第五讲 指数与指数函数
一. 知识要点： 1．指数运算
(1) 根式的定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。 即若a x n
=，则x 称a 的n 次方根（)1*∈>N n n 且，
①当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。 （2）根式性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =；③当n
(0)
||(0)a a a a a ≥?==?-
。
（3）幂运算法则：①∈
???=n a a a a n ( N *) ②)0(10≠=a a ；
n 个
③∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n 。 （4）幂运算性质： ①r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）；②r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）；
③∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
2.指数函数：
(1) 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞； (2)函数图像及性质：
①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； ②当10<a 时函数为增函数。
③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称。
⑤函数值的变化特征：
()
()
()
10110010y x a y x y x >>??
>==??
<<
()
010011010y x a y x y x <<>??
<<==??
>
二.基础练习：
1.已知a ＜4
1，则化简42)14(-a 的结果是 2.算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ )3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2
b a b a b a -÷-； （2） 43
5)12525(÷-； （3）4
2
39
81?
3.已知x+x -1
=3,求下列各式的值：332
2
.x x -
+
4.比大小： （1）.1113
2
22,
(),33
-的大小顺序为
（2）.a ＜0,则 (2
1)a
，0.2)a
，2a 的大小顺序为
（3）.已知实数a 、b 满足等式b
a )3
1()2
1(=，下列五个关系式：
①0＜b ＜a ;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b ;④b ＜a ＜0;⑤a =b . 其中不可能成立的关系式有
5.设函数??
?
??<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程)()12(1x f x x -=+的解为 6.当x ＞0时，函数f (x )=(a 2-1)x
的值总大于1，则实数a 的取值范围是
三.例题精讲： 题型1：指数运算
例1（1）已知a =9
1
,b =9.求： ;3
153
83327
a a a a ?÷
-- 的值
（2）．已知：72=a ，25=b ，求
3
54
333
43
14
322
3
3
42
2
33969b
a b b
b a b a b
b a +?
+-----的值.
例 2．已知：63232==d
c b
a ，求证：)1)(1(1)(1(--=--c
b )d a .
题型2：指数函数
例3.若函数1
,0()1(),0
3
x x x
f x x ?
例4.若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
例6.求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f (x )=34
52+-x x ; （2）g (x )=-(5)2
1(4)41++x
x
.
例7.设a ＞0,f (x )=
x
x a
a e e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）求证：f (x )在（0，+∞）上是增函数. 题型3：综合应用
例8.要使函数y =1+2x
+4x
a 在x ∈（-∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.
例9.已知函数f (x )=(
.)2
11213
x x +- （1）求f (x )的定义域； （2）讨论f (x )的奇偶性； （3）证明：f (x )＞0.
例10.已知f （x ）=x
x x
x --+-10101010.
（1）判断函数奇偶性；（2）判断f （x ）的单调性； （3）求f （x ）的值域.
能 力 训 练 题
一、填空题
1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
;)(6
5
3
1
11132
b a b a b a ????-
- （2）.)4()3(6
521
3321
21231----?÷-??b a b a b a
2．求值：333
7
32137321-
++
. 3．设mn>0，x=m n
n m +
，化简：A=4
4222---x x x . 4.已知下列不等式，比较m 、n 的大小
(1)2m ＜2n (2)0.2m ＞0.2n (3)a m ＜a n （0＜a ＜1） (4)a m ＞a n （a ＞1） 5.设函数f (x )=a -|x |
(a ＞0,且a ≠1),f (2)=4,则
6.若函数f (x )=a x
-1 (a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a 等于 7.函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点 8.函数y =a x
（a ＞0,且a ≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大2
a
，则a 的值是 二、解答题
9.(x )=-x 2
+2ax 与g (x )=(a +1)1-x
在区间［1，2］上都是减函数，则a 的取值范围是
10.求下列函数的单调递增区间： （1）y =(2
26)2
1x x -+ (2)y =2
6
2--x x .
11.若函数y =4x
-3·2x
+3的定义域为集合A ，值域为［1，7］，集合B =（-∞，0］∪［1，2］， 则集合A 与集合B 的关系为
12.已知函数f (x )=
1
2
-a a （a x -a -x
） (a ＞0，且a ≠1). （1）判断f (x )的单调性；
（2）验证性质f (-x )=-f (x ),当x ∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f (1-m )+f (1-m 2
)＜0的实数m 的范围.
第五节 指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲 一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n =a m +n (m ,n ∈R )； (2)m m n n a a a -=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )； (4)(ab )m =a m b m (m ∈R )； (5)p p a a -=1 (p ∈Q ) (6)m m n n a a =(m ,n ∈N +) 二、指数函数 (1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 00 y =1?x =0 y >1?x <0 (5)0
专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年 1. 解析由题意知，m 太阳 E E 太阳 ，将数据代入，可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星 2 ， E 天狼星 所以 E .故选A. 太阳 10 10.1 E 天狼星 sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x x f x sin x x xcos x x 2 2
所 cos x x 所以f x为 [ n,n ]上的奇函数，因此排除A; n 0 ，因此排除B，C； sin n n f n 又 又 cos n n 2 1 n 2 故选D．3.解析：由函数y ，y log x 1 ，单调性相反，且函数 x 1 log a
1 a 图像恒 a x 2 2 1 可各满足要求的图象为D.故选D.过 ,0 2 2010-2018 年 1 1. D【解析】c log 1 y log x 为增函数， 3 log 5，因为 3 5 3 7 所以 log 5 log 3 3 log 3 1. 3 2 因为函数 1 x 1 1 1 0 y （）为减函数，所以（）（）1,故c a b,故选D. 3 4 2. B【解析】当x 0时，因为
ex 4 ex 4 x 0 ，所以此时 x e e f (x) x 2 1 0 ，故排除A. D； 1 又f (1) e 2 e ，故排除C,选B. 3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称 点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B. 解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A, 2(1 x) ，0 x 2知，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, 2) 上
第5讲 指数与指数函数 1. 化简[(－2)6]12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 2. 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x － 2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 3．函数f (x )＝a x － 1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝log 2(2x ) 4. 若a >1且a 3x ＋1>a － 2x ，则x 的取值范围为________． 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 指数函数的图象及应用 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 3.1.2《指数函数》学案(一） 姜永章 刘欢 张志华 2012.10.13 一、课标点击 (一)学习目标： 1、理解指数的定义并掌握指数函数的图象和性质； 2、能够利用指数函数的图象和性质解决有关问题。 (二)学习重、难点： 重点：指数函数的图象和性质 难点：指数函数的图象和性质的应用 （三）教学方法 自主探究，合作交流。 二、学习探究 问题1： 1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的 细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 2、质量为1的一种放射性物质不断地衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的50%，求这种物质的剩留量y 与时间 x 的函数关系。 观察你写的两个函数解析式，它们的共同特征是什么？你能写出这类解析的一般形式吗？ 学习探究（一） 1、指数函数的定义： 。 2、小练习 指出下列函数哪些是指数函数： ① x y 4=； ② x y 4-=； ③ x y )4(-=； ④ x y π=； ⑤24x y =； ⑥x y 32?=； ⑦(21)x y a =-（12 1 ≠>a a 且） 3、思考与讨论： （1）为什么指数函数的定义中要规定a>0,且a ≠1呢？ （2）如何判断一个函数是否为指数函数？ 问题2、 作函数x y 2=与x y )2 1 (=的图象，并观察图象指出它们的性质。 学习探究（二） 1 2、思考与讨论： （1）底数大小与函数单调性的关系？ （2）指数函数,0(>=a a y x 且1≠a ），x 取何值时， 1>y ？x 取何值时，10< 第五节 指数与指数函数 1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点． 3．了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要的函数模型． 知识梳理 一、指数 1．根式． (1)定义：如果x n ＝a 那么x 叫做a 的n 次方根(其中n >1，且n ∈N )，式子n a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)性质． ①当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝? ???? a ，a ≥0，－a ，a <0. ②负数没有偶次方根． ③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念． (1)正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 a (n ∈N * )． (2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)． (3)负整数指数幂：a － p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)． (4)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． (5)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． (6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质． (1)a r a s ＝a s ＋ r (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a sr (a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)( ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 二、指数函数的定义 形如 y ＝ a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)． 三、指数函数的图象和性质 基础自测 1．化简x 3·3y xy (a ，b 为正数)的结果是( ) A ．x 13·y －16 B ．x 12·y 16 C ．x ·y 16 D ．x ·y －1 6 第5讲 指数与指数函数 基础知识整合 一、指数及指数运算 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果□ 01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 — n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个□ 02正数，负数的n 次方根是一个□ 03负数 n a 零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有□04两个，它们互为□ 05相反数 ±n a (a ＞0) 负数没有偶次方 根 2．分数指数幂 (1)a m n ＝□ n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (2)a －m n ＝□ 071 a m n ＝□ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数□ 09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 底数 a >1 00时，恒有y >1； 当x <0时，恒有0 2.1.2指数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a对函数图象的影响． 基础自测 1．下列一定是指数函数的是() A．y＝－3x B．y＝x x(x>0，且x≠1) C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x 2. 指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则() A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0 规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量． 变式迁移1 比较????4313，223，????－233，????3412的大小． 解简单的指数不等式 【例2】 如果a 2x ＋1≤a x － 5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－ x ，则x 的取值范围是____________． 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值． 第五节指数与指数函数 【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 1 2 ， 1 3 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)( n a)n＝a． (2)当n为奇数时， n a n＝a． (3)当n为偶数时， n a n＝|a|＝ ?? ? ??a （a≥0） －a （a＜0） . (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n＝ n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－ m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域R 值域(0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1 2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案：B 3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0) 解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)． 答案：A 4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]． §2.2.1 分数指数幂（1） 【教学目标】 1．理解n 次方根及根式的概念； 2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； 3．提高观察、抽象的能力． 【课前导学】 1．如果2x a =，则x 称为a 的 ； 如果3x a =，则x 称为a 的 ． 2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ． 3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为 数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根． 4. 式子n a ()1,n n N * >∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ； n = ． 5. 若n = ；若n = ． 【例题讲解】 例1．求下列各式的值： （1）2 （2）3 （3 （4 *变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --= 例2．设－3 §2.2.1 分数指数幂（2） 【教学目标】 1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； 2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简． 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．培养学生用联系观点看问题． 【课前导学】 1．正数的分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质： 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈， ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈． 3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1．求值（1） 12100， （2）23 8， （3）()32 9-， （4） 34 181- ?? ??? ． 例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >： （1）a ；（2 ；（3． 指数与指数函数复习学案（解析篇） 【高考要求】指数函数（B ） 【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用 （课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾） 一、根式 1．根式的概念 2．两个重要公式 (1)n a n ＝??? a ， n 为奇数， |a |＝? ???? a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数； (2)(n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念 (1)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质 函数 y ＝a x (a >0，且a ≠1) 图象 01 图象特征 在x 轴上方，过定点(0,1) 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 减函数 增函数 函数值变化 规律 当x >0时，y >1 当x <0时，y >1；当x >0时，0 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数 答案部分 2019年 1. 解析 由题意知，lg 2E m m E 5 -=太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg 10.1E E =太阳天狼星 ， 所以 10.1 10E E =太阳天狼星 .故选A. 2.解析 因为()2 sin cos x x f x x x +=+，π[]πx ∈-，， 所以()()()22 sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-= ==--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22 sin πππ π0cos ππ1π f +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ． 3.解析：由函数1x y a = ，1log 2a y x ??=+ ???，单调性相反，且函数1log 2a y x ? ?=+ ??? 图像恒 过1 ,02?? ??? 可各满足要求的图象为D .故选D ． 2010-2018年 1．D 【解析】1 33 1 log log 55 c ==，因为3log y x =为增函数， 所以33 37 log 5log log 312 >>=． 因为函数1()4x y =为减函数，所以10311()()144<=，故c a b >>，故选D ． 2．B 【解析】当0 又1 (1)2=- >f e e ，故排除C ，选B ． 3．B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称 点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以 ln(2)y x =-，故选B ． 解法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B ． 4．C 【解析】由2(1) ()(2) x f x x x -'= -，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上 单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确． 5．D 【解析】由2 280x x -->，得2x <-或4x >，设2 28u x x =--，则 (,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性 质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 6．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221 (log )(log 5)5 a f f =-=， 又222log 5log 4.1log 42>>=，0.8 122<<， 由题意，a b c >>，选C ． 7．B 【解析】由11 ()3 ()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选B ． 8．A 【解析】对于A,令()e 2 x x g x -=?,1 1()e (22ln )e 2(1ln )022 x x x x x g x ---'=+=+>， 则()g x 在R 上单调递增，故()f x 具有M 性质,故选A ． 9．D 【解析】设361 80310 M x N ==，两边取对数得， 361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-≈， 《指数函数》教学设计 连江二中柳殷 一、概述 ·本节课是高中新教材必修1模块； ·本篇课文所需课时为2课时，90分钟，本节课是第一课时； ·本节课是在学习了第一章函数的概念和性质之后，通过对《指数》三个课时的学习后安排的。也为下面的《对数》学习做准备。 ·这节课的价值在于理解指数函数的概念和意义，理解和掌握指数函数的性质。对今后进一步学习其它基本初等函数有重要意义。 二、教学目标分析 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与方法 ①展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. ②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性； ③激发起学习数学的兴趣，在民主、开放的课堂氛围中；提高分析、解决问题的能力. 三、学习者特征分析 1、学生是福建连江第二中学高一年级学生，我所任教班级的学生是高一的一个差班； 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质，并对《指数》只是有较好的认识； 3、学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣比较浓厚，对多媒体教学比较兴趣； 4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比 较敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解。 四、教学策略选择与设计 本节课教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。 教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 先行组织者策略：通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。 学法设计：教师讲授，学生探究，合作交流，组织学生对指数函数的图像和性质的学习。 教学方法上采用启发式教学，在课堂教学中坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。 采用多媒体辅助教学，激发兴趣，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。 指数与指数函数 指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a >1 00时，y >1； 当x <0时，0 C.y ＝a (1＋xp %)(0 第四节 非线性回归模型 前面讨论的线性回归模型 n i b x b x b b y i ki i i i ,,2,122110 =+++++=ε 其结构具有两个特点：（1）被解释变量y 是解释变量的线性函数，即关于解释变量线性；（2）被解释变量y 也是参数的线性函数，即关于参数线性。但是在现实经济问题的研究中，经济变量之间大多数是非线性关系，即模型为非线性回归模型。对非线性模型，通常将其转化成线性模型进行估计。本节将讨论非线性回归模型的参数估计方法以及非线性模型中参数的特定含义。 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有： （一） 倒数变换模型（双曲函数模型） 模型如下： ε++=x b a y 1 ε++=x b a y 11 设： y y x x 11==* *或 即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型，所以称该模型为倒数变换模型。 倒数变换模型有一个明显特征：随着x 的无限扩大，y 将趋近于极限值a(或1/a)，即有一个渐近下限或上限。有些经济现象（如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、菲得普斯曲线等）恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 （二） 双对数模型（幂函数模型） 模型如下： ε++=x b a y ln ln 设： x x y y ln ln ==* * 则将其转换成线性回归模型： ε++=* *bx a y 对于双对数模型，因为有： 的增长速度 的增长速度x y x x y y x dx y dy x d y d b =??≈==////ln ln 因此，双对数模型中的回归系数b 恰好就是被解释变量y 关于解释变量x 的弹性。即当x 增长1%时y 的增长率。由于弹性是经济分析中的一个十分重要的指标（需求函数中的价格弹性、收入弹性、生产函数中的资金弹性、劳动弹性等），如果所研究的经济关系可以用双对数模型描述，则估计模型之后就可以直接利用系数b 进行弹性分析。因此，双对数模型是人们经常采用的一类非线性回归模型。 （三） 半对数模型 模型如下： 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 分数指数幂与指数函数 本节主要学习分数指数幂与指数函数． 1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质： （1）a m a n ＝a m ＋ n ；（2）a m ÷a n ＝a m － n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ； （4）（ab ）n ＝a n b n ；（5）（b a ）n ＝n n b a 若（b ≠0）． 注意：a 0＝1（a ≠0）、a － n ＝ n a 1 （n 为正整数，a ≠0）. 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发． 从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6 a ＝a 3＝2 6a ， 12 3 a ＝a 4＝3 12a ．于是我们规定： （1）n m a ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）n m a －＝ n m a 1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）； （3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋ s ；（2）（a r ）s ＝a rs ； （3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数． 3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性． （1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝ 21、4 3 等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性． 4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型． 5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指 高一指数与指数函数基础练习试题 （一）指数 1、化简［3 2 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3、化简 4 2 16 13 2 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ． a b B ．ab C ． b a D ．a 2b 4、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、1 132 12 -- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1 (027 .0143 23 1+-+-----=__________． 6、 32 113 2132)(---- ÷a b b a b a b a =__________． 7、48373)27102(1.0)972(032 221 +-++--π=__________。 8、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、416 0.250 3 21648200549 -+---）（）（） =__________。 10、已知),0(),(21>>+= b a a b b a x 求1 22--x x ab 的值。 11、若32 12 1=+-x x ，求 2 3 222 32 3-+-+-- x x x x 的值。 （二）指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 3、若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比 较，变化的情况是（ ） A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 5、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 第五讲 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有? ? ?<-≥==)0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>= n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1 = -)1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 1．函数21 )2()5(- -+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><指数函数学案
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