目 录
1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1)
2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。 .............................................. 3 2.
3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E []
3. (4)
2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数
[]
9等于n 。 (5)
2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。 ................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。 . 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的
秩。 (5)
2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，
但至少有一个特征值等于零。 (5)
2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。 ............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T
=，则A 半正定。 (5)
2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵??
?
?
??000r E 合同。..... 5 3.利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。 ............................................... 5 4.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 .................... 8 5.实对称矩阵为正定的充分性的判别法. ..................... 9 6.实对称矩阵半正定的一个新依据 .........................11 7.实对称矩阵的一个简单应用 . (13)
参考文献 (16)
致谢 (17)
实对称矩阵正定、半正定的简易判别
摘要：实对称矩阵是矩阵论中的一个重要概念，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其他课程里，如计算机、医学成像，空间二次曲面等领域中也有重要应用。为了更好地用实对称矩阵来解决问题，本文主要讨论实对称矩阵正定性、半正定性的若干判别方法和简单应用，并对其做进一步的探讨。
关键词：实对称矩阵，正定，半正定，二次型，简易判别。
Real symmetric matrix positive definite, positive semidefinite The
Discriminant
N umber of classes of the 0701 Wang Chunmiao
Tutor: CaoChunjuan
Abstract:The real symmetric matrix is an important concept in matrix theory, not only in advanced algebra has important applications in other curriculum, such as computer, medical imaging, space and other areas of the second surface also has important applications. In order to better use the real symmetric matrix to solve the problem, this paper focuses on real symmetric matrix positive definite, semi-positive definite identification methods and a number of simple applications, and its further discussion.
Key words:real symmetric matrix, positive definite, positive semidefinite, quadratic, simple discrimination.
1 引言
实对称矩阵正定、半正定的判别问题, 实际上就是二次型函数AX X T 的正定性、半正定性的判别问题, 因此我们也可把问题转化到判断二次型函数
AX X T
的正定性、半正定性的问题。或者也可以根据其他方法如合同变换等来
判别。目前，实对称矩阵正定性、半正定性的判别已有多种方法,方法有繁有易。由于判断一个实对称矩阵为正定、半正定在实际工作中是很有必要。本文将列举一些比较简易的判别实对称矩阵正定性、半正定性的方法，对其中一部分判别方法进行证明，并加以举例说明。
2 实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法
2.1 实对称矩阵的几个定义[]3
定义1：设()n x x x f ,,,21 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数
n c c c ....,21，如果有()n c c c f ,,,21 >0
，那么()n x x x f ,,,21 称为正定。
定义2：设()n x x x f ,,,21 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数
n c c c ....,21，如果有()n c c c f ,,,21 0≥，那么()n x x x f ,,,21 称为半正定。
定义 3：设二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =,若()n x x x f ,,,21 正定或半正定，则A 称为正定或半正定矩阵。
定义4：合同变换的定义：设n n F B A ?∈,如果存在非奇异矩阵n n F P ?∈，使得
AP P B T
=则称A 和B 合同，这种变换称为合同变换。对称矩阵经合同变换后仍
为对称矩阵。
2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:
在实际应用和理论研究中, 判别一个实对称矩阵是否正定是很重要的。到目
前为止, 判别一个实对称矩阵A =()ij a ，
()n j i a a a ji ij ij ,1,,=≡均为实数，为正定的充分必要条件有下列四种方法[]2：
()1 A 的所有特征值都大于0.
()2 A 的T L L ?分解存在, 其中L 是F 三角形矩阵, T L 是L 的转置矩
阵,ii I =1()n i ,,2,1 =是L 的主对角线元素, 且ii I >0.
()3 A 的T DL L 1
1分解存在, 其中1L 是F 三角形矩阵, ii I =1()n i ,,2,1 = 是L 的主对角线元素, D 是以ii d >0 ()n i ,,2,1 =为主对角线元素的对角线矩阵。
()4 在不选主元素的高斯消去法中, A 的主元素都大于0.
现举一例如下, 说明上述四种方法的应用。
例 判别实对称矩阵A =???
?
?
?????----54
2
452222的正定性。 解：1. A 的特征多项式为
A E -λ=???
??
???
??-----54
2
452
2
2
2
λλλ=()()1012-?-λλ 所以A 的特征值：121==λλ，103=λ都是正数，故A 是正定的。
2.设L =???
??
?????333231222111
000l l l l l l ()3,2,1,0=>i l ii ，则 T
L L ?=?????
?
?????3332
31
2221
11
000l l l l l l ??????????333222312111
0l l l l l l =???
?
?
???
??+++++23323223122
32213111
31322231212
222
2111
2131
1121112
11
l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 若令 A = T L L ?，则有： 22
11=l ， 22111=l l ， 23111-=l l
52
22221=+l l ，32
223121l l l l +=-4，2
33232231
l l l ++=5 由此既得，
11l =2
21=
l ， =31l -2， 3
22=
l ， 3
3232-
=l ， 3
1533=
l
所以，L =??????
????
???
?
--3153
322032
002
这表明T L L ?的分解存在。
3.根据上面求的L ，易知
L =??????
????
???
?--3153
3220
32
002=??????
??????
?
--13
21011001??????
???????
?3
150
00
30002
所以
A
=T L L ?=
?????????????
--1321011001???????
???????
?3150
00
30002???????
???????
?
3150
00
30002????
??????--10
3210111
=????????????
?--13
210110
01??????
??????
?350
0030002????
??????--10
3210111 这表明A 的T DL L 1
1的分解存在，故A 是正定的。 4.因为 A ==----5
4
2
452
2
22
3
2
2302
22
---=3
50
2
30222
--
由此可知:第二个行列式的主元素是5 , 第三个行列式的主元素是3 , 第四个行列式的主元素是3 , 即所有主元素都大于0。这就是说, 在不选主元素的高斯消去法中, 主元素都大于0 , 所以A 是正定的。 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。
对于实二次型()321,,x x x f =AX X T 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零[]10。
例 判别实二次型()=321,,x x x f 32312123222148455x x x x x x x x x --+++ 是否正定。
解 ()321,,x x x f 的矩阵为 ????
?
???
??----52
4
212
425
它的顺序主子式5>0，
1
2
25 >0， 5
2
4
212
425---->0 因之()321,,x x x f 正定，∴A 正定。
对于实二次型()321,,x x x f =AX X T 是半正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式皆大于或等于零。
2.3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E
[]
3.
证明：必要性 由于二次型()n x x x f ,,,21 AX X T =，其中A A T =，若A 正定，存在非退化线性替换，TY X =,把f 化为规范型
()n x x x f ,,,21 2
2
222
11n
n y d y d y d +++=
其中1±=i d 或0。由于f 是正定二次型，可证 1=i d ()n i ,,2,1 = 用反证法.若存在某一个1-=k d 或0
那么令()121,,,ε=n y y y ()0,1其余均为个分量为其中第k
则()n y y y ,,,21 0≠，从而可得()()0,,,,11≠=T
n T n y y T x x
()n x x x f ,,,21 0≤=k d
这与正定二次型的定义()1即定义矛盾，从而有1=i d ()n i ,,2,1 =成立。 再由()n x x x f ,,,21 EY Y y y y AX X T n T =++==22221
∴ET
T A T
=
充分性 若=A EP P T , 则P P A T =，其中P 是可逆阵。令PY X =，则
=()n x x x f ,,,21 =2
2221n
y y y ++
因此，任意()0,,,21≠=n T c c c c ，则
0111≠????
?
?????=??????????-n n c c P t t ∴()0,,222211>+++=n n t t t c c f 即证f 是正定二次型.即有A 为正定矩阵。
2.3.2 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 正定的充分必要条件是它的正惯性指数[]
9等
于n .
证明：由于二次型()n x x x f ,,,21 经过非退化线性替换TY X =,把f 化为标准型
()n x x x f ,,,21 2
2
222
11n
n y d y d y d +++= ，
由于()n x x x f ,,,21 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的，而
2
2
222
11n
n y d y d y d +++ 是正定的当且仅当,,,2,1,0n i d i =>即正惯性指数等n .
2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。
2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于
它的秩。
2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于
零，但至少有一个特征值等于零。
2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T =，则A 半正定。
2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵??
??
??00
0r
E 合
同。
3 利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。
定理1： 设A ()n n ij F a ?∈=是秩为0>r 的对称矩阵，则存在非奇异矩阵
n
n F
P ?∈ 使得，()0,0,,,,21 r T c c c diag AP P =，其中，.,,2,1,0r i c i =≠
定理2： 设任意非零实对称矩阵A =()ij a ∈F
n
n ?，则存在非奇异矩阵
n
n F
P ?∈，使得AP P T =
?
????)
1(110
0A
a 式中，11a 为A 对角线上的第一个元素。
()
1A
=121211122A A a A T
-- 22A =(11,++j i a a ) （j i ,=1,2…，n -1）
12A =()n a a a 11212
证明：设A 对称，有 ji ij
a a = A =?????
?
??????nn n n n n a a a a a a a a a
2
1
2221211211
=??
?
???2212
1211
A A A a
T
因A 非零，故可设11a 0≠，则可进行变换，
??
?
??I A =)()?
?
???
??
??????
?-?-1122
12
1211
01n n T I A A A a ()????
???
??
??
??
?=??????????????--???→
???
?
????
????
??
?-???→?--- 111
12
11112121112211121
11122212110
10
00101212A P a I A a A A a A a I
a a A A A a T
A T A T
列变换消行变换消 式中P =??
?
?
??--I A a 0
1
121
11 AP P T
=??????
--I A a 12
1
1101???
???22121211
A A A a T ??????--I A a 0
1121
11=??
?
???)1(11
0A a 证毕。
定理3：定理2中，A 正定的充分必要条件是11a >0，()1A 正定。 证明 1.必要性 令X =],,[1n x x T
0≠, PY X =, P 0≠,
有Y =],,[1n y y T 0≠ 则
AX X T
=APY P Y T
T =??
?
?
??)1(11
0A a Y T Y =1211y a +[]n y y y 32()1A []n y y y 32T 0>,
得出，若A 正定，则要求11a >0,()1A 正定.必要性证毕。 2. 充分性 1
211y
a +[]()
[]T
n n y y y A y y y 32132=T
Y
??
?
???)1(1100A a Y =T X
(P
1
-)T ??
?
?
??)1(11
0A a (P 1
-)X=AX X T
得出，只要11a >0，()1A 正定，定有A 正定。充分性证毕。
定理4：定理2中A 半正定的充分必要条件是11a >0，()1A 半正定。 证明 1. 必要性 重复定理3过程有
AX X T =2111y a +[]n y y y 32()1A []n y y y 32T
0≥ 因A 非零, 故必有11a >0(或经
合同变换后有11a >0).得出, 若A 半正定,则要求11a >0，()1A 半正定
2. 充分性 2111y a +[]n y y y 32()1A []n y y y 32T = AX X T 当11a >0 ，()1A 半 时,A 也必是半正定.证毕。
综合定理3和定理4 得出一个重要结论:一个n 阶实对称矩阵A 的正定性和半正定性的判别问题, 可以化成一个常数11a 的正负号与一个1-n 阶实对称矩阵
()
1A
的正定性和半正定性的判别问题。
运用分块拒阵变换判别以下矩阵属于哪一类矩阵。
例 1 判别实对称矩阵A =???
?
?
?????71
1
171117属于哪一类矩阵? 解 将A 分成分块矩阵A =??
?
???2212
1211
A A A a T 式中11a =7 12A =[]11 A =??
??
??71
17 判别A 11a =07>
A
)
1(=22A -1
11
-a T
A 1212
A =????
??71
1771-??????11[]11=71??
????486
648
将()1A 再分成分块矩阵A )1(=()()
()()??
?
???122112112111
A A A a
T 式中()
112A =
7
6 ()
122A =
7
48 ()
111a =
7
48>0
A
)
2(=()()()()
1121121112122
A A a A T --=7
48-
48
7×
7
6×
7
6=4
27>0
因11a >0 ()111a >0 ()
211a =A
)
2(=4
27>0, 故A 正定。
例2 判别A =?????
????
???--82
2
25402
450
0009属于哪类矩阵 解
9
11=a
()
????
?
?????--=82
2
2542451A
()
5111=a
A
)
2(=????
??8225-51??
?
???-24[]24-=
51??
????3618189 ()
211
a =1.8 A )
3(=7.2-
8
.11
6.36.3??0=
因为11a >0 ()111a >0 ()211a >0 ()
311a =A
)
3(=0
故A 半正定。
4 实对称正定矩阵判别的另一个充分必要条件
定理1[]8 n n R A ?∈ 是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩P , 使得Re λ()PA > 0, [A ,T A ]p = 0 ()1 证明： 若K S A +=是正定矩阵,令1-=S P ,则P 是实正定对称矩阵,由()1式. 若存在实正定对称矩阵p ， 使得()1式成立, 则有 T
APA =PA A T 从而由2
1
P
存在知(2
1P A 2
1
P
)T (2
1
P
A 2
1
P
)=(2
1
P
A 2
1
P )(2
1
P
A 2
1
P
)T .
故 2
1P A 2
1P
是规范矩阵. 由PA 与2
1
P
A 2
1
P
相似及Re λ()PA >0,得R e λ
（2
1P
A 2
1
P
）>0.由2
1P
A 2
1
P
正定,得A 正定.
定理 2 设K S A +=∈n n R ?, 则A 是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩阵P , 使()0>PS λ,且[ S ,K ]P = 0.
证明: 如果A 是正定矩阵,则S
1
- 是正定对称矩阵. 令P = 1-S ,显然有
()0>PS λ与
[]p K S ,= 0.反之,由[]p K S ,得
SPK
= KPS
. 而
()()
T
T
A A P A A SPK -+=
4
1 =
4
1()
PA
A APA PA
A APA
T
T
T
T
-+-，
()()()
PA
A APA
PA A APA
A A P A A SPK T
T
T T
T
-+-=+-=
4
14
1 故得
PA A APA
T
T
=, 即[]P T
A A ,=0.注意到2
1P
存在且2
1P
A
2
1
P
=
2
1P
S 2
1
P
+2
1
P
K 2
1
P
,其中2
1
P
S 2
1
P
与2
1
P
K 2
1
P
分别是2
1P
A 2
1P
的对称分
支与反对称分支. 由()02
1
2
1>=??
? ?
?PS SP
P
λλ,得2
1
P
S 2
1
P
是实正定对称矩阵.
即2
1P
A 2
1
P
是实正定矩阵且A 实正定.
5 实对称矩阵为正定的充分性的判别法.
我们知道, 当实对称矩阵A 的阶数很高时, 要完成上述五种方法中的任何一种的计算都不是容易的, 下面介绍一种比较简单的关于实对称矩阵为正定的充分性几的判别法[]2.
()I 先讨论正元素对称矩阵:
B =?
?????
?
??????
?nn n n n
n b b b b b b b b b
2
12222111211 ()5
()n j i b b
ji ij
,,2,1,,0 =>=的正定性的判别法。
记ii y =
jj
ii ij b b b ? ，()ji ij y y =
当??
?
<<≠==1
01ij ij y j i y j i 时，假设时，
又记<0,1min <≠=
ij y j
i α 0<β
=
j
i ≠max y ij <1
我们有下列定理:
定理1 若矩阵 B 的阶数3≥n , 且有不等式:
α
β<--2
2n n ()6
则矩阵B 是正定的。
证明：因为当n 3≥且有不等式()2时，正元素对称矩阵:
A =?????????
???11121
221
112 n n n
n y y y y y y 是正定的。所以A 的i 阶顺序主子式： 1
112
1
221112
i i i i i y y y y y y A =
>0 ()n i ,,2,1 =
所以B 的阶顺序主子式：
i B =
ii
i i i i b b b b b b b b b
2
1
2222111211
=
ii
ii i i i i b b b b b b b b b b b b ?
??
2
1
222
22211121111
从第一行提取公因式11b ，从第二行提取公因式22b ，……，从第i 行提取公因式ii b 得：
i B =?
11b 22b (ii)
b ii
ii
i ii
i i i b b b b b b b b b b b b b b b
21222222221
111111211 再从第一列提取公因式11b ，从第二列提取公因式22b ，……，从第i 列提取公因式ii b 得：
i B =ii
b b b 22111
11
2
1
221112
i i i i y y y y y y =ii b b b 2211i A
所以i B >0 ()n i ,,2,1 =，故B 是正定的。
例. 判别正元素对称矩阵：=B ???
?
?
???
??54
2
452
222是正定的。
解： 由上述定理可得:A =?????
???
?????
?????15
45
254152
52521阿 由此可知：A 的非对角线元素均满足：0 5 2 , β= 5 4 , n =3 ?=--322 n n β?? ? ??542 -=5 2<α 所以A 是正定的。故B 也是正定的. 6 实对称矩阵半正定判定的一个新依据 一般我们认为，A 为正定(半正定)的充分必要条件是其所有主子式>0()0≥.但是由于一个n 阶矩阵的主要主子式只有n 个,由以上定理, 正定矩阵的判据放宽了, 简化了, 但是生正定矩阵的判据仍然较繁。然而, 由于误解, 某些控制理论及数学书籍中, 常把“ 主要主子式” 非负作为半正定矩阵的判据。但是，这种认识是错误的。 例 =A ??? ? ? ??? ??-10 000 001 其所有顺序主子式均0≥，但是不定的。 那么, 是否有别的办法能简化半正定矩阵的判据呢？有。以下我们给出一个较宽的半正定矩阵的封据。 为证明这个新判据, 先给如下引理： 引理1 如果A 之阶数最高的非奇异主子矩阵[]4为r 阶, 则 n r r rankA ≤≤=1,。这里，A 的主子矩阵即为A 的主子式所对应的矩阵： A =?? ? ? ??r r i i i i i i 2121，1n i i i r ≤<<≤ 21，n r ≤≤1. 证明：设A I -λ=()n n n n n a a a 12211-+-+--- λλλ， ()2 则其系数 A a i =的所有i 阶主子式之和0≠，所以 .r rankA ≥ ()3 又所有()()n r r ,,2,1 ++阶主子式皆为0，所以.,,1,0n r i a i +== ()2式可以写为：A I -λ=[()]r r r n r n a a 111-+--- λλλ，即A 至少有()r n -重零 根。又实对称矩阵皆可对角化，即有=-AQ Q 1对角阵， ∴ .1 r AQ rankQ rankA ≤=- ()4 ()3、()4式，必有n r r rankA ≤≤=1,。引理1证毕。 引理2 A 为半正定矩阵的充分必要条件是 A =?? ?? ??00 0r I ， 即有P , ?? ????=00 0r T I AP P . 定理3 A 为半正定的充分必要条件是其任意一个阶数最高的非奇异主子矩阵为正定矩阵。 证明： 设A 之某一阶数最高的非奇异主子矩 ??? ???=r r i i i i i i A 2 121 ,有 T r r r r r r A A A ???=≠,0. 有合同变换，即有 1p 使 ?? ????=?C B B A AP P T r r T 11.再令?? ? ???-=?I B A I P r r r 1 2,则??????-=-?I A B I P r r T r T 1 2 0, 有?? ????=?????? =??D A P C B B A P P AP P P r r T r r T T T 0 0222112, 这里B A B C D T r r T ?-=.由引理1 及合同变换不改变A 之秩, 必有0=D .如若不然, 即0≠D ,则至少有D 中某一元0≠ii d ，于是有 ?? ????++i r r i r r P AP P P T T ,,2,1,,2,1det 211 2 =00 0≠?=??ij r r ij r r d A d A ， 12121+≥=r P AP P rankP rankA T T ，矛盾。 ∴?? ?? ??=?00 0r r A A 若r r A ?为正定矩阵，则r r A ?r I ≈，?? ?? ??≈?000r r I A . 由引理2，A 为半正定矩阵。 同理可证必要性.定理3证毕. 推论 1 A 为半正定的充分必要条件是其任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式>0. 显然，当该非奇异主子矩阵的阶数就是n 时，则A 为正定的。我们看到，定理3包含了定理2的前一部分，发展了其后一部分。 推论 2 A 为半负定的充分必要条件是一A 的任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式>0. 由以上推论，在判定A 之定性时，并不需要计算所有12-n 个主子式，因此在计算机运算或手算中，均可减少运算程序。 例 ????? ???? ???=73 3 2 22213 221 2111A 有A =0 而 ?? ?? ??442 21 1 A =07 3 2 3212 11> .以下只需计算?? ?? ??442 21 1 A 的主要主 子式。有02 1 11,0121>= >=D D .∴A 为半正定矩阵。 7 实对称矩阵的一个简单应用 在实际问题中，经常会遇到求三元以上函数的极值问题[]7，对此可有二次型的正定性加以解决。 定义 1 设n 元函数()()n x x f X f ,,1 =在()n T n R x x X ∈=,,1 的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。记()() () ()??? ? ????????=?n x X f x X f x X f X f , ,, 2 1 ，()X f ?称为函数()X f 在点()T n x x x X ,,,21 =处的梯度。 定义 2 满足()00=?x f 的点0x 称为函数()X f 的驻点. 定义 3 ()()()()()()()()() () ()?? ????? ? ? ? ???? ????? ???????????????????=???? ????=?2 2 2 2 1222 22 2 1 22 12 2122 122n n n n n n n j i x X f x x X f x x X f x x X f x X f x x X f x x X f x x X f x X f x x X f X H 称为函数()X f 在点()n x x x X ,,,21 =在点n R X ∈处得黑塞矩阵。显然()X H 是由()X f 的2n 个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。 定理 1 ()极值存在的必要条件 设函数()X f 在点( ) T n x x x X 00 2010 ,,, =处存 在一阶偏导数，且0X 为该函数的极值点，则()00=?X f 定理 2 ()极值的充分条件 设函数设n 元函数()()n x x f X f ,,1 =在 n R X ∈0 的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。且 ()() ()()0, ,,02 0100=??? ? ? ???????=?n x X f x X f x X f X f 则：()1当()0X H 为正定矩阵时，()0X f 为()X f 的极小值； ()2当()0X H 为负定矩阵时，()0X f 为()X f 的极大值； ()3当()0X H 为不定矩阵时，()0X f 不为()X f 的极值。 应注意的问题： 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，结论就不一定成立。 例 求三元函数()z y x z y x z y x f 64232,,222-++++=的极值. 解 先求驻点，由? ?? ??=-==+==+=0 660440 22z f y f x f z y x 得1-=x ，1-=y ，1=z 所以驻点为()1,1,10--p .再求黑塞矩阵 因为2=xx f ，0=xy f ，0=xz f ，4=yy f ，0=yz f ，6=zz f . 所以 ??? ? ? ?????=60 040002H ,可知H 是正定的，所以()z y x f ,,在()1,1,10--p 点取得极小值：()61,1,1-=--f . 当然，此题也可以用初等方法()()()()613121,,222--++++=z y x z y x f 求得极小值6-，结果一样. 参考文献 [1]赵国枝,刘志决.实对称矩阵正定半正定性的简易判别[J].太原机械学院学 报,1991,12(04):89-92. 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Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application 目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22) 1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠ 关于矩阵正定的若干判别方法 数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖 指导教师吴春 摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。 关键词:正定矩阵；定义；性质；判定 Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix. Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination 1 引言 代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些 摘要 本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用. 关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值 ABSTRACT This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given. Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value 矩阵的正定性及其应用 摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例． 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0 内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩 内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application 某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况, 变量35个，样本31个（全国31个省）, 希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 一、问题描述 通过SPSS的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”， 无法给出KMO直，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 二、疑问 1）什么是正定矩阵？ 2）因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3）非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4）如何修正使得变成正定矩阵？ 三、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1）样本量太少，而指标过多 2）某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无 法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且 相关系数在以上： 但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况 估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问 题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只 选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现SPSS没有再提示“非正定矩阵”而是正常 的输出了KMO佥验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试， 当发现添加某个变量SPSS提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续 SPSS认为“非正定矩阵”的原因: 测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让 一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出 结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图： 上图的截图是“解释的总方差”显示所有变量的相关系数矩阵的所有特征值，大家可以看到在 用红色方框标注的5个特征值，他们的数值的数量级都是10的负16次方、17次方、18次方，甚 至出现了负值，几乎可以认为就是零了，远远小于其他特征值，根据之前的逐一测试法确认，这 5 个特征值是与之前发现的那5个变量是对应的，我想这就应该是为什么是这5个变量导致出现非正定矩阵的原因吧。 那进一步思考，特征值过小或者为负值说明了什么呢，根据正定矩阵的判定，正定矩阵的充分 必要条件是：特征值>0,所有出现负的特征值就肯定会出现“非正定矩阵”的原因，但就靠这点似 乎还不够，因为有些特征值是大于0的，只是非常非常小而已。我推测（仅仅是我推测），因为我 们在做主成分分析的时候，每个主成分的方差就等于对于特征值，特征值太小意味着主成分的方差 太小，方差太小意味着包含变量的信息量太少，而我们在做因子分析时往往也是用主成分法来抽取 公因子，所以特征值太小可能也无法满足正定矩阵的条件，当然这是我的推测。 四、总结 根据整个过程，我总结了一下几点： 1）出现非正定矩阵的情况，并不一定都是样本太少（本例中样本才31,变量有35个） 2）剔除变量的时候，可以利用逐一淘汰法来发现问题变量，再考虑是否要删除 3）非正定矩阵似乎对因子分析结果并无太多影响，因为我们往往只抽取了部分公因子（累计方差 实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明 07级数学教育一班 周端华 摘要：线性代数里有这样一个重要定理：“实n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充要条件是：A 的一切主子式≥0。”该定理的条件的必要性容易证明，但对条件的充分性，很多有关的教科书或参考资料都作了几乎雷同的证明，本文提供一种新的证明方法，比已有的证明方法，思路自然，易于接受，便于理解。这对代数教学，无疑是有参考价值的，对拓广读者的思路会有帮助的 关键词：实n 阶对称矩阵，正定矩阵，半正定矩阵，主子式，数学归纳法。 引言：大多数课本的证明中都要用到这样一个命题：“若K 阶实对称矩阵 A kk 的一切主子式 ≥0，则对任何正数λ，k 阶矩阵A I kk k +λ是正定矩阵。 ”(I k 是k 阶单位矩阵。)要用到较多的预备知识．技巧性虽强，但思路欠自然 。尤其对初学线性代数的读者来说，很难捉摸其证法是如何想出来的。下面就让我们走进新的证明方法。 证明：对该定理的条件充分性用数学归纳法证明。当实对称矩阵A 是l 阶时，显然命题成立。假定实对称矩阵A 是n 阶时，命题成立，视A 为n+1阶的情形： 设)1)(1()(++=A n m ij a 10 如果011=a ，则必有011i ==i a a ,i=2,3…,n+1,因为若有某个01≠u a ,(2≤u ≤n+1), 则A 的一个2阶主子式 00211 11 111<-== u uu u u uu u u a a a a a a a a ， 与条件矛盾。所以011==i i a a ，1,,3,2+=n i 。即 ??? ? ? ?A =A 10 00 其中1A 是n 阶实对称矩阵，它的一切主子式都是A 的主子式，因此A 的一切主子式≥0。据归纳假设，知1A 是半正定矩阵。这时，显然A 是半正定矩阵。 2 如果011≠a ，即011≠a ，即011>a ，(由条件知) ??? ? ??=A B a a a t 11 其中)()1(,11312+=n a ααα，，， ，B 是实n 阶对称矩阵，于是 5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵 [1] 二次型的分类 n 个变数的二次型∑=== n j i T j i ij n x A x x x a x x q 1 ,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0 对应一个函数值)(0 x q ，依据)(x q 值的符号，在教 材184页上给出了二次型的分类定义： 1．正定二次型。若对一切n R x ∈，当0)(0>=?≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。 显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。 2．正半定（或半正定）二次型。若对一切n R x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T ，且至少有一 00 ≠x 能使0)(0 =x q . 3．负定。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。 4．负半定（或半负定）。对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。 5．不定二次型。若二次型Ax x q T =既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。 容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。 若系数全正为正定二次型； 若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型； 若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。 对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。 例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型 2 12322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。 解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。 在这样考虑下，可对其作线性变换 n n n x x a y x a x y x a x y +=+= +=1 3 2222 111 而将q 化成标准形，2 2221n y y y q +++= 这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。 现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？ 0021====?=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。 若q =0, 则必有 摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件 Decision of Real Positive Definite Matrix and Its Important Conclusion Abstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix . Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition 禄 鹏 （天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000） 摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件 1 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 2 实正定矩阵的等价定理 定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>. 定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定. 引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4 [] 7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的 主对角元均为正. 定理1 实对称矩阵n n R A ?∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10?∈≠n R X ，使0>AX X T . 正定矩阵的判定 摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。 关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型 一、利用定义 （一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有 T X AX 0>。正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。 例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则T P AP 也是正定矩阵。 证明：因为A 是实对称阵，故T P AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ， 由于PX ≠0(P 是非奇阵),故() T T X P AP X 0>,即T P AP 是正定阵。 1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量 X =12x x ?? ? ? ??? ≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。 2．实对角矩阵1n d d ?? ? ? ??? 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2, n )。 3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等 于n 。 二、利用主子式 （一）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0，则A 为正定矩阵。 证明：对n 作数学归纳法。当1n =时，()2 1111f x a x =，由条件11a >0，显然有 ()1f x 是正定的。假设该论断论断对1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。 令 111,111,11,1n n n n a a A a a ----?? ?= ? ??? ，11,n n n a a α-?? ?= ? ??? 一、案例介绍 某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况，变量35个，样本31个（全国31个省），希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 二、问题描述 通过spss的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”，无法给出KMO值，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 三、疑问 1)什么是正定矩阵？ 2)因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3)非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4)如何修正使得变成正定矩阵？ 四、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1)样本量太少，而指标过多 2)某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且相关系数在0.9以上： 但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现spss没有再提示“非正定矩阵”而是正常的输出了KMO检验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，当发现添加某个变量spss提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让spss认为“非正定矩阵”的原因：一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图： 目 录 1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1) 2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。 .............................................. 3 2. 3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E [] 3. (4) 2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数 [] 9等于n 。 (5) 2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。 ................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。 . 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的 秩。 (5) 2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零， 但至少有一个特征值等于零。 (5) 2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。 ............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T =，则A 半正定。 (5) 2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵?? ? ? ??000r E 合同。..... 5 3.利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。 ............................................... 5 4.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 .................... 8 5.实对称矩阵为正定的充分性的判别法. ..................... 9 6.实对称矩阵半正定的一个新依据 .........................11 7.实对称矩阵的一个简单应用 . (13) 泰山学院 毕业论文材料汇编 正定矩阵的判定 所在学院 专业名称 申请学士学位所属学科 年级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 装订日期 2015 年 6 月 30 日. 材料汇编目录 一、开题报告 二、任务书 三、论文 1. 封面 2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目录 5. 正文 6. 参考文献 7. 致谢 四、成绩评定书 泰山学院 毕业论文开题报告. 题目正定矩阵的判定 学院 年级 专业 姓名 学号 指导教师签字 学生签字 2014 年 12 月 15 日 . . . 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。 方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。 方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。 方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时， A 正定。 （二）研究方法 主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。 三、进度安排 1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。 2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。 3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。 四、主要参考文献 [1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996. [2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989. [3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993. [4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版 社，2003. [6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012. [7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003. 本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间： A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding: 摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值 Abstract The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum. Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum 2016考研数学矩阵正定判定的五个充要 条件 考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的三个技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！ 考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。在忙碌的考研复习中，或许你正在忙于大量的复习知识，或许你已投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在因为复习不见成效而沮丧。但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 矩阵正定是针对对称矩阵而言的，在数一、数二、数三的考试中，主要是实对称矩阵。矩阵的正定与对应的二次型正定是等价。下面就从矩阵对应的二次型正定和矩阵自身正定两个角度进行讨论。 把握良好的进取心态，将长久以来复习的知识融会贯通，力争在最后的战场上保持做题的最佳能力，合理利用时间调整自己，切忌心烦气躁，忧心忡忡，让自己在最后的拼搏中赢得最后的胜利。 最后祝愿大家考研取得好成绩！ 广义实正定矩阵 【摘要】自1970年Johnson C.R.首次给出广义正定矩阵的概念以来，学者们历经39年的艰苦研究历程，产生了许许多多更加广义的正定矩阵，获得许多丰富的研究成果。可是，他们对广义正定矩阵的研究，众说纷纭，各执一词，使得正定矩阵的阵容不断扩大，广义度不断增强，到头来何为正定矩阵，没了一个统一的标准。为改变这种现状，本文给出一种公理性的广义正定矩阵的定义，并对新意义下广义正定矩阵的若干性质进行了分析和研究。希望为广义正定矩阵概念的规范化探出一条新路。 【Abstract】Since Johnson C.R. gave the concept of Generalized Positive Definite Matrices for the first time in 1970, the scholars, after 39 years’tough research, have put forward many more generalized positive definite matrix and acquired huge achievement. Yet, they had different saying in the research of generalized positive definite matrix, which has widened the definition of generalized positive definite matrix, so ultimately they could not reach an agreement in what generalized positive definite matrix is. In order to change the situation, this article is to give the definition of an axiomatic generalized real positive definite matrices and make analysis into some of the quality of generalized positive definite matrix under the new definition. It wishes to find a new way for normative research into the concept of generalized positive definite matrix. 【Keywords】Positive definite matrix Real symmetric matrix (△)-positive definite factor Changeless factor Alterable factor 若无特别声明，本文用R表示实数域；用表示实数域上矩阵的全体；若，则表示A的转置；O表示零矩阵；表示n阶单位矩阵；表示n阶单位矩阵交换(i, j)行后得到的初等矩阵；表示n阶正对角矩阵的全体；表示n阶实对称矩阵的全体；表示n阶实反对称矩阵的全体；表示空集；符号“ ”表示等价；“ ”表示蕴含。 1．广义正定矩阵发展历程简述。实正定矩阵的概念最初出现在二次型的研究中，其初始定义是： 定义1、n阶实对称矩阵A称为正定的，如果有。本文把这种正定矩阵称为S+-正定矩阵，n阶-正定矩阵的全体记为。 随着数学本身的发展和其它学科应用的需要，许多学者突破常规，研究矩阵的正定性，因而产生了一系列更加广义的正定矩阵，1970年，Johnson.C.R首先提出了广义正定矩阵的概念。 定义2[1]、设，矩阵A称为正定的，如果有。本文把这种正定矩阵称为J-正定矩阵，n阶J-正定矩阵的全体记为。正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编
矩阵的判定条件
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用
矩阵的正定性及其应用论文
正定矩阵的性质和判定方法及应用
因子分析出现非正定矩阵案例
实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明
正定矩阵
实正定矩阵的判定及其重要结论
正定矩阵的判定
因子分析出现非正定矩阵案例
实对称矩阵正定、半正定的简易判别
正定矩阵的判定
正定矩阵及其应用
2016考研数学矩阵正定判定的五个充要条件
广义实正定矩阵
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