数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

（3）图示法（文氏图）：

4、常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A

6、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系———子集

对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B

注意： 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?B 或B ? A

集合A 中有n 个元素,则集合A 子集个数为2n ，真子集个数为2n -1，非空真子集个数为2n -2。 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即：A=B A B B A ???且 ① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A

②真子集:如果A ?B,且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ?B(或B ?A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．

3、交集与并集的性质：A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A.

4、全集与补集

（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。

（2）补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ?S ），由S 中 所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。 记作： C S A ，即 C S A ={x | x ∈S 且 x ?A}

（3）性质：⑴C U (C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ ⑶(C U A)∪A=U

(4)(C U A)∩(C U B)=C U (A ∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U (A ∩B)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;

(6)指数为零底不可以等于零;

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点

的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法：

A 、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B 、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换:

（1）将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象，将负数全转变为正数。

（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如1x

x x

y a y a a -??=== ???

与

（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如1log log log a a a

y x y x x ==-=与

Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x ±a) 左加右减； 由f(x)得到f(x)±a 上加下减

(3)作用：A 、直观的看出函数的性质；B 、利用数形结合的方法分析解题的思路；C 、提高解题的速度；发现解题中的错误。 4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．映射

定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、函数的表示法：

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

2 解析法：必须注明函数的定义域；

3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数。

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

都有f(x1)

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

复合函数单调性：口诀：同增异减y=f[g(x)]

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和

在一起写成其并集.

（4）判断函数的单调性常用的结论

①函数

()

y f x

=-与()

y f x

=的单调性相反；

②当函数

()

y f x

=恒为正或恒有负时，

1

()

y

f x

=

与函数

()

y f x

=的单调性相反；

③函数

()

y f x

=与函数()

y f x C

=+（C为常数）的单调性相同；

④当C > 0（C为常数）时，

()

y f x

=与()

y C f x

=g的单调性相同；

当C < 0（C为常数）时，

()

y f x

=与()

y C f x

=g的单调性相反；

⑤函数

()

f x、()

g x都是增（减）函数，则()()

f x

g x

+仍是增（减）函数；

⑥若

()0,()0

f x

g x

>>且()

f x与()

g x都是增（减）函数，则()()

f x

g x

g也是增（减）函数；

若

()0,()0

f x

g x

<<且()

f x与()

g x都是增（减）函数，则()()

f x

g x

g也是减（增）函数；

⑦设

()0

f x>，若()

f x

()(0)

k f x k>

g、()(1)

n

f x n>都是增函数，

而1

()f x 是减函数.

8．函数的奇偶性 （1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1、首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

2、确定f(－x)与f(x)的关系；

3、作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 函数奇偶性的性质

① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数()F x 与一个偶函数()G x 的和（或差）”.如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， 则()()()2f x f x F x --=，()()

()2

f x f x G x +-=.

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

9、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等， A 、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；

C 、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10．函数最大（小）值

（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； （2） 利用图象求函数的最大（小）值；

（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。

注意：(1)n

a =

(2)当 n a = ，当 n ,0

||,0

a a a a a ≥?==?-

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m n

a a m n N n *=>∈>且

正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n

m n

a

a m n N n a

*=

>∈>且

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r

s

r s

a a a

a r s R +=>∈

（2）()(0,,)r s rs

a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r

r r

a a

b a b r R =>>∈

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122

[(12)]1221-≠--而应= （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数x

y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 2、指数函数的图象和性质

0

a>1

图 像

性 质

定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 (2)在R 上是减函数 (2)在R 上是增函数 （3）当x>0时,01

（3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0

图象特征

函数性质 共性

向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）

过定点（0，1） 0

自左向右看，图象逐渐下降 减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,01

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢；

自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1

当x>0时,y>1;

注意：指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，

同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果x

a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N =

（ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）

说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化

log x a x N a N =?=

对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂

结论：（1）负数和零没有对数

（2）log a a=1, log a 1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：log N

a a

N =

（二）对数的运算性质

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

1、 log M N log log a a a M N ?=+（）

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M N

M

a a a

log log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3 、log log n n

a a M n M =∈（R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍

说明:

1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,＋∞)

4) 特别注意：N M MN a a a log log log ?≠ ()N M N M a a a log log log ±≠± 注意：换底公式()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b b

b a a

c c b a a

=

=>≠>≠>

利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1log =

②log log log log a b c a b c d d ??=③log log m n

a a n

b b m

=

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：log a

y =log 2a y x =+ 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a ≠1

2、对数函数的图像与性质：对数函数log a y x =(a>0，且a ≠1)

重要结论：在log a b 中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有log a b>0;

当a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有log a b<0.

口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指log a b 的值）

3、如图，底数 a 对函数x y a log 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4考点：

Ⅰ、log a b, 当a,b 在1的同侧时, log a b >0；当a,b 在1的异侧时, log a b <0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大

小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=log a a)进行传递。

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log a a ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=a x (a>0且a ≠1) 与y=log a x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x 对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法:

(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法

(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较 （三）幂函数

=的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

1、幂函数定义：一般地，形如y xα

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特

别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象

上凸；

（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限

内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，

当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点

3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。

4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：

（1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．

1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

重点：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布（零点）

两个根都在（m,n )内两个有且仅有一个在（m,n)内x1∈(m,n) x2∈(p,q)

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

高一历史必修一知识点汇总.

第1课从内外服联盟到封邦建国 知识结构: 1.夏:出现公共权力,但保留氏族公社特点。 2.商:政治制度是内服与外服制度,具有浓厚的神权色彩。 3.西周: 分封制定义: 目的:巩固周的统治(奴隶主的统治 主体:同姓亲族 宗法制目的:巩固分封制形成的统治秩序,解决贵族之间在权力、财产和土地继承上的矛盾。 核心:嫡长子继承制 内容:确立大宗、小宗体系 作用:利于凝聚宗族,防止内部纷争,强化王权 工具:礼乐制度 第2课中央集权制度的确立 知识结构: 1.统一 (1群雄割据 A.春秋争霸 B.战国变法:秦国商鞅变法。 (2统一:时间:前221年;人物:赢政。 2、中央集权的确立

(1确立: A. “皇帝制”:皇权至上、皇位继承制 B. 三公九卿制:三公是丞相、御史大夫、太尉(中央 C. 郡县制(地方 (2加强皇权的措施:制定官吏选拔和考核制度;制定细苛、严密的法律。 (3影响:打破分封制,奠定大一统王朝制度基础。 第3课中央集权与地方分权的斗争 知识结构: 1. 汉初郡国并行,导致诸候尾大不掉,引发七国之乱。 2. 汉武帝集权措施:建中朝、设刺史、颁布推恩令。 3. 藩镇割据与五代十国:唐朝中后期,地方势力增强,出现藩镇割据局面;唐灭亡后,中国进入五代十国的分裂时期,五代十国是藩镇割据的继续和发展;这一时期,南方经济得到较大发展;后周世宗改革,为北宋结束五代十国分裂局面奠定了基础。 4. 宋加强中央集权 (1措施①收精兵:“三衙”、枢密院、原则; ②削实权:设通判、文臣任州郡长官; ③制钱谷:财赋大部分运往京师; (2影响利:改变藩镇割据分裂局面,加强中央集权; 弊:造成“积贫积弱”的后患。 第4课专制皇权的不断加强

高一数学必修一的知识点总结介绍

高一数学必修一的知识点总结介绍 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x?R|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。 7、集合的运算 二、函数的概念 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A. (1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

高中地理必修一知识点总结完整版

高中地理必修一知识点总结完整版 第一部分地球的宇宙环境 ★考点1：了解不同级别的天体系统，说明地球在太阳系中的位置。 （1）天体系统的含义：宇宙中的各种天体之间相互吸引、相互绕转，形成天体系统。 （2）天体系统由高到低的层次： （3）地球在太阳系中的位置： 太阳系成员：太阳、行星及卫星、小行星、彗星、流星体、行星际物质；中心天体是太阳。八大行星按距日由近到远依次是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。 ★考点2：知道地球是太阳系中一颗既普通又特殊的行星，理解地球上存在生命的条件。 （１）普通性体现在： ①八大行星绕日公转运动的特征：同向性、共面性、近圆性； ②八大行星根据距日远近、质量、体积等特征分为三类：类地行星（水星、金星、地球、火星）、巨行星（木星、土星）、远日行星（天王星、海王星） （2）特殊性体现在：地球存在生命物质 ★考点3：了解太阳辐射对地球的影响。 （1）太阳直接为地球提供了光、热资源，地球上生物的生长发育离不开太阳。

（2）太阳辐射能维持着地表温度，是促进地球上的大气、水运动和生物活动的主要动力。 （3）为人类生产、生活提供直接和间接的能源。（石油、天然气）.太阳辐射影响因素（三个） 我国太阳能资源分布特点及原因 太阳能风能开发条件评价 能源丰富，市场大小距离，资金，技术，政策 新能源的优点：清洁无污染，可再生。缺点：能量密度小，变化大不稳定。 ★考点4：了解太阳活动对地球的影响。 （1）太阳大气层由内至外可以分为光球、色球、日冕层。 （2）太阳活动最主要的类型是黑子和耀斑，分别出现在太阳大气层的光球和色球，其活动的平均周期为11年。 （3）太阳活动对地球的影响主要有： ①影响无线电短波信号，导致通讯衰减或中断。②产生“磁暴”现象，指南针不能正确指示方向。③两极地区高空大气产生极光现象。④地球上许多自然灾害的发生与太阳活动有相关性。 ★考点5：知道地球自转和公转的方向、周期和速度 ★考点6：理解昼夜更替和地方时产生的原因，能够进行简单的区时计算。 （1）昼夜更替现象产生的原因：地球是不透明的球体，因此有昼半球和夜半球之分；地球持续不停地自转，因此昼、夜半球所处部分不停地变化，就有了昼夜更替现象。昼夜更替的周期是１个太阳日。（2）地方时产生的原因：地球自转使得同纬度地区不同地点见到太阳的时刻会有早晚。地方时的确定与经度的对应关系：太阳直射的那条经线地方时为12点，晨线与赤道相交点所在经线的地方时为6点，昏线与赤道相交点所在经线的地方时为18点。同一条经线上的地方时相同，经线（经度）不同地方时不同。经度每隔15°，地方时相差1小时；经度每隔1°，地方时相差4分钟。 （3）时区与区时 时区：为了统一标准，国际上把经度15°划分为一个时区，全球划分为24个时区。

高二语文必修五知识点总结

精心整理 高二语文必修五知识点总结 【一】 一、文言实词 (2)众人匹之 古义：一般人今义：多数人，大家 (3)虽然，犹有未树也。

古义：虽然这样今义：转折连词 (4)穷发之北 古义：毛，草木今义：头发 (5)小年不及大年 生物之以息相吹也(名词，气息) 4.词类活用 (1)名词用作动词。而后乃今将图南(往南飞)/奚以之九万里而南为(往南飞) (2)使动用法。德合一君(使……满意)/彼于致福者(使……到

来)/而徵一国者(使……信任)二、文言虚词 1.之 (1)助词，的。鹏之背，不知其几千里也/其翼若垂天之云(助词，的) 悲乎 /而彭祖乃今以久特闻 (3)连词，表并列。若夫乘天地之正，而御六气之辩 (4)连词，表承接。而控于地而已矣 3.则

(1)连词，就。海运则将徙于南冥 (2)连词，或者。时则不至 (3)连词，那么。则其负大舟也无力 4.然 (2)副词，还。彼且恶乎待哉 (3)副词，将要。且适南冥也 7.于 (1)介词，对于。彼其于世/彼其于世

(2)介词，在。覆杯水于坳堂之上 8.其 (1)用在选择问句中，或许……或说得过去，是……还是……其正色邪?其远而无所至极邪 ) ) ) 朝来暮去颜色故。(古义：容貌。今义：色彩。) 又闻此语重唧唧。(古义：叹息声。今义：一般指虫鸣。) 凄凄不似向前声。(古义：刚才。今义：朝着前面。) 河内凶，则移其民于河东。(古：黄河。今义：泛指河流。)

(古：谷物收成不好。今义：凶恶，厉害。) 弃甲曳兵而走。(古：逃跑。今义：行，走路。) 是使民养生丧死无憾也。(古：供养活着的人。今义：保养身体。) 五十者可以衣帛矣。(古：可以凭借。今义：表示同意、认可。) ) ) ) ) ) 赢粮而景从。(古：背负，担负。今义：获得，获胜。) 山东豪俊遂并起而亡秦族矣。(古：崤山以东。今义：山东省。) 古之学者必有师。(古：求学的人。今义：有专门学问的人。) 吾从而师之。(古：跟随并且。今义：表因果的连词。)

重点高中数学必修必修知识点总结

精心整理 高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2a ∈A 4（1（2（31.反之2．B ②真子集:如果A ?B,且B ?A 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ?B(或B ?A) ③如果A ?B,B ?C,那么A ?C ④如果A ?B 同时B ?A 那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A, A∪φ=A,A∪B=B∪A. 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 四、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ( 数） )(见课本 (1) 域 3. (1) 点 集合 实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标 系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现 解题中的错误。 4．了解区间的概念

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高中数学必修一知识点总结(全)

第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

高中数学必修一至必修五知识点总结

必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念

定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a

人教版高中英语必修一知识点归纳总结

高中必修一到必修五主要语法点 必修一：直接引语和间接引语(宾语从句)；现在进行时表将来；定语从句 必修二：定语从句(非限定定从、定从中的介词前提)；被动语态(一般将来时、现在完成时及现在进行时的被动语态) 必修三：情态动词；名词性从句(主语从句、宾语从句、表语从句及同位语从句) 必修四：主谓一致；非谓语动词(V-ing) ；构词法 必修 2 第一单元,非限制性定语从句的第二单元一般将来时的主被动第三单元现在完成时的主被动第四单元 现在进行时的主被动第五单元介词+which/whom的用法 必修 3 一二单元情态动词的用法三单元宾语从句和表语从句四单元主语从句 五单元同位语从句 必修4 第一单元主谓一致第二单v-ing作主语和宾语的用法第三单元v-ing作表语,定语和宾语补足语第四单 元v-ing作状语第五单元构词法 必修5 第一单元过去分词作定语和表语第二单元过去分词作宾语补足语第三单元过去分词作状语第四单元 倒装句第五单元省略句 必修一各单元知识点总结 Unit One Friendship 一、重点短语 1.go through 经历，经受get through 通过；完成；接通电话 2. set down 记下，放下 3. a series of 一系列 4 on purpose 有目的的 5. in order to 为了 6. at dusk 傍晚，黄昏时刻 7. face to face 面对面 8. fall in love 爱上 9. join in 参加（某个活动）；take part in 参加（活动） join 加入（组织，团队，并成为其中一员） 10. calm down 冷静下来 11. suffer from 遭受 12. be/get tired of…对…感到厌倦 13. be concerned about 关心 14. get on/along well with 与…相处融洽 15. be good at/do well in 擅长于… 16. find it + adj. to do sth. 发现做某事是…

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性

数学必修一定义域值域知识点总结

数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.

例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;

人教版高中数学必修五知识点总结

必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.

三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：

高中数学必修知识点总结

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必修 4 第一章三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 （3）坐标轴上的角： 2.弧度制 （1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.

注意：弧长公式:=l r α. 扇形面积公式:211 22 = =S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②πm n 形式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 （1）定义：设P (x ,y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有 （2）三角函数值的符号： 口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin 2α+cos 2α=1 三、三角函数的诱导公式 1.诱导公式 口诀2：函数名改变，符号看象限. 四、三角函数的图象与性质 1.正、余弦函数的图象 2.正、余弦函数的性质 （2）最值 ①y =sin x ：当22 =+ x k ππ时，取得最大值1，

高一数学必修一知识点总结归纳2020最新5篇

高一数学必修一知识点总结归纳2020最新5篇 高一学生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。 高一数学必修一知识点总结1 两个平面的位置关系： (1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。 b、相交 二面角 (1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。 (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 (4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 (5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp.两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为⊥ 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 高一数学必修一知识点总结2 1.二次函数y=ax ，y=a(x-h) ，y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对称轴 y=ax (0，0)

数学必修1知识点整理

新课标数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B ①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A