目录
1运动方程的建立 (1)
1.1利用达朗伯原理 (1)
1.1.1利用达朗伯原理的直接平衡法 (1)
1.1.2达朗伯原理的拉格朗日形式 (2)
1.2H AMILTON原理 (2)
1.3虚功原理和虚功方程 (2)
1.3.1弹性体的虚功原理和虚功方程 (2)
1.3.2刚体的虚功原理和虚功方程 (3)
1.4最小势能原理 (3)
1.5拉格朗日方程 (4)
1.6拉格朗日乘子法和罚函数法 (5)
2单自由度系统动力反应分析 (6)
2.1无阻尼自由振动 (6)
2.2有阻尼自由振动 (7)
2.3简谐激振 (9)
2.4简谐位移激振 (11)
2.5周期激振 (12)
2.6单位脉冲激振和单位阶跃激振 (12)
2.6.1单位脉冲激振 (12)
2.6.2单位阶跃激振 (13)
2.7任意激振 (14)
2.8频率响应函数（机械导纳） (15)
3多自由度系统动力反应分析 (15)
3.1直接积分法 (15)
3.1.1中心差分法 (16)
3.1.2Newmark方法 (17)
3.1.3威尔逊－ 法 (19)
3.2振型叠加法与反应谱理论 (19)
3.2.1振型分析 (19)
3.2.2振型分解 (20)
3.2.3振型叠加法 (22)
3.2.4振型分解反应谱理论 (22)
4参考书 (26)
1 运动方程的建立
1.1 利用达朗伯原理
1.1.1 利用达朗伯原理的直接平衡法
考察N 个质点的系统，各个质点的质量为i m ，受到i F 的作用力，根据牛顿第二定律：任何质量i m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力
()i i i du d F m dt dt
=
（1.1.1） 移项有 0i i i F m u -= （1.1.2）
式中，第二项i i m u 为抵抗质量加速度的惯性力。质量所产生的惯性力，与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称为达朗伯原理。因而是结构动力学问题中一个很方便的方法。由于它可以把运动方程表示为动力平衡方程，可以认为，i F 包括许多作用于质量上的力：抵抗位移的弹性约束力，抵抗速度的粘滞力，以及独立确定的外荷载。因此，如果引入抵抗加速度的惯性力，则运动方程的表达式仅仅是作用于质量上所有力的平衡表达式。
利用达朗伯原理可以在弹性静力学基本方程的基础上直接建立弹性动力学方程，弹性动力学基本方程是：
动力平衡方程 ,,,0ij j i i tt i t f u u σρμ=+-- （在V 域内） （1.1.3）
几何方程 1
,,2
()ij i j j i u u ε=+ （在V 域内） （1.1.4） 物理（本构）方程 i j ijkl kl ij A D σεε?=
=? ij ijkl i j i j
B D εσσ?==?（在V 域内） （1.1.5） 边界条件 i i u u = （在u S 边界上） （1.1.6）
ij j i n T σ= （在S σ边界上）
初始条件 (,,,0)(,,)i i u x y z u x y z = （1.1.7） ,,(,,,0)(,,)i t i t u x y z u x y z =
式(1.1.3)中，ρ是质量密度，μ是阻尼系数，,i tt u 和,i t u 分别是i u 对t 的二次导数和一次导数，即分别表示i 方向的加速度和速度；,i tt u ρ-和,i t u μ-分别代表惯性力和阻尼力，相当于
弹性静力学的体积力的一部分，A 及B 分别为弹性体的应变能密度及余能密度。在此荷载是时间的函数，因此位移、应变、应力也是时间的函数。
1.1.2 达朗伯原理的拉格朗日形式
设有N 个质点的系统，各个质点的质量i m ，受到i F 的作用力，同时每个质点还受有无功约束，约束反力为i R ，根据牛顿第二定律有
0i i i i F R m u +-= （1.1.8）
设i u δ为弹性体在某一瞬时的虚位移，因为无功约束力的总虚功为零，于是
()0i i i i i i W F m u u R u δδδ=-=-= （1.1.9）
式（1.1.9），通常称为达朗伯原理的拉格朗日形式，是动力学的普遍方程。适用于运动的任一瞬间。所以称式（1.1.9）为达朗伯－拉格朗日方程。
1.2 Hamilton 原理
避免建立平衡矢量方程，可以使用以变分形式表示的能量。通常最广泛应用的变分概念为Hamilton 原理，此原理可表达为
()2
2
110t t nc t t T V dt W dt δδ-+=?? （1.2.1） 其中，T －体系的总动能；V －体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能；nc W －作用于体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷）所作的功；δ－在指定时间区间内所取的变分。
Hamilton 原理说明：在任何时间区间1t 到2t 内，动能和位能的变分加上所考虑的非保守力所作的功的变分必须等于零。在这个方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。因此，这种建立方程的方法的优点是，它只和纯粹的标量－能量有关。
Hamilton 原理也可用于静力问题。此时，动能项T 消失，而方程（1.2.1）的积分中剩余的项是不随时间变化的，于是方程简化为
()0nc V W δ-= （1.2.2）
这就是广泛应用于静力分析中的最小位能原理。
1.3 虚功原理和虚功方程
1.3.1 弹性体的虚功原理和虚功方程
如果弹性体处于运动状态，则它的动力平衡方程为（1.1.3）。设i u δ为弹性体在某一瞬时的虚位移。由式（1.1.3）可得
,()0i j j i i i i V f u u u dV σμρδ+--=?
（1.3.1）
利用Green 公式 ,,,[()]i j i i j i j i j i j i j i j i j i j V V S V
u dV u u dV u n dS u dV σδσδσδσδσδ=-=-???? （1.3.2）
式中
,,,1()2
i j i j i j i j j i i j ij u u u σδσδσδε=+= （1.3.3）
由边界条件有 0i i u u δδ== （1.3.4）
i j ji i n T σ= （1.3.5）
把（1.3.2）（1.3.3）（1.3.4）和（1.3.5）代入（1.3.1）有
()i i i i i i i j ij S V V
T u dS X u u u dV dV σδμρδσδε+--=?
?? （1.3.6） 记为 123V V V U δδδδ++= （1.3.7）
式中，U δ为弹性体所接受的总虚应变能
i j ij V
U dV δσδε?＝ （1.3.8） 1V δ为外力所作的虚功
1i i i i S V
V T u dS f u dV σδδδ=+?? （1.3.9） 2V δ为惯性力所作的虚功
2i i V
V u u dV δρδ=-? （1.3.10） 3V δ为阻尼力所作的虚功
3i i V
V u u dV δμδ=-? （1.3.11） 式（1.3.7）对任一瞬时都成立，它是动力学普遍方程，称为瞬时虚功方程。由虚功方程可知，弹性体处于运动状态的任一瞬时，外力、阻尼力及惯性力在任意虚位移中所作虚功之和等于弹性体所接受的总虚应变能，这个结论称为虚功原理。
1.3.2 刚体的虚功原理和虚功方程
刚体与弹性体的区别在于刚体体内不存在应变，所以虚应变能恒为0，即0U δ≡。所以相应的虚功方程为
1230V V V δδδ++= （1.3.12）
式中，1V δ仍表示为外力所作的虚功，2V δ为惯性力所作的虚功，3V δ为阻尼力所作的虚功。
1.4 最小势能原理
如果弹性体处于运动状态，则由式（1.3.7）可得
1230U V V V δδδδ---= （1.4.1）
在运动状态的任一瞬时，由于位移的变分是微小的，因此在瞬时变分过程中可以认为干扰力、惯性力及阻尼力没有变分，即
0i X δ= 0i T δ= 0i I δ= 0i R δ= （1.4.2）
式中i I 及i R 分别为惯性力及阻尼力，即
i i I u ρ=- i i R cu =- （1.4.3）
将式（1.4.3）代入式（1.4.2）可得
0i i u u δδ== （1.4.4）
由上述可知，在瞬时变分过程中，速度分量及加速度分量的变分为零。因此，由式（1.3.9）～（1.3.11）可得
()1i i i i
V S V X u dV T u ds δδ=+?? （1.4.5） 2i i V
V u u dV δδρ=-? （1.4.6） 3i i V
V cu u dV δδ=-? （1.4.7） 又知
()i j ij ij ij
A A σδεδεδεε?==? （1.4.8） 将式（1.4.8）代入式（1.3.8）可得
()V
U A dV δδε=? （1.4.9） 将式（1.4.5）～（1.4.7）及式（1.4.9）代入式（1.4.1）可得
0∏δ= （1.4.10）
式中123U V V V ∏=---，∏称为总势能。上式表明，当位移从真实的位移变化到几何可能的位移时，总势能的一阶变分为零，也就是总势能泛函∏取驻值。其实还可以进一步证明总势能∏实际上取得极小值。这个结论称为瞬时最小势能原理。
1.5 拉格朗日方程
研究具有N 个质点的力学系统，其位形由矢量1r ，2r ，
，N r 给定，将动力学普遍方
程中的力分开为主动力与惯性力两项 ()110N N
i i i i
i i F r ma r δδ==+-=∑∑ （1.5.1） 设系统仅受m 个完整约束，则自由度数为3n N m =-。选取1q ，2q ，
，n q 作为广义坐
标，则N 个矢径(),,i i i i r x y z 都可表示为j q 和t 的函数 ()12
,,,i i n r r q q q t = （1.5.2）
对式（1.5.2）求等时变分，得
1n i i j j j
r r q q δδ=?=?∑ （1.5.3）
代入式（1.5.1）左端第一个和式，即得主动力的虚功 111N N
n i i i i j i i j j r W F r F q q δδδ===???== ? ????∑∑∑ 改变其中的求和次序，得
11n
N i i j j i j r W F q q δδ==???= ? ????∑∑ （1.5.4） 引进记号
1N
i j i i j r Q F q =???= ? ????∑ （1.5.5） j Q 称为与广义坐标j q 相对应的广义主动力，或简称广义力。同理可得广义惯性力
()1N
i j i i i i j r Q m a F q *=???=- ? ????∑ （1.5.6） 根据广义坐标形式的虚位移原理，由于j q δ是独立的广义虚位移，立即得到动力学普遍方程的简捷形式：
0j j Q Q *+= （1.5.7）
上式有时称为广义动静法基本方程。广义动静法陈述为：完整系统在运动过程中，任一时刻均保持广义主动力和广义惯性力平衡。 对广义惯性力j Q *
的负值进行变换（改变求导与求和的次序），得 j j j d T T Q dt q q *????=-+ ? ?????
（1.5.8） 将式（1.5.8）代入式（1.5.7）得
j j
j d T T Q dt q q ????-= ? ?????
（1.5.9） 这就是第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程。方程组包含n 个具有独立广义坐标的二阶常微分方程，这些方程的数目等于系统的自由度数。与直接应用牛顿定律求解系统动力学问题的过程相比较，采用拉格朗日方程使系统动力学方程的阶次减小到最低限度，而且全部理想约束均被消除，这就大大简化了动力学问题的求解。 1.6 拉格朗日乘子法和罚函数法
拉格朗日乘子法是通过引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数，使在约束条件下的泛函极值问题转化为无约束条件下的拉格朗日函数极值问题。由于拉格朗日因子的引入增加了函
数的自变量，使得问题的求解复杂化，尤其当约束条件较多时更为突出。
罚函数法是通过引入一个提前给定的罚参数或罚数，使在约束条件下的泛函极值问题转化为无约束条件下的泛函极值问题。由于提前给定了罚数，因此，罚函数法不会增加求解的未知参数。但是罚数的选取必须被限制，它的选取是否合理决定方程求解的精度，以及方程的闭锁、奇异、病态等。
2 单自由度系统动力反应分析
所谓自由度是指确定一个振动系统在任意瞬时的空间位置所需要的广义坐标数目。在任意瞬时只需要用一个广义坐标就可完全确定其位置的系统称为单自由度体系。任一单自由度体系的运动方程可以转化为如下形式：
()mx cx kx F t ++=
式中mx 表示惯性力；cx 为阻尼力，kx 为弹性恢复力。
2.1 无阻尼自由振动
当体系上所作用的力等于零，且体系没有阻尼时产生的运动称作无阻尼自由振动。运动微分方程为
0mx kx += （2.1.1）
其中m 为体系的质量，k 为恢复力刚度。设方程的解
rt x e = （2.1.2）
代入上一方程得
20rt rt me r ke += （2.1.3）
0rt e >，所以
20mr k += （2.1.4）
m 和k 都为正数，解上一方程得
r i i ω==±=± （2.1.5）
其中ω=it x e ω±=，于是微分方程的通解为 12it it x c e c e ωω-''=+ （2.1.6）
其中，12,c c ''为与t 无关的常量。
当引入Euler 方程
cos sin iwt e t i t ωω±=± （2.1.7）
后，微分方程的通解也可以记成
12cos sin x c t c t ωω=+ （2.1.8）
其中，12c ,c 为与t 无关的任意常数。正弦和余弦函数之间可以互相转化，所以方程的解可以统一表示为
sin()x A t ω?=+ （2.1.9）
式中，ω=rad/s ；
A =mm ：
?——相位角，rad 。
设质量m 在0t =的始位移为0x ，初始速度为0v ，代入上一方程得
A = （2.1.10） 00
tan x v ω?=
（2.1.11） 系统的周期T 为
2
T =
= （2.1.12） 系统的频率f 为
1f T == （2.1.13） 由以上式子可见，无阻尼自由振动频率和周期仅决定于系统本身的物理特性：质量m 和刚度k ，而与时间无关，这种性质称为等时性。无阻尼单自由度系统在初始扰动后的自由振动是以A 为振幅，ω为圆频率，?为相位角的不衰减的简谐运动。
2.2 有阻尼自由振动
无阻尼自由振动，实际上并不存在。所有的自由振动都会因为存在阻尼而消耗振动能量，振动都会在或长或短的时间内衰减下来。此种情况下，振动微分方程为
0mx cx kx ++= （2.2.1）
令
/2c m n =，2/k m ω= （2.2.2）
则上述方程可写为有阻尼自由振动方程的标准形式
220x nx x ω++= （2.2.3）
上式为二阶齐次线性微分方程，设其解为st
x Ae =，将它代入（2.2.3）式后得特征方程 2220s ns ω++= （2.2.4）
解得特征根
s n =- （2.2.5）
下面讨论由于n 的不同，s 为实数、复数等各种情形所对应方程的解。
（1）n ω>
称为过阻尼情况，这时s 为两个负实根
(221,2s n
n ω=-- （2.2.6） 方程（2.2.3）的解为
((12n t n t x c e c e --=+ （2.2.7）
其中12,c c 为初始条件决定的待定常数，由式（2.2.7）知，这时运动曲线为一个负指数的衰减曲线，说明系统运动是稳定的，且不会发生多次往复振动。
（2）n ω=
称为临界阻尼情况，这时s 为两个相等的实根，有s n =-，方程（2.2.3）的解为
()12nt x c c t e -=+ （2.2.8）
其中系数12,c c 是由初始条件待定的常数。
设临界阻尼情形的阻尼系数为c c ，从n ω=可解得临界阻尼系数
2c c m ω== （2.2.9）
将系统的阻尼系数c 与其临界阻尼系数c c 之比称为阻尼比ζ，有
//c n c c n ζω== （2.2.10）
显然在临界阻尼情况下，1ζ=。在过阻尼情况下1ζ>。
（3）()1c n c c ωζ<<<或
这种情况称为欠阻尼情况。此时s 的两个根为复数，有
1,2d s n n i ω=-±=-± （2.2.11）
其中
d ω== （2.2.12）
d ω称为有阻尼固有频率，方程（2.2.3）的解为
()
12d d i t i t nt x e c e c e ωω--=+ （2.2.13）
根据Euler 公式可将式（2.2.13）式写为 ()()()34cos sin nt d d x e c t c t ωω-=+ （2.2.14）
或
()sin nt d x Ae t ω?-=+ （2.2.15）
设初始条件为：000,,t x x x v ===，将其代入式（2.2.15）解得
A = （2.2.16）
1
000tan d x v x ω?ζω-=+ （2.2.17）
2d d T πω=== （2.2.18） 可见，欠阻尼下的自由振动，它不是严格的周期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动，其往复一次的时间（周期）为d T ，衰减振动的振幅按指数规律减小。
2.3 简谐激振
先介绍受迫振动，即振动系统在外界干扰力或干扰位移作用下产生的振动。由于外界不断对振动系统输入能量，才能使振动得以维持而不至于因阻尼存在而随时间衰减。由于干扰力的形式不同，可将受迫振动分为简谐激振、周期激振、脉冲激振、阶跃激振和任意激振。本节研究最基本的受迫振动－在简谐激振力作用下产生的受迫振动。 设系统受到一个简阶激励力0sin F t ω的作用，则系统的运动微分方程变为
0sin mx cx kx F t ω++= （2.3.1）
式中0F 为激振力幅值，ω为激振力角频率。若引入
20/2,/,/n c m k m h F m ω=== （2.3.2）
则运动方程（2.3.1）可写为标准形式
()22sin x nx x h t ωω++= （2.3.3）
根据微分方程理论，上述非齐次方程的解为两部分组成，即
12x x x =+
其中1x 是齐次方程
220x nx x ω++=
的通解，在欠阻尼情况下，有
()()()112cos sin nt d d x e c t c t ωω-=+ （2.3.4）
式中d ω==2x 是方程（2.3.3）的特解，设
()2sin x A t ωα=- （2.3.5）
将表达式（2.3.5）代入方程（2.3.3）后可解得
A ==
（2.3.6）
22222tan 1n r r
ωζαωω==-- （2.3.7） 式中/r ωω=称为频率比。20//st x h F k ω==称为静变形。
这样方程（2.3.3）的解可写为
()()(
)()12cos sin nt d d x e c t c t t ωωωα-=+-
如果初始条件为：000,,t x x x v ===，则得方程的全解为
()()()()()000cos sin sin cos sin cos sin sin nt d d d nt d d d v nx x e x t t n Ae t t A t ωωωαωααωωωαω--??+=+ ?????-+++- ??? （2.3.8） 式（2.3.8）表示单自由度系统对简谐激振力0sin F t ω的位移响应。全式由三大项组成，前两项之和代表自由振动部分，这部分只在最初一段时间起作用，称为过渡过程。最后一项是以激振力频率ω的简谐振动，这部分振动不衰减，称为瞬态响应。式中第一项只与初始条件有关，而与激振力无关，所以也称第一项为零输入响应，而第二项与第三项的组合称为零初始响应。
公式（2.3.6）、（2.3.7）表达了稳态响应中的振幅、相位与激振频率ω的关系。下面我们将这两个公式都写成无量纲形式
st A x β== （2.3.9）
12
2tan 1r r ζα-=- （2.3.10） 式中β称动力放大系数，它表示振幅相对于静变形的放大倍数。
幅频曲线 相频曲线
上图所示曲线为有阻尼简谐激励的幅频曲线和相频曲线。由幅频曲线可以看出，在不同阻尼比情况下放大系数β与频率比r 的关系。从这些曲线可以看到，当r 接近1时，即ωω≈时，振幅迅速增大，这种现象称为共振。在共振区内，阻尼对振幅影响很大。随着阻尼增大振幅逐渐减小。振幅最大值所对应的频率ω共称为共振频率，从式（2.3.9）可解得位移共振频率2
12ωζ=-共尼情况下，常取ωω≈共。
相频曲线示出了不同阻尼比的情况下，激振力与位移响应之间的相位关系。由于阻尼的存在，位移响应总是滞后于激振力，阻尼不同，滞后相位角也不同，但在ωω=时，无论阻尼是多少，相位角都等于/2π。 2.4 简谐位移激振
有些振动不是因为激振力直接作用于物体引起的，而是由于支承的运动引起的，称为位移激振。如地震引起的地面结构的振动，汽车行驶时，由于凹凸不平的地面引起车身的振动，放在机器上的仪器的振动等。
设基础运动()y t 引起系统振动，则系统的运动微分方程为
mx cx kx ky cy ++=+ （2.4.1） 可见基础运动激励相当于在系统上施加了两个激振力，一个是经过弹簧传过来的ky ，另一个是经过阻尼传来的cy 。
设基础运动为简谐振动0()sin y t y t ω=，则方程的稳态解为
sin()x B t ω?=- （2.4.2）
2
02221(2)(1)(2)y B ξββξβ+=-+
2
222
2tan 14ξβ?βξβ=-+ 2.5 周期激振
周期性激振力也是常见的激振方式，例如往复式机械的惯性力，电磁铁通过交流电产生的电磁力，连续冲压时的周期性脉动力等等。周期性激振力的特点是激振力可表示为()()f t f t T =+，其中T 称为激振力的周期。研究周期激振的稳态响应时，常采用谐波分析法。
谐波分析的方法就是将周期为T 的激振力()f t 按照傅立叶级数展开
()()()()01
cos sin 2i i i a f t a i t b i t ωω∞==++∑ （2.5.1） 式中2/T ωπ=，称为基频。
()02()cos T i a f t i t dt T
ω=
? （012n =,,,） ()02()sin T i b f t i t dt T ω=? （012,,,n =） （2.5.2）
也可将式（2.5.1）写为
()()01
2sin i i i f t a c i t ω?∞==++∑ （2.5.3）
式中
i c = ()1tan /i i i a b ?-= （2.5.4）
利用公式（2.5.1）和（2.5.3）可以将一周期激振力分解为一系列频率为i ω的简谐激振力。每一个简谐激振力的稳态响应都可以根据简谐激振响应公式求解。对于线性系统服从叠加原理，因此激振力()f t 总的响应等于各简谐激振力响应之和，这样就解决了周期激振力的响应问题。
2.6 单位脉冲激振和单位阶跃激振
研究单位脉冲激振和单位阶跃激振是研究任意力激振的基础。
2.6.1 单位脉冲激振
发生在1t 时刻的某一冲击力，其持续时间为t ?，假设在此时间内力F 的大小不变，则F 的冲量为
11t t
p t I Fdt F t +?==?? （2.6.1）
上式中令1,0,p I t F =?→→∞，这时称这个冲量为单位脉冲，这个力函数()F t 称为δ函数，即单位脉冲函数，记为()1t t δ-。()1t t δ-有以下性质：
()1
110
t t t t t t δ≠?-=?∞=?
()11t t dt δ∞-∞-=?
()()()11f t t t dt f t δ∞
-∞-=? （2.6.2）
下面研究在0t =时作用单位脉冲的响应问题，其运动方程为
()mx cx kx t δ++= （2.6.3）
或写为
()212x nx x t m
ωδ++= （2.6.4） 当脉冲作用完之后，上述方程的解应为有阻尼自由振动解
()sin nt d x Ae t ω?-=+ 在脉冲作用的一瞬间，有加速度()1x t m
δ=，可积分得脉冲作用后的速度0x 与位移0x ()0000011x xdt t dt m m
δ++===?? 0000010x xdt dt m
++===?? （2.6.5） 将式（2.6.5）代入前式中解得
1,0d A m ω?== （2.6.6） ()1sin nt d d
x e t m ωω-=
（2.6.7） 或 ()
sin t x ζω-= （
2.6.8） 式（2.6.8
）称为单位脉冲响应函数，记为()h t ，这是一个准周期函数，常写为下面形式
()()
0t h t ζω-??= （2.6.9）
2.6.2 单位阶跃激振
对系统作用一个单位阶跃函数的激振力()()f t U t =，()U t 满足下面关系
()()()()
00102
1
0t U t t t ? （2.6.10） 当0t >时，系统的振动方程为 1mx cx kx ++= （2.6.11）
显然上述方程的特解为1/k ，其通解如式（2.2.15）所示，方程（2.6.11）的全解为
()1sin nt d x Ae t k
ω?-=
++ 或
()
1sin t x Ae k ζω?-=++ （2.6.12） 对于初始条件000,0t x x ===，有
1A =-
)arctan
?=
代入式（2.6.12）得
()
11t x k ζω?-??=+?????? （2.6.13a ） 或
11cos sin t d d d x e t t k ζωζωωωω-????=-+?? ?????
（2.6.13b ） 2.7 任意激振
任意激振又称非周期激振，它是最一般的情况。研究任意激振响应问题，一般有两种方法，一是将任意激振力看成无数微小的阶跃函数组成的函数；另一方法是将任意激振力看成无数微小的脉冲函数组成的函数。下面采用第二种方法。
任意激振力()f t 在任意时刻τ至d ττ+的冲量为()()0f d d τττ→，在这个脉冲的
作用下，单自由度系统的响应，根据上节的理论应为()()h t f
d τττ-，其中0t τ->，因为只有t τ>时，元脉冲()f d ττ才能引起系统响应。由于研究的是线性系统，所以从0到t
这段时间间隔内全部元脉冲()f
d ττ作用的响应之和即()f t 引起的响应，有
()()0t x h t f d τττ=-? （2.7.1） 上式Duhamel 积分，式中认为初始系统处于静止状态。如果计及0t =以前系统受到的作用，可将上式写为
()()t
x h t f d τττ-∞=-? （2.7.2）
或考虑当t τ<时，有()0h t τ-=，可写为
()()x h t f d τττ∞
-∞=-? （2.7.3a ） 上式在数学上称为单位脉冲响应函数()h t 与力函数()f t 的卷积。容易证明上式也可写为
()()x f t h d τττ∞-∞=-?
（2.7.3b ）
卷积也可简记为 ()()()x t f t h t =*
上述任意激振力表达为积分形式，对于简单的力函数，可以通过积分求得解析表达式，对于复杂的力函数，则采用数值解。
2.8 频率响应函数（机械导纳）
单自由度系统最一般的运动方程如下式
()mx cx kx f t ++=
对上式两端作傅立叶变换后得到频域方程
()()()()2m X j cX kX F ωωωωωω-++=
定义响应输出的傅立叶变换()X ω与力（输入）的傅立叶变换()F ω之比
()()()21X H F k m j c
ωωωωω==-+ （2.8.1） 为系统的频率响应函数，简称为频响函数。
频响函数的物理意义表示单位正弦力引起的复响应，因此输入为力，输出为位移时的频响函数又称为动柔度，也称为机械导纳。在系统动力学中统称为频响函数。
机械导纳的倒数
()()21Z H k m j c ωωωω==-+ （2.8.2）
称为机械阻抗，输入为力，输出为位移时的机械阻抗又称为动刚度。它表示产生单位正弦位移所需的正弦激振力。动刚度、动柔度或频响函数不仅与系统的静刚度或静柔度有关，还与系统的质量、阻尼，特别是激振频率有关。
3 多自由度系统动力反应分析
3.1 直接积分法
直接积分是指对运动方程不进行方程形式的变换而直接进行逐步数值积分。通常的直接积分法是基于两个概念，一是将在求解域0t T <<内的任何时刻t 都应满足运动方程的要求，代之仅在一定条件下近似地满足运动方程，例如可以仅在相隔t ?的离散的时间点满足运动方程；二是在一定数目的t ?区域内，假设位移x 、速度x 、加速度x 的函数形式。真实解与近似解的误差取决于积分每一步所产生的截断误差和舍入误差，以及这些误差在以后各步计算中的传播情况。前者决定解的收敛性，后者则与算法本身的数值稳定性有关。常见
的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法，Newmark-β法。
直接积分法的重要特征在于，由给定的初始时刻0t 时的位移0x 、速度0x 和加速度0x ，根据假设的在时间间隔1i i i t t t +?=-内的位移、速度、加速度的变化规律，逐步求得23,,
n t t t 的解。 3.1.1 中心差分法
在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即 21(2)t t t t t t x t -?+?=-?x x +x （3.1.1） 1()2t t t t t t -?+?=
-+?x x x （3.1.2） 时间t t +?的解答t t +?x ，可由时间t 的运动方程
t t t t ++=Mx Cx Kx Q （3.1.3）
应得到满足得到。为此将式（3.1.1）和（3.1.2）代入式（3.1.3）即可得到中心差分法的递推公式
222
11211(
)()()22t t t t t t x t t t t t +?-?+=----?????M C x Q K M M C x （3.1.4） 若已经求得t t -?x 和t x ，则从上式可以求得t t +?x 。上式是求解各个离散时间点的递推公式，这种数值积分方法又称逐步积分法。此算法有一个起步问题：当0t =时，为了计算t ?x ，除了从初始条件已知的0x 外，还需要知道t -?x ，利用式（3.1.1）和（3.1.2）消去关于t t +?x ,并令0t =则有
2
0002
t t x tx -??=-?+x x （3.1.5） 上式中，0x 和0x 可以由初始条件得到，0x 可以由0t =时运动微分方程得到
10000()-=--x M Q Cx Kx （3.1.6）
至此，可将利用中心差分法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下： （1）初始计算 ①形成质量矩阵M 、刚度矩阵K 、阻尼矩阵C ；
②确定初始位移0x 、初始速度0x 和初始加速度0x ；
③选择时间步长cr t t ?
112t t =+??M M C ； ⑥计算时间t 的有效荷载 22211()()2t t t t t x t t t -?=--
--???Q Q K M M C x ⑦由式（3.1.4）计算时间t t +?时位移t t +?x ；
⑧由式（3.1.1）和（3.1.2）和分别计算t t +?x 和t t +?x ；
⑧把本步计算所得的t t +?x 、t t +?x 和t t +?x 作为下一步的初始条件，作从第④步到第⑧步的循环，直到完成。
对于中心差分法要重点指出下面几点：
1．中心差分算法是显式算法。显示算法在非线性分系中，每个增量步的刚度矩阵是被修改了的，避免了矩阵的求逆，将具有更重要的意义。
2．中心差分法是条件稳定算法。其稳定条件为
2
n cr n T t t ωπ?≤?== （3.1.7）
其中，n ω是系统的最高阶固有振动频率。n T 是系统的最小固有振动周期。实际上只需要求
解系统中最小尺寸单元的最小固有振动周期()min()e n T 即可，因为理论上可以证明系统的最
小固有振动周期n T 总是大于或等于最小单元的最小固有振动周期()min()e n T 的，所以令
()min()e n T 代替式（3.1.7）中的n T 即可求出满足收敛要求的步长。在此，必须明白解的稳定性的定义：如果在任何时间步长t ?条件下，对于任何初始条件的解不是无限制地增长，则称此积分方法是无条件稳定的；如果t ?必须小于某个临界值cr t ?，上述性质才能保持，则称
此积分是有条件稳定的。
3．中心差分法比较适用于由冲击、爆炸类型载荷引起的波传播问题的求解。反之，对于结构动力学问题，一般来说采用中心差分法就不太合适。因为结构的动力响应中，通常低频成分是主要的，从计算精度考虑，允许采用较大的时间步长。
3.1.2 Newmark 方法
在~t t t +?的时间区域内，Newmark 积分方法采用下列的假设，即
()1t t t t t t x x x x t δδ+?+?=+-+????? （3.1.8）
212t t t t t t t x x x t x x t αα+?+?????=+?+-+? ???????
（3.1.9） 其中α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。另一方面，α和δ取不同数值则代表了不同的数值积分方案。当16α=和12δ=时，（3.1.8）和（3.1.9）式相应于线性加速度法，因为这时它们可以由下式，即时间间隔t ?内线性假设的加速度表达式的积分得到。
()()0t t t t t x x x x t t τττ++?=+-?≤≤? （3.1.10）
当14α=和12δ=时，Newmark 方法相应于常平均加速度法这样一种无条件稳定的积分方案。此时，t ?内的加速度为
()12
t t t t x x x τ++?=+ （3.1.11） 和中心差分法不同，Newmark 方法中的时间t t +?的位移解答t t x +?是通过满足时间
t t +?的运动方程得到的。即由
t t t t t t t t Mx Cx Kx Q +?+?+?+?++= （3.1.12）
而得到的。为此首先从（3.1.9）式解得 ()211112t t t t t t t x x x x x t t ααα+?+???=---- ????? （3.1.13） 将上式代入（3.1.8）式，然后再一并代入（3.1.12）式，则得到从,,t t t x x x 计算t t x +?的两步递推公式
22111112112t t t t t t t t t t K M C x Q M x x x t t t t C x x tx t δαααααδδδααα+?+???????++=+++-+ ? ????????????
???????+-+-? ? ??????????（3.1.14）
至此，可将利用Newmark 方法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：
①形成质量矩阵M 、刚度矩阵K 、阻尼矩阵C ；
②确定初始位移0x 、速度0x 和加速度0x ；
③选择时间步长t ?，参数α和δ；
④形成等效刚度矩阵21K M C t t
δαα=++??K ； ⑤计算计算时间t t +?的等效荷载Q ，见式（3.1.14）左；
⑥由式（3.1.14）计算t t +?x ；
⑦由式（3.1.13）和（3.1.8）分别计算t t +?x 和t t +?x ；
⑧把本步计算所得的t t +?x 、t t +?x 和t t +?x 作为下一步的初始条件，作从第④步到第⑧步的循环，直到完成。
对于中心差分法需要指出下面几点：
1．Newmark 法是隐式算法。这是由于在导出式（3.1.14）时，利用了t t +?时刻的运动方程所导致的。
2．关于稳定性。
Newmark 法中，参数α和δ的取值影响算法的精度和稳定性。可以证明，当0.5δ≥且20.25(0.5)αδ≥+时，算法时无条件稳定的，此时t ?可以根据精度要求任意选择。所以无条件稳定算法以K 求逆为代价，换得了比有条件稳定的显式算法可以采用大得多的时间步长t ?。这使得Newmark 法特别适合于时程较长的系统瞬态响应分析。而且，采用较大的时间步长还可以滤掉高阶不精确特征解对系统响应的影响。
当取1/2δ=，1/6α=时，Newmark 法成为线性加速度法，算法为条件稳定；
当取1/2δ=，1/4α=时，Newmark 法变为平均常加速度法，算法为无条件稳定；
当取1/2δ=，0α=时，Newmark 法等价于中心差分法，算法为条件稳定，显式的中心差分法和隐式的Newmark 法就采用了统一的表达形式，便于程序的编制，特别式便于应用在隐式—显式混合时间积分方案中。这种方案对于不同介质（如流体和固体）耦合系统的动力分析是很有效的。
3.1.3 威尔逊－θ法
威尔逊－θ法是线性加速度法的推广。在线性加速度法中，假设加速度在t 到t t +?时间内是线性变化的。而威尔逊－θ法假设加速度在t 到t t θ+?时间内是线性变化的。其中1.0θ≥，当 1.0θ=时，威尔逊－θ法就变为线性加速度法。由算法稳定性分析可知，当1.37θ≥时，威尔逊－θ法是无条件稳定的，通常取 1.4θ=。
t t θ+?Q 以线性内差或线性外推方法获得
()t t t t t t θθ+?+?=+-Q Q Q Q （3.1.15）
其余分析方法Newmark 法方法类似。
3.2 振型叠加法与反应谱理论
以上方法从对输入的离散化着手进行系统动力反应分析。振型叠加法则通过对结构振动特征的离散化来实现系统动力反应的离散化。它以系统无阻尼的振型（即模态）为广义坐标系，通过坐标变化使运动方程（3.1.12）解耦，再叠加各阶振型的贡献，求得系统的反应。
要对方程进行解耦，首先要进行振型分析。
3.2.1 振型分析
对多自由度线性体系求取自振频率和振型的工作也叫做自振特性或模态分析。无阻尼多自由度系统的自由振动方程为
()()t t +=Mx Kx 0 （3.2.1）
对于多由度系统，可以证明每个质点的位移函数可以表示为正弦函数
?()sin()x t x
t θω=+ （3.2.2） 式中，?x
为仅与位置坐标有关的量。所以对于多个自由度的位移向量可以表示成 ()sin()t t θω=+x X （3.2.3）
式中，X 为仅与位置坐标有关的量
将式（3.2.3）代入式（3.2.1），并利用()sin t ωθ+不恒为零的条件得到
2()ω-=K M X 0 （3.2.4）
根据线性代数知识，特征方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即
2ω-=K M 0 （3.2.5）
上式称为频率方程。对于稳定结构体系，其质量与刚度矩阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。对于N 个自由度系统，可以求得ω的N 个根(1,2,,)j j N ω=，称为系统的自振频率。每个自振频率对应一个X 的解j X ，称为系统的振型，对j X 进行正交归一化得
华中科技大学土木工程与力学学院 《结构动力学》考试卷（B卷、闭卷） 2013～2014学年度第一学期成绩 学号专业班级姓名 一、简答题（每题5分、共25分） 1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？ 答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。 2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？ 答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。 3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？ 答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。根据公式即测出第k次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。 措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。○2改变荷载的频率。○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。 4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正交吗？ 答：物理意义：第k主振型的惯性力与第i主振型的位移做的功和第i主振型的惯性力与第k主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。 作用：○1判断主振型的形状特点。○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。 5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？ 答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。
结构动力学学习总结
通过对本课程的学习，感受颇深。我谈一下自己对这门课的理解： 一．结构动力学的基本概念和研究内容 随着经济的飞速发展，工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。我国是个多地震的国家，保证多荷载作用下结构的安全、经济适用，是我们结构工程专业人员的基本任务。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。高老师讲课认真负责，结合实例，提高了教学效率，也便于我们学生寻找事物的内在联系。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自
由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算，又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算，又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算，对结构工程最为突出的地震影响。 二．动力分析及荷载计算 1.动力计算的特点 动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。如果从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。但是，如果荷载随时间变化得很慢，荷载对结构产生的影响与
静荷载相比相差甚微，这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。如果荷载不仅随时间变化，而且变化很快，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大，这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。 荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的，确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载，须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。 在结构动力计算中，由于荷载时时间的函数，结构的影响也应是时间的函数。另外，结构中的内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。结构的动力方程中除了动力荷载和弹簧力之外，还要引入因其质量产生的惯性力和耗散能量的阻尼力。而
结构力学复习题 一、单项选择题 1.图示体系为（） 题1图 A.无多余约束的几何不变体系 B.有多余约束的几何不变体系 C.瞬变体系 D.常变体系 2. 图示结构用位移法计算时，其基本未知量数目为( )。 A. 角位移=2, 线位移=2 B. 角位移=4, 线位移=2 C. 角位移=3，线位移=2 D. 角位移=2，线位移=1 3.图示结构AB杆杆端弯矩M BA（设左侧受拉为正）为（） D.－3Pa 题2图题3图 4.在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线为（） A.圆弧线 B.二次抛物线 C.悬链线 D.正弦曲线 5.图示结构DE杆的轴力为（） A.－P/4 B.－P/2 2 6.图示结构，求A、B两点相对线位移时，虚力状态应在两点分别施加的单位力为（） A.竖向反向力 B.水平反向力 C.连线方向反向力 D.反向力偶
题5图题6图 7.位移法解图示结构内力时，取结点1的转角作为Z1，则主系数r11的值为（） 题7图8.图示对称刚架，具有两根对称轴，利用对称性简化后的计算简图为（） A. B. C. D. 题8图 9.计算刚架时，位移法的基本结构是（） A.超静定铰结体系 B.单跨超静定梁的集合体 C.单跨静定梁的集合体 D.静定刚架 10.图示梁在移动荷载作用下，使截面K产生最大弯矩的最不利荷载位置是（） A. B.
C. D. 题10图 11．图示杆件体系为（ ） A ．无多余约束的几何不变体系 B ．有多余约束的几何不变体系 C ．瞬变体系 D ．常变体系 12．图示结构，截面C 的弯矩为（ ） A ．4 2ql B ．2 2ql C ．2ql D ．22ql 题11图 题12图 13．图示刚架，支座A 的反力矩为（ ） A ．2Pl B ．Pl C ．2 3Pl D ．2Pl 14．图示桁架中零杆的数目为(不包括支座链杆)（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 题13图 题14图 15．图示三铰拱，支座A 的水平反力为（ ） A ． B ．1kN C ．2kN D ．3kN 16．图示结构的超静定次数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
Advanced Structural Dynamics Project The dynamic response and stability analysis of the beam under vertical excitation Instructor：Dr. Li Wei Name： Student ID：
1.Problem description and thepurpose of the project 1.1 calculation model An Eular beam subjected to an axial force. Please build thedifferential equation of motion and use a proper difference method to solve this differentialequation. Study the dynamic stability of the beam related to the frequency and amplitude of the force. As shown in the Fig 1.1. Fig1.1 1.2 purpose and process arrangement a.learninghow to create mathematical model of thecontinuous system and select proper calculation method to solve it. b.learning how to build beam vibration equation and solve Mathieu equation. https://www.doczj.com/doc/b111148185.html,ing Floquet theory to judgevibration system’s stability and analyze the relationship among the frequency and amplitude of the force and dynamic response. This project will introduce the establishment of the mathematical model of the continuous system in section 2, the movement equation and the numerical solution of using MATLAB in section 3,Applying Floquent theory to study the dynamic stability of the beam related to the frequency and amplitude of the force in section 4. In the last of the project, we get some conclusions in section 5.
《结构动力学》 读书报告
结构动力学读书报告 学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下： 1. （1）结构动力学及其研究内容： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 （2）主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 （3）数学模型 将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由
度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。 ②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi （它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u（x）可以近似地表为： @7710 二送 结构动力学 （1）式中的qj称为广义坐标，它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。 ③有限元法：可以看作是分区的瑞利-里兹法，其要点是先把结构划 分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利-里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点（例如三角形的顶点、边中点等）处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 （4）运动方程
1．什么是坐标耦联，正则坐标，广义坐标，物理坐标？ 坐标耦联：由于坐标的选择，使得必须由联立的方程组才能求解，这就称为坐标耦联；它取决于表示运动坐标的选择方法，与体系本身的特性无关。 正则坐标：既无动力耦联，又无静力耦联的坐标，叫正则坐标。 广义坐标：能决定质点系的几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面积和体积来表示。 物理坐标：即几何坐标，直接建立在体系中坐标系。 2．集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。 广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。 有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点 （1）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此形函数表达式形状可相对简单； （2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。 3．动力问题与静力问题的重要区别？结构动力特性一般指什么？ （1）动力反应要计算全部时间上的一系列解，而静力问题是某一时间点上的解，主要原因是动力问题荷载是随时间变化的，但此外因并不足以产生重大不同，那样可将动力问题看成一系列静力问题； （2）考虑惯性力的影响是结构动力学和静力学的一个本质的重要区别。 结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼 4．动荷载的分类及其特点？ 根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。 5．什么叫静力凝聚？ 为简化计算，忽略惯性效应不大的方向上的动力效应，而使质量、刚度矩阵保证正定、对称，这种减少体系自由度的方法称为静力凝聚法。 6．动力自由度与静力自由度的概念及二者区别？ 动力自由度是指动力分析中，为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目；静力自由度是使结构体系静定所需要的独立约束数目。前者重点在于控制质点的几何位置，后者重点在于控制结构体系的空间位置。 7．保守力的概念，运动微分方程中三种主动力分别属于保守力还是非保守力？拉格朗日方程中广义力计算包括哪些主动力？ 保守力：大小和方向只决定于体系质点的位置；体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点始末位置与路径无关。 运动微分方程中：弹性反力是保守力，阻尼力与外荷载是非保守力。 拉格朗日方程中广义力计算包括的主动力：外力和阻尼力 8．什么叫临界阻尼？什么叫稳态反应？以单自由度为例，说明阻尼对稳态反应频率的大小及振幅的变化有何影响？ 稳态反应：由动荷载引起的，其振动频率与外荷载频率相同，称为稳态反应； 瞬态反应：相当于自由振动，振动频率等于体系的自振频率，称为瞬态反应。 在单自由度振动分析中，阻尼的存在使振动频率等于体系自振频率ωn 的瞬态反应项很快衰减为零，最后结构的反应仅由外荷载直接引起的稳态反应，与无阻尼接近，阻尼使体系自振频率变小，自振周期变长。 公式D ωω=9．简谐荷载作用下单自由度无阻尼稳态反应中是否有自由振动项？有阻尼情况下，是否激起自由振动项？达到稳态又如何？
工程力学结构动力学复习题 一、简答题 1、结构的动力特性主要指什么？对结构做动力分析可分为哪几个阶段？ 2、何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？ 3、何谓动力系数？简谐荷载下动力系数与哪些因素有关？ 4、动力荷载与静力荷载有什么区别？动力计算与静力计算的主要差别是什么？ 5、为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变他们？ 6、简述振型分解法是如何将耦联的运动方程解耦的． 7、时域法求解与频域法求解振动问题各有何特点？ 8、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？ 答：动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值。简谐荷载下的动力放大系数与频率比、阻尼比有关。当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等；否则不相等。原因是：当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。 9、振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？ 答：由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i 振型上的惯性力在j 振型上作的虚功为0。由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。这就是振型正交的物理意义。一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析
宁波大学研究生期末考试答题纸（答案必须写在答题纸上） 姓名：王冠琼 _____________ 学号：1111083022 ____________ 课程名称：高等结构动力学
结构动力学和静力学的本质区别为是否考虑惯性力的影响。结构产生动力反应的内因（本质因素）是惯性力。惯性力的出现使分析工作变得复杂，而对惯性力的了解和有效处理又可使复杂的动力问题分析得以简化。在结构动力反应分析中，有时可通过对惯性力的假设而使动力计算大为简化，如在框架结构地震反应分析 中常采用的层模型。惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义的不同。 动力自由度（数目）：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目。独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。 3.结构动力问题的分类 一般可以将动力荷载分为确定性荷载和非确定性荷载。 确定性荷载的变化规律是完全确定的，无论是周期的还是非周期的，它们均可以用确定性的函数来表达。常见的确定性荷载有：简谐荷载、周期荷载、冲击荷载和持续长时间的非周期荷载。 非确定性荷载又称为随机荷载，它随时间的变化规律是预先不可以确定的，而是一种随机过程，例如，地震荷载、风荷载和作用在船舶与海洋结构物上的波浪力等。随机过程虽然不可以表示为时间的确定性函数，但是它们受统计规律的制约，需要用概率统计的方法来研究随机荷载作用下结构振动。 此外，有些荷载具有明显的非线性性质，例如，作用在海洋结构物上的波浪力是非线性的，非线性的荷载将激起机构系统的非线性振动。 综上所述，可以将结构的动力问题划分为： ①线性确定性振动，即结构自身是线性的并且承受线性荷载的作用； ②线性随机振动，即结构自身为线性的，荷载为随机的； ③非线性确定振动，即结构系统自身性质或者荷载为非线性的； ④非线性随机振动，即结构系统自身性质为非线性的而荷载为随机的，或者为非线性随机荷载。 4.结构系统的动力自由度及其离散 动力问题的特点之一是要考虑结构体系的惯性力，所以在确定计算简图时，必须明确系统的质量分布及其可能发生的位移，以便全面合理地确定系统的惯性力。系统振动时，确定任一时刻全部质量位移所需要的独立的几何参变量的数目，称为结构系统的动力自由度。要准确地描述系统的惯性力，合理地选择动力自由度是十分重要的。 一切结构系统都具有分布质量，因而都是无限自由度系统。但是除了某些简单的结构可以作为无限自由度处理以外，大多数的工程结构作为无限自由度计算将是极其困难的。在结构动力计算时，为了避免过于繁杂和数学上的困难，一般将结构处理为有限自由度系统，这一过程称为结构系统的离散。 以下是几种常用的离散方法： 1）集中质量法图1-1简支梁上有?三个较重的质量，其质量远大于梁结构自身的质量。若将梁的质量也集中到这些质量块上，则转化为有若干个质量块的有限自由度系统。对于在平面内振动的质量块，存在三个自由度即两个线位移和一个转角，相应地，每个质量块便有两个惯性力和一个惯性转矩，如果质量块的尺寸相对于梁的长度是较小的， 则可以忽略质量块的尺寸效应，即不计惯性转矩。因而转角也就可以不作为动力自由
结构动力学课程学习总结 本学期我们开了《结构动力学》课程，作为结构工程专业的一名学生，《结构动力学》是我们的一门重要的基础课，所以同学们都认真的学习相关知识。《结构动力学》是研究结构体系在各种形式动荷载作用下动力学行为的一门技术学科。它是一门技术性很强的专业基础课程，涉及数学建模、演绎、计算方法、测试技术和数值模拟等多个研究领域，同时具有鲜明的工程与应用背景。学习该门学科的根本目的是为改善工程结构系统在动力环境中的安全和可靠性提供坚实的理论基础。通过该课程的学习，可以掌握动力学的基本规律，有助于在今后工程建设中减少振动危害。 对一般的内容，老师通常是让学生个人讲述所学内容，课前布置他们预习，授课时采用讨论式，先由一名学生主讲，老师纠正补充，加深讲解，同时回答其他同学提出的问题。对较难或较重要的内容，由教师直接讲解，最后大家共同讨论教材后面的思考题，以加深对相关知识点的理解。 通过本课程的学习，我们了解到：结构的动力计算与静力计算有很大的区别。静力计算是研究静荷载作用下的平衡问题。这时结构的质量不随时间快速运动，因而无惯性力。动力计算研究的是动荷载作用下的运动问题，这时结构的质量随时间快速运动，惯性力的作用成为必须考虑的重要问题。根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为静力平衡问题来处理。但是，这是一种形式上的平衡，是一种动平衡，是在引进惯性力的条件下的平衡。也就是说，在动力计算中，虽然形式上仍是是在列平衡方程，但是这里要注意两个问题：所考虑的力系中要包括惯性力这个新的力、考虑的是瞬间的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。 我们首先学习了单自由度系统自由振动和受迫振动的概念，所以在学习多自由度系统和弹性体系的振动分析时，则重点学习后者的振动特点以及与前者的联系和区别，这样既节省了时间，又抓住了重点。由于多自由度系统振动分析的公式推导是以矩阵形式表达为基础的，我们开始学习时感到有点不适应,但是随着课程的进展，加上学过矩阵理论这门课后,我们自觉地体会到用矩阵形式表达非常有利于数值计算时的编程，从中也感受到数学知识的魅力和现代技术的优越性，这样就大大增强了我们学习的兴趣。
一．是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共 11分） 1 . (本小题 3分) 图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。（ ）. 2 . (本小题 4分) 用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。 （ ） 3 . (本小题 2分) 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。（ ） 4 . (本小题 2分) 用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。 （ ） 二．选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分） 图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（ ） A ．2/M ； B ．M ； C ．0； D. )2/(EI M 。 2. （本小题4分） 图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（ ） Ａ.ch; B.ci; C.dj; D.cj. 2
3. (本小题 4分) 图a 结构的最后弯矩图为： A. 图b; B. 图c; C. 图d; D.都不对。（ ） ( a) (b) (c) (d) 4. (本小题 4分) 用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。 ( ) 5. （本小题3分） 图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( ) Ａ．F P l 3 /(24EI); B. F P l 3 /(!6EI); C. 5F P l 3 /(96EI); D. 5F P l 3 /(48EI). 三（本大题 5分）对图示体系进行几何组成分析。 F P =1
结构力学知识点的归纳与总结 第一章 一、简化的原则 1. 结构体系的简化——分解成几个平面结构 2. 杆件的简化——其纵向轴线代替。 3. 杆件间连接的简化——结点通常简化为铰结点或刚结点 4. 结构与基础间连接的简化 结构与基础的连接区简化为支座。按受力特征，通常简化为： (1) 滚轴支座：只约束了竖向位移，允许水平移动和转动。提供竖向反力。在计算简图中用支杆表示。 (2) 铰支座：约束竖向和水平位移，只允许转动。提供两个反力。在计算简图中用两根相交的支杆表示。 (3) 定向支座：只允许沿一个方向平行滑动。提供反力矩和一个反力。在计算简图中用两根平行支杆表示。 (4) 固定支座：约束了所有位移。提供两个反力也一个反力矩。 5. 材料性质的简化——对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的 6. 荷载的简化——集中荷载和分布荷载 §1-4 荷载的分类 一、按作用时间的久暂 荷载可分为恒载和活载 二、按荷载的作用范围 荷载可分为集中荷载和分布荷载 三、按荷载作用的性质 荷载可分为静力荷载和动力荷载 四、按荷载位置的变化 荷载可分为固定荷载和移动荷载 第二章几何构造分析 几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的讨论的前提：不考虑材料的应变 2.1.2 运动自由度S S：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。 W：W= （各部件自由度总和 a ）－（全部约束数总和） W=3m-(3g+2h+b) 或w=2j-b-r.注意：j与h的区别 约束：限制体系运动的装置
2.1.4 多余约束和非多余约束 不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。 注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。 2.3.1 二元体法则 约束对象：结点 C 与刚片 约束条件：不共线的两链杆； 瞬变体系 §2-4 构造分析方法与例题 1. 先从地基开始逐步组装 2.4.1 基本分析方法(1) 一. 先找第一个不变单元，逐步组装 1. 先从地基开始逐步组装 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装 二. 去除二元体 2.4.3 约束等效代换 1. 曲(折)链杆等效为直链杆 2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰
《结构力学》课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《结构力学》（编号为06014）共有单选题,判断题,计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,几何构造分析等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题4]等试题类型未进入。 一、单选题 1.弯矩图肯定发生突变的截面是（）。 A.有集中力作用的截面； B.剪力为零的截面； C.荷载为零的截面； D.有集中力偶作用的截面。 2.图示梁中C截面的弯矩是（）。 4m2m 4m A.12kN.m(下拉)； B.3kN.m(上拉)； C.8kN.m(下拉)； D.11kN.m(下拉)。 3.静定结构有变温时，（）。 A.无变形，无位移，无内力； B.有变形，有位移，有内力； C.有变形，有位移，无内力； D.无变形，有位移，无内力。 4.图示桁架a杆的内力是（）。 A.2P； B.－2P； C.3P； D.－3P。 5.图示桁架，各杆EA为常数，除支座链杆外，零杆数为（）。 A.四根； B.二根； C.一根； D.零根。
P a l= a P P P 6 6.图示梁A点的竖向位移为（向下为正）（）。 A.) 24 /( 3EI Pl； B.) 16 /( 3EI Pl； C.) 96 /( 53EI Pl； D.) 48 /( 53EI Pl。 P EI EI A l/l/ 2 22 7.静定结构的内力计算与（）。 A.EI无关； B.EI相对值有关； C.EI绝对值有关； D.E无关，I有关。 8.图示桁架，零杆的数目为：（）。 A.5； B.10； C.15； D.20。 9.图示结构的零杆数目为（）。 A.5； B.6； C.7； D.8。 10.图示两结构及其受力状态，它们的内力符合（）。 A.弯矩相同，剪力不同； B.弯矩相同，轴力不同； C.弯矩不同，剪力相同； D.弯矩不同，轴力不同。
. ... . 院（系） 建筑工程系 学号 三 明 学院 姓名 . 密封 线 内 不 要 答 题 密封……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………结构力学试题答案汇总 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 图 示 体 系 的 几 何 组 成 为 ： （ A ） A. 几 何 不 变 ， 无 多 余 联 系 ； B. 几 何 不 变 ， 有 多 余 联 系 ； C. 瞬 变 ； D. 常 变 。 （第1题） （第4题） 2. 静 定 结 构 在 支 座 移 动 时 ， 会 产 生 ： （ C ） A. 力 ； B. 应 力 ； C. 刚 体 位 移 ； D. 变 形 。 3. 在 径 向 均 布 荷 载 作 用 下 ， 三 铰 拱 的 合 理 轴 线 为： （ B ） A ．圆 弧 线 ； B ．抛 物 线 ； C ．悬 链 线 ； D ．正 弦 曲 线 。 4. 图 示 桁 架 的 零 杆 数 目 为 ： （ D ） A. 6； B. 7； C. 8； D. 9。 5. 图 a 结 构 的 最 后 弯 矩 图 为 ： （ A ） A ．图 b ； B ．图 c ； C ．图 d ； D ．都不 对 。 6. 力 法 方 程 是 沿 基 本 未 知 量 方 向 的 ： （ C ） A ．力 的 平 衡 方 程 ； B ．位 移 为 零 方 程 ； C ．位 移 协 调 方 程 ； D ．力 的 平 衡 及 位 移 为 零 方 程 。
. ... . 二、填空题（每题3分,共9分） 1.从 几 何 组 成 上 讲 ， 静 定 和 超 静 定 结 构 都 是___几何不变____ 体 系 ， 前 者___无__多 余 约 束 而 后 者____有___多 余 约 束 。 2. 图 b 是 图 a 结 构 ___B__ 截 面 的 __剪力__ 影 响 线 。 3. 图 示 结 构 AB 杆 B 端 的 转 动 刚 度 为 ___i___, 分 配 系 数 为 ____1/8 ____, 传 递 系 数 为 ___-1__。 三、简答题（每题5分，共10分） 1.静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关？ 为什么？ 答：因为静定结构内力可仅由平衡方程求得，因此与杆件截面的几何性质无关， 与材料物理性质也无关。 2.影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？ 答：横坐标是单位移动荷载作用位置，纵坐标是单位移动荷载作用在此位置时物 理量的影响系数值。 四、计算分析题，写出主要解题步骤(4小题,共63分) 1.作图示体系的几何组成分析（说明理由），并求指定杆1和2的轴力。（本题16分） （本题16分）1.因为w=0 所以本体系为无多约束的几何不变体系。（4分） F N1=- F P （6分）； F N2=P F 3 10（6分）。 2.作 图 示 结 构 的 M 图 。（本题15分）
第一章单自由度系统 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒 定理法。 1、牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（ 1）对系统进行受力分析, 得到系统所受的合力； （ 2）利用牛顿第二定律m x F ,得到系统的运动微分方程； （ 3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（ 1）对系统进行受力分析和动量距分析； （ 2）利用动量距定理J M ,得到系统的运动微分方程； （3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（ 1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程( L )L =0，得到系统的运动微分方程； dt （3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（ 1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能 U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即d(T U ) 0 ，进一步得到系 dt 统的运动微分方程； （3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（ 1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 A i、 A i 1。 （2）由对数衰减率定义ln( A i) ，进一步推导有 A i1 2 ， 2 1
结构力学复习题 一、填空题。 1、在梁、刚架、拱、桁架四种常见结构中，主要受弯的是和，主要承受轴力的是和。 2、选取结构计算简图时，一般要进行杆件简化、简化、简化和简化。 3、分析平面杆件体系的几何组成常用的规律是两刚片法则、和二元体法则。 4、建筑物中用以支承荷载的骨架部分称为，分为、和三大类。 5、一个简单铰相当于个约束。 6、静定多跨梁包括部分和部分，内力计算从部分开始。 7、刚结点的特点是，各杆件在连接处既无相对也无相对，可以传递和。 8、平面内一根链杆自由运动时的自由度等于。 二、判断改错题。 1、三刚片用三个铰两两相联必成为几何不变体系。（） 2、对静定结构，支座移动或温度改变会产生内力。（） 3、力法的基本体系必须是静定的。（） 4、任何三铰拱的合理拱轴都是二次抛物线。（） 5、图乘法可以用来计算曲杆。（） 6、静定结构的影响线全部都由直线段组成。（） 7、多跨静定梁若附属部分受力，则只有附属部分产生内力。（） 8、功的互等定理成立的条件是小变形和线弹性。（） 9、力法方程中，主系数恒为正，副系数可为正、负或零。（） 三、选择题。 1、图示结构中当改变B点链杆方向（不能通过A铰）时，对该梁的影响是（） A、全部内力没有变化 B、弯矩有变化 C、剪力有变化 D、轴力有变化 2、图示桁架中的零杆为（） A、DC, EC, DE, DF, EF B、DE, DF, EF C、AF, BF, DE, DF, EF D、DC, EC, AF, BF
3、右图所示刚架中A 支座的反力A H 为（ ） A 、P B 、2P - C 、P - D 、2 P 4、右图所示桁架中的零杆为（ A 、CH BI DG ,, B 、DE , C 、AJ BI BG ,, D 、BG CF ,, 5、静定结构因支座移动，（ ）A 、会产生内力，但无位移 B 、会产生位移，但无内力 C 、内力和位移均不会产生 D 、内力和位移均会产生 6A 、θδ=+ a c X B 、θδ=-a c X C 、θδ-=+a c X D 、θδ-=-a c X 7、下图所示平面杆件体系为（ ） A 、几何不变，无多余联系 B 、几何不变，有多余联系 C 、瞬变体系 D 、常变体系
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，
结构动力学课程总结与进展综述 首先谈一下我对高等结构动力学课程的认识。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展,是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算,又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算,又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算。我们是航空院校，当然我们所修的高等结构动力学主要针对的是飞行器结构。这门课程很难，我通过课程和考试学到了不少东西，当然,也有很多东西不懂,我的研究方向是动力学结构优化设计,其中我对于目前的灵敏度分析研究比较感兴趣，这门课程是我以后学习的基础。 二十世纪中叶,计算机科学发展迅速,有限元方法得到长足进步，使得力学，特别是结构力学的研究方向发生了重大变化,研究范围也得以拓宽。长期处于被动状态的结构分析，转化到主动的结构优化设计，早期的结构优化设计，考虑的是静强度问题。但实践指出,许多工程结构,例如飞行器,其重大事故大多与动强度有关。同理,在航天、土木、桥梁等具有结构设计业务的工作部门,运用结构动力学优化设计技术，必将带来巨大的经济效益。20世纪60年代，动力学设计也称动态设计（ｄｙnamic deｓiｇn）开始兴起，但真正的发展则在八、九十年代,现正处于方兴未艾之际。“动态设计”一词常易引起误解，逐被“动力学设计”所取代。进入9０年代以来,结构动力学优化设计的研究呈现出加速发展的态势,在许多方面取得了令人耳目一新的成果。尽管如此，它的理论和方法尚有待系统和完善,其软件开发和应用与工程实际还存在着较大的距离,迄今尚存在着许多未能很好解决甚至尚未涉足的问题。因此,结构动力学优化设计今后的研究任重而道远,将充满众多困难和障碍,面临各种新的挑战,但它的学术价值和发展前景也异常诱人和辉煌。 在结构动力学优化设计的初期采用的是分布参数设计法,它属于解析方 法,Niordson率先应用此种方法研究了简支梁固有频率最大化的设计问题,利用拉
结构力学主要知识点 一、基本概念 1、计算简图：在计算结构之前，往往需要对实际结构加以简化，表现其主要特点，略去 其次要因素，用一个简化图形来代替实际结构。通常包括以下几个方面： A、杆件的简化：常以其轴线代表 B、支座和节点简化： ①活动铰支座、固定铰支座、固定支座、滑动支座； ②铰节点、刚节点、组合节点。 C、体系简化：常简化为集中荷载及线分布荷载 D、体系简化：将空间结果简化为平面结构 2、结构分类： A、按几何特征划分：梁、拱、刚架、桁架、组合结构、悬索结构。 B、按内力是否静定划分： ①静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定。②超静定结构：只靠平衡条件还不能确定全部反力和内力，还必须考虑变形条件才能确定。二、平面体系的机动分析 1、体系种类 A、几何不变体系：几何形状和位置均能保持不变；通常根据结构有无多余联系，又划分为无多余联系的几何不变体系和有多余联系的几何不变体系。 B、几何可变体系：在很小荷载作用下会发生机械运动，不能保持原有的几何形状和位置。常具体划分为常变体系和瞬变体系。 2、自由度：体系运动时所具有的独立运动方程式数目或者说是确定体系位置所需的独立 坐标数目。 3、联系：限制运动的装置成为联系（或约束）体系的自由度可因加入的联系而减少，能减少一个自由度的装置成为一个联系 ①一个链杆可以减少一个自由度，成为一个联系。②一个单铰为两个联系。 4、计算自由度：W 3m (2h r ) ,m为刚片数，h为单铰束，r为链杆数。 A 、 W>0, 表明缺少足够联系，结构为几何可变； B、 W=0 ，没有多余联系； C、 W<0, 有多余联系，是否为几何不变仍不确定。 5、几何不变体系的基本组成规则： A、三刚片规则：三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。 B、二元体规则：在一个刚片上增加一个二元体，仍未几何不变体系，而且没有多余联系。 C、两刚片原则：两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，为几何不变体系，而且 没有多余联系。 6、虚铰：连接两个刚片的两根链杆的作用相当于在其交点处的一个单铰。虚铰在无穷远 处的体系分析可见结构力学 P20，自行了解。 7、静定结构的几何构造为特征为几何不变且无多余联系。 三、静定梁与静定钢架 1、内力图绘制： A、内力图通常是用平行于杆轴线方向的坐标表示截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示
2012年9月份考试结构力学（二）第三次作业 一、填空题（本大题共20分，共 10 小题，每小题 2 分） 1. 位移法方程中的系数是由______定理得到的结果。 2. 对图示结构作内力分析时，应先计算 ______ 部分，再计算 ______ 部分 3. 图示结构K截面的弯矩M K=＿＿＿＿＿。 4. 设一体系的总势能为Ⅱ，则该体系处于随遇平衡时的能量特征是________。 5. 图示梁A支座发生顺时针单位转角，C支座发生逆时针单位转角，所引起的AB杆A端的弯矩（以下侧受拉为正）MAB=____ _________。 6. 根据几何组成分析，图示平面体系为：。 7. 图示梁受分布集度为q的均布活荷作用，欲使Mk最大，应使荷载分布于
_______部分上。 8. 忽略轴向变形，图示体系动力自由度为_________。 9. 阻尼对单自由度体系自由振动自振频率、周期及振幅的影响是，其中对 ______ 影响小，可忽略不计；对 ______ 的影响较大。 10. 当截面上全部纤维的应力均达到材料的屈服极限时，截面上弯矩称为 ______ 。 二、作图题（本大题共30分，共 3 小题，每小题 10 分） 1. 画出图示静定多跨梁弯矩MA、Mk、剪力QD左的影响线，并求出在何任意分布的均布荷载q=20kN/m作用下Mk的最大值。 2. 画出图示梁反力RB、弯矩MA的影响线。 3. 作如图所示静定梁RA、MB、QE左、QE右的影响线。 三、计算题（本大题共30分，共 3 小题，每小题 10 分） 1.
2. 求图示结构的自振频率和周期。 3. 用矩阵位移法求图示连续梁结点3的综合结点荷载。 四、简答题（本大题共20分，共 2 小题，每小题 10 分） 1. 几何组成分析 2. 对体系进行几何组成分析 答案：