第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
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清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。
《组合数学》课程简介 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 内容简介： 《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 《组合数学》教学大纲 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 一、教学目的和基本要求： 《组合数学》是一门应用广泛的学科。它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。 二、主要内容及学时分配： （1）引言2学时 （2）排列与组合8学时 （3）母函数与递推关系12学时 （4）容斥原理3学时 （5）反演公式3学时 （6）鸽巢原理3学时 （7）Pólya计数定理5学时 （8）区组设计6学时 （9）编码理论6学时 三、教学方式：课堂讲授 四、相关教学环节安排： 五、考试方式及要求：笔试 六、推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 七、有关说明：
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：
da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。1912年，清华学堂更名为清华学校。1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。 清华大学《运筹学》共40讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-232-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文 48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-371-1-1.html 清华大学《数据结构》（c语言）严蔚敏48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-1547-1-1.html 清华大学《计算机文化基础》视频教学共28讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-233-1-1.html 清华大学《计算机原理》王诚 64讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-328-1-1.html 清华大学《模式识别》林学訚 32讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-375-1-1.html 清华大学《计算机网络体系结构》汤志忠 48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-374-1-1.html 清华大学《汇编语言程序设计》温冬婵 64讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-356-1-1.html 清华大学《JA V A编程语言》许斌32讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-354-1-1.html 清华大学《人工智能原理》朱晓燕48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-329-1-1.html 清华大学《编译原理》张素琴吕映芝64讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-330-1-1.html 清华大学《软件工程》刘强48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-327-1-1.html 思想道德修养清华大学 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-327-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文48讲学习梦想家园 https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/thread-2-1-2.html 清华大学《模拟电子技术》华成英56讲学习梦想家园
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
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清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。
《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数
母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：
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马昱春 MA Yuchun myc@https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,
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Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.doczj.com/doc/ad6084118.html,/wiki/Combinatorics 2
组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
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中国当代著名数学家介绍 1．国际著名数学大师，沃尔夫数学奖得主，陈省身 1931 年入清华大学研究院，1934 军获硕士学位．1934 年去汉堡大学从Blaschke 学习.1937 年回国任西南联合大学教授．1943 年到1945 年任普林斯顿高等研究所研究员．1949 年初赴美， 旋任芝加哥大学教授.1960 年到加州大学伯克利分校任教授，1979 年退休成为名誉教授，仍继续任教到1984 年．1981 年到1984 年任新建的伯克利数学研究所所长，其后任名誉所长。陈省身的主要工作领域是微分几何学及其相关分支．还在积分几何，射影微分几何，极小子流形，网几何学，全曲率与各种浸入理论，外微分形式与偏微分方程等诸多领域有开拓性的贡献．陈省身本有极多荣誉，包括中央研究院院士（1948）．美国国家科学院院士（1961）及国家科学奖章（1975），伦敦皇家学会国外会员（1985），法国科学院国外院士'（1989），中国科学院国外院士等。荣获1983／1984年度Wolf 奖，及1983 年度美国科学会Steele 奖中的终身成就奖． 2．享有国际盛誉的大数学家，新中国数学事业发展的重要奠基人，华罗庚 华罗庚是一位人生经历传奇的数学家，早年辍学，1930 年因在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到熊庆来的重视，被邀到清华大学学习和工作，在杨武之指引下，开始了数论的研究。1936 年，作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938 年回国，受聘为西南联合大学教授。1946 年应美国普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948 年开始，他为伊利诺伊大学教授。1950 年回国，先后任清华大学教授，中国科学院数学研究所所长，数理化学部委员和学部副主任，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长、主席团委员等职。还担任过多届中国数学会理事长。此外，华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人民代表大会常务委员会委员和中国人民政治协商会议第六届全国委员会副主席。华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家，他的名字在美国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博物馆中，与少数经典数学家列在一起。他被选为美国科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。又被授予法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学荣誉博士。华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献。由于华罗庚的重大贡献，有许多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法。他共发表专著与学术论文近三百篇。华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制。他身体力行，亲自去二十七个省市普及应用数学方法长达二十年之久，为经济建设作出了重大贡献。3．仅次于哥德尔的逻辑数学大师，王浩1943 年于西南联合大学数学系毕业。1945 年于清华大学研究生院哲学部毕业。1948 年获美国哈佛大学哲学博士学位。1950～1951 年在瑞士联邦工学院数学研究所从事研究工作1951～1953年任哈佛大学助理教授。1954～1961 年在英国牛津大学作第二套洛克讲座讲演, 又任逻辑及数理哲学高级教职。1961～1967 年任哈佛大学教授。1967 年后任美国洛克斐勒大学教授, 主持逻辑研究室工作。1985 年兼任中国北京大学名誉教授。1986 年兼任中国清华大学名誉教授。50 年代初被选为美国国家科学院院士, 后又被选为不列颠科学院外国院士，美籍华裔数学家、逻辑学家、计算机科学家、哲学家。4．著名数学家力学家，美国科学院院士，林家翘 1937 年毕业于清华大学物理系。1941 年获加拿大多伦多大学硕士学位。1944 年获美国加州理工学院博士学位。1953 年起先后担任美国麻省理工学院数学教授、学院教授、荣誉退休教授。林家翘教授曾获: 美国机械工程师学会Timoshenko 奖，美国国家科学院应用数学和数值分析奖，美国物理学会流体力学奖。他是美国国家文理学院院士（1951），美国国家科学院院士（1962），台湾“中央研究院”院士（1960）。从40 年代开始，林家翘教授在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了整整一代人在这一领域的研究探索。从60 年代开始，他进入天体物理的研究领域，开创了星系螺旋结构的密度波理论，并为国际所公认。1994年6月8日当选为首批中国科学院外籍
高等数学：同济大学编写的高等数学第6版高等教育出版社（绿色）最好别用第5版的，因为第6版的总复习题和考研题很接近，有的就是考研的真题，所以对你的前期复习有帮助。 线性代数：同济大学编写的线性代数第4版或第5版高等教育出版社（紫色） 或清华大学居于马编写的线性代数第2版清华大学出版社（黄色） 这两本都是教育部推荐的，同济的比较薄，内容紧凑；清华的比较厚，内容完整。建议你水平高的选同济的，水平一般的选清华的。另外线代的书，同济4版和5版都无所谓。 概率论与数理统计：浙江大学盛骤编写的概率论与数理统计第4版浙江大学出版社（蓝色） 还有一本是经济数学吴传生的概率论，虽说是经济数学但内容也不错，你可以实地考察一下，一般的书店都有。主要是吴传生这本书的习题，曾经有考题根据它改编过。 另外复习中还需要全书和题目，这个建议你去一些考研论坛看看别人的经验贴，我这里帮你把所有的辅导书列出来也没意思是吧，你根据自身的情况选一些适合自己的就可以了。 数学主要用李永乐的书，陈文灯的可以辅助一下。 高等数学：同济五版 线性代数：同济六版 概率论与数理统计：浙大三版 推荐资料： 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》 考研数学规划： 课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题= KO
复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。 李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 文都考研 《高等数学》（上下册）第六版，同济大学数学系编，高等教育出版社出版;《高等数学过关与提高》（上下册），原子能出版社出版，适合理工类考生使用。 《微积分》吴传生主编，高等教育出版社出版;《微积分过关与提高》（上下册），原子能出版社出版，适合经济类考生使用。 《线性代数》第四版，同济大学数学系编，高等教育出版社出版;《线性代数过关与提高》，原子能出版社出版，适合所有考生使用。 《概率论与数理统计》第三版，盛骤等主编，高等教育出版社出版;《概率论与数理统计过关与提高》，原子能出版社出版;适合除数学二之外的其他考生使用。 数学复习必须打好第一步的基础，因为每年考研数学试题中有60%以上的题目都在考查考生对基础知识的理解与掌握，所以基础牢则数学赢，数学赢则考研胜！ 考研, 用书, 英语: 1、《考研英语词汇词根+联想记忆法》作者 :俞敏洪出版社:群言出版社出
浅谈组合数学与计算机科学 摘要：组合数学，又称为离散数学，是一门研究离散对象的科学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。 关键词：组合数学计算机欧拉回路 Abstract: The combination of mathematics, also known as discrete mathematics, is a study of discrete objects. A combination of computer mathematics is a branch of mathematics developed rapidly since, with the increasing importance of the development of computer science, combinatorial mathematics has become more prominent. Key words: Combinatorics Computer Euler circuit 1.组合数学简述 组合数学是一门古老而又新兴的数学分支。我国古人早在《河图》、《洛书》中已对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。 组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题。离散构形问题是组合数学的主要研究内容，主要包括：①构形构形的存在性问题；②构形的构造性问题；③构形的计数问题；④构形的最优化问题。 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等; 另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。 电子计算机处理的信息，都是仅用“0”与“1”两个简单数字表示的信息，或者是用这种数字进行了编码的信息。所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而组合数学是一门研究离散对象的科学。现代数学的研究内容主要包括两个方面：一方面类是研究连续对象的，如分析、代数等，另一方面就是研究离散对象的组合数学。
... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷（ A 卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010 级工科各班 考试方式：闭卷命题教师： 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、若在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调，曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ，求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号 中。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分）
... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ，则必有 x 1 ( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ; (C )a 4， A 6 ; (D ) a 4，A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ，则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数，又， F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10分） 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。
课程设计 课程设计名称：排序综合 专业班级： 学生姓名： 学号： 指导教师： 课程设计时间：
计算机应用技术专业课程设计任务书 学生姓名专业班级学号 题目排序综合 课题性质 A 课题来源 D 指导教师同组姓名无 主要内容运用C语言的知识对程序进行模块化设计； 运用数据结构的知识分别对七种排序方法进行设计；采用菜单式对排序结果进行输出； 任务要求 综合运用这一年来所学的C语言知识与数据结构的知识对所选的课题进行详细的设计，任务分为9个模块进行设计分别为：插入排序函数、冒泡排序函数、快速排序函数、选择排序函数、希尔排序函数、归并排序函数、堆排序函数以及选择函数与主函数。 参考文献《数据结构（C语言版）》严蔚敏清华大学出版社《C语言程序设计》（第三版）谭浩强清华大学出版社《数据结构教程》（C语言版）西安电子科技大学 《数据结构教程》上机实验指导清华大学出版社 审查意见 指导教师签字： 教研室主任签字： 2014 年 6 月15 日
目录 1、需求分析： (4) 2、概要设计 (4) 3 、运行环境 (5) 1）、软件环境 (5) 2）、硬件环境 (5) 4 开发工具和编程语言 (5) 5 详细设计 (5) 6 调试分析 (12) 7 测试结果 (12) 一、测试方法： (12) 二、测试结果： (12) 参考文献 (15) 心得体会 (16)
1、需求分析： 排序综合问题，用数据结构的思想对一些数字进行排序，实现以下排序功能： 1、插入排序 2、冒泡排序 3、快速排序 4、选择排序 5、希尔排序 6、归并排序 7、堆排序 2、概要设计 1、程序总体框架图如下： 排序综合 插入排序冒 泡 排 序 快 速 排 序 选 择 排 序 希 尔 排 序 归 并 排 序 堆 排 序
清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
清华大学高等数学期 末考试
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有
. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ， 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?????=≠ =0 ,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。