第三章密度矩阵方法
§3.1 纯态与混态
§3.2 密度矩阵及其性质
§3.3 密度矩阵应用实例
§3.4 量子纠缠态
一、统计描述问题的提出
二、纯态与混态
三、密度矩阵的引入
一、密度矩阵的定义二、密度矩阵的一般性质
三、密度矩阵的运动方程
四、密度矩阵的独立变量个数一、两能级体系的密度矩阵
二、量子统计中的密度矩阵一、纠缠态引入的历史背景
VS
第二次索尔维论战（1930）1927 第五届索尔维会议
德布罗意的导波理论
薛定谔：”真实的系统是
一个处于所有可能状态的经典系统的复合系统，它通过将ΨΨ*作为权重函数而获得。”
爱因斯坦：“认为|Ψ|2是表示一个粒子存在于完全确定的地方的几率，这样的一种解释（即正统解释）就必须以完全特殊的超距作用为前
提，从而不允许连续分布在空间中的波同时在胶片的两个部分表现出自己的作用。”
玻尔等人的反击
玻尔的回答：引力红移效应
?
dead alife 101010c c c c +?+
定性解释：
dead
alife 101010c c c c +?+不对，而是
dead
1alife 0101010?+??+c c c c 二、纠缠态的分类三、两体可分离态的判据
四、两体纠缠纯态的纠缠度
中国物理学会凝聚态理论和统计物理专业委员会 2004年工作总结 （一）学术交流 1、第十二届全国凝聚态理论和统计物理学术会议 2003年10月15日至19日“第十二届全国凝聚态理论和统计物理学术会议”在上海举行。 参加本次会议的代表有210位，来自全国各地（包括香港地区）高校和研究所。会议共录用论文150多篇，其中大会邀请报告12篇，分会邀请报告28篇。论文内容涉及凝聚态理论和统计物理研究领域的各个方面。按照会议的传统，实验物理学家张殿琳院士和沈学础院士应邀作了实验物理方面的精彩演讲。与会代表认为，参加会议的论文和学术报告在一定程度上反映了近年我国科学工作者在凝聚态理论和统计物理研究领域的成果与水平。特别是在纳米材料和电子结构、强关联电子体系物理、自旋电子学、第一性原理计算凝聚态材料特性、光子晶体等研究领域，有些研究工作具有原创性和先进性。 参加本次会议的代表中大多数是中青年物理学家，特别是作邀请报告的30来岁的青年物理学家人数之多创历届会议记录，说明近年来国内从事凝聚态理论的研究队伍的年龄结构有了相当大的改善，总体研究水平也有了比较显著的提高，出现了许多以年轻研究人员为主并做出了国际前沿水平工作的研究组。会议希望更多的从事统计物理研究的科技人员参加会议。 本次会议举行期间，新一届凝聚态理论与统计物理专业委员会举
行了全体会议。按照第十一届全国凝聚态理论和统计物理学术会议的决议意向，并经此次会议讨论决定，第十三届全国凝聚态理论和统计物理学术会议将于2005年在银川举行，由宁夏大学承办。会议还初步讨论了第十四届全国凝聚态理论和统计物理学术会议的举办地点。 2、第三届国际凝聚态理论与材料计算学会议 2004年7月12-16日“第三届国际凝聚态理论与材料计算学会议”在中国大连市隆重召开。来自国内外凝聚态理论与材料计算学领域的专家学者共计80多人参加了此次会议，会议期间有39名专家学者作了专题性邀请报告。参加会议的代表四分之一为外籍专家学者，他们分别来自美国、加拿大、新加坡以及台湾、香港等国家与地区。 会议重点关注凝聚态物理领域的最新进展和计算材料学的最新进展，旨在促进国内外相关学科带头人之间的相互了解、交流与沟通，这对中国凝聚态物理与材料计算学的发展具有非常重要的意义。 此次会议较前两届相比，其特点是：规模有所扩大，参会人员显著增加，学术讨论热烈。 本届会议分别对以下领域做了专题性的特邀报告: (1)．凝聚态物理的最新进展: A.自旋电子学、 B.纳米材料 C.固体量子信息和计算 D.玻色－爱因斯坦凝聚 E.强关联电子系统 F.高温超导 G.量子霍尔效应 H.磁学 I.表面和界面 J.半导体物理 K.低维凝聚态物理 L.介观物理 M.软凝聚态物质 N.生物物理 O.统计物理
?：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算 子。Strictly speaking, ?del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field. Δ、?2 or ?·?：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。 , grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f= div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。 rot F 或curl F=? ×F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋 度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。 基本关系： 一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
计算物理学研究如何使用数值方法解决已经存在定量理论的物 理问题。在物理学中，大量的问题是无法严格求解的。有的问题是因为计算过于复杂，有的问题则根本就没有解析解。比如，经典力学中，三体以上问题，一般都无法求解。量子力学中，哪怕是单粒子问题，也只有在少数几种简单势场中的运动可以严格求解。因此，在现代物理中，数值计算方法已变得越来越重要。计算物理与理论物理和实验物理相互依存相互补充，是物理学不可缺少的三大板块之一。计算物理常用软件有Matlab,Mathematica和Maple。 常见研究问题 积分的计算，常微分方程的解算，蒙特卡罗法，有限元分析，本征值问题。凝聚态物理学中常见的数值计算方法：密度矩阵重整化群、量子蒙特卡罗法、精确对角化法
理论物理是分析的科学，它从一系列的基本原理和基本假设出发，列出相应的数学方程，运用传统的或现在的数学方法求出问题的显式解析解，用这些解析解的结论去解释物理现象，预见新的现象，指导实验。实验物理是从实验观测出发，发现新的物理现象，为理论物理提供总结新的物理规律的素材，检验理论物理的假设或理论物理预言的正确程度和适用范围等。 计算物理是伴随着电子计算机的出现和发展而逐步形成的一门新兴的边缘学科。是以电子计算机为工具、采用数学方法解决物理问题的应用科学。是物理、数学和计算机三者相结合的产物。 现在流行的数学工具软件，如Maple，Matlab，Mathematica，已将绝大多数数值计算方法设计成简单的函数，经简单的调用就可得出结果。但由于实际问题具体特性的复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择和设计适合于自己所要解决的特定问题的算法，因而掌握数值计算方法的思想和内容是必须的。 计算物理的起源、形成与发展 传统的物理学：理论物理，实验物理，都离不开数值计算，如海王星的发现及其轨道计算就是一个典型例子。但早期的计算仅使用人力或简单的计算工具，其功能和效率都极其有限。这种计算不能成为一个学科分支。
第七章附录 纯态、非纯态和态密度算符 一．纯态及其密度算符 能用一个态矢描述的态称为纯态。 任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。 独立的、与环境无关的系统处于纯态。 “与环境无关” 在量子力学中比在经典物理中包含更多的意思。它不仅意味着系统在所讨论时间范围内与环境没有相互作用，而且系统状态产生的方式以及该状态的整个演化过程中都没有引入系统与环境的关联。即系统状态的任何变化都不会影响环境的变化，而环境也不发生改变系统状态的变化。例如给固定外场中的单粒子，如果它的初态与环境没有关联的话，以后时间都处于纯态。但如果制备它的初态时，使它的状态与环境的状态纠缠起来，则即便以后时间系统和环境之间没有相互作用，粒子也不处于纯态。 让我们先看看纯态如何用态密度算符来描写。 设ψ是一归一化的态矢，1=ψψ。通过ψ和他的对偶态矢ψ的外积可以构造一个算符， ψψρ =? 此即为与纯态ψ相应的态密度算符。 显然，ρ ?是厄米算符，而且 1??====≡∑∑∑ψψψψψψρρ n n n n n n tr n n n 其中{n 是任意一套正交归一完备基。 态密度算符ρ ?和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态，随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程， ][ ρρ?,?1?H i t =?? 给出态密度算符ρ ?，相当于给出系统所处的状态，各种物理量的平均值由下式计算， () ρψψψψψψ?????F tr n F n F n n F F n n ====∑∑ 纯态ψ的密度算符ρ?作用到另一态矢?上面，得到?在ψ上的投影， ?ψψ?ρ =? 因此，ρρ ??2=。
双目定位 艾菲特光电双目定位 用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。 双目定位过程中，两部相机在同一平面上，并且光轴互相平行，就像是人的两只眼睛一样，所以叫双目定位。 MV双目视觉图像定位系统，双目定位 双目视觉图像定位系统 双目视觉图像定位系统是Microvision(维视图像)开发的一套针对芯片压焊过程中对芯片位置进行识别定位，以便更好的将芯片固化在想要的位置上。 双目视觉图像定位系统，双目定位系统利用两台Microvision MV-808H工业相机、VS-M1024工业连续放大变倍镜头、MV-8002两路高清图像采集卡，同时对图像进行获取，在安装中，对芯片点焊位置进行准确定位。 双目视觉检测系统通过图像分析处理和图像测量的方式精确获取电路板上的安装或加工位置的坐标信息，计算出位置坐标，提供给机械臂运行控制。 双目视觉图像定位系统，双目定位硬件配置： 序号名称型号与性能数量品牌 1 工业相机VS-808HC 彩色高清晰工业摄像机，520线，1/3″SONY CCD，分辨752*582。 1 Microvision
2 2路工业高清图像采集卡MV-8002 2路768x576,高清晰度工业图像采集卡。支持二次开发，支持多种操作系统。 1 Microvision 3 工业连续放大镜头VS-M102 4 工业级放大镜头，C接口，像面尺寸 2 Micro vision 4 机器视觉高亮度环型LED光源VS-RL100R 亮度可调、低温、均衡、无闪烁，无阴影,使用寿命长 1 Microvision 5 双目视觉对位系统软件选配Microvision 6 其他部件视频线1根，触发插头一个，相机支杆一根 1 双目视觉图像定位系统，双目定位广泛用于丝网印刷机械、贴合、切割、PS打孔机、PCB补线机、PCB打孔机、玻璃割片机、点胶机、SMT检测、贴版机等工业精密对位、定位、零件确认、尺寸测量、工业显微等CCD视觉对位、测量装置等领域，主要应用,IC、芯片、电路板的位置识别定位、视觉图像定位系统上。如：打孔机定位、绑定机定位、晶体管吸取定位、IC贴片机对位、机器坐标定位、机器手定位、方向辨别定位 Sobel算子 索贝尔算子（Sobel operator）是图像处理中的算子之一，主要用作边缘检测。在技术上，它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的梯度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的梯度矢量或是其法矢量 [编辑本段] 核心公式 该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像，Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像，其公式如下:
密度矩阵重整化方法 4.1 密度矩阵 4.1.1 纯态与混合态 凡是能在希尔伯特空间中的一个矢量可以描写的状态，我们都称为纯态；两个纯态|1ψ>和|2ψ>，通过叠加可以得到另一个纯态>ψ|: >ψ|=1c |1ψ>+2c |2ψ> 有时，量子系统所处的状态，由于统计物理的原因或者量子力学本身的原因无法用一个态矢量来描写，系统并不处在一个确定的态中，而是有可能处在|1ψ>,|2ψ>…等各个态中，分别有概率1w 、2w 、3w 、……。这个状态无法用一个态矢量表示，我们称之为混合态。 密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。 4.1.2 密度矩阵 密度矩阵是量子力学的一个重要概念,是1927年von Neumann 为了描述量子力学中 的统计概念而引进的，它在量子力学中的主要作用是扩展了态矢量的应用范围,运用求解密度算符的方法能比求解态矢的方法更为普遍地描述一个系统的信息. 用态矢描写的状态可以等价地用一个态密度算符来描写;而一个用密度算符描写的状态却不一定能用一个态矢来描写. 也就是说,混合态以及原子系统只能用密度算符的方法来刻画,而不能用态矢量来刻画. 态矢量或波函数,只能描述纯态,纯态经过相干叠加得到的仍然是纯态. 由若干状态的非相干叠加得到的是混合态. 任一量子系统的任何状态(纯态或混合态) ,总可以用一个厄米的、本征值非负的、迹为1的密度矩阵来表示. 具体的说，纯态是一种可以直接用态矢量 >ψ|来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 >>>321|,|,|ψψψ ……的概率分别为 1w ，2w ，3w ……，则这混合态量子系统的密度算符 ρ 为 ||j i i i w ψψρ<>=∑ 注意到所有概率的总和为1：
菜刀___宇宙(1725100166) 20:29:19 欢迎“旅行者-凝聚态”作报告！ 虚云居士-光学(350887807) 20:29:52 旅行者-凝聚态(30215148) 20:30:02 谢谢。 物理界的又一个创新者(1501865379) 20:30:23 夜鸮-物理(1900543431) 20:30:46 旅行者-凝聚态(30215148) 20:30:55 首先 很高兴能有机会能跟各位交流。 旅行者-凝聚态(30215148) 20:32:08 首先我介绍一下LDA+DMFT的理论背景 旅行者-凝聚态(30215148) 20:32:49 凝聚态中处理强关联的体系是一个极为复杂的问题，可是说是整个凝聚态最难处理的问题。旅行者-凝聚态(30215148) 20:33:17 我们知道固体的哈密顿量在做了绝热近似之后为 旅行者-凝聚态(30215148) 20:33:22 旅行者-凝聚态(30215148) 20:33:39 这个式子包含三部分 旅行者-凝聚态(30215148) 20:33:47 第一项Te电子动能，第二项Ven电子在核库仑场中的势能，以及第三项Vee电子之间相互作用的库仑。 旅行者-凝聚态(30215148) 20:34:14 其中第一项和第二项应该是容易处理的，第三项最难处理 旅行者-凝聚态(30215148) 20:34:57
电子之间的库仑相互作用项，在进一步做了Hatree-Fock自洽场近似之后可以将最后一项写为 旅行者-凝聚态(30215148) 20:35:12 公式中NZ为电子数目 旅行者-凝聚态(30215148) 20:35:34 可以想想直接求和存在库仑发散的困难。 旅行者-凝聚态(30215148) 20:36:04 这个式子就是说 把其中一个电子i所感受到的其他电子对它的作用用一个自洽的平均势场ve表示。 旅行者-凝聚态(30215148) 20:36:32 所谓的自洽就是指由于平均势场对i电子的作用会改变i电子的运动状态，而改变了运动状态的i电子显然会反过来影响平均势场，从而进一步改变i电子的状态。 旅行者-凝聚态(30215148) 20:37:03 这种相互影响显然是循环进行的。不仅i电子，而且所有电子都应该同样的考虑， 旅行者-凝聚态(30215148) 20:37:21 那么所有电子与其他电子的相互影响都最终要达到一种平衡状态，此时我们说达到了自洽，北师凝聚态(994937984) 20:38:21 这个图是吗
HALCON算子函数完整汇总 Chapter_19:XLD 19.1 Access 1. get_contour_xld 功能：返回XLD轮廓(contour)的坐标。 2. get_lines_xld 功能：返回一个XLD多边形（polygon）数据。 3. get_parallels_xld 功能：返回一个XLD并行数据。 4. get_polygon_xld 功能：返回一个XLD多边形（polygon）数据。 19.2 Creation 1. gen_contour_nurbs_xld 功能：将一个NURBS曲线转换为一个XLD（密度？）轮廓(contour)。2. gen_contour_polygon_rounded_xld 功能：根据一个多边形（polygon）（以元组形式给出）的圆形角点创建一个XLD轮廓(contour)。 3. gen_contour_polygon_xld 功能：根据一个多边形（polygon）（以元组形式给出）创建一个XLD轮廓(contour)。 4. gen_contour_region_xld 功能：根据区域创建XLD轮廓(contour)。 5. gen_contours_skeleton_xld
功能：将框架转换为XLD轮廓(contour)。 6. gen_cross_contour_xld 功能：根据每个输入点交叉的形状创键一个XLD轮廓(contour)。 7. gen_ellipse_contour_xld 功能：根据相应的椭圆弧创建一个XLD轮廓(contour)。 8. gen_parallels_xld 功能：提取并行XLD多边形（polygon）。 9. gen_polygons_xld 功能：根据多边形近似创建XLD轮廓(contour)。 10. gen_rectangle2_contour_xld 功能：创建一个矩形XLD轮廓(contour)。 11. mod_parallels_xld 功能：提取一个包括同质区域的并行XLD多边形（polygon）。 19.3 Features 1. area_center_points_xld 功能：被看做点云的轮廓(contour)和多边形（polygon）的面积和重心。 2. area_center_xld 功能：轮廓(contour)和多边形（polygon）的面积和重心。 3. circularity_xld 功能：影响轮廓(contour)或多边形（polygon）圆度（与圆相近的程度）的形状系数。 4. compactness_xld
理论物理 Theoretical Physics （070304） ●培养方案 （一）培养目标和要求 本专业培养德、智、体全面发展的理论物理的研究人才，能胜任高等院校、科研机构或其他相关单位的物理数学、研究或其他相关工作。 具体要求如下： 1．热爱祖国、热爱物理、勤奋好学、求实创新、追求真理、善于与人协作，具有强烈的事业心和高度的责任感。 2．具有宽而厚的物理学、应用数学、计算机编程及与研究方向相关的其他学科的基础知识、基本技能。具有清晰物理思维的能力及 应用已有基本理论进行创新和解决问题的能力。 3．能比较熟练地运用一门外语阅读本专业的外文资料、能用此门外语撰写论文，并具备一定的听、说的能力。 （二）研究方向 1、量子体系的多粒子问题Multi-particle Problems in Quantum Systems 2、引力与宇宙学Gravitation and Cosmology 3、原子、分子物理Atomic and Molecular Physics 4、粒子物理Particle Physics （三）学制
三年 （四）课程设置 (一) 必修课程： （1）学位公共课： 科学社会主义理论与实践Theory and Practice of Scientific Socialism 自然辩证法Dialectics of Nature 第一外国语First Foreign Language （2）学位基础课： 高等量子力学Advanced Quantum Mechanics 量子统计物理Quantum Statistics Physics 群论Group Theory 量子场论Quantum Field Theory 专业计算机编程Computer Programming for Specialty 专业外语Specialized Foreign Language 2、选修课程： 核结构理论Theories on Nuclear Structures 广义相对论General Theory of Relativity 原子、分子物理Atomic and Molecular Physics 粒子物理导论Introduction to Particle Physics 天体物理导论Introduction to Astrophysics 量子力学最新进展Latest Advances in Quantum Physics 3、任选课 核多体问题Nuclear Multi-Structure Problems 凝聚态物理Stasis Physics 超对称物理导论Introduction to Super-symmetrical Physics 4、实习 第五学期，研究生应至少给本科生讲6节课。 （五）教学和培养方式 （六）成绩考核 课程学习考核采用闭卷、开卷或者撰写专题论文的方式进行；成绩可以按百分制计，也可以分优（90分-100分）、良（80分-89分）、中（70
10个化学家的故事： 德米特里?伊万诺维奇?门捷列夫(1834-1907)是俄罗斯伟大的化学家，自然科学基本定律化学元素周期表的创始人。(元素周期表创始人--门捷列夫简介由查字典化学网整理) 1841年，7岁的门捷列夫进了中学，他在上学的早几年就表现出了出众的才能和惊人的记忆力，他对数学、物理学和地理发生了极大的兴趣。 1850年，门捷列夫进入中央师范学院学习，在大学一年级，门捷列夫就迷上了化学。他决心要成为一个化学家，为了人类的利益而获得简单、价廉和“到处都有”的物质。 他各门功课都学的很扎实，在课外还阅读各种科学文献，20岁那年，门捷列夫的第一篇科学论著《关于芬兰褐廉石》发表在矿物学协会的刊物上，在研究同晶现象方面完成了巨大和重要的研究。 1855年，门捷列夫以第一名的优异成绩毕业于师范学院，曾担任中学教师，后来门捷列夫在彼得堡参加硕士考试，并在说有的考试科目中都获得了最高的评价。在他的硕士论文中，门捷列夫提出了“伦比容”，这些研究对他今后发现周期律有至关重要的意义。 两年后，23岁的门捷列夫被批准为彼得堡大学的副教授，开始教授化学课程，主要负责讲授《化学基础》课。在理论化学里应该指出自然界到底有多少元素?元素之间有什么异同和存在什么内部联系?新的元素应该怎样去发现?这些问题，当时的化学界正处在探索阶段。年轻的学者门捷列夫也毫无畏惧地冲进了这个领域，开始了艰难的探索工作。 1860年门捷列夫在德国卡尔斯卢厄召开第一次国际化学家代表大会，会议上解决了许多重要的化学问题，最终确定了“原子”、“分子”、“原子价”等概念，并为测定元素的原子量奠定了坚实的基础。这次大会也对门捷列夫形成周期律的思想产生了很大的影响。 1861年门捷列夫回到彼得堡，重担化学教授工作。虽然教学工作非常繁忙，但他继续着科学研究。门捷列夫深深的感觉到化学还没有牢固的基础，化学在当时只不过是记述零星的现象而已，甚至连化学最基本的基石——元素学说还没有一个明确的概念。 门捷列夫开始编写一本内容很丰富的著作《化学原理》。他遇到一个难题，即用一种怎样的合乎逻辑的方式来组织当时已知的63种元素。门捷列夫仔细研究了63种元素的物理性质和化学性质，他准备了许多扑克牌一样的卡片，将63种化学元素的名称及其原子量、氧化物、物理性质、化学性质等分别写在卡片上。他用不同的方法去摆那些卡片，用以进行元素分类的试验。 1869年3月1日这一天，门捷列夫仍然在对着这些卡片苦苦思索。他先把常见的元素族按照原子量递增的顺序拼在一起，之后是那些不常见的元素，最后只剩下稀土元素没有全部“入座”，门捷列夫无奈地将它放在边上。从头至尾看一遍排出的“牌阵”，门捷列夫惊喜地发现，所有的已知元素都已按原子量递增的顺序排列起来，并且相似元素依一定的间隔出现。第二天，门捷列夫将所得出的结果制成一张表，这是人类历史上第一张化学元素周期表。在
强关联问题的数值方法和基态计算 强关联问题由于太过复杂而很难用计算机精确计算，为此人们也提出了很多有效的方法来解决或避开这个难题。常见的数值方法有量子蒙特卡洛方法，重正化群方法等。蒙特卡洛方法是基于随机抽样的方法，在构造了概率模型后进行大量抽样，最后取其平均来得到结果，抽样越多则结果越精确。然而量子蒙特卡洛方法有难以避免的负概率问题。重正化群方法是由一些物理系统具有的标度不变性提出的方法。具有标度不变性的系统是指在不同的尺度中系统的性质不会发生改变，即具有“自相似”的系统（类比分形图案中放大或缩小图形得到的仍可以看作图形本身）。而重正化群方法就是利用将小系统拼接起来形成大系统计算，并不断迭代，在收敛后得到结果。在近些年重正化群方法得到了很大的发展，特别是主要用于处理一维系统的密度矩阵重正化群方法（DMRG ），在处理一维问题中取得了极大的成功。这些将在下文中进行介绍 1.1数值重正化群方法 数值重正化群方法（NRG ）是最早由Wilson 提出的用于处理近藤杂质模型时提出的数值方法[4]。数值重正化群方法的主要步骤是： 1.首先写出一个较小系统A 的哈密顿量A H ，找出前本征值和对应的本征态（可以使用精确对角化方法或Lanczos 方法[10]）。 2.考虑一个由两个A 拼接而成的较大系统AA ，或称为超块，写出其哈密顿量（由两个A 的哈密顿量的直积与两个小系统的相互作用相加得到），并用两个系统A 的各本征态的直积为基矢（这样，如果A 的哈密顿量是一个n n ?的矩阵，本征态可以写成一个n 维的矢量，则超块的哈密顿量将是22n n ?的矩阵，而本 征态将是2n 维的矢量），求出超块的前m 个较小的本征值与对应的本征态u α。 这里依然可以使用Lanczos 方法等。 3.用?A AA H OH O '=对哈密顿量作变换，以减小哈密顿量的维数。其中矩阵O 由超块的前m 个本征态组成，这样新的哈密顿量就成为一个m m ?的矩阵。 4.用A H '代替A H ，并重复上述步骤。直到系统的能量达到收敛。 这样，通过不断迭代增大系统，同时截断保留的状态数，就可近似计算很大的系统。并且可以看出，这个方法保留的状态是能量较低的状态，即认为小系统能量越低的状态在构造大系统的低能状态中越重要。然而数值重正化群方法在处理其他一维问题时却遇到了困难，其原因是这样的方法容易使小系统低能波函数的边界上的值与超块的低能波函数中点值不匹配。因此人们发展了密度矩阵重正
[波谱学讲义-核磁共振]ch2-核磁共振的理论描述(S2密度算符)
核磁共振波谱学 第二章 核磁共振的理论描述 2.2 密度算符 1. 密度算符: 设m 是哈密顿算符的本征态，任意力学量F 的期望值为 F F d F c c m F n m n m n ===**?∑ψψψψ ,τ 此处c m m =ψ 实际的核磁系统不是纯态，而是混合态，故还需要进行系综平均 F c c m F n m n m n =*∑ , 设 c c n m m n mn *== ρ ρ 有 F Tr F =()ρ 其中ρ即为密度算符，确定了体系的性质，矩阵形式称密度矩阵。 Tr()代表矩阵的迹,Tr(AB)=Tr(BA) 热平衡态下的密度算符为 exp( )( )ρ=--H kT tr H kT
密度矩阵的对角元代表极化，非对角元代表相干。 2. 密度算符随时间的演化： Schrodinger 方程可以改写成 i dc t dt n c t H n n n n n () () ∑∑= 两边乘以k i dc t dt k n c t k H n n n n n () () ∑∑= 利用正交归一化条件 i dc t dt c t k H n k n n () () =∑ 其共轭形式为 -=* * ∑i dc t dt c t n H k k n n () () 进一步计算密度算符矩阵元的演化 [] d k m dt dc c dt c dc dt dc dt c i c c n H m i c c k H n i k n n H m i k H n n m i k H m k H m k m k m k m k n n n m n n n ρρρρρ== += -=-= -* * * * * ∑∑∑∑ 得Liouville-Neumann 方程
第五章 密度矩阵与量子统计 能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年V on Neumann 提出的密度算符方法。 可观察量A ?大量观测后的平均值为 () A Tr A ???ρ= 式中，ρ ?为密度算符，() Tr 为对矩阵求迹。 通常，ψψρ =?，且∑=n n n C ψ可对一组基{}n 展开 则* ,*?m n nm m n m n C C m n C C =?==∑ρψψρ，和 () ∑∑∑∑=====m n m n m n nm m n n n A m C C n A m n A m m n n A n A Tr A ,*,,?????????ρρρρ 密度算符为厄密算符，ρρ ??=+------简单证明！ 满足归一化条件，()1?=ρTr （证明过程！！） 5.1D 二态体系的密度矩阵与极化 取基矢为??? ? ??=-???? ??=+10,01， 由密度算符的厄密性，可知密度矩阵中含有3个独立实参数。简单说明！ 密度算符可写成下面的形式 () σρ ?+=P 12 1 ? 其中，P 为极化矢量。()σρ Tr P = 利用公式，()B A i B A B A ??+?=??σσσ，可证： ()()()() ()() () ( ) () 14 1 ?1224 1 214 1 214 1 214 1141 ?222222 -+=-+?+=+?+=??++?+=??+?+=?+=P P P P P P P i P P P P P P ρσσσσσσσσρ ，
()() ?? ?---<≤----=混合系综纯粹系综11P P -----下面举例说明： （1） 完全极化的密度矩阵，()??? ? ??=???? ??=++=00010101?ρ ()1121 1-00111001210002210001=?+=???? ?????? ???+???? ??=???? ??=???? ??P P z σ （2） 完全非极化，010********?=???? ? ??=--+++=P ρ （3） 在z 表象看x 轴的完全极化， () ()10110121111121212 1 =???? ? ?????? ??+=???? ??=-++-++=++=x x x P S S ρ （4） 部分极化。混合系综有75%的z 和25%的x 组成， ()()25.0,75.0=+=+x z S W S W ， 则 ???? ??+???? ??-+=????? ? ?? +?????? ? ?-+=?????? ??-+=?????? ??????? ? ??=????? ? ??=?????? ??+???? ??= 01104110014310414104300431434141431414 14147414 1414721818 1818 7 2121212141000143ρ 可得，85 41,4322=+=?==z x x z P P P P P ---极化度 任一个2维矩阵可以分解为Pauli 矩阵之和。 §5.2 密度矩阵的运动方程 在Schrodinger 表象中，密度算符ψψρ= 初始时刻，()()()000ψψρ= t 时刻，()()()t t t ψψρ= 运动方程，[] ρρ?,??H t i =?? --master equation 或Liouville equation 与Heisenberg 方程的相似性？ 在自旋1/2的电子二态体系中，