2010 年中国科学院数学分析真题解析
一、(20 分)计算:
sin 2 x
ln(1 t )dt
(1)
x 0
;(2)?? xy dxdy .
x y 1
1
解:(1)利用洛必达法则
sin 2x
ln(1 t )dt sin 2 x) 2 s in x cos x sin 2 x)
ln(1 sin x ln(1
lim
x
lim
x 0
lim
x 0
cos x
3x2
1 x
2
2 sin x cos x
cos x sin x
lim 1 s i n2 x lim 1
sin 2 x
2x x 0 1 x
x 0
(2)设区域D0 ,则
( x, y) x y 1, x, y
2
1
4? 1 x?xydy dx14?x(1 x)dx
?? 4??
xy dxdy xydxdy
3 x y 1 D0 0 0
二、(20 分)(1)令
?
x2 sin
1
, x 0
?
f ( x) x
???0,
x0
求f (0) ,并证明f ( x) 在x0 处不连续.
n
∑1 ,证明e
(2)若n 1.
k 1
k
解:(1)由题意可得
x2 sin
1
lim
f ( x) f (0)
lim x sin
1
lim x
f (0) 0
x0 x
x 0x 0x 0
0 时,f ( x)
?
x2 sin
1
?
2x sin
1
cos
1
,故lim f ( x) 不存在,所以f
当x( x) 在
x ? x x
? ? x 0
x 0 处不连续.
(2)对n 应用数学归纳法,n 1 时,e e 2 n 1 结论成立;
n 1 1
∑
e k 1 k
假设对 1 结论成立,即有n ;对n ,∵e x
n 1 0 ( x
n 1
0)
1 1
e x e x e x
(1 x) lim
x 0
(1 x) 0 1 x ( x0) e n 1
n n
n1n 11
∑
e
∑
e
1 n 1
k 1
k
k 1
k1结论成立.
e n n n
n
故对n有e
N n 1.
三、(20 分)若f ( x) 在[0,1] 上连续,在(0,1) 上二次可微,并且
3
f (1) .
f
?1 ? 1
0 ,以及 f ( y)dy
?1
f (0)
4 ? 4
??
4
求证:(0,1) ,使得f ( ) 0 .
证明:由题意可得在(0,1) 上f ( x) 存在且可微.
f
?1 ? ?
0,
1 ?
,使f (
∵f (0)0 由罗尔中值定理可得) 0 .
4 ? 4 ? 1
1
?? ??
3
f (1)?1 ,1?,使f ( 1 ? 3 f (1)
)
?
1 1
∵? f ( y)dy由积分中值定理可得 ? 2 ?
1 2
4 ?4 4 ? 4
? ?
0 .
4
即f (
2
) f (1) ,由罗尔中值定理可得
2
,1 ,使f(
3
)
3
)
3
在[
1
,
3
] 上,对f ( x) 利用罗尔中值定理可得
f ( ) 0 .
(
1
,(0,1) ,使
n
四、(15 分)求级数∑ .
n 1
(n1)!
n
,则lim
a
n 1
n 1
解:该级数是正项级数. 设a 1 ,故
lim
n
n
(n 1)! a n(n2)
n
n
n
∑ 收敛.
n 1
(n 1)!
n a
n
∑ n 1 ,则收敛半径R
令f ( x) . 故) ,有
lim
n
x( ,
n 1
(n 1)!a
n 1
e x
∑(n 1) 1x x∑1 x n∑1 x n
n 1 e x( x1)e x
f ( x) x 1 x 1 1
(n 1)!
n
n 1
n! n 2 n!
n 1
所以,∑ f (1) 1.
n 1
(n 1)!
五、(15 分)求证:
n?2n 1
3 2
?
k 1
n
1
,则要证的结论等价于
证明:设S
n
n
k 1
2 2 1
S
n
.
2n
3 3
应用数学归纳法,先证左边不等式成立.
2 2
n 1 时,S
1
1结论成立;假设n) 时结论成立,即S;
t (t N t
3
当n
1
t 1 时,t 1 2t 1 2t
?
1
t t t
2
?
t
3
1 ,即
t t 1
1
2 t 1
?
t t 1 t 1t
S
t 1
S
t
t 1
k 1
t 1
2 ?
t
k 1
t 1
3 ?
?
?2
t t 1
3 3 t 1 1 ?
t 1 2 t
? ? ?
2 2
3 t 1 3 故,左边不等式成立. 下证右边不等式成立.
2 1
2 1
n 1 时, S 1 1 结论成立;假设 n t (t N ) 时结论成立,即 S . t
3 2 2 3 2t
t 1 时,∵ 4t 1 当 n 1 1 4t 3 4t 3 (4t 4t 3 ,即 4 4 4(t 1) 3
1 3 1
t t 1 4(t 1)
? S ? 2 ?
t 1 S 3 t 1 t
t 1 t
? 1 2t
2 ? ? 2 2 ?1 ? 1
3 1
结论成立. 故 3 4(t 1) ? 3 1 ? t 3 2(t 1)
? ? ? 右边的不等式成立.
所以, 2 2 1
,即 2n
S n
3 3 n
? 2n 1 k 1
3 2 ? 六、(15 分)计算
( x 3 y 3 z 3 )dxdydz , ??? V
其中V 表示曲面 x 2 解:由题意可得
V
采用坐标变换:
y 2 z 2
z ) 2a 2 0) 所围成的区域. 2a ( x y 0 (a ( x , y , z ) ( x a )2 a )2 ( z a )2 a 2
( y ?u x y z a a a ? v
? ?w ?
则V 化为:
(u , v , w ) u 2 v 2 w 2 a
2
有
??? ( x
3
y 3 z 3 )dxdydz
???
(u a )
3
(v a )
3
(w a )3
dudvdw ? J
V
由u , v , w 的对称性可得
3??? (w a )3 dudvdw
J 采用球坐标变换:
?u r sin cos , 0 r sin sin , 0 r a ?v
?
? w r cos , 0 2 ?
则
1 J a ? ? 2
?
(r cos
a )3 r 2 sin d d dr 3 0 0 0
a ? ?
r 2
a 2 sin 3a 2 r sin cos
3ar 2 cos 2 r 3 cos 3 sin
2
sin
d dr
sin 4 )?
d dr
0 0 3 ar 4
(sin 3 sin )
1 r 5
(2 sin 2 ?2a 2 r 2 sin a
3a 2 r 3 sin 2
?0 ?0 ??
2
4
16 a
? (2a 2 r 2 2ar 4 )dr a 5
15
所以
16 a 5
.
J
七、(15 分)应用Green 公式计算积分
5 e x ( x sin y e x
( x cos y y cos y )dx y sin y )dy ?L
I . x 2 y 2
其中 L 是包围原点的简单光滑曲线,逆时针方向. 解:由题意可得,在 L 所谓区域内部能找到以原点为圆心,r 为半径的圆( r 0 可以任意小),记该圆为C ,若记曲线的逆时针方向为正方向,顺时针方向为负 方向,则
e x ( x sin y y cos y )dx e x ( x cos y y sin y )dy I ?L
?L ?C
x 2 y 2
e x ( x sin y y cos y )dx e x
( x cos y y sin y )dy x 2 y 2
C
e x ( x sin y y cos y )dx e x
( x cos y y sin y )dy x 2 y 2
设 L C 所围区域为 D ,则 D 不包含原点.
e x ??( x 3 xy 2 x 2 y 2 ) cos y ( x 2
y y 3 2 x y ) sin y ? e x ( x cos y y sin y ) ? x ? ? x 2 y 2 2
x 2 y 2
? ? e x ( x sin y y cos y ) ?
y ? ?
x 2 y 2 ? 故由Green 公式可得
e x ( x sin y e x
( x cos y y cos y )dx y sin y )dy ?L x 2 y 2
C
? ? ? e ( x cos y y sin y ) ? x ? e ( x sin y y cos y ) ? dxdy x ?? ? 0 x ? ? y ?? x 2 y 2 x 2 y 2 D ? ? ?
?? ? x r cos
r sin 采用极坐标变换: ?
,则 ? y
e x ( x sin y y cos y )dx e x
( x cos y y sin y )dy
I
?
C
x 2 y 2
1 2 e r cos
r 2 ?0
? r cos sin(r sin ) r sin cos(r sin ) ( r sin )
? r cos cos(r sin ) r sin sin(r sin ) r cos ?? d
2
? e r cos
cos(r sin )d 0 ,则
0 由 r 的任意性,令 r 2
?
I
d
2 .
0 连续,并且对所有 x , y
八、(10 分)设 f ( x ) 定义在 ( 有
) 上,且在 x ,
(
, )
f ( x y ) f ( x ) f ( y ). f (1) x .
求证: f ( x ) 在 ( ,
证明:由题意可得 ) 上连续,且 f ( x ) lim f ( x ) x 0
f (0)
, ) 有
x , y (
lim f ( x ) lim f ( x
∵ f (0) f (0 0) f (0) f (0) 0 y ) lim f ( x ) x 0
f (0) f ( y ) lim f ( x ) x 0
f ( y ) f (0) f ( y )
x y
x 0
lim f ( x ) f ( y ) x y
由 y 的任意性可得
f ( x ) 在 ( ) 上恒成立.
,
) 上连续.
下证 f ( x ) 首先证明 f (1) x 在 ( ,
,有 f (ax ) ax . 由题意可得: a
,
f ( x ) 2 f ( x ) ,f (3x ) f ( x ) 3 f ( x ) , f (2 x ) f ( x x ) f ( x ) f (2 x x ) f (2 x ) ? , f ((n 1) x ) (n 1) x
1) x x ) 则 故 f (nx ) f ((n f ((n 1) x ) f ( x ) (n 1) f ( x ) f ( x ) nf ( x ) N ,有 f (nx ) n nf ( x ) ..
对上式,用 x 替换 x ,则有 f ( x ) nf ? x ? ,故 f ? x ? 1
f ( x ) ,所以 m , n N n ? n ? n n
? ? ? ? 有
f ? m x ? x ? mf ? x ? m 1 f ( x ) m
f ( x )
f ? m n ? n ? n ? n n ? ? f ( x ) ? f ( x )
? ? ?
∵ f (0) f ( x x ) f ? m x ? f ? m x ? f ? m x ? f ? m x ? m f ( x )
0 ? n ? ? ? n ? n n n ? ? ? ? ? ? ? ? a Q 有 f (ax ) af ( x ) . 由实数的稠密性可知, a 性可得
R Q , a n Q ,使 lim a n a ,利用 f ( x ) 的连续
n
af ( x ) R 有 f (ax ) R 有
lim a n f ( x ) lim f (a n x ) f (lim a n x ) f (ax )
n n n
所以, c 故, x af ( x ) . f ( x ) f ( x 1) xf (1) f (1) x .
九、(10 分)求证:
1 dx 1 ∑ n .
?0 x x n 1 1 1
证明:当 n 2 时, .
n n n 2
1 1
∵ ∑ 2 收敛 ∑ 收敛 n n 1 n n 1 n
( n
∑ x
∵ e
x
1 , x , )
n 1 n !
n
1 ( x ln x ) ∑ x
e
x ln x
x
1 x
x n ! n 1
( x ln x ) 1
?
1 n ?
n 1
dx
( 1) 1 x n (ln x )n dx ∑ ∑ n 1 ?0 x x ?0 ?0
dx 1 ? n ! n ! ?
?
n 1 ( 1)1 ( 1)2
1 1 1 ∵ x n (ln x )n dx x n (ln x )n 1 dx x n (ln x )n
2 dx ?0 ?0 ?0 n n (n 1) (n 1)2
n 1 1)n 1
( 1)n ( 1)n
( 1 1 1)? 2 x n ln xdx n ! x n
dx ?0 ?0
1 ? n (n n ! 1)n 1 (n 1)n (n 1)n 1 (n n n 1 dx ( 1) ( 1) 1 1 1
∑ ∑ (n ∑ n n ∑ n
n ?0 x x
1 n ! 1 1)n 1 1)n 1 n ! (n n 1 n 1 n
2 n 1 十、(10 分)设函数 f ( x ) 在[0,1] 上连续且 f ( x ) 0 ,讨论函数
dx
yf ( x ) 1 ?0 x 2 y 2
g ( y ) 在 ( ) 上的连续性.
, 解:∵ 函数 f ( x ) 在[0,1] 上连续 由于 f ( x ) 0 ,则 m 0 .
由 y 的对称性,只需研究 0,
f ( x ) 在[0,1] 上有最大、小值,设 m min f ( x ) , x
0,1
上的连续性. 设 y 0 ,则
y m arctan 1
1 ?0 x
2 y 2 g ( y ) m dx
y
0 处连续.
m
所以, lim g ( y )
x 0
g (0) ,这表明 g ( y ) 不在 y 0 2
yf ( x )
是初等函数 g ( y ) 在 (0, ) 上连续 ∵ x 2 y
2 yf ( x )
1 综上可得, g ( y ) ?0 x
2 y 2
dx 在 ( , ) 上有且只有一个不连续点: y 0 .
一、中国科学院数学与系统科学研究院简介 中国科学院数学与系统科学研究院由中科院数学研究所、应用数学研究所、系统科学研究所及计算数学与科学工程计算研究所四个研究所整合而成,此外还拥有科学与工程计算国家重点实验室、中科院管理决策与信息系统重点实验室、中科院系统控制重点实验室、中科院数学机械化重点实验室、华罗庚数学重点实验室、随机复杂结构与数据科学重点实验室,以及中科院晨兴数学中心和中科院预测科学研究中心等。2010年11月成立国家数学与交叉科学中心,旨在从国家层面搭建一个数学与其它学科交叉合作的高水平研究平台。数学与系统科学研究院拥有完整的学科布局,研究领域涵盖了数学与系统科学的主要研究方向。共有16个硕士点和13个博士点(二级学科),分布在经济学、数学、系统科学、统计学、计算机科学与技术、管理科学与工程六个一级学科中,可以在此范围内招收和培养硕士与博士研究生。在2006年全国学科评估中,我院数学学科的整体评估得分为本学科的最高分数。数学与系统科学研究院硕士招生类别为硕士研究生、硕博连读生和专业学位硕士研究生。2019年共计划招收122名。 二、中国科学院大学系统理论专业招生情况、考试科目
三、中国科学院大学系统理论专业分数线 2018年硕士研究生招生复试分数线 2017年硕士研究生招生复试分数线 四、中国科学院大学系统理论专业考研参考书目 616数学分析 现行(公开发行)综合性大学(师范大学)数学系用数学分析教程。 801高等代数 [1] 北京大学编《高等代数》,高等教育出版社,1978年3月第1版,2003年7月第3
版,2003年9月第2次印刷. [2] 复旦大学蒋尔雄等编《线性代数》,人民教育出版社,1988. [3] 张禾瑞,郝鈵新,《高等代数》,高等教育出版社, 1997. 五、中国科学院大学系统理论专业复试原则 在中国科学院数学与系统科学研究院招生工作小组领导下,按研究所成立招收硕士研究生复试小组,设组长1人、秘书1人。 复试总成绩按百分制计算,其中专业知识成绩占60%,英语听力及口语测试成绩占20%,综合素质成绩占20%。 在面试环节,每位考生有5分钟自述,考查内容主要包括专业知识、外语(口语)水平和综合素质等。 1、专业知识面试重点考查考生对专业基础知识掌握的深度和广度,对知识灵活运用的程度以及考生的实验技能和实际动手能力等,了解考生从事科研工作的潜力和创新能力。 2、外语面试主要考查考生的听、说能力及语言运用能力。 3、思想品德的面试包括考生的政治态度、思想品德、工作学习态度、团队合作精神、科研道德、遵纪守法以及心理素质等内容。 4、体检主要了解考生的身体健康状况,也包括体能、体质和心理素质等。 5、研究生部通过“政审表”向考生所在单位的人事、政工或考生管理部门了解考生的思想品德情况和现实表现。“政审表”将根据中国科学院大学时间部署与调档函一并寄发,需由考生本人档案所在单位的人事(政工)部门加盖公章,随档案一并寄回。政审合格方可寄发录取通知书。 六、中国科学院大学系统理论专业录取原则 复试小组对本学科参加复试的考生根据初试成绩和复试成绩的综合评定,得出拟录取考生名单,经数学与系统科学研究院招生工作领导小组审核通过。 最终录取成绩:将考生初试成绩和复试成绩按一定比例加权平均后,得出录取成绩。加权平均采用下列公式: 录取成绩=(初试成绩÷5)×40%+复试成绩×60%。复试成绩不合格者不予录取;政审不合格、体检不合格者不予录取。 拟录取名单确定后将在网站上公示10个工作日 七、中国科学院大学系统理论专业考研复习建议 1、零基础复习阶段(6月前) 本阶段根据考研科目,选择适当的参考教材,有目的地把教材过一遍,全面熟悉教材,适当扩展知识面,熟悉专业课各科的经典教材。这个期间非常痛苦,要尽量避免钻牛角尖,遇到实在不容易理解的内容,先跳过去,要把握全局。系统掌握本专业理论知识。对各门课程有个系统性的了解,弄清每本书的章节分布情况,内在逻辑结构,重点章节所在等。 2、基础复习阶段(6-8月) 本阶段要求考生熟读教材,攻克重难点,全面掌握每本教材的知识点,结合真题找出重点内容进行总结,并有相配套的专业课知识点笔记,进行深入复习,加强知识点的前后联系,建立整体框架结构,分清重难点,对重难点基本掌握。同时多练习相关参考书目课后习题、习题册,提高自己快速解答能力,熟悉历年真题,弄清考试形式、题型设置和难易程度等内
2007年研究生入学考试数学三试题 一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)当0x +→ 等价的无穷小量是 (A )1- (B )ln (C 1 (D )1- [ ] (2)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是: (A )若0()lim x f x x →存在,则(0)0f = (B )若0()() lim x f x f x x →+-存在,则(0)0f = . (B )若0()lim x f x x →存在,则(0)0f '= (D )若0()() lim x f x f x x →--存在,则(0)0f '=. [ ] (3)如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设0()()d x F x f t t =?,则下列结论正确 的是: (A )3(3)(2)4F F =-- (B) 5 (3)(2)4F F = (C )3(3)(2)4 F F = (D )5 (3)(2)4F F =-- [ ] (4)设函数(,)f x y 连续,则二次积分1 sin 2 d (,)d x x f x y y ππ?? 等于 (A )10arcsin d (,)d y y f x y x π π+?? (B )1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? (C )1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +?? (D )1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? (5)设某商品的需求函数为1602Q P =-,其中,Q P 分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] (6)曲线()1 ln 1e x y x =++的渐近线的条数为 (A )0. (B )1. (C )2. (D )3. [ ] (7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是 线性相关,则 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] (8)设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ,则A 与B
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 第I 卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合{||2}A x R x =∈≤ },{| 4}B x Z =∈≤,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2) 已知复数z = ,z 是z 的共轭复数,则z z ?= (A) 14 (B)1 2 (C) 1 (D)2 (3)曲线2 x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为 (A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图,质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 0P ,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 A B C D (5)已知命题 1p :函数22x x y -=-在R 为增函数, 2p :函数22x x y -=+在R 为减函数, 则在命题1q :12p p ∨,2q :12p p ∧,3q :()12p p ?∨和4q :()12p p ∧?中,真命题是 (A )1q ,3q (B )2q ,3q (C )1q ,4 q (D )2q ,4q
(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为 (A)100 (B )200 (C)300 (D )400 (7)如果执行右面的框图,输入5N =,则输出的数等于 (A)54 (B )45 (C)65 (D )56 (8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥, 则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或 (9)若4 cos 5 α=- ,α是第三象限的角,则1tan 21tan 2 αα +=- (A) 12- (B) 12 (C) 2 (D) 2- (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A) 2 a π (B) 273 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等,且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (12)已知双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两 点,且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 (A) 22136x y -= (B) 22 145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22 154 x y -=