生活中的小概率事件前言:
概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛
的用处。让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学
活动中获得生活经验，概率论是指导人们从事物表象看本质的一门科学，本文主要简单介
绍了概率论现实生活的部分现象与分析概率知识的广泛应用。
关键字：小概率概率原理应用
正文：
1.小概率事件的原理
小概率事件应从两方面认识它：一方面由实际推断原理知道，小概率事件A在一次
实验中几乎是不发生的；另一方面，在不断地独立重复实验中，小概率事件A迟早发生的
概率为1。
前者是讲：在实践中，人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”，这一经验称为“实际推断原理”。事实上，“小概率事件”通常是指发生概率在
0.01以下或0.05以下的事件。这两个值称为小概率标准，主要是为了查表方便，没有其
他特别的含义。对于这类实验来说，在大量重复的实验中，平均每100次或20次才发生一次，所以认为在一次实验中该事件是几乎不可能发生的。后者是讲：尽管“小概率事件”，在一次实验中几乎不发生，但如果实验的次数多了，该事件当然是很可能发生的。
2.小概率事件原理的应用
2.1在一次实验中小概率事件几乎不发生
数学中的小概率原理认为：在一次实验中，概率很小的事件实际上不可能发生。这
个“很小”，一般理解为在个别事件中发生的概率小于5?，这样的事件称为小概率事件。
小概率事件在一次事件中认为是不可能发生的。如果在一次实验中，某个小概率事件发生了，则认为出现了不合理的现象，由此可以推断原来的条件或假设是错误的。
这个小概率原理就是我们假设检验这一章理论依据。
小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，首先提出假设，继而根据一次实验的
结果进行计算，最后按一定的概率标准作出鉴别。
其一般程序是：
第一步：先根据问题的题意提出原假设H0;
第二步：然后在原假设H0 成立的条件下，寻找与问题有关的小概率事件A,并进行
一次试验；
第三步：再观察试验结果，看A是否发生？若发生则与小概率事件在一次试验中不
可能发生原理矛盾，从而拒绝原假设H0，否则只能接受原假设H0。
案例：对盘踞在孤岛上敌军实施海上封锁。为打击敌物资货运船队，需对敌船队运
输规律作准确推断。在某星期的空中侦察中，发现那一星期的敌船的12次偷运都是在星期
二和星期四进行的。
问敌船在偷运时间是否曾作过规定？
解：（1）假设敌船在偷运时间上没有规定，故应认为每次偷运在一星期的任一天
进行是等可能的。这时事件A：“12次偷运都在星期二或星期四进行”发生的概率P（A）
=212/712≈0.0000003，即千万分之三。这是一个小概率事件。千万分之三意味1000万个
星期中大概只有约三个星期发生这种事件，因此这个事件在一次试验（检查）中不会发生的，而现在一次侦察试验中发生了，这种不正常现象的发生只能说明假设有问题，故可推
断敌船在偷运时间上有规定。
在假设检验的问题中，几乎没有一个绝对可靠的判断，因为“弃真”与“存伪”这
两类错误总是与之相伴，所以，作任何判断、任何结论都要承担风险，并且风险无法避免。那么怎样才能将风险降到最低程度？数理统计中一般就用“小概率原理”的“小”来度量
和控制这个风险的程度。
2.2在不断重复的独立试验中，小概率事件迟早发生的概率为1。
这种推断的理论依据是：
问题：设在一次随机试验中某一事件A出现的概率为?着（?着<0），则不论?着如
何小，只要不断地独立重复作此试验，A迟早会出现的概率为1.
证明：A迟早会出现的意思是，只要试验次数无限增多，A总会出现。
设AK={A于第k次试验中出现}，则
P(AK)=?着，P(AK)=1-?着，
则在前n次试验中A都不出现的概率为
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=(1-?着)n
于是，在前n次试验中A至少出现一次的概率为
Pn=1-P(A1A2…An)=1-(1-?着)n
把次试验一次接一次的做下去，即让n→∞，由于0 上述证明用到的事件的独
立性的定义。
例如：用步枪射击飞机，飞机被击中的概率为0.004（很小），但用250支步枪同
时射击时，飞机被击中的概率为：P=1-(1-0.004)250=1-0.996250≈0.63（不太小）。
一般地，设事件A发生的概率为P>0，不论P怎样小，n次独立试题中A会发生的
概率Pn=1-(1-P)n，当n→∞时，总有Pn→1，即当大量进行实验时，A几乎一定会发生。
因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要
理性的分析、随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。概率统计是数学重要的知识组成，也是来源于实际和生活的方法归纳与总结，在实际应用
中概率统计与生活有着紧密的联系，特别在重要的应用领域，概率统计的思想、手法和判
别有着关键性的应用，不但可以为生活提供更为科学的认知，也为各类生活决策提供合理
和有效的基础。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大
的威力。阐述了数学在生活中应用的广泛性;运用具体问题解释说明了随机现象的含义以及
概率论研究对象;随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论
是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学;用概率论的方法对日常生活中的一些看起来
比较平凡的内容做些分析,常常会得到深刻的结果;就概率论的方法与思想,在解决生活中的
应用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性
参考文献:
[1]茆诗松、程依明、濮晓龙.《概率论和数理统计教程》.高等教育出版社，2004.?
[2]同济大学应用数学系,工程数学.《概率论和数理统计简明教程》.高等教育出版社,2003.
大概率事件即指出现可能性较大的随机事件 大概率事件与小概率事件相对，在概率论中很少研究，主要是利用小概率事件原理来做统计分析，而大概率事件实际应用不大，故不提及。 小概率事件： “小概率事件”是个数学概念，在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。当然并不是说完全为零，只不过发生的几率很低而已。小概率事件分两种，一种是事情发生的几率本身就很小。还有一种情况，是一件事发生的可能性本身不算低，但很多件这种事正好同时发生，这种几率就也很低了。 由于发生的可能性极小(把发生可能性很小的事件称为小概率事件),而忽视了它的存在,其实利用小概率事件可以解决一些看似很难的问题.因此有必要对小概率事件作全面而正确的认识。 需要注意，小概率事件在一次试验中发生的机会非常小，但是，如果做了许多次试验，它必然发生。 “小概率事件”是个数学概念，指的是概率几乎接近于零的事件。 小概率事件是有可能发生的，只是发生的可能性很小而已，并且没有规律可循.因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有- 大概率事件，就是该发生而没有发生的事件； 小概率事件，就是不该发生而发生了的事件。
概率也叫机率、或然率，是对可能发生也可能不能发生的随机事件，出现可能性大小的度量，由此可见，大概率事件即指出现可能性较大的随机事件，反之亦然。墨菲定律根本内容是：如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。墨菲定律的原句是：如果有两种或两种以上的方式去做某件事情，而其中一种选择方式将导致灾难，则必定有人会做出这种选择。 很小小概率事件是一个事件的发生概率，那么它在一次试验中是几乎不可能发生的，但在多次重复试验中是必然发生的。
10.3生活中的概率问题 一．选择题：（每题3分，共30分） 1．下列数据中，不是近似数的是-------------------------------（ ） A.通过第五次全国人口普查，我国人口总数为129533万人。 B.生物圈中已知的绿色植物，大约有30万种。 C.光明学校有1148人。 D.我国人均森林面积只有0.128公顷。 2.下列说法中，正确的是------------------------------------（ ） A.近似数5.0与近似数5的精确度相同。 B.近似数3.197精确到十分位后，有两个有效数字。 C.近似数5千万和近似数5000万精确度相同。 D.近似数23.0与近似数23的有效数字都是2 ，3。 3.某种原子的半径为0.0000000002米，用科学记数法可表示为--（ ）。 A 、0.2×10-10 米 B 、2×10-10 米 C 、2×10-11 米 D 、0.2×10-11 4.近似数12.05不能由哪个数四舍五入得到--------------------（ ） A 、12.051 B 、12.052 C 、12.045 D 、12.044 5.将2.4695精确到千分------------------------------------- ( ) A 、2.469 B 、2.460 C 、2..47 D 、2.470 6．如图所示的圆盘中三个扇形大小相同，则指针 落在黄区域的概率是--------------------------------------（ ） A 、 21 B 、31 C 、41 D 、6 1 7．一个事件的概率不可能的是----------------------------------（ ） A 、 0 B 、 21 C 、 1 D 、3 2 8．一个囗袋里共有50个球其中白球20个、红球20个、蓝球10个，则 摸到不是白球的概率是-----------------------------------------------------------（ ） A 、 15 B 、25 C 、35 D 、4 5 9．从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“Q ”的概率是-----（ ） A 、 1 54 B 、127 C 、118 D 、227 10．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌子不能再翻），某观众前两次翻牌 黄 红 白
学号20100502050535 密级 ______________ 兰州城市学院本科毕业论文 浅谈小概率事件原理及其应用 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：魏健龄 指导教师：姚淑霞 二〇一四年五月
BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Principle and Application of the Small Probability Event College: Mathematics College Subject: Mathematics and Applied Mathematics Name: Wei Jianling Directed by: Yao Shuxia May 2014
郑重声明 本人呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位. 本人签名：日期：
摘要 本文从小概率事件的原理及推断方法出发，通过对生活中的一些有关小概率事件的分析，包括彩票、交通、保险、体育中的小概率事件问题来认识它们发生的原理及其重要性，以此来引导我们面对这些小概率事件时，如何做出准确的分析和判断，进而做出合理的决策. 关键词：小概率事件；原理；推断；彩票
ABSTRACT In order to understand the principle and the importance of the small probability event, by the theory and method of inferring small probability event,we analyzed the using of some small probability events in life, i ncluding the small probability event in lottery, traffic, insure, sports problem. The purpose of this paper was to guide us how to make analysis and judgment when we face these small probability event, and then make a reasonable decision. Key words：s mall probability event; principle; deduce; lottery
小概率事件特点、原理及其应用 概率是衡量事件本身发生可能性的大小。一个任意事件是否发生主要取决于它本身，它是事件本身的一种属性，人们是否认识它或者是否能计算出它都不会影响这种属性的存在，是客观的。概率论中，把概率非常小或者说概率接近于零的事件称为小概率事件。那么，到底小概率事件的概率要小到什么程度才能算是小概率事件呢？概率论中没有具体规定，而是在不同的情况有着不同的指标，由事件本身性质而定，大多是用0.01、0.05这两数值。即一般情况下，事件发生的概率小于或者低于0.01或0.05，就是小概率事件，这两个数值就是小概率标准。在很多情况下，人们都认为它发生的概率非常小而忽视了它，但是运用小概率事件可以帮助我们解决一些难题，因此我们必须正确认识小概率事件。 一、小概率事件原理 小概率事件发生的概率很小，那么它在一次试验中实际几乎是不会发生的。在数学上，我们称这个原理为小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少数次实验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。 虽然在一次实验中小概率事件几乎不可能发生，但这并不说明它永远不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，
那么小概率事件就会发生。小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批商场产品中有1%的次品却无妨大碍。在比较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。 二、小概率事件的应用 小概率事件原理在日产生活中的应用十分广泛，它在不经意地指导人们的实际生活，目前，小概率原理在经济、医学、体育、交通、气象等各种与人们生活息息相关的领域中也有解释的空间，下面我们举出几个例子对小概率事件的原理做出探讨： （一）对交朋友的概率问题研究 我们对现实的交朋友概率做个初步的研究，探讨在生活中我们每个人交到朋友的概率是多少。假设：我们平均每天遇到100人（包括在我们眼前路过的陌生人），平均一年就有36500人，如果我们从一般意义上的朋友说，按每年遇到25人算，那么我们每一个从一般意义上讲的朋友大概是在碰到1460人之后的那个人。而在地球上有60亿人，而且这个数目还将不断上升，相遇是如此小概率的事件。按平均每年遇到5个好朋友人算，那么我们需要碰到7300个人，才能交到这样一位好朋友。
小概率事件中的大道理 王世昆 在概率论中，把事件发生概率接近于“零”的事件称为小概率事件。小概率事件可分为正面小概率事件（如中大奖）和负面小概率事件（如地震、爆炸、火灾、安全事故等）。虽然小概率事件发生的几率比较小，但如果防范不到位、处理不及时，负面小概率事件一旦发生，往往会造成严重后果，甚至由“偶然”变为“必然”，由小概率变为大几率。因此，如何减少甚至有效规避负面小概率事件的发生，维护和谐稳定，确保经济又好又快发展，是摆在每一位领导干部面前的重要课题。 小概率大问题 当前，我国正处于改革开放关键期，大量社会矛盾集中出现，“触点”增多，“燃点”降低，稍有不慎，小矛盾就可能造成大冲突，小问题就可能酿成大事端。近年来，我国接连发生了上海在建楼整体倾覆、晋州“风斩塔”、四川内江服用预防药品集体中毒等一系列小概率事件。这些负面小概率事件不但给企业和国家带来不同程度的损失，而且带来了许多负面影响。 负面小概率事件高发，有客观原因，有改革发展中难以避免的因素，但根本原因还是人的原因，多数并非“天灾”，而是“人祸”。美国安全工程师海因里希经过大量的研究，认为存在着“88∶10∶2”规律，即在100起事故中，有88起是纯属人为的，有10起
是人为和物的不安全状态造成的，只有2起是难以预防的，即所谓“天灾”、小概率事件。因此，小概率事件看似“偶然”，实则“必然”，透视它们的发生、发展过程，我们不难从中发现一些共性原因。 原因之一：重视程度不够高是负面小概率事件发生的思想根源。千里之堤毁于蚁穴。任何一点细微的疏漏都有可能导致事故的发生，任何侥幸麻痹、投机取巧的想法都可能造成不可挽回的后果。今年以来发生的王家岭煤矿透水事故、河南伊川煤矿瓦斯爆炸事故、伊春“8〃16”重大爆炸事故等，给我们再次敲响警钟。事故发生有多方面的原因，究其根源还是事故单位和事故责任者长期以来主观上轻视、麻痹大意、疏漏细节、安全意识淡薄、违章操作所造成的。一些地方、部门和企业领导干部对安全发展的科学理念认识不深刻，对安全工作的极端重要性认识不到位，不能时刻绷紧安全生产这根弦，习惯于以文件传达文件，以会议贯彻会议，对上级安排部署认识不深，落实不力，执行不严，总认为没有问题，结果出了大事。 原因之二：隐患处理不及时是负面小概率事件发生的直接因素。小概率事件从“隐性”到“显性”往往有一个过程，多数群体性事件由小到大几乎都有征兆，社会上有“风声”，信访上有反应。“海因里希理论”认为，一起重大安全事故背后会有29起事故征兆，每个征兆后面有10起事故苗头。反过来说这29起征兆和10起事故苗头都有发生事故的几率。看到事故苗头，如果能果断处
概率论在日常生活中的应用 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人多以为这门课较为理论化，特别是像大数定律，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。例如，同性电荷相互排斥，异性电和相互吸引；在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，即人们在未作观察或试验之前，不能预知其结果。例如，向桌上抛一枚硬币，我们不能预知向上的是正面还是反面；随机地找一户家庭调查其收入情况，我们亦不能预知其收入是多少。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。但另一方面，对这些不确定性现象进行大量、重复的实验时，人们会发现，其结果会出现某种“统计规律性”：重复抛一枚硬币多次，出现正、反两面的次数大致会各占一半；调查多户家庭，其收入会呈现“两头小，中间大”的状况，即处于中间状态的是大多数。这种在每次试验中呈现不确定性，而在大量重复试验中又呈现某种统计规律性的现象较随机现象。概率统计就是研究随机现象并揭示其统计规律性的一个数学分支，它在自然科学及社会科学的诸多领域都有着广泛的应用。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。大部分人认为一件事概率为0即为不可能事件，这是不对的。比如甲乙玩一个游戏，甲随机写出一个大于0小于1的数，乙来猜。1.乙一次猜中这个数2.乙每秒才一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率的概率都是0，但显然他们都有可能发生，甚至可以“直观”地讲2发生的可能性更大些。这说明概率为0的事件也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在太小了，在实际操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，他们确实是可能事件。 在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率极其小。由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 在我国南方流行一种成为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：有庄家摸出一只棋子，放在密闭盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客们把钱压在一
毕业论文 课题 学生姓名胡泽学 系别 专业班级数学与应用数学指导教师 二0 一六年三月
目录 摘要.................................................................... I ABSTRACT................................................................... II 第一章绪论. (1) 第二章概率在生活中的应用 (4) 2.1在抽签和摸彩中的应用 (4) 2.2经济效益中的应用 (8) 2.3在现实决策中的应用 (4) 2.4在相遇问题中的应用 (12) 2.5在预算及检测中的应用 (10) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
概率统计在生活中的应用 摘要 随着时代的发展人类的进步，17—18世纪出现了一门新的学科概率论，概率论逐渐成为了为数不多的可以和传统数学相抗衡的学科之一，并一步步的走向了人们的生活，成为了人们生活中不可或缺的部分。 本文先简述了概率论的发展，之后从概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。多方面论述了概率的应用。 关键词：概率；概率的含义；概率的应用
Abstract
第一章绪论 概率统计是一门和生活关联紧密的学科同样也是一门特别有趣的数学分支学科，17-18世纪，数学得到了快速的发展。数学家们打破了古希腊的演绎框架，社会生活对与自然界的多方面吸取灵感，数学领域涌现了许多新面孔，之后都形成了完整的数学分支。除了分析学这之外，概率论就是同时期能使"欧几里德几何不相上下"的几个伟大成就之一。 概率的发源与赌博有关，伴随着科学技术的发展进步以及计算机普及,它在最近几十年来的社会科学和自然科学中得到了特别广泛的应用,在生活与社会生产中起着很重要的作用。我们生活在一个千变万化千变万化、千变万化的时代里，而我们每个人无时无刻都要直面生活中遇到的问题。而其中很多的问题都是随机的与随机的随机的。如决策时如何获取最大利益，公司要如何组合生产才能取得最大收益，如何加大买彩票的获奖概率，怎样进行误差分析、所购买物品的产品检验，生产质量把控等，当我们在遇到这些问题时应该如何解决它呢？幸好我们如今有了概率，概率是一门探索和揭示随机现象和规律的一门学科。 实践证明,概率是对生活中碰到的问题进行量的解答的有效工具,对经济决策和预测提供了新型的手段。下文就通过列举实例来表述概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。
第三章 概率的进一步认识 一、本章知识结构图 树状图或表格求概率 专题一 用树状图和列表法计算事件发生的概率 1. 一个不透明的口袋中有4个除标号外完全相同的小球，这4个小球分别标号为1,2,3,4． （1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率； （2）随机摸取一个小球记下标号然后放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小 球的标号的和为3的概率． 2. 甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1 个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球 的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍. （1）求乙盒中蓝球的个数； （2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率. 现实生活中存在大量的随机事件件 随机事件发生的可能性有大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算 概率的应用 理论计算 试验估算 只涉及一步实验的随机事件发生的概率 涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的的概率 列表法 树状图法
专题二 概率的应用 3.（2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积． （1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率； （2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平． 4.小婷和小英做游戏,她们在一个盒子里装了标号为1、2、3、4的四个乒乓球,现在小婷从盒子里随机摸出一个乒乓球后,小英再从盒子里剩下的三个乒乓球中随机摸出第二个乒乓球,如果摸出的乒乓球上的数字和为4或5,则小婷获胜,否则小英获胜,你认为这个游戏对她们公平吗？请说理由. 【知识要点】 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 【方法技巧】 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结果是完全不一样的. 1 2 4 3
概率在生活中的应用 概率论在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来，被广泛应用于各个领域，在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯（Jevons，1835-1882）所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。在日常生活中，同样不难发现，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，下面将说明概率统计在生活中的应用。 一、数学期望在求解最大利润问题中的应用 如何获取最大利润不但成为商界追求的目标，同时也为越来越多的人所关注，许多数学模型也从概率角度利用期望求解最大利润问题，为问题的解决提供新的思路。下面就是一道应用期望探讨利润的问题。 例1、五一期间，某鲜花店某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元。若在五一期间内没有售完，则在五一期间营业结束后以每束1.5元的价格处理。据前5年的有关资料统计，五一期间这种鲜花的需求量为20束、30束、40束和50束的概率分别为0.20、0.35、0.30和0.15。问该鲜花店今年春节前应进该鲜花为多少束为宜？ 分析售出一束鲜花能获得利润5-2.5=2.5元，处理一束鲜花将亏损1元。由于量少不够卖，量多卖不完，即鲜花的需求量是随机变量。因此，需通过计算在不同进货量时对应的利润期望值E和损失风险R的大小决定进货量。 若进货量为20，则无论销售量是20、30、40和50时，利润均为（5-2.5）*20=50（元）；若进货量为30时，利润为（5-2.5）*20-（2.5-1.5）。10=40（元），当销量是30、40和50时，利润为（5-2.5）*30=75（元）；同理，可计算进货量为40和50时的利润数。 因此，当进货量为20时，利润的期望值El=50*.（0 20+0.35+0.30+0.15）=50（元）；当进货量为30时，利润的期望值为E2=40*0.20+75*（0.35+0.30+0.15）=68（元）；当进货量为40时，利润的期望值E3=30*0.20+65*0.35+100*（0.30+0.15）=73.75（元）；当进货量为50时，利润的期望值E4=20*0.20+55*0.35+90*0.30+125"0.15=69（元）。 另外，若选择进货量为20，当需求量分别是20、30、40和50时，损失均为0；若选择进货量为30，当需求量为20时，损失为75-40=35，当需求量为30、40和50时，损失均为0；同理，可计算选择进货量为40和50时的损失。 因此，当进货量为20时，损失风险RI=O*（0.20+0.35+0.30+0.15）=0（元）；当进货量为30时，损失风险R2=35*0.20+0*（0.35+0.30+0.15）=7（元）；当进货量为40时，损失风险R3=70*0.20+35*0.35+0*（0.30+0.15）=26.25（元）；当进货量为50时，损失风险R4=95*0.20+70*0.35+35*0.30+0*0.15=54（元）。 从利润期望值的最大角度考虑，似乎应选择进货量为40束，但是，从损失风险最小的角度分析，似乎选择进货量为20束更有道理。到底应如何决策？我们认为真正选择那种决策是与决策者的性格和心理素质有关。若偏爱冒险，可选择进货量为40束（利润期望值最大，同时损失风险也较大）；若偏爱保守，可选择进货量为20束（损失风险最小，同时利润期望值页最小）。实际上，若兼顾两者，进货量也可选择在20束至40束之间（利润的期望值和损失风险都介乎最小和最大之间）。 二、小概率原理在生活中的应用 这不是一件东西不是一个测试，现在，这是小概率原理。实际生活中的小概率事件原理指导人无意中。因为人们总是坚持这样一个信念：小概率事件在实际测试几乎是不可能的，如果事实上真的发生了，人仍然抱着这样的想法，而是这一事件的前提下，改变了。如果一
如何理解统计学中的“小概率原理”？ 朱继民博士 统计学是一门处理数据的收集、整理与分析的艺术，是指导人们如何对科学探索活动进行严密地设计、获取可靠的数据、正确地归纳分析与推理判断的科学。医学统计学在医学研究中帮助揭示疾病或现象发生、发展规律，为预防疾病、促进健康提供客观依据。 学过统计学的同学多有这样的体会：刚刚开始的前前几节课感觉很轻松，可是学着学着就开始犯糊涂了，晕车现象较为严重。原因在哪里呢？许多人给出的答案是数学基础差，而我却认为症结不在这里。统计学的概念与统计思维较为抽象，不易理解；方法丰富、适用范围与对数据的要求不尽相同，掌握起来困难，实际应用时常有无从下手的困惑；统计学内容的连贯性很强，环环相扣，而且前一环恰是下一环的基础；如果中间环节脱落，对后面内容的学习往往会有超出想象的影响。 现从统计学中的一个概念谈谈如何理解统计学的概念，并从应用层面看其与其他知识点的融合。 概率是统计学的一个重要的基本概念，它反映事件或现象发生可能性的大小，用P 表示；当P＝1时，表示肯定发生，即为必然事件，P＝0时，肯定不会发生，即为不可能事件，P介于0与1之间，可能发生也可能不发生，即为随机事件。统计学重点关注的是随机事件在一次试验中发生的概率。掷币的结果有两种可能，要么正面朝上，要么反面朝上，概率均为0.5；如果只进行一次掷币试验，那么在掷币前我们无法确定掷币的结果到底是哪种情况，即朝上的面是正还是反。掷币的结果就是一种随机事件。 小概率事件即发生概率很小的事件（通常指P≤0.05或0.01）在统计学中有着重要的应用。对于小概率事件，很容易理解；即这样的事件理论上可以发生但发生的概率较小，在一次试验中发生的可能性则几乎为零。如买彩票中大奖就是典型的小概率事件。也许每一期均会有大奖开出（概率超低），但对于某一个彩民来说他买一注就中大奖的可能性（小概率事件在一次试验中就发生的概率）几乎没有。其实这就是小概率事件在统计学上应用的重要理论依据——小概率原理，即小概率事件在一次试验中发生的可能性很小，如果真的发生了，统计学则怀疑其真实性。统计学依据小概率原理作出结论的正确性很高，但也存在犯错误的风险（较低）。现以一个例子来看统计学是如何对待小概率事件的：不透明箱子里装有大小、形状、质地均相同的小球100个，其中白色球95个，红色球5个。现在如果由某个人从该箱子中摸球，每次只允许摸1个球；那么，在球被摸出之前，我们知道白球和红球均有被摸到的可能，只是被摸到的概率不同，分别是0.95和0.05。在试验中，如果摸到的是白球，统计学会承认球是从该箱子中摸出的；如果摸到的是红球，统计学则否认球是从该箱子中摸出的。统计学这样判定结果的依据
概率论在现实生活中的意义 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述： 日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、 C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/aa7612455.html, 实际生活中的几个概率问题 作者：叶亮 来源：《读与写·下旬刊》2015年第06期 摘要：概率论在实际生活中有着广泛的应用，本文主要讨论了利用古典概率，小概率事件原理，全概率公式，伯努利试验，数学期望等概率知识解决实际生活中的几个概率问题。 关键词：古典概率；全概率公式；伯努利试验；小概率事件原理 中图分类号：G718文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）06-0434-02 概率论作为一门研究现实世界中广泛存在的随机现象规律性的数学分支，早已渗透到了生活的方方面面，正为我们的日常生活带来方便。本文在查阅大量资料的基础上，列举了现实生活中几个典型概率问题的例子，并对这些问题给出了概率理论上的解释，希望读者通过这些例子，体会概率知识在实际生活中发挥的重要作用，从而学会利用概率知识解决实际问题。 1.考试中的运气问题 很多考生面临考试时，由于努力不足或准备不充分，产生了企图靠"瞎蒙"过关的侥幸心理，那么这种靠"瞎蒙"过关的概率到底有多大？以大学英语考试为例来说明。 例大学英语考试包括听力、完型填空、阅读理解、写作四个部分。除写作20分外，其余80道题（每题1分）都是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况下，不写作文只做选择题，靠运气能通过考试吗？ 分析：按60分及格算，80道题必须答对60道题以上。每做一题我们可以看成是进行一次伯努利试验，那么此次考试我们就可看成是80重伯努利试验。 设答对题的个数为随机变量ξ，则ξ□（80，0.25） 显然，这个概率极小，相当于1000亿个靠运气答题的考生中仅有0.445个人能通过考 试，所以靠"瞎蒙"过关不可能。 2.先抽后抽的问题 在体育比赛抽签仪式，商家搞的抽奖活动中，人们都面临先抽后抽的问题，那么到底怎样抽会更有优势？ 例假设6张奖券中有3张是中奖券，现有6人依次从中各抽一张，那么第一位抽奖者是否比第二位抽奖者中奖的概率大呢？
本科毕业论文 学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011 级 姓名 xxx 论文题目生活中的趣味概率问题 指导教师 xxx 职称 xxx 2015 年 5 月 7 日 目录
摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1概率论的趣味历史简介 (2) 2生活中的趣味概率 (3) 2.1中奖的概率 (3) 2.2赌徒输光问题 (5) 2.3生日的一致性问题 (7) 2.4色盲的遗传问题 (8) 2.5市场占有率预测 (10) 2.6化学疗法致癌问题 (12) 2.7法律中的概率问题 (13) 参考文献 (15)
生活中的趣味概率问题 学生姓名：xxx 学号：xxxxxxxx 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导教师：xxx 职称：xxx 摘要：本文首先介绍了概率论趣味性的由来，然后又通过具体案例阐述了概率统计在实际生活中的彩票、赌博、生日、基因遗传、经济、医学和法律等方面的一些趣味性应用. 关键词：概率论；概率统计；概率论的应用 The interesting problem of probability in life A bstract:In this thesis, we mainly introduce the origin of interesting probability, we also illustrate some specific examples to introduce the interesting applications of probability in life, such as lottery ticket, gamble, birthday, genetic endowment, economy, medical science and law. Keywords: The probability theory; The probability statistics; The applica tions of probability theory 前言：概率论从1654年创立到现在，已经从最开始的博弈探讨问题发展到现在的方法论综合性学科问题.概率论是科学探索的一种特色的方法，概率推理以其显著功效引发了概率理论在科学研究中的爆炸性增长.概率论与其他数学分支一样是应实践的需要而发展起来的.统计学的理论基础是概率论，遗传学、物理学、和信息论将概率论作为它们的常用工具，同时地球科学、金融学、人工智能、通信网络和神经学等学科也将它作为它们的经常使用的方法. 概率论的发展是经过了一个长时间的探索和发现，从最初的创立到如今与各大学科的相互交融，信息化的出现推动了概率的向前发展. 在现实生活中，概率的运用随处可见，从最初的赌博逐渐应用在造福于人类发展中. 在此，我们列举了一些具体的趣味性案例，让大家在充分了解概率的同时，并能够从中感受到概率的趣味性所在.
第三章检测卷 时间：120分钟 满分：150分 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题(每小题3分，共45分) 1．同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A.12 B.13 C.14 D.15 2．有一新娘去商店买新婚礼服，购买了不同款式的上衣2件，不同颜色的裙子3条，则搭配衣服所有可能出现的结果为（ ） A ．2种 B ．3种 C ．5种 D ．6种 3．在抛掷一枚硬币的试验中，某小组做了1000次试验，最后出现正面的频率为0.496，此时出现反面的概率约为（ ） A ．0.496 B ．0.504 C ．0.500 D ．不能确定 4．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是（ ） A.13 B.23 C.1 4 D.12 5．在数据1，－1，4，－4中，任选两个数据，均是一元二次方程x 2－3x －4＝0的根的概率是（ ） A.16 B.13 C.12 D.14 6．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．12个 7．两道单选题都含A 、B 、C 、D 四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率是（ ） A.12 B.14 C.18 ` D.116 8．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ） A.12 B.13 C.14 D.16 9．如图的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A.825 B.625 C.425 D.1925 第9题图 10．有两双大小、质地相同、仅有颜色不同的拖鞋(分左右脚，可用A 1、A 2表示一双，用B 1、B 2表示另一双)放置在卧室地板上．若从这四只拖鞋中随机取出两只，恰好配成相同颜色的一双拖鞋的概率是（ ）
毕业论文 题目：小概率原理在生活中的应用学院：汽车与电子工程学院 年级、专业：2006级数学与应用数学学生姓名：谌泽宾 学号：0605101047 指导教师：朱新霞 完成时间：2010.05
毕业论文（设计）开题报告 （理工类） 题目：小概率原理在生活中的应用 学院：汽车与电子工程学院 年级、专业：2006级数学与应用数学 学生姓名：谌泽宾 学号：0605101047 指导教师：朱新霞 日期：2010.03
主要研究内容、研究意义及预期目标： 一研究内容及研究意义 在中学阶段，已经初步接触概率论，而小概率原理只是概率论中一小部分。虽然小概率只是概率论中的一小部分，但是它的原理所发挥的作用却不可忽视。小概率事件在日常生活中有着很广泛的应用。通过分析小概率事件的含义、小概率原理及以实例说明小概率事件在概率论及假设检验中的实际应用,帮助人们对小概率事件树立正确的认识。 1、小概率原理在产品检验中的应用 2、小概率事件在商业生活中的应用 3、小概率原理在森林防火中的应用 4、小概率原理在医学检验中的应用 5、小概率原理在地震中的应用 二预期目标 用概率的原理揭示生活中的现象，为人们生活决策提供理论依据，指导人们应该怎么避免不可能事件的发生。在产品的检验中，为人们节省人力和财力提供理论依据，用小概率原理对西昌历史上7级以上地震的分析中，说明大地震发生的几率性很小，不必杞人忧天。小概率原理在森林防火中的应用则提示人们，在什么时节应该加强森林防火。小概率原理在福利彩票双色球中的应用,则说明：买彩票只能作为娱乐消遣。
拟采用的技术路线、研究方法及步骤： 一研究方法 主要通过文献参考、资料搜集以及导师指导的方法进行初稿，二稿到三稿再定稿四部曲。 二技术路线及步骤 1 回顾知识 2 选定题目 3 参考文献 4 搜集资料 5 整合资料 6 完成初稿 7 参考文献 8 修改初稿 9 完成二稿 10参考文献 11修改二稿 12完成三稿 13参阅意见 14完成论文 总体安排及进度计划： 1、起止时间：2009.12.25～ 2010.05.20 2、查阅资料: 2010.01.13～ 2010.03.10 3、初稿时间：2010.03.14～ 2010.04.13 4、二稿时间：2010.04.14～ 2010.05.05 5、三稿时间：2010.05.05～ 2010.05.13 6、定稿时间：2010.05.13～ 2010.05.20
小概率时间的原理与应用 侯志飞 地信 201114430116
对小概率事件的认识 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。一个随机事件发生的可能性大小是由它自身决定的，是它自身的一种属性，不受你是否认识到或者是否计算出来的影响，它是客观存在的。在概率论问题中，一般把概率很小很接近于零的事件称为小概率事件。那么，具体概率小到何种程度才算小概率事件呢？概率论中不作具体规定，而是指出不同场合有不同的标准，视事件的重要性而定，一般多采用0.01、0.05这两个值，即事件发生的概率在0.01或0.05以下的事件成为小概率事件，这两个值称为小概率标准。当事件的发生会产生严重后果（如雪崩、山洪、沉船等）时，那么小概率事件的阀值应选得比这两个值更小一些，否则可以选得大一些。 小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A 为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A 居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A 不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A 的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A 迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A 不出现的概率为1-ε，前n 次A 都不出现的概率为()1n ε-，因此前n 次试验中A 至少出现一次的概率为1-()1n ε-。当n →∞时概率趋于1，这表示A 迟早会出现1次的概率为1。出现A 以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A 必然再次出现。 由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景
本科学生毕业论文（设计） 题目（中文）：小概率事件原理及其应 用 (英文)：Principle of the Little Probability Events and Its Application 姓名 XXX 学号 200805002231 院（系）数学与计算科学系 专业、年级信息与计算科学2008级 指导教师 XXX 2012年4月28日 目录 绪论 1.小概率事件原理 1.1概率论与小概率事件 1.2小概率原理及其推断方法 1.2.1 小概率原理 1.2.2 小概率推断方法 1.3小概率事件和不可能事件之间的区别
2.小概率事件原理的应用 2.1 经典的小概率事件研究 2.2 小概率事件原理在商场管理中的应用 2.3 小概率事件原理在保险中的应用 2.4 小概率事件原理在日常生活中的应用 2.5小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用 2.6 小概率事件原理在假设检验中的应用 3.小概率事件原理的更多具体应用 3.1有趣的小概率事件的应用 3.2近期的小概率事件分析 结束语 参考文献 致谢 小概率事件原理及其应用 摘要 小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义；其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值. 【关键词】小概率事件假设检验原理 Principle of the Little Probability Events and Its Application Abstract The principle of small probability event is a basic principle of probability and mathematical statistics. It is meaningful to understand it and its inference method correctly, and so it is with analyzing, processing and applying the principle dialectically. The paper discusses around the little probability event. First of all, it discusses the origin of probability theory and the definition of the small probability