11.边缘分布 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第§2边缘分布 【教材分析】：前一节我们已经研究了二维随机变量的一些有关概念、性质和计算，二维联合分布函数（二维联合分布律，二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，如每个分量的分布，即边缘分布等。本节的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，主要从离散型随机变量出发讨论边缘分布。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了一维随机变量的分布函数、分布律、概率密度函数的概念、性质和相应的计算。已经有了一定的理论基础和计算技能。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础知识，但解决问题的能力不高，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解并掌握边缘分布的概念，能熟练求解随机变量的边缘分布函数和边缘分布律。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用类比的方法，讲、将一维随机变量的相关知识引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到边缘分布的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观 培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新发现的思维品质． 【教学重点、难点】： 重点：理解二维随机变量(,)X Y 关于X Y 和的边缘分布函数和边缘分布律的概念。并会求随机变量的边缘分布律。 难点：求离散型型随机变量的边缘分布律。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：
一、 问题引入（复习） 第二章中我们已经学习了随机变量的分布（分布函数、分布律和概率密度）。 定义1 设X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 )()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为X 的分布函数。有时记作)(~x F X 或)(x F X 。 定义2 一般，设离散型随机变量X 的分布律为 (),1,2,.....k k P X x p k === 定义3 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有 .)(}{)(? ∞ -= ≤=x dt t f x X P x F 则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 【设计意图】：通过复习一维随机变量的分布，加深学生对一维随机变量和它的分布的理解，将二维随机变量的分布转化成一维的情形研究，进而得到边缘分布。 二、边缘分布函数 (,)(,),(,){,}. ,{}{,}(,)(,). F x y X Y F x y P X x Y y y P X x P X x Y F x X Y X =≤≤→∞≤=≤<∞=∞定义 设为随机变量的分布函数则令称为随机变量关于的边缘分布函数 ()(,).X F x F x =∞记为 ,x →∞同理令 ()(,){,}{}Y F y F y P X Y y P Y y =∞=<∞≤=≤为随机变量 ( X ，Y )关于Y 的边缘分布函 数。 在三维随机变量(,,)X Y Z 的联合分布函数(,,)F x y z 中，用类似的方法可得到更多的边缘分布函数。 例1 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 1,0,0, (,)0,x y x y xy e e e x y F x y λ-----?--+>>=?? 其他 这个分布被称为二维指数分布，求其边缘分布。 解 ：由联合分布函数(,)F x y 容易X Y 与的边缘分布函数 1,0,()(,)0,x X e x F x F x -?->=∞=? ?其他，1,0, ()(,)0,y Y e y F x F y -?->=∞=??其他 注 X 与Y 的边缘分布都是一维指数分布，且与参数0λ>无关。不同的0λ>对应不
摘要 本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。 关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布
Abstract In this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution. Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution
第三节 条件概率 分布图示 ★ 概念引入 ★ 条件概率的定义 ★例1 ★例2 ★例3 ★ 乘法公式 ★例4 ★例5 ★例6 ★ 全概率公式 ★例7 ★例8 ★例9 ★ 例10 ★ 贝叶斯公式 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 10-3 内容要点 一、条件概率的概念 引例 在事件 A 发生的条件下 ,求事件 B 发生的条件概率 ,记作 P(B | A) . 二、条件概率的定义 定义 1 设 A,B 是两个事件 , 且P(A) 0, 则称 P(AB) (1) P(B | A) P( A) 为在事件 A 发生的条件下 ,事件 B 的条件概率 .相应地，把 P (B ) 称为无条件概率。一般地， P(B | A) P(B) . 计算条件概率有两种方法 : a) 在缩减的样本空间 A 中求事件 B 的概率，就得到 P(B|A)； b) 在样本空间 S 中，先求事件 P ( AB ) 和 P( A) ，再按定义计算 P(B | A) 。 三、乘法公式 由条件概率的定义立即得到 : P(AB) P( A) P(B | A) (P( A) 0) (2) 注意到 AB BA , 及 A, B 的对称性可得到 : P(AB) P(B)P(A | B) (P(B) 0) (3) (2) 和 (3)式都称为 乘法公式 , 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 . 四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个基本公式。 它使一个复杂事件的概率计算问题， 可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。 定理 1 设 A 1, A 2 , , A n , 是一个完备事件组 ,且 P( A i ) 0, i 1,2, , 则对任一事件 B ,有 P (B ) P (A 1)P (B | A 1 ) P ( A n )P ( B | A n ) 注 : 公式指出 : 在复杂情况下直接计算 P( B) 不易时 ,可根据具体情况构造一组完备事件