高斯消元法解线性方程组

高斯消元法解线性方程组

在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。

一、线性方程组

设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m

11112211211222221122+++=+++=+++=??????? （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1,

b 2, …, b m 不全为0时，

称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即

a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000

+++=+++=+++=??????? （3.2） 称为齐次线性方程组。

由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。

（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）

非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：

AX = B

其中

A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ????????????n x x x 21，

B = ?????

???????n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵

][B A =????????????m mn m m n n b b b a a a a a a a a a 2121

2222111211 称为方程组（3.1）的增广矩阵。

齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX = O

二、高斯消元法

（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。）

定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D 是同解方程组。

证 由定理3.1可知，存在初等矩阵P 1, P 2, …, P k ，使 P k …P 2P 1()A B = ()C D 记P k …P 2P 1 = P ，则P 可逆，即P -1存在。 设X 1为方程组A X = B 的解，即 A X 1 = B 在上式两边左乘P ，得 P A X 1 = PB 即 C X 1= D 说明X 1也是方程组C X = D 的解。反之，设X 2为方程组C X = D 的解，即 C X 2= D 在上式两边左乘P -1，得 P -1C X 2= P -1D 即 A X 2 = B 说明X 2也是方程组AX = B 的解。 因此，方程组A X = B 与C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。（证毕）

(由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵

][B A 化简。又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将][B A 化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：)

用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵][B A 化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为高斯消元法，

（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。）

例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221

+--=-+--=-++=-++-=??????? （3.3） 解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即

][B A =????????????--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+?→???()()132?????

???????---------13340577401114011211 ③②

④②++-?→???()1????????????--------22200666001114011211④③+?→???()13????????????-----000

00666001114011211

上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为

x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=????

? 将最后一个方程乘16

，再将x 4项移至等号的右端，得 x x 341=-+

将其代入第二个方程，解得

212=x

再将x x 23,代入第一个方程组，解得

2141+-=x x

因此，方程组（3.3）的解为

?????+-==+-=1212143

241x x x x x （3.4）

其中x 4可以任意取值。

由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到

方程组（3.3）的一个解（如x 112=-，x 212

=，x 30=，x 41=），称之为方程组（3.3）的特解。

注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。

如果将表示式（3.4）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（3.3）的一般解为

???????=+-==+-=k

x k x x k x 43

2112121 ，其中k 为任意常数。 用矩阵形式表示为

????????????+-+-=????????????k k k x x x x 121214321=?????

???????+????????????--0121211101k （3.5） 其中k 为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。

（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，

????????????-----00000666001114011211③①③②③162++?→???????

???????00000111002004011011 ②①②141+-?→???()?????

???????0000011100210010211001 上述矩阵对应的方程组为

?????=+==+1212143

241x x x x x

将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解，

?????+-==+-=12

12143

241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。

例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 1231231

23123234235743992588

+-=+-=+-=+-=???????

解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。即

[]B A =????????????----8852993475324321→?????

???????------0210735011104321 →????????????-------1100220011104321→?????

???????---0000110011104321 →????????????0000110020107021→?????

???????0000110020103001 一般解为

x x x 123

321===?????

例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=????

? 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A

化成阶梯阵，再求解。即 []B A =??????????---315224211111→????

??????--133033301111

→????

??????--200033301111

阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。

三、线性方程组的解的判定

前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。

r A ()r A B ()

推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()= n 。

推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()

例4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？

(1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=??????? (2) x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325

+-=---+=-+=-++=??????? (3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325

+-=---+=-+=-++=??????? 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即

[A B ]=????????????------42136132711111321→ ?????

???????-------2977028770421011321 →?????

???????------10000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。

(2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即

[A B ]=????????????------52136132721111321→ … →????????????----00

000000411011321 因为 r A B ()=r A ()=2

(3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即

[A B ]=????????????------52136132711111321→… →?????

???????-----00000700421011321 因为 r A B ()=r A ()= 3 = n ，所以方程组有唯一解。

例5 判别下列齐次方程组是否有非零解？ （机动）

x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123437802544037230412160

+--=+++=----=+--=??????? 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即

A =????????????--------161241327344528731→?????

???????-------85102723202018108731 →????????????---1213001313002018108731→?????

???????----10001313002018108731 因为 r A ()= 4 = n ，所以齐次方程组只有零解。

MATLAB代码 解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

高斯列主元消元法解线性方程组

高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解

用高斯消元法求解线性代数方程组

用高斯消元法求解线性代数方程组 1234111 5 -413-2823113-2104151 3-21719x x x x ??????????????????=?????? ?????? ?????? 1111X *??????=?????? （X*是方程组的精确解） 1 高斯消去法 1.1 基本思想及计算过程 高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。 为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。 ??? ??=++II =++I =++III) (323034)(5 253)(6432321 321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（2 3 - ）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（2 4- ）后加到方程（III ）上 去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组 ?? ? ??=+-II -=-I =++III) (20 223)(445.0)(6 4323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（ 5 .03 ）后加于方程（III ），得同解方程组： ?? ? ??-=-II -=-I =++III) (42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。 下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。

数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’； 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法： 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x，弱到100次还没到，警告不收 结束

程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d)100 warning('不收敛'); end end x=x0;

程序结果（1）

（2）

Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if ij U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化G d=(D+L)\b;%初始化d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)

求解线性方程组——超松弛迭代法(c)

求解线性方程组——超松弛迭代法 #include #include using namespace std; float *one_array_malloc(int n); //一维数组分配float **two_array_malloc(int m,int n); //二维数组分配float matrix_category(float* x,int n); int main() { const int MAX=100;//最大迭代次数 int n,i,j,k; float** a; float* x_0; //初始向量 float* x_k; //迭代向量 float precision; //精度 float w; //松弛因子 cout<<"输入精度e:"; cin>>precision; cout<>n; a=two_array_malloc(n,n+1); cout<>a[i][j]; } } x_0=one_array_malloc(n); cout<>x_0[i]; } x_k=one_array_malloc(n);

cout<<"输入松弛因子w (1>w; float temp; //迭代过程 for(k=0;k

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量 ) 1(+k i x 时，用最新分量 ) 1(1 +k x ， ???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量 ) (1 k x ， ???) (2 k x ) (1 -k i x ，可以起 到节省存储空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 ) ()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=，

则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+) () 1( 其迭代格式为 T n x x x x ) ()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， ) (1 1 1 1 1 )()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图

迭代法解线性方程组

迭代法解线性方程组作业 沈欢00986096 北京大学工学院，北京100871 2011年10月12日 摘要 由所给矩阵生成系数矩阵A和右端项b，分析系数矩阵A，并用Jacobi迭代法、GS迭代法、SOR(逐步松弛迭代法)解方程组Ax=b 1生成系数矩阵A、右端项b,并分析矩阵A 由文件”gr900900c rg.mm”得到了以.mm格式描述的系数矩阵A。A矩阵是900?900的大型稀 疏对称矩阵。于是，在matlaB中，使用”A=zeros(900,900)”语句生成900?900的零矩阵。再 按照.mm文件中的描述，分别对第i行、第j列的元素赋对应的值，就生成了系数矩阵A，并 将A存为.mat文件以便之后应用。 由于右端项是全为1的列向量，所以由语句”b=ones(900,1)”生成。 得到了矩阵A后，求其行列式，使用函数”det(A)”,求得结果为”Inf”,证明行列式太大，matlaB无法显示。由此证明，矩阵A可逆，线性方程组 Ax=b 有唯一解。 接着，判断A矩阵是否是对称矩阵(其实，这步是没有必要的，因为A矩阵本身是对称矩阵，是.mm格式中的矩阵按对称阵生成的)。如果A是对称矩阵，那么 A?A T=0 。于是，令B=A?A T,并对B求∞范数。结果显示： B ∞=0,所以，B是零矩阵，也就是：A是对称矩阵。 然后，求A的三个条件数： Cond(A)= A ? A?1 所求结果是，对应于1范数的条件数为：377.2334;对应于2范数的条件数为：194.5739;对应 于3范数的条件数为：377.2334; 1

从以上结果我们看出，A是可逆矩阵，但是A的条件数很大，所以，Ax=b有唯一解并且矩阵A相对不稳定。所以，我们可以用迭代方法来求解该线性方程组，但是由于A的条件数太大迭代次数一般而言会比较多。 2Jacobi迭代法 Jacobi迭代方法的程序流程图如图所示： 图1:Jacobi迭代方法程序流程图 在上述流程中，取x0=[1,1,...,1]T将精度设为accuracy=10?3，需要误差满足： error= x k+1?x k x k+1

消元法解线性方程组

消元法解线性方程组 学校：青海师范大学 院系：数学系 专业：数学与应用数学 班级：10B 指导教师：邓红梅 学号：20101611218 姓名：梅增旺

摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。 关键字：线性方程组消元法求解 Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and the unknown element number and the number of equations can be hundreds, so itis important in the theory, its application is very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone has a contact, the basic idea ofelimination method is through the elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations. Keywords:elimination method for solving linear equations

线性方程组的Guass消元法求解

西京学院数学软件实验任务书 课程名称数学软件实验班级数学0901 学号0912020112 姓名*** 实验课题 线性方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全 主元消去法 实验目的熟悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法 实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成 实验内容线性方程组高斯消去法 线性方程组高斯列主元消去法线性方程组高斯全主元消去法 成绩教师

实 验 报 告 实验名称：Guass 消元法编程求解线性方程 实验目的：进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路 学习matlab 编程 实验要求： 已知：线性方程矩阵 输出：线性方程组的解 程序流程： 输入矩阵 调用函数求解矩阵 输出方程组的解 实验原理： 消元过程： 设0) 0(11 ≠a ，令乘数) 0(11 ) 0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操 作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ） 则第i 个方程变为1 )1(2)1(2 ...i n in i b x a x a =++ 这样消去第2，3，… ，n 个方程的变元i x 后。原线性方程组变为 ?? ?? ? ????=++=++=++) 1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . ... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a

这样就完成了第1步消元。 对线性方程组中有第2，3，.。。。N 个方程组成的n —1元线性方程组做同样的处理，消去其除第一个方程组之外的所有变元2x ，可得到 ???? ?? ? ??????=++=++=++=++)3()3(3)3(3)2(3)2(33)2(33)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . . ... ... ...n n nn n n n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a b x a x a 依次类推，当做到n-1步消元后，就完成了Guass 消元过程，得到上三角方程组 实验内容：利用Guass 消元操作的原理，求解线性方程组 ?? ?? ? ????==++=++--) 1()1()1(2)1(22)1(22) 0(1)0(11)0(11 . . ... ...n n n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a 回代过程： 在最后的一方程中解出n x ，得：) 1() 1(/--=n nn n n n a b x 再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解： 其通项为3, (1) -n 2,-n k /)() 1(1 )1()1(=- =-+=--∑k kk n k j j k kj k k k a x a b x 流程图如下：

MATLAB之GAUSS消元法解线性方程组

Matlab之Gauss消元法解线性方程组 1.Gauss消元法 function x=DelGauss(a,b) %Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k);%计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1%回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);

end Example: >>A=[1.0170-0.00920.0095;-0.00920.99030.0136;0.00950.0136 0.9898]; >>b=[101]'; >>x=DelGauss(A,b) x= 0.9739 -0.0047 1.0010 2.列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) %Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0;%选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return;

(完整版)解线性方程组的消元法及其应用

解线性方程组的消元法及其应用 （朱立平 曲小刚） ● 教学目标与要求 通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵. ● 教学重点与难点 教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. ● 教学方法与建议 先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的. 引例 解线性方程组 ??? ??=+-=+=++132724524321 21321x x x x x x x x )3()2()1( 解 （1）???→??)2()1(?????=+-=++=+13245247 232132121x x x x x x x x )3()2()1(????→?+-?+-?) 3()2()1()2()4()1(?????-=+-=+=+133524567232 3221x x x x x x )3()2()1(

????→?+-?)3()65 ()2(??????? =--=+=+76 724567233221x x x x x )3()2()1( 用回代的方法求出解即可. 问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法. 2.矩阵的初等变换 定义1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵. 定义2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换： i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作j i r r ?）， ii. 用数0≠k 乘矩阵的某行的所有元素（例如第i 行乘k ，记作i kr ）， iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作j i kr r +）. 同理可以定义矩阵的初等列变换. 定义 3 如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作 A ~ B . 注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵. 3. 高斯消元法 对于一般的n 阶线性方程组 ?????? ?=++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 )()2()1(n （3.1） 若系数行列式0det ≠A ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下： 第一步，设方程（1）中1x 的系数01≠l a 将方程)(l 与（1）对调，使对调后的第一个方程1x 的系数不为零.作)1(11 1 a a i i - ),3,2(n i Λ=，得到同解方程组 ?? ? ????=++=++=+++)1()1(2)1(2) 1(2 )1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 第二步，设0) 1(22≠a ，保留第二个方程，消去它以下方程中的含2x 的项，得

实验解线性方程组的基本迭代法实验

数值分析实验报告

0 a 12 K a 1,n 1 K a 2,n 1 U O M 则有： 第一步： Jacobi 迭代法 a 1n a 2n M , 则有： A D L U a n 1,n Ax b A A x D b L U (D L U)x b Dx (L U)x b x D (L U)x D b 令 J D (L U) 则称 J 为雅克比迭代矩阵 f D b 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 x (k 1) Jx (k) f ,k 0,1,2,L 第二步 Gauss-Seidel 迭代法 Ax b (D L U )x b (D L)x Ux b x (D L) Ux (D L) b A D L U a 11 a 12 L a 1n a 11 A a 21 a 22 L a 2n a 22 M MM MO a n1 a n2 L a nn a 11 得到 D a 22 O a nn 由 a 21 0 M M O a n 1,1 a n 1,2 L 0 a nn a n1 a n2 L a n,n a 21 L M M O a n 1,1 a n 1,2 L a n1 a n2 L a n,n 1 a 12 K a 1,n 1 a 1n 0 K a 2,n 1 a 2n O M M a n 1,n 10

令 G (D L) U ，则称G 为Gauss-Seidel 迭代矩阵 f (D L) b 由此可得 Gauss-Seidel 迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 第三步 SOR 迭代法 w0 AD L U 1 ( D 1 wL ((1 w)D wU )) (D 1 wL) ((1 w)D wU ) w w w 令M w 1 (D wL), N 1 ((1 w)D wU )则有：A MN w w Ax b AM L W N M (M N )x b Mx Nx b x M Nx M b N M, 令W f Mb 带入 N 的值可有 L W ((1 w)D wU) (D wL) 1((1 w)D wU) (D wL) f 1 b w 1(D wL) 1b 1 (D wL) w 称 L W 为 SOR 迭代矩阵，由此可得 SOR 迭代的迭代格式如下： x (0) ,初始向量 二、算法程序 Jacobi 迭代法的 M 文件： function [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps) %************************************************* %函数名称 Jacobi 雅克比迭代函数 %参数解释 A 系数矩阵 % b 常数项 % x0 估计解向量 x (k 1) Gx (k) f ,k 0,1,2,L (k 1) f,k 0,1,2,L

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪 费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量) 1(+k i x 时， 用最新分量) 1(1 +k x ，???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量)(1k x ，???) (2 k x ) (1-k i x ，可以起到节省存储 空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 )()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+)()1( 其迭代格式为 T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， )(1111 1 )() 1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)() 1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图

C++课程设计高斯消元法求线性代数方程组的解

河北工业大学计算机软件技术基础（VC）课程设计报告 学院管理班级管理104班姓名杨立宝 __ 学号 101707____ 成绩 __ ____ 一、题目： 求线性代数方程组的解（高斯消去法）（C13） 二、设计思路 1、总体设计 1）分析程序的功能 第一：编写输入程序，通过键盘先输入对应的已知量及函数的大小n和系数a[i]和得数b[i]。 第二：编写中间程序，通过函数的调用先定义线性代数方程，然后通过程序求出方程的梯形矩阵系数，并最终得出结果。 第三编写输出程序，输出最终结果。 2）系统总体结构：设计程序的组成模块，简述各模块功能。 模块一：各函数的具体内容 A：三个输入函数，分别输入n，一维数组，二维数组。即输入已知量。 B：中间运算函数，计算是使得方程系数所成的矩阵成梯形矩阵，未知数的结果。即计算中间变量及结果。 C：最后输出函数，输出最后计算结果。 模块二：各函数原型的声明 a写头文件。 b变量声明:存放输入数据的数组的声明，存放中间变量的数组的声明，存放运算结果的数组的声明。分别存放对应数据。 c输入有关操作的文字 d函数调用，在运算中自动调用对应的函数解决对应问题。 模块三:主函数 2、各功能模块的设计：说明各功能模块的实现方法 模块一：各个函数的声明，直接声明。 模块二：各函数都通过for循环来实现各个数组之间的基本运算。 3、设计中的主要困难及解决方案 在这部分论述设计中遇到的主要困难及解决方案。 1）困难1 函数调用是怎么用？ 解决方案： 仔细阅读课本，以及同学之间的讨论，和老师的帮助。

4、你所设计的程序最终完成的功能 1）说明你编制的程序能完成的功能 输入线性代数的系数后，运行程序即可得到梯形矩阵和结果。 2）准备的测试数据及运行结果 三、程序清单 如果是使用一个文件完成的程序，只需列出程序代码。 如果是使用多文件完成的程序，首先说明程序中的代码存放在哪些文件中，说明文件名（例如：本程序包含first.cpp、second.cpp、third.cpp和all.h四个文件）；然后依次给出每个文件名及该文件清单，例如： #include const N= 10 ;//设定矩阵大小范围 /* * 使用已经求出的x，向前计算x（供getx()调用） * double a[][] 系数矩阵 * double x[] 方程组解 * int i 解的序号 * int n 矩阵大小 * return 公式中需要的和 */ double getm(double a[N][N], double x[N], int i, int n) { double m = 0; int r; for(r=i+1; r

作业一 高斯消元法和列主元消元法

用高斯消元法和列主元消去法求解线性代数方程组 （X*是方程组的精确解） 1 高斯消去法 1.1 基本思想及计算过程 高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。 为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。 ??? ??=++II =++I =++III) (323034)(5 253)(6 432321 321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（2 3 - ）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（2 4- ）后加到方程（III ）上 去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组 ?? ? ??=+-II -=-I =++III) (20 223)(445.0)(6 4323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（ 5 .03 ）后加于方程（III ），得同解方程组： ?? ? ??-=-II -=-I =++III) (42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。 下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。

??? ?? ??=++++=++++=+++++++1,3322111 ,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1） 如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得 ) 1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11 ) 0()1(1a a a ij j = ， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =) 0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式 ?? ? ????=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2) 1(1 ,2)1(22)1(22) 1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x （1-2） 其中n i a m a a ij i ij ij ,,2)1(1) 1( =?-=，1,,3,211 )1(1 1+== n j a a m i i 由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。 如果（1-2）中0) 1(22≠a ，则以) 1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为： ?? ? ??????=++=++=+++=+++++++)2(1 ,)2(3)2(3) 3(1,3)2(33)2(33) 2(1 ,2)2(23)2(232) 1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3） 针对（1-3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是： ?? ?? ?? ?? ? ????=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++) 1(1,)1()1() 1(1,)1()1() 1(1,1)1()1(11) 2(1 ,2)2(23)2(232) 1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

迭代法解线性方程组(C语言描述)

用Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的C语言源代码：#include #include #include struct Line{ int L; struct Row *head; struct Line *next; }; struct Row{ int R; float x; struct Row *link; }; //建立每次迭代结果的数据存储单元 struct Term{ float x; float m; }; struct Line *Create(int Line,int Row){ struct Line *Lhead=NULL,*p1=NULL,*p2=NULL; struct Row*Rhead=NULL,*ptr1,*ptr2=NULL; int i=1,j=1; float X; while(i<=Line){ while(j<=Row+1){ scanf("%f",&X); if(X!=0||j==Row+1){ ptr1=(struct Row*)malloc(sizeof(Row)); if(ptr1==NULL){ printf("内存分配错误!\n"); exit(1); } ptr1->x=X; ptr1->R=j; if(ptr2==NULL){ ptr2=ptr1; Rhead=ptr1; } else{

ptr2->link=ptr1; ptr2=ptr1; } } j++; } if(ptr2!=NULL){ ptr2->link=NULL; ptr2=NULL; } if(Rhead!=NULL){ p1=(struct Line*)malloc(sizeof(Line)); if(p1==NULL){ printf("内存分配错误!\n"); exit(1); } p1->L=i; p1->head=Rhead; if(p2==NULL){ Lhead=p1; p2=p1; } else{ p2->next=p1; p2=p1; } } i++; Rhead=NULL; j=1; } if(p2!=NULL) p2->next=NULL; return Lhead; } struct Line *Change(struct Line*Lhead,int n){ struct Line*p1,*p2,*p3,*p; struct Row*ptr; int i=1,k,j; float max,t; if(Lhead==NULL){ printf("链表为空!\n");