初中数学新课程标准教材
数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )
学校:
年级:
任课教师:
数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案
编订:XX文讯教育机构
二次根式的混合运算(教学设计)
教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。
教学建议
知识结构
重难点分析
本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础,同时又紧密地联系着整式、分式的运算,也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性,提高性综合学习;二次根式的运算和有理化的方法与技巧,能够进一步开拓学生的解题思路,提高学生的解题能力。
本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化,实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程,一般地,先确定分母的有理化因式,然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式,就可使分母有理化。所以对初学者来说,这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。
教法建议
1.在知识的引入上,可采取复习引入方式,比如复习有理数的混合运算或整式的运算。
2.在二次根式的加减、乘法混合运算中,要注意由浅入深的层次安排,从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用,逐渐从数过渡到带有字母的式。
3.在有理化因式教学中,要多出几组题目从不同角度要求学生辨别,并及时总结。
学生特点:实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高,基础扎实,思维活跃, ,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。
教材特点:本节课是在学习了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)和二次根式的有关运算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法)基础上,将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
鉴于学生的特点及教材的特点,本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法,以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下:(一)在师生互动方面,教师注重问题设计,注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始,出示书中例题1:
让学生先进行思考,解答。然后同学说出怎样进行。
强调:运算顺序及运算律和有理数相同。
(二)在学生与学生的互动上,教师注重活动设计,使学生学中有乐,乐中悟道。教师设计一组题目,让学生以竞赛的形式解答,然后以记成绩的方法让其它同学说出优点(简便方法及灵活之处)与错误。由于本节课主要以计算为主,对运算法则及规律性的基础知识,学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单,不会很感兴趣,所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础,提高学生的运算能力,如此这般设计。
(三)在个体与群体的互动方式上,教师注重合作设计,使学生学中有辩,辩中求同。如本节课中对重点问题:“分母有理化”的教学,出示一个题目,让学生思考,找个别学生说出自己的想法,然后其它同学补充完成。
学生的主体意识和自主能力不是生来就有的,主要靠教师的激励和主导,才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下,追求学生的认知活动与情感活动的协调发展,有效地唤起学生的主体意识,在和谐、愉快的情境中达到师生互动,生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教,促使学生乐学、会学、善学,从而优化课堂教学、提高教学质量,在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。
对二次根式混合运算新课引入的建议
复习:
1.计算:(1);(2) .
解:(1) (2)
= =
= ; = .
2.在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。
答:单项式与多项式相乘的法则是,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。用式子表示为
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多项式与多项式相乘的法则是,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项,再把所得的积相加。用式子表示为
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是单项式。
完全平方式是
;。
在实数范围内,整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用,运用乘法法则及乘法公式可以进行。引入新课。
对二次根式混合运算学法的建议
在进行时,也有一个与分式运算相比较的问题,有的时候,加上团式分解、约分等技巧,可以大大简化计算过程,这是要灵活运用的.因此,在本节学习时,可以适当结合11.1节的内容,复习一下在实数范围内分解因式的问题,如
这里再顺便提一下,如
这种变形不是原来意义上的因式分解,否则就无法进行到底了.可以说是借助因式分解的方法,或具体说成提出,等等.
一、教学目标
1.掌握.
2.掌握乘法公式在混合运算的应用.
3.通过,培养学生的运算能力.
4.通过例题由浅入深,层层深入,激发学生求知的欲望
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点:.
2.教学难点:混合运算的应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
1.复习,运算律及乘法分式,引导学生口答,并强调数的运算律在根式运算中的适用,引入例题.
2.通过例题由浅入深,层层深入,既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望;从例题的讲解中帮助寻找解题的方法,规律及注意点.
3.通过大量的练习,以期形成自己所掌握的知识.
七、教学步骤
(-)明确目标
前面学过二次根式的加减法的简单运算,但二次根式未必全是加减混合运算,它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么的法则是什么?又将怎样运用它进行化简计算,这就是本节课所要研究的问题—.
(二)整体感知
中,应注意运算的次序.这是进行二次根式混合运算的前提条件;通过适当地复习乘法分式,分母有理化知识,然后再进行的教学工作,将有助于更好地学习它;同样为了更好地理解还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比,以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识,达到事半功倍的作用.
第一课时
(-)教学过程
【复习】
运算律在二次根式混合运算中仍适用.
各种整式乘法的法则.
乘法公式:.
.
提问:加法的交换律、结合律各是怎样的?乘法的交换律、结合律、分配津各是什么?
强调数的运算律在根式运算中仍适用后,可引入例题.
【例题】
例1 计算:
(1);
(2).
解:略.
注:①加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于学生理解和掌握.②在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,而是先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.例如,没有对先进行化简的必要,使计算繁琐,而是应先进行乘法运算,通过约分达到化简的目的.例2 计算:
(1);
(2);
(3).
解:略.
注:①由学生观察算式,找出特征:两个数的和与这两个数差的积;两个数的和或差的平方,联想乘法公式,与多项式的乘法相类似,二次根式的和相乘,适用乘法公式时,运用乘法公式.
②复习乘法公式,可选做几个小题.如,等.
例3 计算:
(1);
(2).
解:略.
③引入有理化因式的概念
例如,与,与.
注:互为有理化因式是指两个代数式,其乘积不再含有二次根式.
可适当再举例说明,如与,与、与,但与就不是互为有理化因式.(二)随堂练习
计算:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8);
(9).
解:(1).
(2)
.(3)
.(4)
.(5)
.(6)
.(7).(8)
.(9)
.
(三)总结、扩展
对与整式的混合运算及数的混合运算比较,要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.
有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式.
练习:教材P198中1、2;教材P199中3.
(四)布置作业
教材P204中1、2、3.
(五)板书设计
标题
1.复习内容例3……
2.例题 3.有理化因式
例1…… 4.练习题
例2……
XX文讯教育机构
WenXun Educational Institution
教学过程 一、复习预习 学生活动:请同学们完成下列各题: 1.计算 (1)(2x+y)·zx (2)(2x2y+3xy2)÷xy 2.计算 (1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)?单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用. 新授课如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢??仍成立. 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,?当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式. 例1.计算: (1)(2)()÷ 分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,?所以直接可用整式的运 算规律.解:(1) 解:()÷÷÷ -3 2 二、知识讲解
考点1 1、几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 3、在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 易错点1 在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里
面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 三、例题精析 【例题1】 【题干】计算(1(2
16.3 二次根式的加减 师院附中李忠海 第2课时二次根式的混合运算 【知识与技能】 1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算; 2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算. 【过程与方法】 通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法. 【情感态度】 通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识. 【教学重点】 二次根式的混合运算. 【教学难点】 多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法. 一、情境导入,初步认识 问题我们知道:(x+y)·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2, (2x2y+3xy2)÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y, (x+y)(x-y)=x2-y2及(x+y)2=x2+2xy+y2,…… 试问:如果上述各式中的x,y分别代表着一个二次根式,我们会有哪些新的收获呢? 【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式,进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系,激发学生的求知欲望和探究意识. 二、思考探究,获取新知
探究1由(x+y)·z=x·z+y·z=xz+yz,你能求出的值吗?你是怎样做的? 探究2由,你能求出 的值吗?由此你有何发现?类似地,请解决以下几个小题. 【教学说明】让全班同学共同参与探究,相互交流,在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视,予以点拨,肯定学生的成绩,并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识,最后师生共同给出问题的结果. 【归纳结论】 1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同,即先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号. 2.在二次根式的运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 三、典例精析,掌握新知 例1 计算下列各题:
《二次根式的混合运算》教案 教学目标 知识与技能: 1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用. 2、会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化. 3、使学生会熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 过程与方法 讲练结合,通过例题由浅入深,层层深入,从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点. 情感态度与价值观 1、培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义. 2、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力. 教学重点
二次根式的混合运算. 教学难点 利用乘法公式进行计算及分母有理化. 教学过程 一、复习引入 1、对于实数我们学过哪些运算定律?分别用式子表示出来. (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)乘法交换律:ab=ba; (4)乘法结合律:(ab)c=(ac)b; (5)乘法对加法的分配律:(a+b)c=ac+bc. 1、单项式乘以多项式的法则是什么?(a+b)c=ac+bc; 多项式乘以多项式的法则是什么?(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+b d. 2、二次根式的加减法怎样计算?乘除法怎样计算?(口述)
(1)加减法:先化简每一个二次根式,再把被开数相同的二次根式的系数相加减,被开方数不变. (2)乘除法:利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质. a ? b =ab (a ≥0.,b ≥0) a b =a b (a>0,b ≥0) 1、以前我们学过哪些乘法公式? 平方差公式b a b a b a 22))((-=-+ 完全平方公式b a b a ab 2222)(+±=± 二、探究新知识 让学生阅读教材“做一做”,解决下面的问题. (1)在梯形面积的计算中,包含二次根式的哪几种运算?按什么顺序运算的? (2)计算过程中,每一步的依据是什么? (3)整个计算运算运用了哪些运算律和二次根式的哪些性质?引导学生归纳:二次根式的混合运算是根据实数的运算律和运算顺序进行的.
二次根式的混合运算 例1.设 3131+-的整数部分是a ,小数部分是b ,试求22a b +的值。 例2.若a 、b 、c 是△ABC 的三边,化简()()+--+++22c b a c b a ()()22b a c a c b --+-- 例3若x 、y 为实数,且y >322+-+-x x ,求11--y y x 的值。 例4计算:(22-3)2011( 22+3)2012. 例5若x =10-3,求代数式x 2+6x +11的值. 三. 【课堂练习】 ⑴(3+22)× 6 ⑵(827-53)· 6 (3)(3-22)(33-2)
(4)( 2 2-3)(3+2) (5)(25-32)(25+32) (6)(3-2) 2 (7)(32-45)2 (8)(3-22)(22-3) (9)(a-b)2(10)(1-23)(1+23)-(1+3)2 练习 1. 计算12(2-3)=. 2. 计算⑴(2+3)(2-3)=;⑵(5-2)2010( 5+2)2011=. 3. 计算: ⑴12(75+31 3-48) ⑵( 1 327-24-3 2 3)·12 ⑶(23-5)(2+3) ⑷(5-3+2)(5+3-2) ⑸(312-21 3+48)÷2 3
4. 已知a =3+2 ,b =3-2,求下列各式的值. ⑴a 2-b 2 ⑵1a -1b ⑶a 2-ab +b 2 5. 若x =3+1,求代数式x 2-2x -3的值. 五【能力拓展训练】 1计算: ⑴. 11 2 21231548333+-- ⑵. ()1485423313??-÷+-+ ??? ⑶()()()2743743351+--- ⑷. ()()()()222212131213++-- 2已知:1 110a a +=+,求221 a a +的值。
二次根式的混合运算教学案 教学内容:二次根式混合运算第一课 教学目标: 知识与技能 认识并掌握二次根式的混合运算与以前学习的整式的运算规则的 关系,能进行二次根式的混合运算。 过程与方法 新问题与旧方法通过比较,让学生把根式看作一个单项式而转变 问题,学会审题,寻求有效的计算方法。 情感态度与价值观 培养学生类比学习的思想,勤于动手细心计算的良好习惯。 教学重点:明确二次根式混合运算的先后顺序,正确使用乘法公式进行计算 教学难点:把二次根式化简和正确应用完全平方公式 学情分析:虽然学生前面学习了二次根式的加减乘除运算,但是对根式的化简仍然不熟练, 所以特别要加强巩固,设计了准备性练习,然后通过引发思考----自主探究,获取新方法,通过学生独立计算,交流合作,促进知识与能力的形成。 教学过程 1、指出本节课题及学习目标 (1)认识并掌握二次根式加、减、乘、除、乘方混合运算规则。 (2)正确运用乘法公式进行二次根式的有关运算。 2、PPT 知识准备 二次根式乘除加减的运算法则 完成下列计算:=?714 27 2232141=÷ 2231481483316 122+=++- 742525 12 4 =? 3、ppt 新课导入 知识迁移 提出思考 整式乘法用的字母若代表一个二次根式,我们会 同样进行计算吗? 请同学完成导学案”探究发现”的5个计算问题,然后学生在交流中发现问题,自我质疑,教师再根据学生反馈的情况进行强调。 探究发现 尝试完成下列计算 (一)利用乘法的分配律,仿照单项式乘多项式的法则 ( ÷ (二)利用整式乘法公式 ( )( )523 2-+ ( )( )353 5-+ () 2 252- 归纳结论:PPt 4、精讲点拔 教师讲解并PPt 展示。教师对各式分析,让学生去完成计算。 例题一 : (1 )?÷ ? ) 2 - (2 ( 2 +(3) ( ) 3 68? +
● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件: ● 2、二次根式的双重非负性: ● 3、二次根式的平方公式: ● 4、二次根式的开方公式: ● ● 5、二次根式的乘法公式: ● 6、二次根式的除法公式: ● 7、最简二次根式: ● 8、同类二次根式: ● 9、二次根式的加法运算步骤: (1)先 ● (2)再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤:(1)先 ● (2)再 ● 11、二次根式的混合运算:先乘方,再乘除,最后算加减;如果有括号,就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算:() ._______)62 1 (_______;5 .222 =- =- ● 2、化简:4 1 6 = ,3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是______。 ● 4、若2 2 )2()2(-=-x x ,则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3- __________ 。 ● 7、计算: () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9. ● 10是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. ● 11.分母有理化