3.1 直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率
学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？
答案 不能．
思考2 在平面直角坐标系中，过定点P 的四条直线如图所示，每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同． 1．倾斜角的定义
(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角． (2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角． 知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系
思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
答案 不同，因为32≠2
2
.
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 2．斜率与倾斜角的对应关系
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
知识点三 直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1(x
1≠x 2)．
类型一 直线的倾斜角
例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )
A ．α＋40°
B ．α－140°
C ．140°－α
D ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D
解析 根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l 1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l 1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 跟踪训练1 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________． 答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 类型二 直线的斜率
例2 直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等， 所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3
＝0.
由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°. 反思与感悟 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x 轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．
跟踪训练2 (1)若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m ＝________. (2)经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m ≥1)． 答案 (1)2 (2)0°<α≤90° 解析 (1)tan 45°＝2－3
1－m
，得m ＝2.
(2)当m ＝1时，直线与x 轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.
当m >1时，直线的斜率为k ＝y A －y B x A －x B ＝3－2m －1＝1m －1
，因为m >1，所以k >0，
故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知：直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°. 类型三 斜率与倾斜角的综合应用
例3 (1)已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值； (2)已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围． 解 (1)∵α＝45°，∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，
∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上，∴1223P P P P k k k ＝＝，∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.
(2)如图所示：
当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是????
17，53. 反思与感悟 (1)用斜率公式可解决三点共线问题
(2)斜率与倾斜角的关系如图：
跟踪训练3 (1)已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值． (2)已知直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，其中M (2，－3)，N (－3，－2)，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解 (1)由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2.
因为A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，所以k ＝2＝6
a －1＝
b －1－2
，解得a ＝4，b ＝－3， 所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.
(2)如图所示，直线l 绕着点P 在直线PM 与PN 间旋转，l ′是过P 点且与x 轴垂直的直线．当l 在PN 位置转到l ′位置时，倾斜角增大到90°，k ≥k PN ＝3
4.当l 在l ′位置转到PM 位置时，
倾斜角大于90°，k ≤k PM ＝－4. 综上所述：k ∈(－∞，－4]∪????34，＋∞.
1．对于下列命题：
①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 C 解析 ①②③正确．
2．m ，n ，p 是两两不相等的实数，则点A (m ＋n ，p )，B (n ＋p ，m )，C (p ＋m ，n )必( ) A ．在同一条直线上 B ．是直角三角形的顶点 C ．是等腰三角形的顶点 D ．是等边三角形的顶点
答案 A
解析 ∵k AB ＝m －p n ＋p －m －n ＝－1，k BC ＝n －m p ＋m －n －p
＝－1，∴k AB ＝k BC ，∴A ，B ，C 三点共线．
3．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率是直线BC 的斜率的3倍，则m 的值为________． 答案 4
解析 由题意知，k AC ＝3k BC ，即：4＋m －3－1－m ＝3·4－m ＋1
－3，m ＝4.
4．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(2,3)，(2,5)； (4)(3，－2)，(6，－2)． 解 (1)k ＝4－1
2－1＝3>0，所以倾斜角是锐角；
(2)k ＝2－5
0－(－3)＝－1<0，所以倾斜角是钝角；
(3)由x 1＝x 2＝2得：k 不存在，倾斜角是90°； (4)k ＝－2－(－2)6－3
＝0，所以倾斜角为0°.
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
平行于x 轴
垂直于x 轴
0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
一、选择题 1．下列说法中：
①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②任何一条直线都有惟一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 B
解析 只有①正确．由于垂直x 轴的直线斜率不存在，故②错；③显然错；平行x 轴的直线有无数条，其倾斜角为0°，故④错．
2．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β<180° B ．15°<β<180° C ．15°≤β<180° D ．15°≤β<195°
答案 D
解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°.
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3 D ．2 3 答案 B
解析 由题意知，AB ，AC 所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0. 4．经过两点A (2,1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m <1 B ．m >1 C ．m ≤1
D ．m ≥1 答案 A 解析 k ＝m －1－1>0，m －1<0，得m <1.
5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7) D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)
答案 C
解析 A 、B 、D 三个选项中三点均共线．
6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )
A ．k 1 B ．k 3 C ．k 3 D ．k 1 答案 D 解析 由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1 2 D ．2 答案 D 解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2. 二、填空题 8．若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为0°，则a ＝________. 答案 1 解析 由题意得1＋a ＝2a ，∴a ＝1. 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1 b 的值等于________． 答案 12 解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有 22－a ＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12. 10．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____________． 答案 [0°，45°]∪(90°，180°) 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－1 1－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°； 当tan α<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)． 11．已知直线l 的斜率k ＝－2，A (5，－3)，B (4，x )，C (－1，y )是这条直线上的三点，则x ＝________，y ＝________. 答案 －1 9 解析 ∵k AB ＝k AC ＝－2，∴x ＋34－5＝－2，得x ＝－1，y ＋3－1－5 ＝－2，得y ＝9. 三、解答题 12．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角． 解 因为k 2＝k MN ＝6－38－5＝1，所以l 2的倾斜角为45°，又l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4， 故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°. 13．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． 解 如图所示，由题意可知k P A ＝ 4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－0 3－1 ＝1. (1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间， 又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 3．1.2 两条直线平行与垂直的判定 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用． 知识点一 两条直线平行的判定 思考1 如图，设对于两条不重合的直线l 1与l 2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k 1与k 2，若l 1∥l 2，α1与α2之间有什么关系？k 1与k 2之间有什么关系？ 答案 α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k 1与k 2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k 1＝k 2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k 1＝k 2.当α1＝α2＝90°时，k 1与k 2不存在． 思考2 对于两条不重合的直线l 1与l 2，若k 1＝k 2，是否一定有l 1∥l 2？为什么？ 答案 一定有l 1∥l 2.因为k 1＝k 2?tan α1＝tan α2?α1＝α2?l 1∥l 2. 知识点二 思考1 如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k 1与k 2，且α1<α2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？ 答案 α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和． 思考2 已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？ 答案 因为α2＝90°＋α1，所以tan α2＝tan(90°＋α1)，由于tan(90°＋α)＝－1tan α，tan α2＝－1 tan α1， 即tan α2tan α1＝－1，所以k 1·k 2＝－1. 思考3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2＝－1，是否一定有l 1⊥l 2？如果l 1⊥l 2，一定有k 1·k 2＝－1吗？为什么？ 答案 当k 1·k 2＝－1时，一定有l 1⊥l 2.不妨设k 2<0，即α2为钝角，因为k 1·k 2＝－1，则有tan α2tan α1＝－1，所以tan α2＝－1 tan α1＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1， 所以l 1⊥l 2. 当l 1⊥l 2时，不一定有k 1·k 2＝－1，因为如果直线l 1和l 2分别平行于x 轴、y 轴，则k 2不存在，所以k 1·k 2＝－1不成立. l⊥l(两直线斜率都存在)?l的斜率不存在，l的斜率为0 类型一两条直线平行的判定 例1下列直线l1与直线l2平行的有________． ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)； ④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)． 答案①③④ 解析①k AB＝ 5－1 －3－2 ＝－ 4 5，k CD＝ －7＋3 8－3 ＝－ 4 5，∴k AB＝k CD，∴l1∥l2. ② 2 l k＝ 2－1 2－1 ＝1≠ 1 l k＝2，∴l1不平行l2. ③ 1 l k＝tan 60°＝3， 2 l k＝ 3＋23 1＋2 ＝3，∴ 12 l l k k ＝，∴l1∥l2. ④l1，l2斜率均不存在且不重合，∴l1∥l2. 反思与感悟判断两直线是否平行的方法： 跟踪训练1已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为________．答案0或1 解析当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m≠－2且m≠－1时，k PQ＝ 4－m m－(－2) ＝ 4－m m＋2 ， k MN＝ 3－1 m＋2－1 ＝ 2 m＋1 ，因为直线PQ∥直线MN，所以k PQ＝k MN， 即 4－m m＋2 ＝ 2 m＋1 ，解得m＝0或m＝1.综上，m的值为0或1. 类型二 两条直线垂直的判定 例2 (1)已知两条直线l 1，l 2的斜率是方程3x 2＋mx －3＝0(m ∈R )的两个根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．可能重合 D ．无法确定 答案 B 解析 由方程3x 2＋mx －3＝0知，Δ＝m 2－4×3×(－3)＝m 2＋36>0恒成立． 故方程有两相异实根，即l 1与l 2的斜率k 1，k 2存在，设两根为x 1，x 2，则k 1k 2＝x 1x 2＝－1，故l 1⊥l 2，所以选B. (2)已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A ，B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标． 解 以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C . 则AC ⊥BC ，设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2 x －4＝－1. 所以x ＝1或2，所以交点C 的坐标为(1,0)或(2,0)． 反思与感悟 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 跟踪训练2 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 5或－6 解析 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5， 由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3 －1－2＝－1，解得a ＝－6. 综上可知，a 的值为5或－6. 类型三 垂直与平行的综合应用 例3 已知四边形ABCD 的顶点B (6，－1)，C (5,2)，D (1,2)．若四边形ABCD 为直角梯形，求A 点坐标． 解 ①若∠A ＝∠D ＝90°，如图(1)，由已知AB ∥DC ，AD ⊥AB ，而k CD ＝0，故A (1，－1)． ②若∠A ＝∠B ＝90°，如图(2)． 设A (a ，b )，则k BC ＝－3，k AD ＝ b －2a －1，k AB ＝b ＋1a －6.由AD ∥BC ?k AD ＝k BC ，即b －2 a －1 ＝－3； 由AB ⊥BC ?k AB ·k BC ＝－1，即b ＋1 a －6·(－3)＝－1.解得 ??? a ＝125 ， b ＝－115， 故A (125，－115 )． 综上所述：A 点坐标为(1，－1)或????125 ，－115. 反思与感悟 该题目通过数形结合，排除了∠C 为直角的可能性，也可通过计算k CD ·k BC ＝0≠－1.说明∠C 不可能为直角． 跟踪训练3 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标． 解 设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC . 所以????? y －1x －0×y －2 x －3 ＝－1，y －1x －0＝2－0 3－1， 解得????? x ＝2，y ＝3. 所以第四个顶点D 的坐标为(2,3). 1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.1 3 答案 B 解析 因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－0 3－2 ＝3. 2．若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为1 2的直线垂直，则a 的值为( ) A.52 B.2 5 C ．10 D ．－10 答案 D 解析 ∵a －03－(－2) ＝－2，∴a ＝－10. 3．若不同两点P 、Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________． 答案 －1 解析 由两点的斜率公式可得：k PQ ＝ 3－a －b 3－b －a ＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1. 4．已知点A (1,2)和点B (0,0)，点P 在y 轴上，若∠BAP 为直角，则点P 的坐标为________． 答案 (0，52) 解析 设P (0，y )，因为∠BAP 为直角，所以k AB ·k AP ＝－1，即2－01－0·2－y 1＝－1，解得y ＝5 2. 5．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解 设D (x ，y )，∵AB ⊥CD 且AD ∥BC ， ∴????? 2－03－1×y －4 x －0＝－1，y x －1＝4－20－3， 即? ???? y ＝4－x ，y ＝－2 3(x －1)，得????? x ＝10， y ＝－6，∴D (10，－6)． 两直线平行或垂直的判定方法 一、选择题 1．下列说法中正确的有( ) ①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A 解析 当k 1＝k 2时，两直线平行或重合，所以①不成立；在②中，斜率可能不存在，所以不成立；在④中，两直线也可能重合，所以不成立；因此，只有③正确． 2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2 D ．10 答案 A 解析 由两直线平行，又直线斜率存在．有4－m m ＋2 ＝－2，故m ＝－8. 3．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．0或2 D ．0或1 答案 D 解析 当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD . 4．如果直线l 1的斜率为a ，且l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．a C ．－1a D ．－1 a 或不存在 答案 D 解析 当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1， ∴k 2＝－1 a .当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在． 5．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－2 3的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23 B ．－32 C.23 D.32 答案 A 解析 由题意得： 1－(－1)－a －2－(a －2) ×(－23)＝－1，解得a ＝－2 3. 6．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 答案 B 解析 k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝k AD ·k DC ＝－1，故构成的图形为直角梯形． 7．已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( ) A ．20°，20° B ．70°，70° C ．20°，110° D ．110°，20° 答案 C 解析 如图，∵l ∥l 1，∴l 1的倾斜角为20°，∵l 2⊥l ，∴l 2的倾斜角为90°＋20°＝110°. 二、填空题 8．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD .其中正确的序号是________． 答案 ①④ 解析 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝1 4 ，k BD ＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD . 9．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝____________；若l 1∥l 2，则b ＝____________. 答案 2 －9 8 解析 若l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－b 2＝－1，∴b ＝2.若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，Δ＝9＋8b ＝0，∴b ＝－9 8 . 10．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________． 答案 (0，－2) 解析 设点D (x ，y )，则由AB ∥DC ，AD ∥BC 可得k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即86－(－2)＝y －6x －8，y x －(－2)＝8－66－8 ，解得 x ＝0，y ＝－2. 11．已知△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________． 答案 －7,3或±2 解析 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋1 1－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －1 2－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －1 2－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2. 三、解答题 12．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD . 解 设D (x ，y )，则k CD ＝y x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1 . 因为k CD ·k AB ＝－1，k CB ＝k AD ，所以y x －3×3＝－1，y ＋1x －1 ＝－2，所以x ＝0，y ＝1，即D (0,1)． 13．已知△ABC 的顶点A (1,3)，B (－1，－1)，C (2,1)，求△ABC 的边BC 上的高AD 的斜率和垂足D 的坐标． 解 因为B (－1，－1)，C (2,1)，所以k BC ＝1＋12＋1＝23，BC 上的高AD 的斜率k AD ＝－3 2， 设D (x ，y )，由k AD ＝y －3x －1＝－32，及k BD ＝y ＋1x ＋1＝k BC ＝23，得x ＝2913，y ＝15 13，则D ????2913，1513. 2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计方案 2014年11月 《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案 【授课对象】计算机网络专业二年级学生 【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率 【授课类型】课堂教学 【授课时间】1课时 【教材分析】 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。 【学情分析】 教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。 【教学目标】 根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标： （一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。 （二）能力目标 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。 （三）情感目标 通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。 【教学重难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念， 直线斜率公式及其应用； 难点：斜率公式的推导。 突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。 【教学策略】 1．教学方法：问题探究法 课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究 按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价 尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。 【教学设备】 多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。 【设计思路】 首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。 《直线的倾斜角与斜率》导学案 一、教学内容分析 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。 二、教学目标分析 .理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2.理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析，确定本课时的教学难点为： 直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。 课件1 直线的倾斜角与斜率的关系 课件编号：ABⅡ－3－1－1． 课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）． 图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）． 图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P. （5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）． 图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色． （8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”． 图4 课题8.2.2直线的倾斜角与斜率课型新授第几 课时 1 课 时 教 学 目 标（三维） 教学重点与 难点 1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围． 2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系． 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力． 教学重点： 直线的倾斜角和斜率． 教学难点： 直线的斜率 教学这节课主要采用讲练结合的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直 方法线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上与两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，手段是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念． 使 用 教 材 的 构 想 α y ☆补充设计☆ 教师行为 学生行为 设计意图 导入; 教师提出问题，学生讨论回 引入本节 1．由一点能确定一条直线吗？ 2．观察并回答问题： y A 答． 课题． 由直观图 形引入问题，激 发学生学习兴 师：从图中可以看出，直线 趣． B C 1 AC 比直线 AB 更陡一些．在数学 －1 O 1 x 中，我们用倾斜角和斜率来衡量 在图中，直线 AB ，AC 都经过哪一点？ 直线相对于 x 轴的倾斜程度． 它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？ 新课： 1．直线倾斜角的定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向 上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角α叫 做这条直线的倾斜角． y l α x O 特别地，当直线与 y 轴垂直时，规定 这条直线的倾斜角为 0?． 2．倾斜角的范围 0?≤ <180?． 3．直线斜率的定义 倾斜角不是 90?的直线，它的倾斜角的 教师对定义进行三方面的诠 释： （1）直线向上的方向； （2）x 轴的正方向； （3）最小的正角． 学生结合图形理解倾斜角的 概念． 教师强调与 y 轴垂直的直线 （包括 x 轴）的倾斜角． 教师强调倾斜角是 90?的直 明确直线 倾斜角的定义． 倾斜角与 正切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表 线的斜率不存在．应当使学生明 斜率的关系． 示，即 k ＝tan α． 练习一 已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ： （1）α＝0?； （2）α＝30?； （3）α＝135?；（4）α＝120?． 探究一 （1）由不同的两点 P 1(x 1， 1)和 P 2(x 2， y 2)能否确定一条直线？ 确所有的直线都有倾斜角，但与 x 轴垂直的直线的斜率不存在． 学生练习，教师巡视点评． 教师指明，当倾斜角是锐角 时，斜率 k 为正值；当倾斜角是 钝角时，斜率 k 为负值． 教师投影探究问题，学生分 使学生通 过练习感悟倾 斜角的变化对 斜率的影响． 直线的倾斜角和斜率 【教学目标】 1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用； 3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养； 4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想． 【教学重点】 斜率概念理解与斜率公式 【教学难点】 斜率概念理解与斜率公式 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。 3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。 提问： （1）哪些条件可以确定一条直线？ （2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？ （3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？ （4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0 直线的倾斜角与斜率（导学案） 使用说明： 1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本62 59- p页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自测练习。 【学习目标】 1．了解在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念直线的 3．掌握过两点的斜率的计算公式 【重点难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念； 难点：直线的倾斜角与斜率的关系 一、知识链接 1.在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2．在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、教材助读 1.直线的倾斜角 （1）在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素有 （2）倾斜角的定义是 （3）当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度 （4）直线倾斜角的范围为 试试：请描出下列各直线的倾斜角 函数y=x的图像的倾斜角为 , y=-x的图像的倾斜角 为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为2.直线的斜率 （1）在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？ （2）斜率的定义:一条直线的倾斜角 a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率,记为 k=tan a 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 α=0°时，则k 0°<α< 90°,则k α= 90°，,则k 90 °<α< 180°，则k 3．过两点的直线斜率的公式 (1)由直线上两点) , ( 1 1 y x A、) , ( 2 2 y x B来求直线的斜率k的公式是： 当 2 1 x x≠时，k= 当x1=x2 时, k （2）如果 1 2 1 2 ,x x y y≠ =则直线与x轴k= 如果 1 2 1 2 ,x x y y= ≠则直线与x轴倾斜角等于k （3）直线的斜率与所选择直线上两点的位置有无关系？顺序有无关系？ 预习自测 1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 （１） 30 = α（２） 135 = α（３） 90 = α 2．已知直线的斜率求直线的倾斜角 （１）0 = k（２）1 = k（３）3 - = k（４）k不存在 3．分别求经过下列两点的直线的斜率 （1）（2，3）和（4，5）（2）（-3，-1）和(2，-1) （3）（1，3）和（-1，3 3） 4.过点) ,2 (m P-和)4, (m Q的直线的斜率等于1，则m的值为___________ 基础知识探究 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1) 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足关系式_________;当直线与x轴垂直时，直线的斜率________ 预习案 探究案 直线的倾斜角与斜率的教学设计 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参 3.1.1 倾斜角与斜率导学案 ★学习目标 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题. ★学习重点：直线倾斜角与斜率概念；斜率计算公式. ★学习难点：直线的倾斜角与斜率关系；直线斜率公式的推导. ★学习过程 一、自主学习 阅读课本P82—P86回答下列问题： 问题1、在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？这些直线有什么联系和区别呢? 问题2、怎样描述直线的倾斜程度呢？可以用一个什么几何量来反映这一倾斜程度呢？ 问题3、直线的倾斜角的取值范围是多少？任一直线一定有倾斜角吗？ 问题4、在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？ 问题5、任何直线都有斜率么？斜率为正或负时，直线具有怎样的位置？请用图形语言表 示. 二、合作探究 1、如何在直线l 上任取两个不同点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠坐标计算直线的斜率？ 2、过直线上两点的直线斜率公式适用范围如何？与两坐标的顺序有关吗？当直线与x 轴平行或重合或垂直，公式还适用吗？ 三、训练反馈 1、在平面直角坐标系中，下列叙述中不正确的是（ ） A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B. 每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为?0或?90 D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan 2、填表：已知直线的倾斜角或斜率，求相应的斜率或倾斜角。 参考公式：当α是锐角时，tan 180tan αα?-=-（）. 3、已知A(－3,2),B(4,1),C(0,－2),求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 4、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,－1,2及－3的直线1234,,l l l l 及 四、拓展延伸 经过点P(0,-1)作直线l ，若直线l 与连接A(1,2),B(2,1)的线段总有公共点，找出直线 l 的斜率k 的取值范围，并说明理由. ★学后总结： 1、今天学到了什么？（知识方面） 直线的倾斜角与斜率的教学设计 进贤一中龚祝鹏 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。 课题：直线的倾斜角和斜率 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节 一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点： 倾斜角概念的形成，斜率公式的推导 四、教学方法与手段： 计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】 一、知识导入 在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有 序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么， 问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答 预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？ 〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于 激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索 第九章平面解析几何 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程班级__________ 姓名_________ 【概念自查】 一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”，并举反例) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．() (2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.() (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．() (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．() (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．() 【知识梳理】参考《优化方案》P145 1．直线的倾斜角与直线的斜率 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α。 注：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° (2)直线l倾斜角α的范围是． (3)直线的倾斜角α与斜率k的关系：①． ②．（数形结合来解释） 2．直线方程的五种形式 例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.????0，π4∪????3π 4，π C.????0，π4 D.????0，π4∪??? ?π 2，π (2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点， 则直线l 斜率的取值范围为 ． 【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π 4 ≤θ＜π，故选B . (2)如图，因为k AP ＝1－0 2－1＝1， k BP ＝ 3－0 0－1 ＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞ 【考点突破】考点2 求直线的方程 例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5. 【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝ 10 10 (0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1 3. 故所求直线方程为y ＝±1 3(x ＋4)， 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1， 又直线过点(－3，4)， 从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互 相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率 互为负倒数，那么它们互 相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ） 33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 第三章第一节倾斜角与斜率 三维目标 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2．理解直线倾斜角的唯一性和斜率的存在性； 3．掌握过两点的直线的斜率公式； 4. 通过本节课的学习，学生体会数形结合的思想，逐步养成观察和探索的习惯. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 *问题1.初中我们学过一次函数)0(≠+=k b kx y ，请问，一次函数的图象是什么？其中k 的正负对直线有何影响？进一步，当k>0时，随着k 的增大直线有何变化？ 问题2.对于平面直角坐标系内的一条直线l ,它的位置由哪些条件确定的？ 问题3.在数学中，我们可以用哪些量来刻画直线的“倾斜程度”？ 问题4.什么叫直线的倾斜角？它的范围是什么？任何一条直线都有倾斜角吗？ 问题5.什么叫直线的斜率？任何一条直线都有斜率吗？ 问题6.当倾斜角从0o一直增大到180o（0°≤α＜180°）的时候，直线的斜率k 是如何变化的？ 问题7. (小组合作) 探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率？ 平面直角坐标系下，直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) （其中x 1≠x 2），则直线l 的斜率 k= ? 进一步：（1）运用该公式计算经过两点P 1(x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2)的直线l 的斜率时，与这两个点坐标的顺序有关吗？ *（2）当x 1=x 2时，该公式还适用吗？此时直线的斜率如何？ （3）当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，该公式适用吗？直线的斜率等于多少呢？ 【学做思2】 1. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角（或是其它的特殊角）． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(4,4)，(4,5)； (4)( 10,2)，(－10,2)． 【思考】在本例（2）中，直线倾斜角的大小是多少？ 2. 在平面直角坐标系中，画出经过原点并且斜率分别为1，-1,2及-3的直线1234,,,l l l l 3.（1）已知点A(3,4),在坐标轴上有一点B,若直线AB 的斜率等于2，则点B 的坐标为 _____________________;(2) 已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74 ， 则点P 的坐标为________． 【变式】（1） 若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是____________; （2）已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3 )共线，则a ＝____________. 达标检测 直线的倾斜角与斜率 导学案 3.1.1直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1 ?理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2?掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3?能用公式和概念解决问题. 【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。 【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 一、自主学习 新知1:当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角叫做_____________ . 关键：①_______ :②_______ :③________ . 注意:当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为______ . 试试：请描出下列各直线的倾斜角 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 反思：直线倾斜角的范围? 新知2： 一条直线的倾斜角 (2)的_叫做这条直线的斜率.记为k= ____________ 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当 0°时，则k ° ;⑵当0 90 ° 时，则k ⑶当 90°时，则k ;⑷当90° 180 ° 时，则k 新知 3：已知直线上两点 R （X 1, yj P 2（X 2 ,y 2）（x X 2) 的直线的斜率公式: k= 练习： 1已知直线的倾斜角 (90 )，则直线的斜率为—；已知直线上两 点A(x“ 且冷x ?，则直线的斜率为 __________ . 2. 若直线I 过(—2,3)和(6, - 5)两点，则直线l 的斜率为 ______ ,倾斜角为 —. 3. __________________________________________________________________________ 斜率为2的直线经过(3, 5)、(a,7)、(— 1,b)三点，贝U a 、b 的值分别为 ___________________ . 4?已知I l ,l 2的斜率都不存在且I i ,l 2不重合，则两直线的位置关系 _______________________ . 5 .已知一直线经过两点A(m,2), B( m,2m 1),且直线的倾斜角为60 ,则 m ________ . 问题1:特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ______ ，两直线位置 关系是 ----- (2) 当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 —，另一条直线的倾 斜角为 ，两直线的位置关系是 ___________ : 直线的倾斜角和斜率讲义 复习引入： 在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下问顾： 1.一次函数的图象特点：一次函数形如y = kx + b,它的图象是一条直线. 2.对于一给定函数y = 2x + l,作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上 任找两点即可. 3.这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数式的两对值. 因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y = /a + b的图象是一条直线，它是 以满足y = kx + b的每一对的值为坐标的点构成的. 由于函数式y =奴+。也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的 点也存在这样的对应关系. 有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念， 知识要点： 一、直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线， 在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率， 二、直线的倾斜角与斜率： 1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于-?条与x轴相交的直线，如果把工轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为Q ,那么Q就叫做直线的倾斜角. 2、倾斜角的范围：当直线和尤轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° . 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0° WQV180。， 3、斜率的定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用化表示.倾斜角是90。的直线没有斜率. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于尤轴的直线的倾斜角是0或兀； D.两直线的倾斜角和等，它们的斜率也和等. E.直线斜率的范围是（一8, +8）. 辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为兰，但斜2率不存在；B.举反例说明，120。>30°，但tanl20（,=-V3 普通高中课程标准实验教科书（北师大版） 数学必修2第二章第二节 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 尝 试 探 究 形 成 概 念 问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例） 如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。 坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在 变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟 是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的 关系？ 前进量 坡度比＝前进量 升高量 例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角 的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化 升 高 量 尝 试探究形成概念对 取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系 直线情况 平行于 情况 由左向 右上升 垂直于x 轴 由右向左 上升 的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率 已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直 线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆 注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在 为有利于调动学 生学习的积极 性，加深对两者 关系理解，通过 用几何画板演示 倾斜角与斜率之 间关系，给学生 直观认识，降低 学习的难度 课本中是用坐标 法去推导两点直 线的斜率,学生课 前预习易掌握,在 证明过程中用向 量法来推导两点 确定直线的斜率, 比较两种方法解 题思路不同. 0 x y 新修订高中阶段原创精品配套教材 《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line" 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育 《直线的倾斜角与斜率》导学案 一、教学内容分析 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。 二、教学目标分析 1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析，确定本课时的教学难点为： 直线的倾斜角和斜率（一） 一、知识点： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞 在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率王新敞 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____王新敞 因此，根据定义，我们可以得到倾斜 角的取值范围是___________王新敞 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率王新敞 二、范例： 例1 如图，直线1l 的倾斜角1α＝30°，直线1l ⊥2l ，求1l 、2l 的斜率. 例2 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝4 3π 例3、判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（ ） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（ ） ④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在 （ ） A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4 π 2.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 . 4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 . 5.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 . 6.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 思考： 如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为直线的倾斜角与斜率(教学设计)
【范文】《直线的倾斜角与斜率》导学案
直线的倾斜角与斜率的关系
中职数学基础模块8.2.2直线的倾斜角与斜率教学设计教案人教版
沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案
2.1.1直线的倾斜角与斜率-导学案
高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛-直线的倾斜角与斜率教案
高中数学 倾斜角和斜率学案 新人教A版必修2
教案直线的倾斜角与斜率教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
直线的倾斜角与斜率、直线的方程(学案教师版)
专题 直线的倾斜角和斜率习题与知识点知识讲解
人教版高中数学必修二导学案：第三章第一节倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率导学案电子教案
1.1直线的倾斜角和斜率讲义.doc
(完整版)直线的倾斜角与斜率教学设计
高二数学：《直线的倾斜角与斜率》导学案
直线的倾斜角斜率知识点例题
相关主题
文本预览