第八章方差分析
方差分析（analysis of variance）是检验多个总体均值是否相等的统计方法。目的：通过检验多个总体的均值是否相等来判断定类变量对定距变量是否有显著影响。
第一节方差分析引述
一、方差分析的基本思想和原理
例1：想了解四个行业的服务质量如何，得到以下数据：
消费者对四个行业的投诉次数
自变量行业是分类变量，因变量被投诉次数是定距变量。
想知道行业对被投诉次数的影响，就要分析不同行业的被投诉次数之间是否有显著差异，即检验四个行业被投诉次数的总体均值是否相等（注意不是样本均值）。如果相等，行业对投诉次数无影响；如果均值不全相等，有影响。
为什么不用均值检验的方法？
均值检验一次只研究两个样本，要检验4个总体均值是否相等，需要6次检验（1-2，1-3，1-4，2-3，2-4，3-4）。每次检验犯第一类错误的概率是α，作多次检验会增加犯错概率和降低置信水平。而方差分析同时将所有样本信息结合在一起，增加了分析的可靠性，降低了犯错的概率，避免拒绝真实的原假设。如何用样本均值检验总体均值即判断行业对投诉次数是否有影响？
各行业被投诉次数的样本均值不相等，是否可说明不同行业被投诉次数有明显差异？不一定，也许各行业总体均值无差异，仅仅因为抽样的随机性造成了彼此之间的差异/随机误差。（来自同一个总体的各个样本之间因为随机性而造成的均值差异和来自不同总体的样本之间的均值差异在散点图上是有差异的。）所以，方差分析就是对于差异来源进行分析（来源于随机误差还是不同总体间的真实差异），从而判断不同总体均值是否相等。
在例1中，在同一行业（同一总体）下，样本的各观测值不同，其差异可看作抽样的随机性造成的，称之为随机误差。在不同行业（不同总体）下，各观测
值也是不同的，这种差异可能是由于抽样的随机性造成的，也可能是由于行业本身的不同而造成的系统误差。
衡量同一行业下样本数据的误差，称为组内误差；衡量不同行业下样本之间的误差，称为组间误差。组内误差只包括随机误差，组间误差既包括随机误差也包括系统误差。如果行业对投诉次数没有影响，组间误差里就只包含随机误差而没有系统误差。这时，组间误差与组内误差的比值应接近1；反之，如果行业对投诉次数有影响，组间误差中除随机误差外还有系统误差，组间误差与组内误差之比就应该大于1。当这个比值达到某种程度时，就可以说不同行业的投诉次数之间有显著差异，即行业对投诉次数有显著影响。
二、方差分析的基本假定
1、自变量每一个取值对应的分布都应服从正态分布，以例1为例，每个行业的投诉次数都应服从正态分布。
2、自变量每一个取值对应的分布都应有相等的方差，即自变量的各组数据是从具有相同方差的正态总体中抽取的。注意，仅要求总体方差相等，而非样本方差。通常自变量各组数据的样本方差中最大值不超过最小值的二三倍，就可以视为等总体方差。
3、观测值是独立的。每个被抽中企业被投诉次数与其它企业被投诉次数的次数是独立的。
三、问题的提法
设自变量共有m类，每类的总体均值分别用μ
m
表示，要检验m类总体均值是否相等，需要提出以下假设：
H 0：μ
1
=μ
2
=….=μ
m
，自变量对因变量没有显著影响
H 1：至少有一个以上的类别均值不等或μ
1
、μ
2
….μ
m
不全相等。
第二节一元方差分析
分析一个分类型自变量对数值型因变量的影响时使用一元方差分析/单因素方差分析。
一、数据结构
设自变量A共分m类，A
1,A
2
,..,A
m
。现从A
1
类中随机抽取n
1
个，A
2
类中随机
抽取n
2个，……，从A
m
类中随机抽取n
m
个（n
1
, n
2
,…n
m
可以不等），根据各个观
测值可得到如下统计表：
二、分析步骤 1、提出假设 2、构造检验统计量
（1）计算各样本均值1
1
ni
ij
j i
yi y
n ==
∑
（2）计算全部观测值的总均值111
11m ni m
ij i i j i y y n yi n n =====∑∑∑
（3）计算误差平方和
①总误差平方和TSS ：全部观测值与总均值的误差平方和，反映了全部观测量的离散状况，
TSS=211()m
ni
ij i j y y ==-∑∑；
根据例1计算：TSS=(57-47.9)2+…..+(58-47.9)2≈4164.6 ②组内误差平方和RSS RSS=211()m
ni
ij i j y yi ==-∑∑
根据例1：零售业组内误差平方和=(57-47.9)2+(66-47.9)2+….+(44-49)2=700，
同理，旅游业924，民航业434，制造业650，RSS=700+924+434+650=2708 ③组间误差平方和BSS
BSS=2
11()m
ni
i j yi y ==-∑∑=21
()m
i i n yi y =-∑（注意要乘以n i ）
根据例1计算：BSS=7(49-47.9)2+6(48-47.9)2+5(35-47.9)2+5(59-47.9)2=1456.6
三个误差平方和的关系：TSS= RSS+BSS
总结：BSS 是对随机误差和系统误差大小的度量，可以反映自变量对因变量的影响；RSS 是对随机误差大小的度量，反映了除自变量对因变量的影响外，其他因素对因变量的总影响，也称残差变量；TSS 是对全部数据总误差程度的度量，反映了自变量和残差变量的共同影响。
如果原假设成立μ1=μ2=….=μm ，则表明没有系统误差，BSS 除以其自由度后的均方与RSS 除以其自由度后的均方（即方差）就不会有太大差异（为何要除以自由度？因为误差平方和大小与观测值多少有关）；如果组间均方明显大于组内均方，说明自变量各水平之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差。所以，判断自变量对因变量的影响就是要比较组内均方与组间均方之间的差异大小。 （4）计算统计量
TSS 的自由度为（n-1），n 表示全部观测值数量 BSS 的自由度为 (m-1)，m 表示自变量的类别 RSS (n-m)，(n-1)-(m-1)
BSS 的均方BSS =BSS/ (m-1)；RSS 的均方RSS = RSS/(n-m)，
检验统计量F=BSS /RSS ~F （m-1,n-m ）（要比较的是组间均方和组内均方的差异） 当原假设为真时，二者比值服从第一自由度为m-1，第二自由度为n-m 的F 分布。 根据例1计算：F= /(1)/()BSS m RSS n m --=1456.6/(41)
2708/(234)
--≈3.407
3、统计决策
计算出F 值后，将其与给定的显著性水平α的临界值相比较，从而做出对原假设的决策。在对F 值进行检验时的原假设是BSS /RSS =1，备选假设是
BSS /RSS ＞1。
根据给定的显著性水平，在F 分布表上查找与第一自由度m-1，第二自由度n-m 相对应的临界值F α(m-1,n-m)。如果F ＞F α，则拒绝原假设，表明自变量对因变量有显著影响；如果F ＜F α，则不能拒绝原假设，没有数据表明自变量不同水平的总体均值有显著差异，所以不能认为自变量对因变量有显著影响。
根据例1计算出F=3.407，假定α=0.05，查F 分布表得到F 0.05(3,19)=3.13。由于F=3.407＞3.13，所以拒绝原假设，表明行业对被投诉次数有显著影响。
4、方差分析表
三、关系强度的测量——相关比率
方差分析表明，组间平方和与残差平方和的比例反映了自变量行业与因变量被投诉次数的关系，当组间平方和比残差平方和大，且达到一定程度时，就意味着自变量和因变量的关系显著，大的越多，关系越强。如何判断自变量与因变量的关系强度？可用组间平方和（BSS ）及残差平方和（RSS ）占总平方和（TSS ）的比例大小来反映。
其中，E 2=BSS/TSS ，算术平方根E 可用来表示两个变量之间的关系强度。 可用消减误差比例原理PRE=(E 1-E 2)/E 1来解释。E 1是不知道因变量与自变量有关时预测y 所犯的错误，这时使用样本总平均值来预测y ，错误大小为TSS=211()m
ni
ij i j y y ==-∑∑。E 2为知道因变量与自变量有关后，预测y 时犯的错误，这
时使用自变量各组均值来预测的，错误大小为RSS=211
()m ni
ij i j y yi ==-∑∑。E 1-E 2反映了
知道自变量与y 相关后减小的预测错误。所以E 2=(TSS-RSS)/TSS=BSS/TSS 。
根据例1计算：E 2=BSS/TSS=1456.6/4164.6=0.351277=35.1277%；E=0.592686 解释：行业可以解释被投诉次数差异的35.1277%，其他因素所解释的比例占64.8723%；行业与被投诉次数之间有较强相关关系。
第二节 二元方差分析
一、二元方差分析的类型
分析两个定类自变量对定距变量的影响时，需要用二元方差分析。 例2：有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析品牌和地区对销售量是否有影响，对每个品牌在各个地区的销售量取得以下数据，分析品牌和地区对销售量是否有显著影响?(α=0.05)
在二元方差分析中，如果两个因素对因变量的影响是独立的，称为无交互作用的二元方差分析；如果两个因素对因变量的影响除了各自的单独影响之外，两个因素相互之间的关系还会对因变量产生新的影响，就称为有交互作用的二元方差分析，或可重复的二元方差分析。
二、无交互作用的二元方差分析/无重复情况下的二元方差分析 1、数据结构
获取数据时，将一个因素安排在行，另一个因素安排在列。设行因素有a 个类别，列因素有b 个类别，行因素和列因素的每一个类别都可搭配成一组，观测它们对因变量的影响，共抽取ab 个观察数据，如下表：
方差分析的基本假定：每一个观测值都可看作由行因素的a 个类别和列因素的b 个类别所组合成的ab 个总体中抽取的容量为1的独立随机样本。这ab 个总体中的每一个总体都服从正态分布，且有相同的方差。
i y ?是行因素的第i 个类别下各观测值的平均值，j y ?是列因素的第j 个类别
下个观测值的平均值；y 是全部ab 个样本数据的总平均值。 2、分析步骤 （1）提出假设
行因素的假设：
H 0：μ1=μ2=….=μa ， 行因素对因变量没有显著影响 H 1：μi (i=1,2,…,a)不全相等 行因素对因变量有显著影响
列因素的假设：
H 0：μ1=μ2=….=μb ， 列因素对因变量没有显著影响 H 1：μj (j=1,2,…,b)不全相等 列因素对因变量有显著影响 （2）构造检验统计量
分别确定检验行因素和列因素的统计量。 TSS=211()a
b
ij i j y y ==-∑∑
=
2
11
()a b
i i j y
y ?
==-∑∑+2
11
()a b j i j y y ?==-∑∑+211
()a b
ij i j i j y y y y ??==--+∑∑
分解后的第一项是行因素所产生的误差平方和，记为BSS A ，反映了行变量对因变量的影响；第二项是列因素所产生的误差平方和，记为BSS B ，反映了列变量对因变量的影响；第三项是除去行因素和列因素之外的剩余因素影响产生的误差平方和，即随机误差平方和，记作RSS ，反映了随机因素对因变量的影响。
BSS A =211()a
b
i i j y y ?==-∑∑
BSS B =211()a
b j i j y y ?==-∑∑
RSS=211
()a
b
ij i j i j y y y y ??==--+∑∑
TSS= BSS A +BSS B +RSS
在误差平方和基础上，计算各自均方。与各误差平方和相对应的自由度：TSS 的自由度为ab-1；BSS A 的自由度为a-1；BSS B 的自由度为b-1；RSS 的自由度为(a-1)(b-1)。
A BSS = BSS A /(a-1) ；
B BSS = BSS B /(b-1)；RSS = RSS/(a-1)(b-1)
为检验行因素对因变量的影响是否显著，采用下面的检验统计量： F A =A BSS /RSS ~F 【(a-1), (a-1)(b-1)】
为检验行因素对因变量的影响是否显著，采用下面的检验统计量： F B =B BSS /RSS ~F 【(b-1), (a-1)(b-1)】 （3）统计决策
根据给定的显著性水平和两个自由度，查F 分布表得到相应的临界值F A α、F B α，然后将F A 和F B 与F A α、F B α作比较。
若F A ＞F A α，则拒绝原假设H 0：μ1=μ2=….=μa ，表明μi 之间的差异显著，
即有1-α的把握度认为所检验的行因素对因变量有显著影响。
若F B ＞F B α，则拒绝原假设H 0：μ1=μ2=….=μb ，表明μj 之间的差异显著，即有1-α的把握度认为所检验的列因素对因变量有显著影响。
方差分析表：
根据例2中的数据，分析品牌和地区对销售量是否有显著影响？(α=0.05) 解：成立假设：
行因素：
H 0：μ1=μ2=μ3=μ4， 品牌对因变量没有显著影响 H 1：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等 品牌对因变量有显著影响 列因素：
H 0：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5， 地区对因变量没有显著影响 H 1：μ1、μ2、μ3、μ4、μ5不全相等 地区对因变量有显著影响 计算过程复杂，可利用SPSS 或Excel 软件计算结果。
由于F A =18.108＞F A α=3.49，所以拒绝原假设，表明品牌对因变量有显著影响。由于F B =2.1＜F B α=3.259，所以不能拒绝原假设，不能认为地区对销售量有显著影响。 关于概值的概念：
SPSS 对假设检验的输出结果当中的“Sig ”，表明对原假设的拒绝把握，在方差分析中表明变量间相关关系的显著性水平，称为概值，用p 表示。p 越小，越能够拒绝原假设，说明变量相关关系越显著，通常有*P ＜0.10，**P ＜0.05，***P ＜0.01，****P ＜0.001。
三、有交互作用的二元方差分析/重复情况下的二元方差分析
例3：城市道路交通管理部门为了研究不同的路段和时段对行车时间的影响，让一名交警分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车试验，共获得20个行程时间（分钟）数据，试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响。（α=0.05）
设列变量A 有a 种分类，例3中为两种：路段1和路段2。行变量B 有b 种分类，例3中有两种：高峰期和非高峰期。对AB 的每一种搭配各进行r 次重复独立观测，例3中为观测5次。观测数据总数n=abr 。 （1）提出假设
对行变量、列变量和交互作用变量分别提出假设，与前面相似。也可以设原假设为：某变量的效果为零；备选假设为：某变量的效果不为零。 （2）构造检验统计量
总平方和：TSS= 2
()ijk i
j
k
y y -???∑∑∑= BSS A +BSS B +I A ×B +RSS
行平方和：BSS B = 2
()j i
j
k
y y ??-???∑∑∑
列平方和：BSS A = 2
()i i
j
k
y y ??-???∑∑∑
交互作用平方和：I A ×B ＝2
()ij i j i
j
k
y y y y ?????--+???∑∑∑
误差项平方和：RSS ＝2
()
ijk ij i
j
k
y y ?-∑∑∑
（3）决策分析
根据例3的数据，由SPSS输出的结果：
*P＜0.10，**P＜0.05，***P＜0.01，****P＜0.001
解释：时段对开车时间有显著影响；路段对开车时间有显著影响；时段和路段的交互作用变量对开车时间没有显著影响。
幻灯片1 【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。 5个小麦品系株高(cm)调查结果 株号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 和平均数64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5 67.3 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 354.0 70.8 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6 幻灯片2 第八章单因素方差分析 One-factor analysis of variance 幻灯片3 本章内容 第一节方差分析简述 第二节固定效应模型 第三节随机效应模型 第四节多重比较 第五节方差分析应具备的条件 幻灯片4 第一节方差分析简述 一、方差分析的一般概念 1、概念 方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判断多组数据平均数之间差异显著性的统计假设检验，是两组数据平均数差异显著性t 检验的延伸。 幻灯片5 单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。 单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复，这样的实验称为单因素实验。 水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。 幻灯片6 方差分析 Analysis of Variance （ANOVA ) ANOV A 由英国统计学家，用于推断多个总体均数有无差异。
第10章 单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本 的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT 异常人和正常人进行载脂蛋白 (mg ／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 组别（B ） 载脂蛋白测定 糖尿病(1) 85.7 105.2 109.5 96.0 115.2 95.3 110.0 100.0 125.6 111.0 106.5 96.0 124.5 105.1 76.4 95.3 110.0 95.2 99.0 120.0 144.0 117.0 110.0 109.0 103.0 123.0 127.0 121.0 159.0 115.0 IGT 异常(2) 正常人(3) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS 数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS ／Win(v8)系统，单击Solutions －Analysis －Analyst ，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name —Sasuser-0neway4—0K ，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A ，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A —Dependent 。自变量(1ndependent)： B(3种人的组别)，单击B —Independent 。 图10.1 0ne —way ANOV A ：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests 按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F —检验)选项 中可进行如下设置。 Analysis of variance ，方差分析。 Welch ’s variance-weighted ANOV A ，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance ，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett ’s test ，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test ，布朗—福塞斯检验。 Levene ’s test ，列文检验。本例以上都选。
第八章方差分析 Ⅰ.学习目的 本章介绍方差分析的理论、方法与运用。通过学习，要求：1.了解方差分析的基本概念和思想；2.理解方差分解原理；3.掌握单因素、双因素（有、无交互作用）方差分析的原理和流程；4学会针对资料提出原假设，并能利用Excel进行方差分析。 Ⅱ.课程内容要点 第一节方差分析方法引导 一、方差分析问题的提出 方差分析，简称ANOVA（analysis of variance），就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。 二、方差分析的有关术语和概念 1．试验结果：在一项试验中用来衡量试验效果的特征量，也称试验指100
101 标或指标，类似函数的因变量或者目标函数。 2．试验因素：试验中，凡是对试验指标可能产生影响的原因都称为因素，或称为因子，类似函数的自变量。试验中需要考察的因素称为试验因素，简称为因素。一般用大写字母A 、B 、C 、……表示。方差分析的目的就是分析实验因素对实验或抽样的结果有无显著影响。如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；如果在实验中变化的因素不止一个，这时的方差分析就称为多因素方差分析。 3．因素水平：因素在试验中所处的各种状态或者所取的不同值，称为该因素的水平，简称水平。一般用下标区分。同样因素水平有时可以取得具体的数量值，有时只能取到定性值（如好，中，差等）。 4．交互作用：当方差分析过程中的影响因素不唯一时，这种多个因素的不同水平的组合对指标的影响称为因素间的交互作用。 三、方差分析的基本原理 （一）方差分解原理 一般地，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不显著。 （二）检验统计量 检验因素影响是否显著的统计量是F 统计量： 组内方差的自由度 组内方差组间方差的自由度 组间方差// F
第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 第十章 方差分析 一、单项选择题： 1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。 A.总离差平方和 B.组间离差平方和 C.抽样误差 D.组内离差平方和 2.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.因素B 的离差平方和 3.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.总方差 4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。 A.k ，n B.k ，n-k C.k-1，n-k D.n-k ，k-1 5.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。 A.费雪 B.皮尔逊 C.泰勒 D.凯特勒 6.组间离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 7.组内离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 9.单因素方差分析的零假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 10.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ） （>，则统计推论是（ ）。 第12章方差分析（Analysis of V ariance） 方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。 在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。有的影响大些，有的影响小些。为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。 方差分析开始于本世纪20年代。1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。Fisher1926年在澳大利亚去世。现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。 在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。 若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。 1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance） 1.一般表达形式 2.方差分析的假定前提 3.数学模形 4.统计假设 5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验 6.举例 7.多重比较 1.1.1 一般表达形式 首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表： 通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。类似的例子很多，如劳动生产率差异，汽车燃油消耗，金属材料淬火温度等问题。上述问题可控实验条件是“种子”。所以种子是因素。把不同的品种A1，A2，A3，A4称为“水平”。1，2，3，4表示试验 高中数学：第八章 方差分析与回归分析 §1 单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例 各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例 各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例 学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显著的差异？ 单因素试验方差分析模型 假设 1） 影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A L ； 2） 每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程 是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσL 进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显著差异，反之则有显著差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2~(0,)ij N εσ是相互独立的， 11r i i i n n μμ==∑。不难验证，1 0r i k δ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1i n i ij j i X X n == ∑g ； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； 偏差平方和与效应 组间偏差平方和： 2 221 1 ()r r A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑g g ；（衡量由不同水平产生的差异） 组内偏差平方和： 2 2 211 1 1 ()()i i n n r r E ij i ij i i i j i j S X X X n X =====-=-∑∑∑∑g g ； （衡量由随机因素在同一水平上产生的差异） 总偏差平方和： 2 2 211 1 ()i n r r T ij i ij i j i S X X n X nX ====-=-∑∑∑； （综合衡量因素，水平之间，随机因素的差异） 定理1（总偏差平方和分解定理） T A E S S S =+。 即2 2 211 11 11 ()()()i i i n n n r r r ij ij i i i j i j i j X X X X X X ======-=-+-∑∑∑∑∑∑g g ，或直接证明。 注：利用11 ()()0i n r ij i i i j X X X X ==--=∑∑即可证明。 定理2（统计特性） 2 ()E ES n r σ=-，2 21(1)r A i i i ES r n σδ==-+∑，2 21 (1)r T i i i ES n n σδ==-+∑。 第八章 方差分析与回归分析 一、教材说明 本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容. 1、教学目的与教学要求 (1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题. （2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题. （3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题. （4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题. 2、本章的重点与难点 本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验. 二、教学内容 本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容. §8.1 方差分析 教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会 解决简单的实际问题. 教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计 教学难点：检验方法和参数估计 教学内容： 本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形. 8.1.1 问题的提出 在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法. 例8.1.1 8.1.2 单因子方差分析的统计模型 在例8.1.1中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为1r A , ,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定 （1）每一总体均为正态总体，记为2 i i N(,)μσ，i 1,2,,r =； （2）各总体方差相同，即22 2212r σσσσ== == 第10章方差分析与试验设计 三、选择题 1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ａ 4.Ｂ 5.Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断（）。 Ａ.各总体是否存在方差 Ｂ.各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ.分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ.分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是（）。 Ａ.组间平方和除以组内平方和Ｂ.组间均方除以组内均方 Ｃ.组间平方除以总平方和Ｄ.组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.随机误差Ｂ.非随机误差Ｃ.系统误差Ｄ.非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.组内误差Ｂ.组间误差Ｃ.组内平方Ｄ.组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.Ａ 7.Ｄ8.Ｄ9.Ａ10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定（）。 Ａ.每个总体都服从正态分布Ｂ.各总体的方差相等 Ｃ.观测值是独立的Ｄ.各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是0:=···= ，备择假设是（） 12 k Ａ.1:12···kＢ.1:12···k Ｃ. 1:···kＤ.1:1,2,···,k不全相等 12 9.单因素方差分析是指只涉及（）。 Ａ.一个分类型自变量Ｂ.一个数值型自变量 Ｃ.两个分类型自变量Ｄ.两个数值型因变量 10.双因素方差分析涉及（）。 Ａ.两个分类型自变量Ｂ.两个数值型自变量 Ｃ.两个分类型因变量Ｄ.两个数值型因变量 11.Ｂ12.Ｃ 1X 1X 1X 1 X 第八章 方差分析 教 学 目 的 一、理解 方差分析的基本原理。 二、掌握 1、完全随机设计的方差分析方法； 2、随机区组设计的方差分析方法； 3、多组方差齐性检验的方法。 第一节 方差分析的基本原理 一、方差分析的功能 我们学习了单样本、双样本的平均数差异的显著性检验。如果我们有四个样本资料，要检验四个总体平均数是否有显著性差异，仍用双样本方法（Z 或t ）进行检验，其效率很低，要进行： 次检验！ ！！ 6)24(2424== -?C 方差分析的功能就在于方差分析能够利用多个样本资料，对多个总体平均数差异的显著性进行概括、快速检验。 二、方差分析的逻辑原理 假如某次测试获得如下三组数据： 测试数据： A B C n =5 10 15 10 12 20 12 K =3 14 17 6 11 8 10 12t X = 8 15 12 X 11 15 10 注：n 为样本容量、K 为组数、X 为小组平均数、t X 为总平均数。 总变异可分解为两部分： 1、一个数据与总平均数的离差可以分解为该数据与本组平均数的差和本组平均数与总平均数的差两部分。 )()()(t t X X X X X X -+-=- 2、一个小组n 个数据与总平均数t X 的离差平方和 ()()[] 2 222 22 2)()()(0 )()())((2)()(t t t t t t X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X -∑+-∑=-∑∴=-=∑-∑+--∑+-∑=-+-∑=-∑ K 组的离差平方和 w b t n t b t t t t SS SS SS X X SS X X SS X X SS X X X X X X +=-∑∑=-∑∑=-∑∑=-∑∑+-∑∑=-∑∑2 2 2 2 22) ()() ()()()(组内平方和：组间平方和：总平方和： 当组间平方和远远大于组内平方和时，则变异主要是由分组（或实验处理）造成，则几个总体平均数差异显著。反之，则几个总体平均数差异不显著。在实际检验时，用组间方差与组内方差的F 比值作为检验统计量。 三、方差分析的基本过程 算其值 、选择检验统计量并计不相等。 至少有一对总体平均数、提出假设：：：211321 0H H μμμ== ※两个条件：总体为正态分布、多个总体方差为齐性，用F 检验。 （1）求平方和（常用原始数据计算） 第八章方差分析习题 一、是非题 1．方差分析是双侧检验（） 2．在样本量较大时，方差分析对资料的正态性要求可以忽略（）3．在样本量较大时，方差分析对资料的方差齐性要求可以忽略（）4．对于完全随机设计，总样本量不变的情况下，如果各组的样本量相同，则检验效能相对较高（） 5．如果各组的样本标准差相差不超过0.1，则可以认为各组之间的方差是齐性的。（） 二、选择题 1. 完全随机设计资料的方差分析中，必然有（）。 A. SS组间> SS组内 B. MS总= MS组间+ MS组内 C. SS总= SS组间+ SS组内 D. MS组间> MS组内 2. 多个样本定量资料比较，当不满足独立、正态、方差齐性等条件情况下应选择（）。 A. 方差分析 B. t 检验 C. Z 检验 D. Kruskal-Wallis 检验 3．当组数等于2 时，对于同一资料的双侧检验，方差分析结果与t 检验结果( )。 A．完全等价且F= B．方差分析结果更准确 C．t 检验结果更准确 D．完全等价且t= F 4．方差分析结果，F> F0.05(ν1 , ν2 ) ，则统计推论结论是（）。 A. 各总体均数不全相等 B. 各总体均数都不相等 C. 各样本均数都不相等 D. 各样本均数间差别都有显著性 5．单因素方差分析中的组内均方是（）的统计量。 A．表示平均的随机误差度量 B．表示某处理因素的效应作用度量 C．表示某处理因素的效应和随机误差两者综合影响的结果 D．表示n个数据的离散程度 6. g 个组方差齐性检验拒绝H0，可认为（）。 A．σ12、σ22、…、σg 2不全相等 B．μ1、μ2、…、μg不全相等 C．S1、S2、…、S g不全相等 D．X1、X 2、…、X g不全相等 方差分析 方差分析(analysis of variance ), 简称ANOV A，由英国统计学家，后人为纪念Fisher ，以F命名方差分析的统计量，故方差分析又称F 检验。 样本均数的差异，可能有两种原因所致。首先可能由随机误差所致随机误差包括两种成分：个体间的变异和测量误差两部分；其次可能是由于各组所接受的处理不同，不同的处理引起不同的作用和效果，导致各处理组之间均数不同。一般来说，个体之间各不相同，是繁杂的生物界的特点；测量误差也是不可避免的，因此第一种原因肯定存在。而第二种原因是否存在，这正是假设检验要回答的问题。 方差分析的基本思想是将所有观察值之间的变异（称总变异）按设计和需要分解成几部分。如完全随机设计资料的方差分析，将总变异分解为处理间变异和组内变异两部分，后者常称为误差。将各部分变异除以误差部分，得到统计量F值，并根据F值确定P值作推断。 由于方差分析是根据实验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多，变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易，同时由于变异划分的精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。 方差分析可用于： （1）两个或多个样本均数间的比较 （2）分析两个或多个因素的交互作用 1 （3）回归方程的假设检验 （4）方差齐性检验 多个样本均数间比较的方差分析应用条件为： （1）各样本必须是相互独立的随机样本（独立性） （2）各样本均来自正态总体（正态性） （3）相互比较的各样本的总体方差相等（方差齐性） 一、完全随机设计的方差分析 医学实验中，根据某一实验因素，用随机的方法，将受试对象分配到各组，各组分别接受不同的处理后，观察各种处理的效果，比较各组均数之间有无差别。临床研究中，还可能遇到：比较几种不同疗法治疗某种疾病后某指标的变化，以评价它们的疗效；或比较某种疾病不同类型之间某一指标有无差别等。这些都是一个因素不同水平（或状态）间几个样本均数的比较，可用单因素的方差分析（one-way ANOV A）来处理此类资料。 第八章 方差分析 1. 某校高二年级共有四个班，采用四种不同的教学方法进行数学教学，为了比较这四种教学法的效果是否存在明显的差异，期末统考后，从这四个班中各 试问这四种教学法的效果是否存在显著性差异？ 2. 有四种制造电灯泡的方式，从分别用这些方式试制的四批灯泡中互相独立地各抽一组样本，测量样本的使用寿命（单位：小时），数据如下： 第一批 1600，1610,1650,1680,1700,1720,1800. 第二批 1580,1640,1640,1700,1750. 第三批 1460,1550,1600,1620,1640,1660,1740,1820. 第四批 1510,1520,1530,1570,1600,1680. 试问这四种制造方式所生产的电灯泡的平均使用寿命有无显著性差异？ 3. 对木材进行抗压强度试验，选择三种不同比重（克∕立方厘米）的木材:A 1:0.34~0.47,A 2:0.48~0.52,A 3:0.53~0.56;及三种不同的加荷速度（千克∕平方厘米·分钟）：B 1:600,B 2:2400,B 3：4200，测得木材的抗压强度（千克∕平方厘米）数据如下： 检验木材比重及加荷速度对木材的抗压强度是否有显著影响. 4.将一块耕地等分为24个小区，今有3个不同的小麦品种（A 1，A 2 ，A 3 ）和 2种不同的肥料（B 1，B 2 ）.现将各小麦品种与各种肥料进行搭配，对每种搭 配都在4个小区上试验，测得每个小区产量（千克）如下： 试分析品种、肥料以及它们的交互作用对产量有无显著性的影响. 5.在第1题中，试问哪两种教法间存在显著性差异？ 第八章方差分析 方差分析（analysis of variance）是检验多个总体均值是否相等的统计方法。目的：通过检验多个总体的均值是否相等来判断定类变量对定距变量是否有显著影响。 第一节方差分析引述 一、方差分析的基本思想和原理 例1：想了解四个行业的服务质量如何，得到以下数据： 消费者对四个行业的投诉次数 自变量行业是分类变量，因变量被投诉次数是定距变量。 想知道行业对被投诉次数的影响，就要分析不同行业的被投诉次数之间是否有显著差异，即检验四个行业被投诉次数的总体均值是否相等（注意不是样本均值）。如果相等，行业对投诉次数无影响；如果均值不全相等，有影响。 为什么不用均值检验的方法？ 均值检验一次只研究两个样本，要检验4个总体均值是否相等，需要6次检验（1-2，1-3，1-4，2-3，2-4，3-4）。每次检验犯第一类错误的概率是α，作多次检验会增加犯错概率和降低置信水平。而方差分析同时将所有样本信息结合在一起，增加了分析的可靠性，降低了犯错的概率，避免拒绝真实的原假设。如何用样本均值检验总体均值即判断行业对投诉次数是否有影响？ 各行业被投诉次数的样本均值不相等，是否可说明不同行业被投诉次数有明显差异？不一定，也许各行业总体均值无差异，仅仅因为抽样的随机性造成了彼此之间的差异/随机误差。（来自同一个总体的各个样本之间因为随机性而造成的均值差异和来自不同总体的样本之间的均值差异在散点图上是有差异的。）所以，方差分析就是对于差异来源进行分析（来源于随机误差还是不同总体间的真实差异），从而判断不同总体均值是否相等。 在例1中，在同一行业（同一总体）下，样本的各观测值不同，其差异可看作抽样的随机性造成的，称之为随机误差。在不同行业（不同总体）下，各观测 第八章单因素方差分析 8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]： 重复 播种期 2月19日3月9 日 3月28日4月13日 1 0.26 0.14 0.1 2 0.03 2 0.49 0.24 0.11 0.02 3 0.36 0.21 0.15 0.04 对上述结果做方差分析。 答：所用程序及结果如下： options linesize=76 nodate; data mugwort; do date=1 to 4; do repetit=1 to 3; input yield @@; output; end; end; cards; 0.26 0.49 0.36 0.14 0.24 0.21 0.12 0.11 0.15 0.03 0.02 0.04 ; run; proc anova; class date; model yield=date; means date/duncan; run; One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values DATE 4 1 2 3 4 Number of observations in data set = 12 One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: YIELD Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667 Corrected Total 11 0.21809167 郑州轻工业学院数学与信息科学系 第十章：方差分析 概率统计教研组 方差分析是英国大统计学家费歇尔（R.A.Fisher）在20世纪20年代创立的．起初用于农田间试验结果的分析，随后迅速发展完善，被广泛应用于在工、农业生产，经济、管理领域，工程技术和科学研究中． 方差分析与回归分析方法有许多相似之处，但又有本质区别，回归分析研究两个或多个数值型变量之间的关系，而方差分析是研究分类变量对数值型变量的影响，从形式上看，方差分析是比较多个总体均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系. 本章学习单因素方差分析和双因素方差分析的基本理论和方法. ●【营销策略问题】 某苹果汁厂家开发了一种新产品——浓缩苹果汁，一包该果汁与水混合可产生1升的普通苹果汁．该产品有三点特性可以吸引消费者的注意： 1.它比目前市场销售的罐装苹果汁方便． 2.由于市场上的罐装苹果汁事实上也是通过浓缩果汁制 造而成，因此新产品的质量至少不会差于罐装果汁． 3.新产品的生产成本要略低于罐装苹果汁． 营销经理需要决定的是如何宣传这种新产品，她可以通过强调产品的便利性、高品质或价格优势的广告来推销，还可以使用两种媒体中的一种来刊登广告：电视和报 ●【营销策略问题】 为了决定采用何种广告战略，她分别在6个小城市开展试验． 在城市1，营销的重点是宣传浓缩果汁的便利性（例如很方便地就可以从商店搬回家，占用更少的冰箱空间等），广告采用电视形式； 在城市2，营销的重点依然是便利性，但广告采用报纸形式； 在城市3，营销的重点是大力宣传产品的质量（画面上“普通的”购买者正在讨论果汁的口味如何纯正），广告采用电视形式； 第10章单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。 图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。 Analysis of variance，方差分析。 Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett’s test，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test，布朗—福塞斯检验。 Levene’s test，列文检验。本例以上都选。 习题8.1 解答 1. 设有三台机器C B A ,,制造一种产品，每台机器各观测5天，其日产量如下表所示，问机器与机器之间是否存在差别？（设各个总体服从正态分布，且方差相等，0.05α=）. 解 设321,,μμμ分别代表三台机器种配方（三个总体）的均值，因变量为日产量，因素是机器，水平3=r ，试验次数分别是5321===n n n ，15321=++=n n n n 三个总体具有相同的样本容量.根据题意建立两个假设： 0H ： 321μμμ== 1H ： 三个总体均值不全相等. 第一步，查),1(r n r F --α的临界值得89.3)12,2(05.0=F . 第二步,根据表8.4先计算样本均值和方差. 2.471=x ；4.622=x ；6.491=x ；2.4421=S ； 3.5022=S ；3.172 3=S . 因为样容量相等,所以有 0667.533 6 .494.622.471 ≈++= = ∑=r x x r i i 再计算组间均方A MS 和组内均方e MS ， A MS = 2 ] )0667.536.49()0667.537.62()0667.532.47[(51 )(22211 2 -+-+-= --∑∑==? r x x r i n j i i 8667.333≈ 同样因为样本容量相等，所以e MS = r n x x r i n j i ij i --∑∑==?11 2 )(可简化为下列的计算公式 e MS = 26667.373 3 .173.502.441 21 =++= ∑=r S r i 最后计算F 统计量的值, 958855.826667 .378667 .333≈== e A MS MS F 第三步,由于>=958855.8F 89.3)12,2(05.0=F ,落在拒绝域,不接受0H ,,即三台机器的产量有显著差异，由样本观测值可知第二台机器的日平均产量估计值为62.4台，比其它两台机器的日平均产量大. 使用EXCEL 求解如下： 样本数据文件 方差分析输出结果 2．用五种不同的施肥方案分别得到某种农作物的收获量（kg ）如下： 试在显著性水平0.05下检验五种施肥方案对农作物的收获量是否有显著影响. 设各个总体服从正态分布，且方差相等. 解 本题求解类似第一题，略统计学第十章(方差分析)
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