代数变形常用技巧及其应用
摘要
代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．
关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法
The common skills and application of the algebra
distortion
Abstract
The algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.
Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method
目录
摘要…… ....................................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................................... I I
一、绪论 (1)
二、换元法及其应用 (1)
（一）换元法的定义 (1)
（二）换元法的应用 (1)
1．应用于三角中 (1)
2．应用于分式不等式中 (1)
3．在方程组中的应用 (2)
三、直接法及其应用 (3)
（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 (3)
（二）在不等式中的应用 (4)
（三）在求极限中的应用 (4)
（四）在求导中的应用 (5)
四、数学公式法及其应用 (5)
（一）完全平方公式的变形及应用 (6)
（二）三角公式变形及其应用 (6)
（三）行列式变形及其应用 (6)
五、分解组合思想及其应用 (7)
（一）配方法 (7)
1．应用于解方程和因式分解中 (7)
2．应用于二次型中 (8)
3．用配方法证明柯西不等式 (8)
（二）拆项法 (9)
1．应用于数列求和 (9)
2．应用于行列式 (9)
（三）加“0”乘“1”法 (10)
1．加“0” (10)
2．乘“1” (10)
3．应用于行列式 (11)
六、待定系数法及其应用 (12)
（一）待定系数法 (12)
（二）应用 (12)
1．在有理分式分解中的应用 (12)
2．在求取值范围中的应用 (13)
3．在数列求和中的应用 (14)
4．在极限中的应用 (14)
结束语 (15)
致谢 (16)
参考文献 (17)
一、绪论
所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．
一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．
二、换元法及其应用
（一）换元法的定义
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题． （二）换元法的应用
1．应用于三角中
例[]11 求证
x x x x
x 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则
左边＝()
()
()2
2222
21421214641211416t t t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+， 右边＝
2
221421412t t t t t ++=+++＝左边， 所以原恒等式成立
2．应用于分式不等式中
例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，2
2220x y z ->的所有实数
1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：
()()()
2
2
222
1
112
212121118
z y x z y x z z y y x x -+
-≤
+-++，
并求出等号成立的充要条件．
证明 设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，22
22z b y x +=， 所以
()()()2122212212211122121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++
(
)
2
2
2211122
21122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥???
?
??-+???? ??-+++=，
因此
()()()(
)
2
22221112
2
2121211111288
z y x z y x b a ab
b
a z z y y x x -+
-=+≤
≤
+≤
+-++
即
()()()
2
2
222
1
112
212121118
z y x z y x z z y y x x -+
-≤
+-++，
且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．
3．在方程组中的应用
例[]33 已知方程组(1)， 求1000x
??????
?=-=-=-=111
12004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x
(1) 解 由第一个方程可知()2004,,2,10 =≠i x i ，
设()2003,,2,121 ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得
()2003
.,2,112 ==-i p p i i ， 所以有
2
51+-=
i p ， 又因为99910001000p p x =
所以515
1515111000-++-=或或x ．
三、直接法及其应用
利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．
（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 例[]4
4 (1) 已知
c y
z z
b x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ， 求
c
c b b a a +++++111的值． (2) 已知a b a b a b b a 156523-=-=，求222
232654b
ab a b ab a +-+-的值． 解 (1) 由已知 z
y z
y x z y x a +++=++=+11， 所以
z
y x x
a a ++=+1， 同理可得到
z
y x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++z
y x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以．
(2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质
消去b ，得：
()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=a
a
a b a b b a b a a b a b a b b a ， 因此
b a 3=，
所以
()()29
6273323635342
22
22
2
==+??-+??-=
b
b b b b b b b b b 原式． （二）在不等式中的应用
例5 设()n i a i ,2,110=<<，且a a a a n =+++ 21 求证：
a
n na
a a a a a a n n -≥
-++-+-1112211 ()不等式Shopiro ． 证明 因为
()n i a a a i
i i ,2,1111
1=--=-， 所以，原不等式变形为
a
n na
n a a a a a a a a a n n n -≥
--+-+-=-+-+-111111********* ， 即
a
n n a a a n -≥
-+-+-2
21111111 ， 由算术平均≥调和平均，可得下式成立：
()()()a n n a a a n a a a n n -=
-+-+-≥-+-+-2
21221111111111 ． 所以所求的原不等式成立． （三）在求极限中的应用
例[]56 求数列极限211lim 1n
n n n →∞
??
++ ???
．
解 先求函数极限211lim 1x
x x x →∞
??
++ ???
()1∞型，对数后的极限为：
211lim ln 1x x x x →∞??
++ ???
()22ln 1ln lim
1x x x x x
→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++， 所以由归结原则可得：
211lim 1n n n n →∞
??++ ???211lim 1x
x x x →∞??
=++ ???
e =． （四）在求导中的应用
例7 设 ()()()()
12
315
2
5424x x y x x +-=
++()4x >，求y '．
解 先对函数式取对数得
y ln ()()()()11
2ln 5ln 45ln 2ln 432
x x x x =++--+-+，
再对上式两边分别求导数，得
()()()()
2151
534224y y x x x x '=+--
+-++， 整理后得到
()()()()
()()()()1
2
315
2
54215153422424x x y x x x x x x ??+-'=
+-- ? ?+-++??
++． 四、数学公式法及其应用
公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵
活变形使用．
（一）完全平方公式的变形及应用
由完全平方公式 ()222
2b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为：
(1)()()ab b a ab b a b a 222
2
22+-=-+=+；
(2)()()[]
2
2222241???
??--??? ??+=--+=b a b a b a b a ab ；
(3)()()()
222
2
2b a b a b a +=-++．
上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．
例[]
68 化简()().126316322
2
+-++
-+
+ 解 原式()(
)[]()()[]2
2
12631263--++-++=2824+=．
（二）三角公式变形及其应用
在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．
例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -?-?-=-+-++tan tan tan tan tan tan ． 证明 左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan
()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan ()()()x z z y y x -?-?-=tan tan tan 右边=
（三）行列式变形及其应用
学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．
例[]7
10 计算1n +阶行列式
()
()
()
()
1
1
1
11111
1
1
n
n
n
n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--
解 此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行， ，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次， ，1次，共交换了
()
12n n +次，得 ()
()()()()()n
n n
n n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++
111111
11112
11
由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得
()
()()()[]∏≥>≥++++--+--=1
12
11111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+1
1．
五、分解组合思想及其应用
将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体
有“凑、配、添、拆”等实际做法． （一）配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．
1． 应用于解方程和因式分解中
一般在解析式的变化过程中，使用公式()2
222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．
例11 设111x y x y -=+，求y x
x y
+的值．
解 因为
111x y x y -=+，所以 1y x x y
+=， 又因为
542
2
=?+???
? ??-=???? ??+y x
x y y x x y y x x y ， 所以
5±=+y
x
x y ． 2．应用于二次型中
例[]8
12 用配方法将下列二次型化为标准型
()31212
221321222,,x x x x x x x x x f -++=．
解 二次型可化为
31212
221222x x x x x x f -++=()()2
32222
3212x x x x x x --+-+=，
令 ?????-==-+=323
223211x x y x y x x x y ， 即 ???
??-==-=32322211y
y x y x y y x ，
则有f 的标准型为2
3
22212y y y f -+=． 3．用配方法证明柯西不等式
例[]9
13 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n = ，那么
()
()2
222
112212n n n a b a b a b a a a ++??????+≤++??????+()22212n b b b ++??????+，
当且仅当11b a λ=，12b a λ=，??????，n n b a λ=时不等式取等号．
证明 当22212n a a a ++??????+=0，即2
120n a a a ==??????==时，不等式成立； 当222
12n a a a ++??????+≠0时，作二次函数
()()()()
2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++??????++++??????++++??????+()()()()()2
2
22222211111120
n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++??????++=++??????++≥
当且仅当011=+==+n n b x a b x a 即11,n n b xa b xa =-??????=-时等号成立， 因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ?=-≤， 所以
()2
1122
2n n a b a b a b ?=++??????+????()222124n a a a -++??????+()222
12n b b b ++??????+0≤， 化简整理得
()
()()2
22222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++??????+≤++??????+++??????+，
在前面等式中令
x -=λ，
当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=, 时不等式取等号． （二）拆项法
将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和 例14 计算
()
1111
1223341n n +++???+
???+． 解 由
()111
11
n n n n =-++，
原式=11111223????-+-+??? ? ?????1
11n n ??+- ?+??
1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式
例15 计算n 阶行列式
12312312312
3
n n n n
x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++
解 按最后一列拆项得
n D 1231
231231
2
3
00
0x a a a a x a a a a x a a a a x
++=+ 123123
1231
2
3
n n
n n
x a a a a a x a a a a a x a a a a a a +++
+ 等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =- ，即得
1001
001
0010001n n n x x D xD a x -=+ 11n n n xD a x --=+
()2
1
21n n n n n
x xD a x
a x
----=++1
1
n
n n i i x x
a -===+∑ ．
（三）加“0”乘“1”法
1．加“0”
例[]10
16 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，
求证：当 3n ≥时，n n a b <．
证明 1
211n n b b b b -??
= ?
??
1
211n a a a -??= ?
??
1
21111n a a a a a -??-+= ?
??
1
21111n a a a a -??
-=+ ?
?
?
????????+???? ??-+-+=--- 2
11
22111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ??
-+-???
?=n a ．
2．乘“1”
例17 设,,a b c R +∈
．
证明
1?+=b a c 12++≥
c
b a =2c
a b c ++， 同理
≥2a a b c ++
≥
2b
a b c
++， 所以有
≥
()2a b c a b c ++++=2， 又上述三个不等式中“=”不能同时成立故
． 3．应用于计算行列式 例18 计算n 阶行列式
21112222
2111111111n
n
n n n n
x x x x x x D x x x ++++++=+++
解 将行列式加边升阶为
2
1112
22
22
1000111111111111n
n
n n n
n
x x x D x x x x x x +++=++++++
n n
n
n n
n
x x x x x x x x x
2222212111111
111---= n
n
n n
n
n x x x x x x x x x
2222212111
1100
02=n
n
n
n
n
n
x x x x x x x x x
2222212111
111
111----+
()1
12n
i
j
i i i j n
x x
x =≤<≤=-∏∏()()
()()()()
1111111
2222211000
1
1
111
1111
111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+--- ()()()
()1
11
1211n
n
i
j
i j j
i i i j n
j i j n
x x
x x x
x =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏
()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==??
=--- ???
∏∏∏．
六、待定系数法及其应用
（一）待定系数法
在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法． （二）应用
1．在有理分式分解中的应用
例19 对4325432
24910
5248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解． 解 令()4325
43224910
5248
x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-， 分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式 即：
()R x =54325248x x x x x +--+-()()()2
2221x x x x =-+-+，
则部分分式分解的待定形式为：
()()()()()
01222
2212A A A Bx C
Q x x x x x x +=
+++-+-++， 用()R x 乘以上式两边，得一恒等式
43224910x x x x -++-()()
2
2021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()2
22Bx C x x ++-+，
然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组：
?????
????-=---=--+=+----=+++-=++1082449
4834424331
232
2102
121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：
01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，
并代入()1式
所以原式的部分分式分解为
4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()
22
1211
221
2x x x x x x -=+---+-++．
2．在求取值范围中的应用
例[]11
20 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，
求证：472576≤-+≤-z y x ．
证明 令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+， 比较两边的对应系数，得：
?????-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ??
???===?321C B A 由于
821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，
所以有
472576≤-+≤-z y x ．
3．在数列求和中的应用 例[]1221 求()()
211
543143213211+++
+??+??+??=
n n n S n ． 解 设
()()2
1211++
++=++n C
n B n A n n n ， 比较两边对应项的系数，可得
2
1
,1,21=-==
C B A ， 故
()()??
? ??+++-=++2112121211n n n n n n ，
则有
????????? ??+++-++??? ??+-+??? ??+-=
21121
41322131221121n n n S n ????????? ??+++++??? ??++++-??? ?
?+++=
214131123222121121n n n ??
?
??+++-=
21112121n n ． 4．在极限中的应用
例[]13
22 若()843lim =+∞
→n n n b a ，()16lim =-∞
→n n n b a ，求()n n n b a +∞
→3lim ．
解 设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433， 比较系数得
??
?=-=+1
4363B A B A 解得31
,31==B A ， 所以 ()()()33
1
386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．
代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．
结束语
本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．
致谢
本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．
而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．
最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．
代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。
浅谈数学中的变形技巧 目录 摘要 ............................................................................................................................ I ABSTRACT ................................................................................................................ I I 第一章绪论. (1) 第二章数学变形的概述 (1) 2.1 什么是数学变形 (1) 2.2 在中学数学中常用的基本方法 (2) 第三章变形技巧在初等数学中的一些应用 (2) 3.1一元二次方程的变形技巧 (3) 3.2三角函数的变形技巧 (4) 3.3 “0”的变形技巧 (7) 3.4 “1”的变形技巧 (9) 第四章代数变形中常用的技巧 (11) 4.1 代数恒等式和恒等变形 (11) 4.2 代数中常见的变形 (12) 4.2.1 整式变形 (12) 4.2.2 分式变形 (13) 4.2.3 根式变形 (18) 4.2.4 指数变形 (21) 4.2.5 对数变形 (22) 4.2.6 复数变形 (23) 第五章结论 (24) 参考文献 (25) 致谢 (26)
浅谈数学中的变形技巧 浅谈数学中的变形技巧 学生：冯继东指导老师：郑宗剑 摘要变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了变形技巧在初等数学和代数中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。 关键词：初等数学;代数;变形;技巧 I
初中奥数恒等变形知识点及习题2019 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个. 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立
设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6 再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得出
初中奥数恒等变形知识点归纳整理 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数 值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种 形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6
再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有 22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b=5 将b=5代入③得 1-5+c=2 c=6 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.
谈变形技巧在初等数学中的一些应用 摘要:变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了在初等数学中的" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用。掌握好并灵活运用它，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。 关键词:初等数学；变形；技巧 数学是一个有机的整体, 各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透, 从而构成了一个互相交错的立体空间. 所以, 为了培养数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力, 除了对各单元知识, 及一些开放探索性问题, 实践应用性问题等综合内容进行系统复习外, 在最后阶段的复习中, 应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重 视, 并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题, 这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法, 是针对各种不同的数学知识而定的一种策略. 不同的问题可以用不同的方法, 相同的问题也可以有各种不同的方法 ( 即所谓的一题多解 ). 各种数学方法与数学知识一样, 是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富, 并且是数学知识所不能替代的.在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：? 逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。? 数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。而变形也是数学中的一种重要的方法之一。变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为，亦可表述为等。若问？，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如等。可见"变形"实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名数学问题的解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。我们在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效。下面我们分别来谈谈这几种变形技巧的应用。 1.1 一元二次方程的变形技巧
代数变形中常用的技巧 数学与应用数学专业 摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。关键词代数变形技巧 两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。 代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。 代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。 一、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。 例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。 解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ①(1-x2)(1-y2)-4xy ②x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。 解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)
一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5 ≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 34522+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ．
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2
浅谈数学中的变形技巧 永城职业学院基础部 邮编476600 陈颂 地址：河南省永城市东城区学府路002号 摘要：在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。 关键词：等式；不等式；变形 在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。 一、等式变形 例如：1cos sin 22=+αα的变形 我们知道，1cos sin 22=+αα是三角函数中一个非常基础而且重要的公式。许多相关公式也可以与这个公式相互照应。 例如，由公式r y =αsin ，r x =αcos ，（知识点：角的概念的推广）我们把此代入公式得到： 122=?? ? ??+??? ??r x r y ， 即222r y x =+，此式由勾股定理得出。 又若在一个直角三角形中，我们有c a = αsin ，c b =αcos ，则代入公式有 122=?? ? ??+??? ??c b c a 即222c b a =+，即为勾股定理。 二、不等式变形 例如：不等式ab b a 222≥+的变形。 以上不等式可以变形为：0222≥-+ab b a ，由完全平方公式得：()02≥-b a ，此式显然成立。故原不等式成立。 我们再将公式变形得：ab b a ≥+2 2 2，此式不太常用，但是我们可以熟悉一下这个形式。
代数变形常用技巧及其应用 摘要 代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用． 关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法
The common skills and application of the algebra distortion Abstract The algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on. Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method
第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．
题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．
代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y z a b b c c a == ---，求x+y+z 的值。 例2．已知 ()() 23a b b c c a a b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．
浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文 浅谈中学数学中的若干变形技巧 江苏高邮市三垛中学赵静 变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。 一、掌握变形技巧的意义 在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。 二、变形技巧在数列中的应用 （一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型
等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入
研究，就会找到其内在的规律。 参考文献： [1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999. [2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008. [3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007. [4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004. [5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.
2006年江苏省数学奥林匹克夏令营讲座 代数变换、代数变形的方法与技巧 蔡玉书 1.将一些结构各异的式子看成一个整体，用一个字母或用另外的式、量来替换表示，易于使复杂问题明朗化、简单化。这种解决问题的方法叫做替换法。 (1) 整式替换 例1 分解因式(x 4+x 2－4)( x 4+x 2+3)+10.(第12届“五羊杯”竞赛题) 例2 已知x ,y 是正整数，并且xy +x +y =23,x 2y +xy 2=120,则x 2+y 2= .(2001年全国初中联赛) 例3已知实数a ,b 满足a 3+b 3+3ab =1,则a +b = .(2004年全国初中联赛) (2) 分式替换 例4已知关于x 的方程(a 2－1)(x x －1)2－(2a +7)(x x －1 )+1=0有实数根. ①求a 的取值范围； ②若原方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 1－1 + x 2x 2－1 = 311,求a 的值. (3) 根式替换 例5 计算9a 9a +a +9 a 29a 2+a +9 a 39a 3+a +…+9 a 89a 8+a = . (第16届“五羊杯”竞赛题) (4) 常值替换 例6 证明1997×1998×1999×2000+1是一个整数的平方，并求出这个整数.(1997年安徽省数学竞赛) 例7 计算(74+64)(154+64)(234+64)(314+64)(394+64)(34+64)(114+64)(194+64)(274+64)(354+64) .(第9届华罗庚金杯赛) 例8 计算1+112+122+1+122+122+1+132+142+…+1+120032+120042 . (第9届华罗庚金杯赛) 2.代数式的恒等变形包括整体代入、因式分解、配方、配对、分母有理化、分子有理化等。 例9 若3x 2－x =1,则9x 4+12x 3－3x 2－7x +2001的值等于 .(2001年武汉市数学竞赛) 例10 设x 3－32x 2+6x －22－8=0,则x 5－41x 2＋1的值为 .(2002年“五羊杯”竞赛题) 例11设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab , 求a + b a －b 的值.(2002年全国初中数学竞赛)
分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =
三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。 解析：已知 显然有： 由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜ 点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。 解析：设θ＋15°＝α，则 原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝ 证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） 所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ
导数大题方法汇总报告 一总论 一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的汇总报告。 二主流题型及其方法 *（）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若()在时取得极值，试求所给函数中参数的值。或者是()在( , ())处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令，()的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。 注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *（）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求()的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是： 首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法我认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。 极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。 注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下场。 *（）恒成立或在一定条件下成立时求参数范围 这类问题一般都设置在导数题的第三问，也就是最后一问，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下： 做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是：分离变量。一定要将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的
代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．
13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。