课题：相似三角形复习
班级 姓名
学习目标：
相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。
1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。 3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
一．知识要点：
1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段；
2、比例性质：
（1）基本性质：bc ad d c b a =?= ac b c b
b a =?=2
（2）合比定理：d d
c b b a
d c b a ±=
±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b
a
n d b m c a n m d c b a
3、相似三角形定义：________________________________．
4、判定方法：______________________________________________________________________
5、相似三角形性质：
（1）对应角相等，对应边成比例；
（2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？）
（3）周长之比等于 ；
（4）面积之比等于 ．
6、相似三角形中的基本图形．
（1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型：
（3）旋转型： （4）母子三角形：
二、练习：
（一）、自我训练
训练1：判断
1．两个等边三角形一定相似。（ ）
2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2。（ ） 3．两个等腰三角形一定相似。（ ）
4．若一个三角形的两个角分别是40°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、70°，则这两个三角形不相似。（ ）
训练2：填空
1．如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是 ． 2．已知，
542c b a ==，则=-+-+b
c a b
c a 22 ． 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ．
5．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是 ． 6.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 ．
7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那
么该古城墙的高度是 ．
A ．
B ．
C ．
D ． A B C
A ．
B ．
C ．
D ． A B C D
E A B C D E A B C D A
B
C D E D
A B
C
E
（二）、大展身手： 1. 已知2
1
=b a ，则
b a a +的值为__________
2．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △
CDF =
．
3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝ ．
4．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为 ．
5．如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //并且三角形ADE 与四边形DBCE 的面积比为4：5，那么AE:AC 等于 ．
6．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为 ．
7．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于 ．
8．E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为 ． （三）、更上层楼：
1、过三角形边AB 上的一点，E 为△ABC 边上任一点，且以APE 为顶点的三角形与△ABC 相似，在图中找
出点E 的位置（你能找出几个？）。
2、已知：CD ⊥DB ，AB 垂直DB ，DC=4，AB=8，DB=18，点P 在DB 上，且以点D 、C 、P 为顶点的三角形与以点A 、B 、P 为顶点的三角形相似，求DP 的长。
3、如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分别在线段
AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合）
，且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =． ⑴ 求y 与x 的函数表达式； ⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
O
E D
C
B
A A
E
D C
B
F
B
P N
M
F
E
D
A
E D B
A
C
B C
E D
A
A
B
C
D
E Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ
Ｂ
F
E
D
C B
A
C 1 B 1 C A B A 1 课题：§11．1 全等三角形 课型：新授 教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法 教学准备：多媒体，三角板 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一) 提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E
27.2.1相似三角形的判定（一） 学习目标：会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''' 知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时， △C B A '''与△ABC 的相似比为1/k ． 理解平行线分线段成比例定理的探究过程，并掌握该定理的应用。 学习过程： 活动一：类似相似多边形，我们如何给相似三角形下定义？请用几何语言给相似三角形下定义： 活动二：相似三角形与全等三角形有何内在联系？ 活动三：你知道判定三角形全等的方法有哪些？把它写出来。 类似地，判定两个三角形相似，也有简便的方法。 活动四：DE 是△ABC 的中位线，DE 与BC 有什么位置关系？你能写出一个比例式吗？ B ’ C ’
活动五 (1)两条直线l 1 , l 2 被三条平行线l 3 , l 4, l 5所截， l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上 截得的两条线段DE, EF,猜想 成立吗? 如何来验证你的猜想？ (2)你还能写出其他的比例式吗？ (3) 归纳总结： 平行线分线段成比例定理 ： 两条直线被一组________所截，所得的________ 线段成比例。 请用几何语言写出定理 （4）平行线分线段成比例定理推论 思考：1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ L 5 L 3 L 4 A D E F H B L 2 EF DE BC AB L 1
（2）、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2 （2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 活动五： 归纳总结： 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延 长线），所得的_______线段的比_________. 练习： 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4 ，AB=3，EC=1. 求AD 和BD. 活动六： 1.谈谈本节课你有哪些收获． “三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似． 2.相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比 k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k 1 CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数． 四、达标测评 1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式． 活动七： 活动八： 活动：
19.1 命题与定理 一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。 2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。 四.教学难点及突破措施：命题概念的理解。让学生多说，多讲，多练习。 五.教学时间：第九周第3节 六.教法设计：讲练结合 七.教学过程 一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。
22.2 相似三角形的判定 第2课时相似三角形的判定定理1 一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：三角形相似的判定方法1 2．难点：三角形相似的判定方法1的运用． 三、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD ?AB ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由． （3）△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题． （4）教材P48的探究3 ． 四、例题讲解 例1（教材P48例2）． 分析：要证PA ?PB=PC ?PD ，需要证 PB PC PD PA ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． 证明：略（见教材）． 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．
分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似． 五、课堂练习 下列说法是否正确，并说明理由． （1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 六、作业 1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． 求证： FD EF BF AF ． 2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．
27.1 图形的相似（第1课时）总 1 课时 一、教学目标：通过对事物的图形的观察、思考与分析，认识理解相似的图形。 二、重点难点：认识图形的相似、形成图形相似的概念。 三、学情分析：在现实世界中广泛存在着图形相似的现象，探究相似图形一些重要性质的过程，使学生更好的认识、描述形状相同的物体，体会相似图形在刻画现实世界中重要作用；在解决实际问题中，发展学生数学应用意识和合作交流能力。 四、自主探究 问题一： 1、相似图形的定义？ 2、请举例说明我们生活中相似图形的实例。 问题二： 1、两个相似图形之间有什么关系？ 2、思考 （1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）人站在平面镜前看到的镜像及哈哈镜里看到的镜像，它们相似吗？为什么？ 问题三：全等形与相似图形之间有什么关系？ 五、尝试应用 1、下图中的哪组图形是相似图形（） 2、观察图27-1-6中图形（a）—(g)，其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的。
3、如图，在4×4的正方形网格上，有一△ABC 。现要求再画一△A’B’C’，使这两个三角形相似(非全等)。 六、补偿提高 1、（教材P37练习第2题变式题）观察下列各个图形，找出其中相似的图形。 2、如图所示，左侧上海名牌大众汽车的标志图案，与右侧A 、B 、C 、D 四个图形中相似的是（ ） 3、下列是相似图形的有( ) A. 两个三角形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形 4、如图，作出与方格纸中的图形相似的图形，使点A 与A ′对应，且所画的图形是原图形的2倍。 七、小结与作业 八、教学后记： 九、学生出勤： C B A
12.1 全等三角形 导学案 学习目标：1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角． 学习过程： 一．获取概念： 阅读教材P31-32页内容，完成下列问题： （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于” （4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 点A 1是对 应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应角： 对应边： 。 C 1 1A B A 1 二 观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF （图甲）；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC （图乙）； 将△ABC 旋转180°得△AED （图丙）． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。
三、当堂反馈 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的 边 。相等的角 。 D C A B O D C A B E D C A B E O 图1 图2 图3 图4 2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角 对应边：AB AE BE 3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边 对应角 ． 4.如图4，,DBE ABC ???AB 与DB ，AC 与DE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠A B ，求BED ∠。 解： ∵∠ A+ ∠B+∠BCA=1800 ( ), 30,43=∠=∠A B ( ) ∴∠BCA= ∵,DBE ABC ???( ) ∴∠BED=∠BCA= ( ) 5.完成教材P32练习1、2 四、概括总结 找两个全等三角形的对应元素常用方法有： 1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。 2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素． 3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． 4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 五．课后反思
第二十七章相似 27．2．1图形的相似（一） 一、教学目标 1.会识别相似图形. 2.通过观察、测量让学生了解线段的比、成比例线段的概念. 3.会求线段的比，会判断已知线段是否成比例. 二、教学重难点 教学重点：对线段的比的理解及会判断成比例线段. 教学难点：掌握成比例线段的特点，欣赏生活中的数学美. 三、教学方法 多媒体教学——创设情境，以境激趣 探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程 四、教学用具 多媒体电教及教学软件 五、教学过程设计 1、创设情境，设疑激趣 （多媒体演示） 自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？ （欣赏完图片，学生讨论并引入课题） 两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些 不是呢？相似图形有什么主要特征呢？ （通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）2、探索研究，揭示概念 线段的比和成比例线段 （1）做一做：
下图是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形。设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中AB、BC、与A′B′、B′C′的图上距离. 思考与讨论 ①AB=__________cm，BC=____________cm； A′B′=__________cm，B′C′=_____________cm ②分别计算等于多少？ （小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．） ③显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？ （通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.） 显然，我们能发现： 结论 线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比. 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）议一议： ①请量一量AC= cm , A′C′= cm ,再计算你又发现什么？ ②AB、BC、AC和A′B′、B′C′、A′C′中，哪四条线段分别成比例？请分别写它们的比例式. ③如果在这两张地图中,你猜猜会出现什么情况? ④如果在测量时,AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米,那么它们的比有没有变化? ⑤两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?
鸡西市第十九中学学案
一、填空题 1．_____ 的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____ 上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 5．如图1－1所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____，∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 6．如图1－2，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD ≌CDB ，若AB ∥CD ，则AB 的对应边是 （ ） A ．DB B ．BC C ．CD D ．AD 9．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．如图1－4，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么 BC 等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 11．如图1－5，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于 （ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 12．如图1－6，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 三、解答题 13．已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°， 求∠ADB 的度数． 综合、运用、诊断 一、填空题 14．如图1－8，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝ 28∶5∶3，则∠α的度数为______． 图1－8 15．已知：如图1－9，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长；（2）求证：AB ∥DE ． 图1－9 拓展、探究、思考 16．如图1－10，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论． 图1－10
相似三角形的判定导学案 【课前延伸】 1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角。 全等三角形的判定方法：、、、。（用字母表市即可）2、相似三角形的性质：相似三角形的对应边、对应角。 【学习目标】 1、通过画图、测量，了解两角对应相等两三角形相似三角形的判定方法。 2、会灵活选取条件，证明两三角形相似。 3、会利用三角形相似解决简单的实际问题。 4、进一步培养学生的逻辑推理能力，能简练地写出证明过程。 【课内探究】 实验与探究： 画一个三角形，使三个角分别为60°，45°，75°。 ①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②同桌画的这两个三角形相似吗?换另三个角试试？ 小组总结：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。 小组讨论：两三角形相似一定要三个角相等吗？将你小组讨论的结果填写在下面：并说明理由。 知识应用一： 例：如图所示，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE//BC。 (1)图中有哪些相等的角？ (2)找出图中的相似三角形，并说明理由； (3)写出成比例的线段。 知识应用二： 例：在阳光下，为了测量学校水塔的高度，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住，已知小亮的身高BC=1.6米，此时，他的影子的长AC=1米，他距水塔底部E处11.5米，水塔的顶部为点D，你能由此算出水塔的高度DE 吗？ 小组总结：通过以上两个例题的解答，你们发现利用相似三角形可以： 练习： 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？画图说明。 2.一个角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？画图说明。 【课堂小结】 小组谈谈本节课的收获和疑惑
石桥二中导学案（2015秋） 使用教师：学科：数学教学内容：第二十七章“相似”分析时间：2015.12.6 年级：九主备教师：备课组长签名：
使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（1） 时间 2015年12月7日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 维 目 标 1．知识与能力: 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 2．过程与方法：经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学游戏活动，发展学生的数学能力和审美观. 3．情感态度与价值观: 使学生学会从数学的角度认识世界，解释生活、逐步形成“数学地思维”的习惯；以“生活中的数学”为载体，使学生体会相似图形的神奇，养成“学数学、用数学”的意识，培养学生的动手操作能力和创新精神. 重、难点： 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 教法与学法指导 一、自主预习 1 、请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能 对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图 27.1-1)( 课本图27.1-2) 2 、什么是相似图形? 3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 二、合作探究 1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段： 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a =（即ad=b c ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=b c ． 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2、填空题 形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ； （2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 6.下列说法正确的是（ ） A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B ．商店新买来的一副三角板是相似的. C ．所有的课本都是相似的. D ．国旗的五角星都是相似的. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A.放大镜下看到的图象与原图象的形状相同 B.哈哈镜中人像与真人的形状是相同的 C.显微镜下看到的图象与原图象的形状相同 D.放大一万倍的物体与它本身的形状是相同的 教法与学法指导 观察图片，体会相似图形 小组讨论、交流．得到相似图形的概念 观察思考，小组讨论回答 教学反思：
全等三角形 适用年级八年级 所需时间课内8课时，课外2课时。 主题单元学习概述 从知识的特点上来讲，关于全等三角形的相关知识注重学生通过动手实践发现规律，注重培养学生的思维能力，注重数学与现实的联系；从心理学上讲，八年级学生的认知正从具体运算阶段向形式运算阶段转化，适当的动手操作活动以及问题丰富的现实背景可以帮助他们能更好地掌握相关知识。 《全等三角形》的内容，主要包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质。全等三角形是研究图形的重要工具，只有灵活运用它们，才能学好相关知识。本章开始，使学生理解证明的过程，学会用综合法证明的格式。这是本章的重点，也是难点。对角平线的性质与判
定中也不提出互逆定理。这样不致于一下给同学们过多的概念，而加大学生负担。本章中注重让学生经历三角形全等条件的探索过程，更注重对学生能力的培养与联系实际的能力。 我将采用以下的教法与学法：1、引导学生通过动手操作，探究规律；2、注重推理能力的培养，提高理性思维水平；3、联系生产生活实际，增加学习动力； 发展学生的思维能力，沟通知识与现实的联系。 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标（
知识与技能： 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。 2. 探索三角形全等的判定方法，并能灵活、综合运用。 3. 会作角的平分线，掌握角的平分线的性质并会利用它进行证明。 过程与方法： 1.经历三角形全等的探索过程，将两个三角形的六个要素随意组合针对每种情况做出分析与验证，得出三个定理，然后将其迁移到直角三角形的判定中来。 2．经历应用全等三角形及解角平分线的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 3．通过开放的设计题来发展思维，培养学生的创造力。 情感态度与价值观： 1.培养学习数学的兴趣，初步建立数学化归和建模的思想，积极参与探索，体验成功的喜悦。 2.通过体验抽象的数学来源于生活，同时又服务于生活。增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱
相似形复习课学案 总编号：NO. 22 命题人：陈光双 审核人：初二数学组 学习目标：1.熟练掌握相似三角形的基础知识 2.灵活应用相似三角形的知识解决数学问题 重点、难点：相似三角形知识的应用 课前复习： 比例的性质 比例的基本性质 和比性质 等比性质 定义 相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于 相似三角形 性质 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 1. ，两三角形相似 2. ，两三角形相似 判定 3. ，两三角形相似 直角三角形的判定方法是 课中探究： 一．基础巩固（易错点）： 1. △ ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且∠AED= ∠ B ， 那么△ AED ∽ △ ABC ，从而 AD ( ) =DE BC 2.如图，DE ∥BC, AD:DB=2:3, 则S △ AED:S △ ABC =＿＿＿. D A C B A B C D E A B C D E 第1题 第2题 第5题
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm ， 则三角形乙的最短边为______cm. 4.等腰三角形ABC 的腰长为18cm ，底边长为6cm,在腰AC 上取点D, 使△ABC ∽ △BDC, 则DC=______. 5． 如图，D 是△ABC 一边BC 上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA 的条件是（ ）. A.AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB 2=CD·BC D.AB 2=BD·BC 二·基础巩固（易漏点） 6·D 、E 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且DE ∥BC ，∠DCB= ∠ A ，把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组。 7·已知菱形ABCD 的边长为8，点E 在直线AD 上，DE 等于4，连接BE 与对角线AC 相交于点N ，则 NC:AN= 三．跟踪检测： 第6题 8．如图，△ADE ∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 第8题 9．·如图若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 第9题 10、如图：DE ∥BC, AD:DB=3:4, △ADE 与 △ ABC 的周长比为 ， △ABC 与四边形DBCE 的面积的比为 A B E D C A C B D E 2 733 图6 A
比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 > 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) - 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成,许多美丽的形状都与这个比值有关。你知道这个比值的来历吗 % 说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比2与—3的比；—4与6 的比。如何表示其比值相等吗用小学学过的方法可说成为什么可写成什么形式 (2)比与比例有什么区别 (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式你知道内项、外项和第四比例项的概念吗
课题:12.1．1全等三角形 班级 姓名 时间 学习目标: 1、能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。 2、能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。 3、能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。 学习重点:探究全等三角形的性质 。 学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角。 学习过程： 一、课前研学(预习教材31页-32页的内容，完成下面的问题) （约3-5分钟） (一)、全等形、全等三角形的概念 1、能够完全重合的两个图形叫做 ． 全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2、全等三角形． 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （二）、全等三角形的对应元素及表示 阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空： 1、 平移 翻折 旋转 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2、全等三角形的对应元素（说一说） （1）对应顶点（三个）——重合的 （2）对应边（三条） ——重合的 （3）对应角（三个） ——重合的 3、寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是 ；（2）有公共角的，公共角是 ；
第（4）题图 E B A E 第（1 ）题图E C B F C 第（2）题图D A C B （4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边； 最大角对应最大角，最小角对应最小角． 简单记为：（1）大边对应大角，大角对应 ; (2) 公共边是对应边，公共角是 ，对顶角也是 ; 4、“全等”用“ ”表示，读作“ ” 如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 二、课堂探究 （约15-20分钟） 知识点1：全等三角形的性质 阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空： 活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题： （1） 如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是 ，即可记为BC= 。 ∠A 对应角是 即可记为∠A = 。。 （2） 如图（2）△ABC ≌△DEF ，△ABC 的边AC 的对应边是 ，即可记为AC= 。 （3） 如图（3）△ABC ≌△ ，∠ABC 对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （4） 如图（4）△ABC ≌△ ，△ABC 的∠BAC 的对应角是 即可记为∠ = ∠ 。 （5） △ABC ≌与△DEF ，AB=DE,AC=DF,BC=EF,写出所有对应角相等的式子。 小结1：规律总结： 1、全等三角形的对应边 ，对应角 。 2、两个三角形全等，与它们所在的位置 关系。(填有或无) 知识点2：全等三角形的性质例解 例1：如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角． D C A B O D C A B E 图1 图2
第14讲相似三角形的判定 温故知新 一、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图 所示，若DE∥BC，则有ＡＤ ＡＢ＝ ＡＥ ＡＣ ， ＡＤ ＤＢ ＝ ＡＥ ＥＣ ， ＤＢ ＡＢ ＝ ＥＣ ＡＣ 课堂导入
一、相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 1、相似三角形是相似多边形中的一种； 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； 3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； 4、相似用“∽”表示，读作“相似于”； 5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。 二、相似三角形的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 典例分析 例1、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 相似三角形的概念及判知 识要点一 A B C D
例3、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（） A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．= 例4、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF； （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形． 举一反三 1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（） A．B．C．D． 2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新 的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相 似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（）
§4.6相似三角形及其应用 学习目标： 1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等． 2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小． 3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力． 一、课前预习 （一）知识梳理 1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形 是三角形。 2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似． ④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 . 3.相似三角形的性质 ①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于． 4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比． （二）基础训练 1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm， △ABC∽△APQ的相似比是（） A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.
3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行， 请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． 4.下列说法中正确的是（） A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似 5.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（） A．1 4 B ． 4 1 C． 1 3 D． 3 4 6. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16， 面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( ) A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6 7.如图，点P是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点， 过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似， 满足这样条件的直线共有（）条． A．1 B．2 C．3 D．4 二、例题精讲 例1如图，⊙O中的弦AB截另一弦CD成CE、DE两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE长 A E D C B
第十二章全等三角形 《12．1 全等三角形》导学案 N0.1 一、学习目标 1.了解全等形及全等三角形的概念． 2.理解全等三角形的性质． 二、教学重、难点 1.重点：探究全等三角形的性质． 2.难点：掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素. 三、自主学习 1.自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空： (1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，_________的两个图形叫做全等形．_________的两个三角形叫做全等三角形． (2)全等三角形的_________相等，全等三角形的_________相等． 四、合作探究 知识点一：全等三角形的概念 观察△ABC与△A′B′C′重合的情况． 总结：对应顶点、对应角、对应边． 全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′. 归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．知识点二：全等三角形的性质 把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化． 结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状． 归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等。 找对应元素的常用方法有两种： (一)从运动角度看 1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素． 2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素． (二)根据位置元素来推理 1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．