
(,)(cos 2sin 2)cos n
n
n u x t A n t B
n t n x πππ∞
==
+∑。
考虑所给初值条件，有：0
1sin cos 02cos n n n
n x A n x B n n x
ππππ∞
=∞
=?
=????=??
∑∑ ，
则1
002sin A xdx ππ==?，1
0202sin cos 4
(1)n n A x n xdx n n πππ
?
?
==-??-?
?为奇数为偶数
，0n B =
故，原问题的定解为2
1
2
4
(,)cos 4cos 2(41)n u x t n t n x n πππ
π∞
==
--∑
。 四、解：首先，作变换(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+，将边界齐次化，只需令(,)(1)w x t x t α
α=≥ 原定解问题就可化为
函数(,)v x t 的定解问题：22010(1)2|0,|0,|0
t t xx x x x t v x v tx x t e v v v αααα-===?+---=-+?
?===??，特别地，当2α=时泛定方程可进一步化为
更简单的形式t t xx v v e -=。
然后，对上述方程求由齐次泛定方程导出的方程''()()0X x X x λ+=在边界'(0)(1)0X X ==时的固有值
221
()(1,2,)2n n λπ=-=L 和固有函数1()cos()2
X x n x π=-，(1,2,)n =L 利用常数变易法构造满足原泛定方程
的解11(,)()cos()2n n v x t T t n x π∞
==-∑ 代入得：221
11
('()()())cos()22t n n n T t n T t n x e ππ∞
=+--=∑。
由于1
14(1)11cos()(21)2n n n x n ππ-+∞
=-=--∑，可令12214(1)'()()()2(21)(0)0
n t
n n n
e T t n T t n T ππ-?-+-=
?-??=?
解得221
()12
22
32(1)()
()(21)(4(21))
n t
n t
n e e T t n n πππ-----=
-+-， 故原方程的解为：221
()12
222
1
32(1)()1
(,)cos()(21)(4(21))2n t
n t
n e e u x t x t n x n n ππππ---+∞=--=+
--+-∑ 五、解：
I 22
22
4()42
1
11()()222x x jx j x
j x
f x F e
d e
e
d e
e
d β
βωωβωωβ
ωωωωπ
π
π
-
-
+∞
+∞
+∞
--
--∞
-∞
-∞
=
=
=
=
?
?
?
II 对所给初值问题关于变量x 作Fourier 变换，记(,)[(,)](,)i x U y F u x t u x t e dx ωω+∞
--∞
==
?
，
并设(,)f x t 的Fourier 变换为(,)F t ω ，()x ?的Fourier 变换为()ωΦ，得：220[,]|[]
t dU
a U F t dt U ωωω=?=-+?
??=Φ? ，
对其求解可得2
2
2
2
22
22
4()4()
(,)()(,)[()](,)x x a t a t t
t a t
a t U t e
F t e d F x F F F d ξωω
ξωωξξ?ωξξ-
-
---=Φ+=+??.
进行Fourier 逆变换，并利用卷积性质，有：
2
2222
2
222
2
()4()
40440
(,)((,()(,)(2)(2,)x a t a t
t
t
a a t
t
u x t d f x x e d f x t e
d x
e d d
f x t e d ηηξηηξ
ηη?ηηξηξη
?ηηηξη?ηξξη
--
-
-+∞
+∞
-∞
-∞
-
-
+∞
+∞
-∞
-∞
+∞+∞
---∞
-∞
=+-=---=
-+
--????
?
?
?
?
六、I
证：令取x t =
，()()(/(/()y x x P x t P t t Y t ααα===，
则112'()('()(''()(''()2'()(1)())y x t Y t t Y t y x t Y t t Y t t Y t q ααααααααα---=+=++-
代入方程2
2
'''()0x y pxy q x r y ++-=中，变形为2
2
''()(2)'()((1))()0t Y t p tY t x qr p Y t αααα+++-++-= 若令121,2p p αα-+==
，方程成为：222
1''()'()((1))()04
x Y x xY x x qr p Y x ++---= 这是一个n 阶Bessel
方程(2)n =
II 解：对所给方程，取3,4,6p q r ===
得11,252
p
n α-=
=-== 知所给方程化成的Bessel 方程是5阶的，有通解12()()()n n Y t c J t c Y t =+，
因此，原方程的通解为1
1525()((2)(2))y x x c J x c Y x -=+。
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u
数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问题（10分） 设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程： （a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止 （b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力 F(t) 解：（a ）() ()()() ???? ?????≥='=≤≤==><<
,13c x y dx dy +-=→= 令???-=+=y x y x 3ηξ ???===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ??? ????++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得 ?????????+-=-+=++=-=+=ηη ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y 2329632 （4） 把（4）代入（1），可得 0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u 即 02 1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。 三、（每小题10分，共20分） ①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x y t y ??=??的通解。 ②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。 解：①设v t x u t x =-=+52,52，得 )()(v G u F y +=， )5()('5)('-?+?=????+????=??v G u F t v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1）
最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
2011-2012 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码 （A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。 1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题. (A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）. (A) 2260u u u u t x ??++-=??； (B) 2222cos 40?+-?-=?u t t u x x ； (C) 2 90???+-= ???? u xu t t ； (D) 22 60??+?-?=??t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）. (A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数； (D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）. (A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3 R Ω?为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）. (A) 若2 ()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f Γ??=Ω?=?在内 的解是唯一确定的； (B) 若2 1() ()u C C ∈ΩΩ，则2u u dV dS n Ω Γ??=?????? ； (C) 牛曼内问题20,|1u u n Γ??=Ω? ??=???在内有解且不唯一；
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
孝感学院
解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’)
解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’)
数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得：
21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===><
2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 、长度为 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。 分 、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是 ()2 x l x -，试写出其定解问题。 分 、试用分离变量法求定解问题 分 ： ?????????===><
222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 分 ： ???????==??=??=+=-). ()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（ 分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 、用积分变换法求解定解问题（ 分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 、用积分变换法求解定解问题 分 ：
一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+??? ??y dx dy …… 5分
即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换：???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ …… 10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得
数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=
其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（）. 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件 f u n u S = + ? ? ) (σ 是第（）类边界条件，其中S为边界. 5.设函数 ), (t x u的傅立叶变换式为), (t Uω，则方程2 2 2 2 2 x u a t u ? ? = ? ? 的傅立叶变换 为（）. 6.由贝塞尔函数的递推公式有 = ) ( x J dx d （） . 7.根据勒让德多项式的表达式有 ) ( 3 1 ) ( 3 2 2 x P x P+ = （）. 8.计算积分 = ?-dx x P 2 1 12 )] ( [ （）. 9.勒让德多项式 ) ( 1 x P的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u 2.? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ????? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,1620020 22 222x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： ) (1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ2 1 cos ==r u ，即所提问题归 结为以下定解问题（10分）: . 0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222 πθθπθθθθ θ≤≤+=≤≤<<=????+????=r u r u r r u r r r (本题的u 只与θ,r 有关，与?无关) 《数学物理方程》模拟试题参考答案
数学物理方程试题（一） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为 x 2cos 。则其定解条件是 2. 方程 03=??-??x u t u 的通解为 3.已知边值问题???===+0 )()0(0 )()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n = 4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分，共15分） 1. 拉普拉斯方程02222=??+??y u x u 的一个解是（ ） （A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u += （C ）2 21),(y x y x u += （D ）22ln ),(y x y x u += 2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( ) （A ）ρc t x F x u a t u ),(222 22+??=?? （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x F a t F ),(22 2+??=?? (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题??? ??? ?=??=??=??=x aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0 2 2 222 ( 其中C L a 1 2 = )的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω
一 1D 2B 3D 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10D 二（10分）已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数。 .解： y e y u y e x u x x cos sin ==????（2分） 由C -R 条件，有x u y v ????=，y u x v ????-=，（2分） ∴. )(cos sin x y e ydy e dy x u dy y v v x x ?????+-====??? （2分） 再由y e y u x y e x v x x cos )(cos -=-='+-=?????， 得,)(,0)(C x x =='??于是 ∴C y e v x +-=cos （2分） )()cos (sin )(C e i C y e i y e z f z x x +-=+-+=(2分) 三 求解一维无界弦的自由振动，设弦的初始位移为φ（x ），初始速度为-a φ’(x)。 解：定解问题为： 分） （分）分）2)sin()]sin())[sin((21)]sin()[sin(212()(21)]()([21),(6() cos() sin(0002at x at x at x a a at x at x d a at x at x t x u x a u x u u a u at x at x t t t xx tt -=--+-+-++=+-++=?????-===-?+-==ξξψ?? 四 定解问题为 u tt -a 2u xx =0 u │x=0=0, u x │x=l =0 u │t=0=0 u t │t=0=v o （8分）
数学物理方程期末考试
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入， 设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出 其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?=
6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=