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一次函数K值几何意义

一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）中，k的意义

1、K值代数意义：小明说，在式子y=kx+b中，x每增加1，kx增加了k。而如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变成5，增加了2，因此该一次函数中k 的值应该是2.你认为小明的说法有道理吗？说说你的认识。

首先，k值为2是正确的。可以将（1，3）（2，5）分别代入y=kx+b，得：

然后，小明说的有道理。

按小明思路可以举实例说明，当x=1时，kx=k，当x=2时，kx=2k，当x=3时，kx=3k……x每增加1，kx增加了k。

我这样想，假设一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1）（x1+1， y2），则y1=k x1+b，y2=k （x1+1）+b= k x1+b+k，y2－y1=k，所以x每增加1，y就增加了k。

y=kx+b的图象经过（1，3）（2，5），说明x增加1，y增加了2，所以k=2。

如上图，假设一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1）（x1+1， y2），则y1=k x1+b，y2=k （x1+1）+b= k x1+b+k，y2－y1=k，而此时k为负数，所以x每增加1，y就增加了k，其实就是y减小了K绝对值。

2、K值几何意义：

在直角三角形ABC中，BC为x增加值，AC为y增加值，AC/BC得x每增加1，y增加的量，由上述过程可知，x每增加1，y就增加了k，所以AC/BC=k。

在直角三角形ABC中，BC为x增加值，AC为y减小值，AC/BC得x每增加1，y减小的量，由上述过程可知，x每增加1，y就减小了k的绝对值，所以AC/BC=k的绝对值。

综上所述，一次函数的K值几何意义：k的绝对值是直线与x轴所夹锐角的正切值。

二次函数的几何最值问题

二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题〖方法总结〗：在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。（2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

反比例函数k的几何意义

反比例函数k 的几何意义一、教学目标 1.理解反比例函数y=k/x(k ≠0)中比例系数k 的几何意义； 2.通过由特殊到一般,再由一般到特殊的探究方法,感受知识的形成过程,能够根据反比例函数表达式求出相关图形的面积,会根据图形的面积确定反比例函数中k 的值; 3.通过反比例函数与矩形的对应关系渗透数形结合的思想,使学生感受到代数与几何的内在联系,矩形的两条邻边的长度变化而面积不变,渗透了整体思考的数学思想方法。二、教学过程（一）、情境引入 1、平面直角坐标系内一点P （x ，y ）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为______. 2、反比例函数的定义是什么？如何确定系数k 的值？ 3、反比例函数的系数k 能决定函数图像的什么？反比例函数的比例系数k 有一个很重要的几何意义，这节课我们来共同研究一下：（二）、探究新知 1、已知反比例函数 x y 2 -=图象上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AB 、AC ，垂足为 B 、 C （如下图所示），（1）则矩形ABOC 的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由。（2）则△AOB 的面积呢？（3）当k=5时呢？学生自己先完成，在合作讨论展示，最后老师补充； 2、归纳总结：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数。

过双曲线上任意一点作x 轴（或y 轴）的垂线，连接这点和原点的线段，它们与x 轴（或y 轴）所围成的三角形的面积为常数21。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。（三）、应用 1、基础练习（1）若P 点为反比例函数（k ＜0）上任意一点，过P 点向x 轴作垂线交于A 点，已知S△AOP=4，则反比例函数的解析式为__________ （变式）如下图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，菱形面积为8，函数的图象经过点A ，则k 的值是_____．（2）.如下图所示，设A 为反比例函数图象上一点，且长方形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为______．（变式）.如上图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为________. 2、提升练习（1）、如下图，函数的图象与矩形?OABC 的边AB 、BC 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，B （4，2），那么四边形OMBN 的面积为_________

八年级数学一次函数与几何综合(k,b的几何意义与特殊角)(人教版)(专题)(含答案)

一次函数与几何综合（k，b的几何意义与特殊角）（人教版）（专题）一、单选题(共8道，每道10分) 1.已知函数的图象为直线，点P的坐标为(2，1)，则点P到直线的距离为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，点A的坐标为(-1，0)，点B在直线y=x-3上运动，则线段AB最短为( )

A. B. C.4 D. 答案：A 解题思路：当AB垂直于直线y=x-3时，线段AB最短，如图，设直线y=x-3与x轴交于点C，则点C的坐标为(3，0)．对于直线y=x-3来说， ∵k=1， ∴∠ACB=45°， ∵点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(3，0)， ∴OA=1，OC=3， ∴AC=4，在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴ 故选A 试题难度：三颗星知识点：略

3.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，=75°，则点B的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：对于直线y=x+b来说， ∵k=1， ∴∠ABC=45°， ∵=75°， ∴∠OAC=30°. ∵点A的坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴， ∴， ∵点B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：略

4.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，则AC所在直线的表达式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：略 5.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，OC=9，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知，则折痕B′E所在直线的解析式为( )

二次函数中几何的最值问题

二次函数中几何的最值问题一、解答题 1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。（1）求直线AC的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．

5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。

绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案

绝对值的几何意义【考纲说明】 1、理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。【趣味链接】正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a ＜0) （3）若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2 ；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|

【经典例题】【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（） A ．0>a B ．0