二次根式混合运算125题（含答案）1、
2、
3、
4、
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6、
7、．
8、
9、．
11、．
12、；
13、；
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17、．
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20、；
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22、．
23、
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26、；
．
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28、；
；
29、
；
30、
31、；
（5）；
32、
33、；
34、；
35、
36、3﹣9+3
37、÷（3×）
38、
39、
40、；
．41、
43、
44、
45、；
46、．
47、（﹣）2﹣；
48、；
49、；
51、；
52、．
53、3﹣﹣+（﹣2）（+2）
54、
55、
56、
57、
59、2÷﹣（2﹣）2
60、﹣2+（﹣1）2
61、（+2）﹣．
62、
63、
64、
65、．
66、
69、
70、3﹣（﹣）
71、
72、﹣2
73、
74、
75、
76、
78、×+÷﹣
79、
80、
81、﹣．
82、
83、
84、
85、（+1）2﹣2
86、（+1）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）2
87、
88、
89、
90、；
91、．
92、；
93、；
；
94、
95、；
96、；
97、
98、|﹣|+﹣；
99、；
；
100、
101、（+）2008（﹣）2009．
102、；
103、；
104、．
105、（3+）÷；
106、
107、；
108、；109、．
111、（﹣）（+）+2
+|﹣3|﹣2﹣1（4）（﹣2）×﹣6 114、
115、（2﹣）；
116、
；117、
118、．
119、．
120、
121、
122、+6a；
﹣×．
123、
124、（2）（7+4）（7﹣4）+（2+）125、
参考答案
1、原式=2﹣3=﹣；
2、原式=×==30；
3、原式=2﹣12=﹣10．
4、原式==2．
5、原式===﹣6a．
6、原式=；
7、原式=（）2﹣（﹣1）2=2﹣（3﹣2+1）=
8、原式=．
9、．原式=（3﹣2+3）×=（+3）×=1+
10、原式=﹣+=；
11、原式=（4+）÷3=
12、原式=2+3﹣=；
13、原式==；
14、原式=（7+）（7+）=14×2=
15、原式==3+6﹣10=﹣1；
16、原式=2﹣=﹣2．
17、原式=﹣2+=3﹣2+=
18、原式=（3﹣2）（3+2）=18﹣12=6；
19、原式=（2﹣+）=（+）=+1
20、原式=﹣3?5÷=﹣15÷=﹣15；
21、原式=3+﹣2+﹣3=；
22、原式=3a+﹣2b
23、原式=3﹣2+1﹣（2﹣3）=5﹣2．
24、原式==
25、原式=2+1﹣（﹣）=3﹣1=2．
26、原式=17﹣（19﹣）=﹣2+；
29、原式=+2﹣10=；
30、原式=4﹣+=；
31、原式=6﹣5=1；
32、原式=12+18﹣12=；
33、原式=（2+）×﹣2=3﹣2=1；
34、原式=+×6﹣m=2m+3m﹣m=0；
35、原式=++1=﹣1++1=
36、原式=12=（12﹣3﹣+6）=；
37、原式=6÷（×）=6÷6=
38、原式=+3﹣2=3+3﹣2=3+．
39、原式=++×1=6+1+=7+．
40、原式=×3+6×﹣2x?=2+3﹣2=3；
41、原式=2﹣+3﹣2=2﹣2+1
42、原式=（6﹣+﹣2）÷2﹣3=3﹣+﹣﹣3=﹣+﹣；
43、原式===4
44、=（4÷2）=
45、原式=2+3﹣7=﹣2；
46、原式===14．
47、原式=10﹣7+=3+；
48、原式=×（2﹣+）=+×=+1；
49、原式=﹣1；
50、原式=2+3+2﹣（2﹣3）=5+2+1=6+2
51、原式=4+﹣4=；
52、原式=（4﹣2+6）÷=2+2
53、原式=6﹣3﹣+5﹣4=（6﹣3﹣）+1=+1
55、原式==．
56、原式=[﹣（﹣）][+（﹣）]=5﹣（﹣）2=5﹣（5﹣2）=2．
57、原式=4×2﹣16+12﹣16﹣8=﹣4﹣16；
58、原式=+﹣+3=
59、原式=2﹣（4﹣4+2）=2﹣6+4=6﹣6．
60、原式=×2﹣2×3+5﹣2+1=﹣6﹣2+6=6﹣7．
61、原式=a+2=2．
62、原式=；
63、原式=﹣+=﹣+=0．
64、=2+﹣2=．
65、=﹣=
66、原式=9﹣14+4=﹣；
67、原式=﹣43=﹣12=﹣11．
68、原式=2×=12；
69、原式=×3×=﹣；
70、原式=12﹣2+6=16；
71、原式=（4﹣2+6）×=2+2
72、原式=27÷（3×）×﹣8=3×﹣8=﹣8；
73、原式=（）2﹣（）2=3﹣（2+2+5）=﹣4﹣2
74、原式=3+8=11；
75、原式=2﹣12=﹣10；
76、原式=5+﹣6=0；
77、原式=÷=÷=1．
78、原式=﹣==4+=4+．
79、原式===；
80、原式==9+6=15
81、原式=（+）2﹣=3+2+2﹣=5+
82、原式==；
83、原式=；
84、原式=5﹣6=﹣1；
85、原式=4+=
87、原式=+4×﹣+1=++1=1+．
88、原式=（40）=30=15；
89、原式=2+2=2+．
90、原式===；
91、原式===12．
92、原式=2+2+4+2=；
93、原式=9﹣14+24=；
94、原式=（7+4）（7﹣4）+4﹣3=49﹣48+1=2；
95、原式=﹣4×+9﹣12﹣（）=﹣8+9﹣12﹣+1=﹣11；
96、原式=﹣+=2x+=；
97、原式=2a（b﹣×+）=2ab﹣+ab=
98、原式=﹣+3﹣5=2﹣4；
99、原式=12﹣4+1=13﹣4；
100、原式=2+﹣=；
101、原式=（）=
102、原式=3×2﹣2×3+5×4=6﹣6+20=20；
103、原式=7﹣3+2=6；
104、原式=?（﹣）×=﹣=﹣
105、原式=3÷+÷=3+=；
106、原式=3﹣1﹣=2﹣
107、原式=+1﹣×2=2+1﹣2=1；
108、原式=3﹣2+1﹣1=3﹣2；
109、原式=+4﹣3=
110、﹣1=﹣1=﹣1=0；
111、（）（）+2=﹣+2=5﹣7+2=0；
112、+|﹣3|﹣2﹣1=1+3﹣=3；
113、（﹣2）×﹣6=﹣4﹣=﹣9﹣=﹣
114、原式=4﹣5=﹣1；
115、原式=×=1；
116、原式=5﹣2﹣5+2=；
117、原式=4﹣2+﹣1=3﹣
118、原式==3﹣2=1．
120、原式=+1=
121、原式=3+6a=2a+3a=5a；
122、原式=﹣=﹣=3﹣2=1．
123、原式==12；
124、原式=49﹣48+2+=3+．
125、原式===．
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
二次根式运算典型例题分析 二次根式在中考中应用很广泛，现举几种运算供大家参考。 一、考查同级运算 例1= ． 分析：先将每个式子化简，再进行加减运算． = 点评：本题是同级运算中的二次根式的加减运算一般先化简，再合并同类二次根式． 例2 ） ． A 、2 B 、4 C 、8 D 、16 44． 点评：本题是同级运算中的二次根式的乘法运算，要注意运用法则进行计算． 例3．下列计算错误．． 的是( ) ． ． (D)3． 分析：先将每个选项分别进行同级运算，再进行选择，也可以直接观察而得解． 解：（A A ）对； （B B ）也对； （C 358a a a +=，故（C ）也对；因此应选D ． 也可以直接观察判断D 不对，从而选D ． 点评：二次根式的同级运算要注意运用法则，一般的顺序是从左向右运算． 2．考查混合运算 例4．（１）化简122 154＋?的结果是（ ）． （A ）（B ）（C （D ） （2的结果是（ ） A ．6 B ． C ．6 D ．12
（3）计算：8＋(－1)3－2×22 ． 分析：本题的几个小题都是二次根式的四则混合运算，但题目不难，只要按照规则运算即可． 解：（1）122154＋?D ）； （2）的计算结果也选（D ）； （3）8＋(－1)3－2×22=11-． 点评：二次根式混合运算遵循先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行，最后结果要化成最简二次根式，有时要注意一些方法技巧，可以简便计算．特别是第（3）小题计算时需要过程，考查了同学们的化简与计算能力，同时体现了数学能够帮助人们处理数据、进行计算，即义务教育的基础性． 3．考查求值计算 例5．先化简，再求值：22()()a a b a b +-+， 其中a =b = 分析：本题先将整式化简，再代入进行计算． 解：22()()a a b a b +-+=22222222a ab a ab b a b +---=-，当a =b = 原式22 22201120101a b =-=-=-=． 例6．下课了，老师给大家布置了一道作业题：当1x =时，求代数式222(1)(1)112x x x x x x ??-++÷+ ?-? ?的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得很久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程． 分析：本题看起来是一道较复杂的化简求值题，要将1x =+简单且与x 的取值无关，无需代入就得结果． 解：原式=22(1)(1)22(1)(1)x x x x x x +-?-+． 点评：化简求值题是常考题型之一，它往往要求的是先化简所给的式子，再将数值代入求值；有时不但要化简、变形所给的代数式而且还要化简所给的条件，本类型题目方法灵活多变，技巧性较强，有时较难，希望同学们多加练习． 4．考查探索猜想能力 例7．观察下列各式： ===请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来 ．
二次根式50道典型计算题 6. ))((36163--?- ； 7. 633 1 2?? ； 8. )(102 132531 -??； 9. z y x 10010101??-． 12. 5 2 1312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1 223÷?． 16. 已知：24 20-= x ，求2 21x x +的值．
18. 化简： ()2 ()3a - 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20. (231 ?++ ?
22.. (()2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111++- 24. 2 2 - 27. a b a b ??+--
28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：1 1a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简： 3y - 31. 已知 ()1 1 039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。
32（1）－645×（－448）；（2）（－64）×（－81）； （3）1452－242；（4）3c 2ab 5c2 ÷ 3 2 5b 2a 33. 化简： （1）2700；（2）；（3）16 81 ；（4） 8a2b c2 ． 34.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。 35. 若最简二次根式是同类二次根式，则______ a=。 36. 已知x y ==33_________ x y xy +=。
16.3.2二次根式的加减乘除混合运算 教学目标 含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 重点与难点 重点 二次根式的加减乘除混合运算． 难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学设计 一、复习导入 (学生活动)：请同学们完成下列各题． 计算： (1)(3x 2＋2x ＋2)·4x； (2)(4x 2－2xy)÷(－2xy)； (3)(3a ＋2b)(3a －2b)； (4)(2x ＋1)2＋(2x －1)2. 二、新课教授 由于整式运算中的x ，y ，a ，b 是字母，它的意义十分广泛，可以代表一切，当然也可以代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行计算． 【例1】计算： (1)(8＋3)×6； (2)(42－36)÷2 2. 分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律． 解：(1)(8＋3)×6＝8×6＋3× 6 ＝48＋18＝43＋32； (2)(42－36)÷2 2 ＝42÷22－36÷22＝2－32 3. 【例2】计算： (1)(2＋3)(2－5)； (2)(5＋3)(5－3)； (3)(3－2)2.
分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把5当作a，3当作b，就可以类比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)题可类比(a－b)2＝a2－2ab＋b2来计算． 解：(1)(2＋3)(2－5) ＝(2)2＋32－52－15 ＝2＋32－52－15 ＝－13－22； (2)(5＋3)(5－3) ＝(5)2－(3)2＝5－3＝2； (3)(3－2)2 ＝(3)2－2×3×2＋(2)2 ＝5－2 6. 三、巩固练习 教材第14页练习第1，2题． 【答案】第1题：(1)6＋10；(2)4＋22；(3)11＋55；(4)4.第2题：(1)9；(2)a－b；(3)7＋43；(4)22－410. 四、课堂小结 本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算． 作业习题16.3 4、6题 设计意图 1．情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运算，培养学生继续探究的兴趣．2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用．
一.选择题 1. 下列运算正确的是（） A．a+a=2a B．a6÷a3=a2 C．+=D．（a﹣b）2=a2﹣b2 2. 与不是同类二次根式的是（） A. B.
C. D.
3. 下列各式中运算正确的是（ ） A.2510)5225(-= ÷- B.529)52(2+=+ C.1)2 13 1)( 23(=- - D.c a b a c b a += +÷)( 4.(的运算结果是（ ） A ． 0 B. ()ab b a - C. ()ab a b - D. 25. 等腰三角形两边分别为32和25，那么这个三角形的周长是（ ） A.2534+ B.21032+ C.2534+或21032+ D.21034+ 二. 填空题 6.若最简二次根式与
是同类二次根式，则 . 7.设76,76,a b =+=-则20102011a b ?的值是_________ 8. 计算2﹣ 的结果是 ． 三 综合题 9.若x ，y 为实数，且y= ++． 求﹣ 的值． 1052的整数部分为a ，小数部分为,b 求2222 444a b a a b b -++的值.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 【解析】A 、a +a=（1+1）a=2a ，故本选项正确； B 、a 6÷a 3=a 6﹣ 3≠a 2，故本选项错误； C 、+=2+=3≠，故本选项错误； D 、（a ﹣b ）2=a 2+2ab +b 2≠a 2﹣b 2，故本选项错误． 2．【答案】A 3．【答案】A 4.【答案】B 【解析】注意运算技巧。 原式=()()a b b a b a a b +-=()()ab a b ab b a +-=()ab b a - 5．【答案】B 【解析】注意:分类讨论腰分别是23和52两种情况,但是当腰为23时， 232352+<， 所以这种情况不存在，只有腰为52一种情况，即23102+. 二、填空题 6.【答案】1；1 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+Q Q 又，所以1b = 7.【答案】76- 8.【答案】﹣2 ． 【解析】原式=2×﹣3 = ﹣3 =﹣2 . 三.解答题 9.【解析】解：由二次根式的有意义，得， 解得x=，故y=， ∴原式= ﹣ = ﹣ = ． 10.52的整数部分为a ，小数部分为,b 所以4a =，52452b =-=
16.3二次根式的加减 长郡中学 史李东 第2课时 二次根式的混合运算 一、新课导入 1.导入课题 整式四则运算的运算法则大家比较熟悉，那么二次根式的四则运算又该怎样进行呢？今天我们来学习二次根式的四则混合运算. 2.学习目标 熟练应用二次根式的加减乘除法运算法则及乘法公式进行二次根式的混合运算. 3.学习重、难点 重点：类比整式混合运算进行二次根式的混合运算. 难点：混合运算的顺序、运算律及乘法公式的灵活运用. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P14例3. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：类比多项式乘以(除以)单项式的法则学习例3. （4）自学参考提纲： ①()a b c +=ac bc +. ②()a b c +÷=.a c b c ÷+÷ ③ 运用①、②中的结论体会教材P14例3中两道题的算理. ④ 例3中第(2)题也运用了分配律吗？为什么？ ⑤ 计算： 2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学. 3.助学 （1）师助生：
①明了学情：了解学生是否领会例3中的算理，存在的疑点在哪里. ②差异指导：指导整式运算方法；例3第(2)题可写成(a+b)·c 的形式. （2）生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难之处. 4.强化：乘法分配律：()m a b ma mb +=+在二次根式运算中同样适用. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P14例4. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：类比多项式乘以多项式的运算法则和乘法公式学习例4. （4）自学参考提纲： ① (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. ② (a+b)(a-b)=a2-b2 . ③ (a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2. ④ 结合①②③说明例4中两题的算理. ⑤()()()()()222 2332232233232+=+??+=30126+. ⑥ 计算： 答案：上面6个小题答案依次为1155,4,9,743,22410.a b +-+-， 2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学. .助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生对教材例4中(1)、(2)计算的理由是否弄清楚. ②差异指导：指导学生按多项式乘法法则和乘法公式来体会例题中的计算依据. （2）生助生：同桌之间相互研讨. 4.强化 （1）整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算. （2）回顾本节所学知识点、数学思想方法及运算技巧. 三、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表交流学习方法、收获及存在的疑惑.
二次根式计算练习题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 214181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6. ))((36163--?-； 7. 63312??； 8. )(102132531- ??； 9. z y x 10010101??-．
10. 20245-； 11. 144 25081010??..； 12. 521312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1223÷?． 14. 2712135272 2-； 15. b a c abc 4322-． 16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f
()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 20. 21.. ( 231 ?+ ? 22.(()2771+-- 23.((((2222 1111+-
24. 22 - 28. 已知： x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a +=+221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且3y p ，化简： 3y -- 31. 已知11 039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）；
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平 方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，， 而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无 意义，而.
二次根式的四则混合运 算 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：授课时间：年月日(星期)
一、 知识回顾 1,计算: （12）（）÷ 2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 3．下列各等式成立的是（）． A ．． C ．． 二，新课讲解 二、探索新知 二次根式加减乘除混合运算时，等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并． 二次根式的运算： （1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减； （2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。 （3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。 1.计算： 15)3212 5(?+，)52)(103(-+，)23()23(-?+， 2)523(+，(＋2)×，12)323242731( ?-- )32)(532(+-，()－5)·，(－＋1)×2 (2－3)2011(2＋3)2012，，。(＋3)－) 12 32127---1112-?? ???，2 6)1(30--+-π 4b)+)-(3a)+)(a>0,b>0)，(2–5)(+)2,+)––b,)(a>0,b>0)
])251()251[(5 122--+，3232353135-+---+，)23)(36(23346++++ ◆【典型例题】 2.（1）若x ＝－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝＋1，求代数式x 2－2x －3的值. 3.下列何者是方程式（ ﹣1）x=12的解？（ ） A 、3 B 、6 C 、2﹣1 D 、3+3 4.设12211=112S ++,222 11=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+S ＝_________(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 5.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-21amn bn +=，则2a b +=. 6.先化简再求值。 ab b a a b ab b a b a b a -÷-++-+])() )((4 [，其中a=3，b=4 7、已知2323,232 3-+=+-=y x 求代数式22353y xy x +-的值 ◆【变式训练】 8.设2611-的整数部分为x ，小数部分为y ，求y y x 2++的值。 9.已知117-=a ，求19992345)1718172(-+--+a a a a a 的值 10.已知223-=x ，y 是x 的倒数，则22xy y x -的值为 11.已知232 3,232 3-+=+-=y x ，则22y x +的值为 12.已知75+的小数部分为a ，75-的小数部分为b ，则ab+5b= 13.若y m y 1+=，则y y 2 1+的结果为 ◆【巩固练习】 14.若22+=a a ，则=+a a 1
第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54
二次根式的混合运算 例1．设 3131+-的整数部分是a ，小数部分是b ，试求22a b +的值。 例2．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简()()+--+++22c b a c b a ()()22b a c a c b --+-- 例3若x 、y 为实数，且y ＞322+-+-x x ，求11--y y x 的值。 例4计算：(22－3)2011( 22＋3)2012. 例5若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值. 三． 【课堂练习】 ⑴(3＋22)× 6 ⑵(827－53)· 6 （3）(3－22)(33－2)
（4）( 2 2－3)(3＋2) （5）(25－32)(25＋32) （6）(3－2) 2 （7）(32－45)2 （8）(3－22)(22－3) （9）(a－b)2（10）(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 练习 1. 计算12(2－3)＝. 2. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝；⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝. 3. 计算： ⑴12(75＋31 3－48) ⑵( 1 327－24－3 2 3)·12 ⑶(23－5)(2＋3) ⑷(5－3＋2)(5＋3－2) ⑸(312－21 3＋48)÷2 3
4. 已知a ＝3＋2 ，b ＝3－2，求下列各式的值. ⑴a 2－b 2 ⑵1a －1b ⑶a 2－ab ＋b 2 5. 若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值. 五【能力拓展训练】 1计算： ⑴. 11 2 21231548333+-- ⑵. ()1485423313??-÷+-+ ??? ⑶()()()2743743351+--- ⑷. ()()()()222212131213++-- 2已知：1 110a a +=+，求221 a a +的值。
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< ● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件： ● 2、二次根式的双重非负性： ● 3、二次根式的平方公式： ● 4、二次根式的开方公式： ● ● 5、二次根式的乘法公式： ● 6、二次根式的除法公式： ● 7、最简二次根式： ● 8、同类二次根式： ● 9、二次根式的加法运算步骤： （1）先 ● （2）再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤：（1）先 ● （2）再 ● 11、二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算：() ._______)62 1 (_______;5 .222 =- =- ● 2、化简：4 1 6 = ，3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是＿＿＿＿＿＿。 ● 4、若2 2 )2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3- __________ 。 ● 7、计算： () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9． ● 10是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． ● 11．分母有理化 ● 12．已知x=3，y=4，z=5_______． ● 13=_________．（x ≥0） ● 14．化简二次根式号后的结果是_________． ● 15．在实数范围内分解因式①2x 2 －27＝________，②4x 4 －1＝________． ● 42．设a ，b ，c 为△ABC 的三边长，则2)(c b a --＋|a ＋b －c |＝________． ● 43．若0＜a ＜1，化简4)1 (2-+a a ＝________，a 3 1a ＝________． ● 46．当a <－b <1时，化简： 2 2) 1(1 )(++÷ ++b b a b b a 的结果为_____。 ● 选择题 ● 16、下列各式中不是二次根式的是 （ ） ● （A ）12+x （B ）4- （C ）0 （D ）()2b a - ● 17、下列运算正确的是 （ ） ● （A ）x x x 32=+ （B ）12223=- ● （C ）2+5=25 （D ） x b a x b x a )(-=- ● 18、下列二次根式中与24是同类二次根式的是( ) ● （A ） 18 （B ）30 （C ） 48 （D ） 54 ● 19、化简20032002 2323)() (+?-的结果为（ ） ● (A) –1 (B)23- (C)23+ (D) 23-- ● 20、2 2)(-化简的结果是( ) ● (A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 ● 21、使代数式8a a -+ 有意义的a 的范围是（ ） ● （A ）0>a （B ）0 二次根式计算专题训练 解答题（共 30 小题） 1．计算： （ 1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算： ﹣ 2| ﹣+（）﹣2 ．（2）﹣4 ﹣（﹣）． （ 1）（π﹣3.14） +| （ 3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （ 1） ++ （ 2）2﹣6 +3． 4．计算 （ 1）+﹣（2）÷×． （ 1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （ 1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）× （ 3） 2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （ 1）?（a≥0）（2）÷ （ 3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） （ 1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （ 1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （ 1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （ 3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （ 1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． ① 4 +﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （ 1）××（2）﹣+2 （ 3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （ 5）÷﹣×+（6）． 14．已知： a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （ 1） 9 +5﹣3；（2）2；（ 3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c 是△ ABC的三，化．21．已知 1＜x＜ 5，化：| x 5| ． 22．察下列等式： ①==； ②==； ③== ?回答下列： （ 1）利用你察到的律，化： （ 2）算：+++?+． 23．察下面的形律： =，=，=，=，? 解答下面的： （ 1）若 n 正整数，你猜想=； （ 2）算： （++?+）×（） 二次根式的混合运算 八年级数学教案 教学建议 知识结构 重难点分析 本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。 本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。 教法建议 1?在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算 2?在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。 3?在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。 学生特点：实验班的A层学生（数学实施分层教学），主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃，，并具有一定的独立分析问题，探索问题,归纳概括问题的能力有较好的思考、质疑的习惯。 教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。 鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用互动式”的课堂教学模式及谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下： （一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提咼性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1: 让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。 强调：运算顺序及运算律和有理数相同 二次根式的四则混合运 算 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 乐学教育学员个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师：授课时间：年月日(星期 ) 本次课授课内容 一、 知识回顾 1,计算: （1（2）（）÷ 2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 3．下列各等式成立的是（ ）． A ．． C ．．5 二，新课讲解 二、探索新知 二次根式加减乘除混合运算时，等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并． 二次根式的运算： （1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减； （2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。 （3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。 1. 计算： 15)3212 5 (?+， )52)(103(-+， )23()23(-?+， 2)523(+， (3＋22)× 6 ， 12)3 2 3242731(?-- )32)(532(+-， (8 27 －53)· 6 ， (6－3＋1)×2 3 (22－3) 2011 ( 22＋3) 2012，，。 12(75＋3 1 3 －48) 12 32127---，1 112-?? ++ ???，2 6)1(30--+-π 4b a b +2a a 3 b)-(3a b a +9ab)(a>0,b>0)， (26–5)(2+3)2 a+b+2ab a+b –a b –b a ab (a>0,b>0) ])251()251[(51 22--+， 323 2353135-+- --+， )23)(36(23346++++ ◆【典型例题】 二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 2中是二次根式的个数有______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿. 4、若 1 a b -+互为相反数，则 ()2005 _____________ a b -=。 （公式)0()(2≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 举一反三： 1、 在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1 3、 ，则斜边长为 （公式的应用）???<-≥==) 0a (a ) 0a (a a a 2 二次根式的加减（2）教案 一、教学目标 (1)知识目标 ：掌握二次根式加减乘除混合运算的方法； (2)能力目标 ：培养学生较熟练的运算能力； (3)情感目标.：形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问 题。 二、教学重点：二次根式加减乘除混合运算 教学难点：二次根式加减乘除混合运算 三、教学方法：探究、合作、交流、讨论法 四、教学过程： (一）情景导入 １、怎样计算：)232)(223(--？ ２、怎样计算：)223)(223(+-？ 2)223(-？ ◆小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。 二）讲授新知 在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。 三）例题精讲 例１、计算： （1）15)3212 5(?+ （2）)52)(103(-+ （3）5)5 3155(÷+ （4）)23(2-÷ 例２、计算： （1）)223()223(-?+ （2）2)523(+ （3）)523)(523(+-++ 例３、（1）已知223,223-=+=b a ，则22a b ab +的值。 （2）已知121+= x ，求x x x x x x x -+---+-22212112的值。 四）课堂巩固练习 1、计算: （1）505 11221832++- （2）12)3 23242731(?-- （3）)32)(532(+- （4）)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a>0,b>0） （5）)31 21 (6+÷ （6）（6）20092008)322() 322(+- 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=23,AC=22，求Rt △ABC 的周长和面积。 3、,23,23-=+=b a 已知的值求22b ab a +-。 五）拓展与延伸 （1）已知m 是2的小数部分，求2122-+m m 的值。 （3）观察下列各式：1(21)21212121(21)(21)?--===--++-， 1(32)1(32)323232(32)(32) ?-?-===--++-，同理可得43,......43=-+从中找出规律并利用这一规律计算（ 21++32++43++。。。+20082007+）（20082007-）二次根式混合运算习题完整版本
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