圆锥曲线综合练习
一、 选择题：
1．已知椭圆22
1102
x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
【解析】由24
2(10)()2
m m ---=，得8m =，故选：D
2．直线220x y -+=经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离
心率为（ ）
A B ．12 C D ．2
3
【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，，a
所以e A ． 3．设双曲线22
219
x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 答案：C
4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的离心率是（ ）
A B C D 答案：D
5．已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于
M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 答案：D
6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么
12||PF PF +u u u r u u u u r
的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．答案：C
7．双曲线22
1259
x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A ．22或2
B ．7
C ．22
D ．2
【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=，所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．
8．P 为双曲线22
1916
x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=
上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
【解析】设双曲线22
1916
x y -=的左、右焦点分别为12F F ，，则圆22(5)4x y ++=的圆心为1F ，
半径12r =．圆22(5)1x y -+=的圆心为2F ，半径21r =．
所以max 111||||||2PM PF r PF =+=+，min 222||||||1PN PF r PF =-=-． 由双曲线定义得12||||6PF PF -=，
所以max 12(||||)||2(||1)9PM PN PF PF -=+--=．故选：D
9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【解析】准线方程为x p =-，由已知得810p +=，所以2p =，所以焦点到准线的距离为
24p =．
10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12
DE BC =u u u r u u u r
，则以B C ，
为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A
B
1 C
1 D
1 【解析】设正ABC △的边长为2，向量12
DE BC =u u u r u u u r
，则D E ，分别是AB AC ，的中点．
由双曲线定义知||||2BE EC a -=
，所以a 1c =
所以离心率1c
e a
=
=．故选：D 11．两个正数a b ，的等差中项是92，
一个等比中项是且a b >，则抛物线2b y x a
=-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16-
， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1
(0)5
， 【解析】依题意得9
20a b ab a b +=??
=??>?
，解得54a b ==，，
所以抛物线方程为25
4y x =-，
其焦点坐标为1
(0)5
-，，故选：C
12．已知12A A ，分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P
恒满足124
9PA PA k k ?=-，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
49 B ．23 C ．5
9
D 5
【解析】设00()P x y ，，则00004
9y y x a x a ?=-+-，化简得22
0022149
x y a a
+=，
可以判断224
9
b a =，2451()19b e a =--
故选：D
13．已知22
12221(0)x y F F a b a b
+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内
的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=u u u r u u u r r
（O 为坐标原点），2120AF F F ?=u u u u r u u u u r ，若
椭圆的离心率等于2
2
, 则直线AB 的方程是( ) A ． 2y B ．2y = C ．3y = D ．3y = 答案：A
14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．3 B 17 C 5 D ．9
2
答案：B
15．若椭圆22
1x y m n
+=与双曲线221(x y m n p q p q -
=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ?等于 （ ）
A ．m p +
B ．p m -
C ．m p -
D ．22m p -
答案：C
16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ）
A ．右支上
B ．上支上
C ．右支上或上支上
D ．不能确定 答案：A
17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=o ，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A ．3 B ．1 C ．32
D ．2
答案：A
【解析】设c AB 2||=, 则在椭圆中,
而在双曲线中,
18
22
1=表示的曲线是（ ）
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线
【解析
】
即
又
方程
表示的曲线是椭圆。
.0)(<*∴式即
曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，
故选：C
19．已知12F
F ，是椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122
F PF π
∠=记
线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1
FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于 ( )
A ．2
B ．3
C ．4-
D 1
【解析】由题意知点P 在圆222x y c +=上，由222
222
21x y c x y a
b ?+=??+=??消y 得2242
2
2P c a a x c -=, 又因为
△F 1OQ 与
四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，可得
2211
12||||1||2,,2,||||3||34
p p
P FO OQ OQ c FQ QP x F F y y =∴=∴=∴=u u u r u u u r ,
2242
42222
2,840,44)4c a a c e e e e c -=∴-+=∴=-=+舍, 1e ，故选：D
20．已知双曲线方程为2
2
14
y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线
l 的条数共有（ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 答案：C
21．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A ．
B ．
C ．
D ．答案：C
22．双曲线22221x y a b -=与椭圆22
221x y m b
+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以
a b m ，，为边长的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 答案：C
23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C
D 【答案】C
24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21
F PF △是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．4
5
答案：C
25．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ， 两
点，||AB =C 的实轴长为（ ）
A B ． C ．4 D ．8
答案：C
26．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，
P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ ）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48 答案：C
27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为
（ ）
A B C D 答案：D
28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率
，则a
b
的值为（ ）
B. C.
D. 【答案】A
【解析】设1122()()A x y B x y ，，，,AB 的中点00()M x y ，，代入椭圆方程作差整
理后
29．若椭圆22
1(00)x y m n m n
+=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取
值范围是（ ） A
．1) B
．(0 C
．1) D
．(0 答案：D
30．已知12F F ，分别是椭圆22
143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延
长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则（ ） A ．2t = B ．2t > C ．2t < D ．t 与2的大小关系不确定 答案：A
31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ） A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x = D
．2y
【解析】分别过点A B ，作准线的垂线，垂足为E D ，，因为||2||BC BF =， 所以由抛物线的定义可知30BCD ∠=o ，||||3AE AF ==，所以||6AC =，
即F 为AC 的中点，所以13
||22
p EA ==，故抛物线的方程为23y x =，故选：C
32．已知椭圆2
214
x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的
直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ?
的M 点的概率为（ D ）
A B C ．12
D 33．以O 为中心，12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==u u u u r u u u u r u u u u r
，
则该椭圆的离心率为（ ）
A B ．2
3
C D 【解析】过M 作x 轴的的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(0)2
c
，，
并设12||2||2||MF MO MF ==u u u u r u u u u r u u u u r
2t =，根据勾股定理可知，
2221122||||||||MF NF MF NF -=-u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，得到c =，而32
t a =，则c e a ==
，故选：C 34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么
12||PF PF +u u u r u u u u r
的最小值是（ ）
A ．
B ．2
C ．1
D ．0
【解析】由2
2
22x y +=，即2
212
x y +=，可得12(10)(10)F F -，，，，
设()P x y ，（[x ∈） 则12(1)(1)(22)PF PF x y x y x y +=---+--=--u u u r u u u u r
，
，，．
所以，12||PF PF +u u u r u u u u r 当且仅当0x =时，12||PF PF +u u u r u u u u r
取得最小值2．故选：B
35．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点，过这两点引一条割
线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，
【解析】令抛物线上横坐标为1242x x =-=，的点为(4114)A a --，，(221)B a -，，
则(114)(21)1262426
AB a a a
k a ----=
==----，则切线方程可设为(2)y a x b =-+
由25
(2)y x ax y a x b
?=+-?=-+?消去y 得2250x x b +--=，由44(5)0b ?=++=解的6b =- 所以切线为(2)60a x y ---=又因为该直线与圆225536x y +=相切，
6
5
=，解得4
a=或0
a=（舍去），
则抛物线方程为22
45(2)9
y x x x
=+-=+-，顶点坐标为(29)
--
，，故选：A
36．若点O和点F分别为椭圆
22
1
43
x y
+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP
?
u u u r u u u r
的最大值为（）
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】由题意，(10)
F-，，设点
00
()
P x y
，，则有
22
001
43
x y
+=，截得
2
20
3(1)
4
x
y=-．
因为
0000
(1)()
FP x y OP x y
=+=
u u u r u u u r
，，，，所以
2
20
0000
(1)3
4
x
OP FP x x y x
?=++=++
u u u r u u u r
．
此二次函数的对称轴为
2
x=-，因为
22
x
-≤≤，
所以当
2
x=时，OP FP
?
u u u r u u u r
取得最大值6，故选：C．
37．直线3440
x y
-+=与抛物线24
x y
=和圆22
(1)1
x y
+-=从左到右的交点依次为
A B C D
，，，，则
||
||
AB
CD
的值为（）
A．16B．
1
16
C．4 D．
1
4
答案：B
38．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A C
，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F是双曲线的左焦点，直线AB
2，则BDF
∠的余弦是（）
A
B
C
D
【解析】设双曲线方程为
22
22
1(00)
x y
a b
a b
-=>>
，，
所以离心率2
c
e
a
==，所以2
c a b
==
，．
(0)(0)(0)(20)
A C
B a F a
--
，，，，，，，
所以()(2)
BA a CF a
==-
u u u r u u u r
，．
所以
2
cos cos
||||
BA CF
BDF BA CF
BA CF
?
∠=<>=
?
u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r
， C
39．设双曲线
22
22
:1(00)
x y
C a b
a b
-=>>
，的左、右焦点分别为
12
F F
，，若在双曲线的右支上
存在一点P，使得
12
||3||
PF PF
=，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．(12]
，B
．2]C
．2)D．(12)
，
【解析】由双曲线定义知
12
||||2
PF PF a
-=，所以
12
||3||
PF a PF a
==
，．
因为
1212
||||||
PF PF F F
+≥，即42
a c
≥，所以2
c
e
a
=≤，又因为1
e>，故选：A
40．已知
11
()
A x y
，是抛物线24
y x
=上的一个动点，
22
()
B x y
，是椭圆
22
1
43
x y
+=上的一个动点，(10)
N，是一个定点，若AB∥x轴，且
12
x x
<，则NAB
△的周长l的取值范围为（）A．
10
(5)
3
，B．
8
(4)
3
，C．
10
(4)
3
，D．
11
(5)
3
，
【解析】由
2
22
4
1
43
y x
x y
?=
?
?
+=
?
?
解得
2
3
x
y
?
=
??
?
?=
??
，
由AB∥x轴，且
12
x x
<，得
2
2
2
3
x
<<，
21
||
AB x x
=-．
又由(10)
N，是抛物线24
y x
=的焦点，得
1
||1
AN x
=+，
而
2
1
||2
2
BN x
=-
故NAB
△的周长
2
1
||||||3
2
l AN AB BN x
=++=+，
又
2
2
2
x
<<，于是
10
4
l<<．
41．2
=
e，右焦点(0)
F c，，方程20
ax bx c
+-=
的两个根分别为
1
x，
2
x，则点
12
()
P x x
，在（）
A．圆10
2
2=
+y
x内B．圆10
2
2=
+y
x上
C．圆10
2
2=
+y
x外D．以上三种情况都有可能
【解析】因为
2
2222
1212122
2
()2()2
b c b ac
x x x x x x
a a a
+
+=+-=-+=
又因为2222c
e a b c a
=
=+=，，所以2c a b ==，
可得22
212
1212()2710x x x x x x +=+-=<，故选：A ． 42．过双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ）
，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2 D 答案：A
43．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲
线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A ．)+∞
B ．)+∞
C ．
D ．
答案：C
44．已知以椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线
交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A B C D 答案：C
45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F ，C 1与C 2P ，则|PF 2|的值等于（ ）
A B C ．4 D ．8
答案：B
46．已知F 1、F 2是双曲线 122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三
角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+
答案：B
47．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a
x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B （0，b ），若
-=+，则该双曲线离心率e 的值为（ ）
A ．2
13+ B C ．215- D ．2
答案：B
48．直线l 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右准线，以原点O 为圆心且过双曲线焦点
的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( ) A ．
B ．
C ．
2
D ．
答案：D
49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的左焦点F 引圆2
22a y x =+的切线，切点为T ，
延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则
MT MO -与a b -的大小关系为
A ．a b MT MO ->-
B ．a b MT MO -=-
C ．a b MT MO -<-
D ．不确定．
答案：B
50．点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a b
y a x 和圆2C ：2
222b a y x +=+的一个交点，
且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为( ) A ．3
B ．21+
C ．13+
D ．2
答案：C
51．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足
1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于
A ．1
322或
B ．23或2
C ．12
或2 D ．2332或 【解析】当曲线为椭圆时121231
422
F F e PF PF =
==++；
当曲线为双曲线时121233
422
F F e PF PF ===--，答案选A ．
52．已知点P 为双曲线22
221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右
交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）
A
B
C ．b a
D ．a
b
答案：B
二、填空题：
53．已知12F F ，为椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，
两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ．
【解析】由椭圆定义可知：1212||||210||||210F A F A a F B F B a +==+==，， 所以1122||||||20||||8AB F A F B F A F B =+=--=． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为
1
2
的椭圆的方程为 ． 【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得24
12
a c a =??
?=??，解得21a c =??=?，
则2
2
2
3b a c =-=，故椭圆方程为22
143
x y +=．
55．9．已知双曲线2
2
1y x a
-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a = .
答案：4
56．已知P 为椭圆22
194
x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，
且1260F PF ∠=o ，则12F PF △ 的面积是 ．
【解析】由122tan30F PF S b ==
o △． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆22
1169
x y +=有相同的焦点，
且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．
【解析】焦点(0)
，即c
2e ==
22223a b c a ==-=， 所以双曲线方程为22
143
x y -=．
58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22
143
x y +=的焦点在x 轴上的射影
恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ． 【解析】由题意可知渐近线方程为3
2b y x x a =±=±，所以可知2294b a =，
所以双曲线的离心率c e a ====．
圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ，则该椭圆的离心率为 （A ）31 （B ）21（C ）32（D ）4 3 2. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是（ ） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x
（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-±
圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
圆锥曲线与方程单元测试（高二高三均适用） 一、选择题 1．方程x = （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2．椭圆14222=+a y x 与双曲线122 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 2 3 4、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在 6、一个椭圆中心在原点，焦点12F F 、在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122|||||| PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为 （ ） A 、22186x y += B 、221166x y += C 、22184x y += D 、22 1164 x y += 7．设0＜k ＜a 2, 那么双曲线x 2a 2–k – y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2 b 2 = 1有 （ ） （A ）相同的虚轴 （B ）相同的实轴 （C ）相同的渐近线 （D ）相同的焦点 8．若抛物线y 2= 2p x (p ＞0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于 （ ） （A ）2或18 （B ）4或18 （C ）2或16 （D ）4或16 9、设12F F 、是双曲线2 214 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ?=u u u r u u u u r ，则12||||PF PF ?u u u r u u u u r 的 值等于 （ ） A 、2 B 、 C 、4 D 、8 10.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ）
圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 41 B ．2 1 C ．2 D ．4 2．过抛物线x y 42 =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线62 2 =-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．315(- ，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．3 15 (-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42 =上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若 p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45 ,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2=+y x ;③ 122 2=+y x ;④12 22=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图 象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1 tan 21= ∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322 =-y x D ．112 5322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．04 1 22 2 =- --+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．04 122 2=+--+y x y x
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649 x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +? =????=??，∴00262x x y y =-??=?． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ， 8=c ，有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
圆锥曲线 1．设椭圆22 2:12 x y M a + =(a >的右焦点为1F ，直线2 :2 2-= a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程； （2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2 2=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点）， 求PF PE ?的最大值． 2 ． 已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>> 的一个焦点为() 1F , 而且过点12H ???. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.
3、已知圆O:22 2=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2 2的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合), 直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 4设)0(1),(),,(22 222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率 ,2 3 = e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
2017年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题) 一．选择题(共15小题) 1．（2０14?成都一模)已知椭圆C:+y２=1的右焦点为F,右准线为l，点A∈ｌ,线段ＡF交C于点B,若=３， 则||＝( ) A.Ｂ.２ C.D．3 2.（2014?鄂尔多斯模拟）已知直线y=ｋ（x+２）（k>0)与抛物线C:y2＝８x相交于A、B两点，Ｆ为Ｃ的焦点，若|FA|=２|ＦＢ|，则k=() A．Ｂ． C. D. 3.（2０14?和平区模拟）在抛物线y=x２+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣４,x２=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5ｙ2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为（） Ａ.(﹣２,﹣９)B．（0,﹣５)Ｃ．(2，﹣９)Ｄ．（1,６) 4．（２014?焦作一模)已知椭圆(a＞b＞0)与双曲线（m>0，ｎ＞0）有相同的焦点（﹣c，０) 和(ｃ,０)，若ｃ是a、m的等比中项,n2是2m2与ｃ2的等差中项,则椭圆的离心率是( ) A．B． C. D. ５．(２014?焦作一模）已知点P是椭圆+＝1（x≠0,ｙ≠０）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若Ｍ是∠F１ＰF2的角平分线上一点，且?=０，则|｜的取值范围是（） A．［0，３） B.（0,2)C．[2,3）Ｄ．［0,4］ 6．(20１4?北京模拟)已知椭圆的焦点为Ｆ1、F２,在长轴Ａ1A2上任取一点M,过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于Ｐ,则使得的M点的概率为（） Ａ.B．C．Ｄ． 7.（2014?怀化三模）从（其中m，n∈｛﹣1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线）方程中 任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（) A.B．Ｃ． D.
圆锥曲线综合测试题 班别 座号 成绩 一、选择题（每小题5分，共60分。） 1.双曲线1322 2=-y x 的离心率为 （ ） A ．13 2 B ．13 3 C ．102 D ．103 2.在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 3. 已知1F 、2F 为双曲线C:14x 2 2=-y 的左、右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060, 则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55 B ．155 C ．2155 D ．15 20 4. 已知动点(,)M x y 的坐标满足方程2222 558()()x y x y ++--+=，则M 的轨迹 方程是（ ） A.221169x y += B.221169x y -= C. 2210169()x y x -=> D. 22 10169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆 222x y += Ｂ．必在圆 22 2x y +=上 Ｃ．必在圆 22 2x y +=外 Ｄ．以上三种情形都有可能 6. 设双曲线)0,0(122 2 2>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方 程为（ ）A x y 2±= B x y 2±= C x y 22± = D x y 21 ±= 7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确的是( )
课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量 x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. 【热身练习】 1．(教材习题改编)与椭圆 x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 2 3 ＝1 B. y 2 3 －x 2＝1 C.34x 2－38 y 2＝1 D. 34 y 2－ 38 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－ x 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2， c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系是( )
A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 4．过椭圆x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交 点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐 标为? ?? ??－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝6 3. 5．已知双曲线方程是x 2－y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2 的中点，则此直线方程是________________． 解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－ y 21 2 ＝1，x 22－ y 22 2 ＝1，得k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝ 2x 2＋x 1y 2＋y 1 ＝ 2×4 2 ＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】 1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用． 2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】
圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1.已知椭圆22 1102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( ) A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8 【解析】由24 2(10)()2 m m ---=，得8m =,故选：D 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离 心率为（ ) A B.12 C D ．2 3 【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a 所以e . 3.设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１ 答案:C 4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ) A B D 答案:D ５．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ） A 答案:Ｄ 6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么 12||PF PF +的最小值是（ ) Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ 7．双曲线22 1259 x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ ) A ．22或２ Ｂ.7 Ｃ．２２ Ｄ.2 【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．
第二章测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 解析 由条件可知p 2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x . 答案 B 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 2 4＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2＝1 D.x 24＋y 2 3＝1 解析 依题意知c ＝1，e ＝c a ＝1 2，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. 答案 D 3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >12 B ．m ≥1
C ．m >1 D ．m >2 解析 由e 2 ＝? ?? ??c a 2＝1＋m 1＝1＋m >2，m >1. 答案 C 4．椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( ) A ．(5,0)或(－5,0) B ．(52，332)或(52，－332) C ．(0,3)或(0，－3) D ．(532，32)或(－532，32) 解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2 )2 ＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2 108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 2 36＝1 D.x 227－y 2 9＝1 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．
普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］ 高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综 合问题 一.课标要求： 1 ?由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2?通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2?与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测07年高考： 1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2?可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。 .要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动
点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2 ?圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦 长| AB|为： (1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉 或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙. 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： 建立坐标系 (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题。 四.典例解析 题型1 :求轨迹方程 例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
《圆锥曲线》单元测试题 班级 姓名 学号 分数 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1、若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 2、圆锥曲线y 29＋x 2a ＋8＝1的离心率e ＝1 2 ，则a 的值为( ) A ．4 B ．－54 C ．4或－5 4 D ．以上均不正确 3、以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为 F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－1 B ．2－3 C. 22 D.3 2 4、已知双曲线x 2a 21－y 2b 2＝1与椭圆x 2a 22＋y 2 b 2＝1的离心率互为倒数，其中a 1>0，a 2>b >0，那么以 a 1、a 2、 b 为边长的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5、设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1 2，则此椭 圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 2 48 ＝1 6、已知椭圆E ：x 2m ＋y 2 4＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1 被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( ) A ．kx ＋y ＋k ＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －k ＝0 D ．kx ＋y －2＝0 7、过双曲线M ：x 2 －y 2 b 2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线 分别相交于点B 、C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( ) A. 52 B.103 C.5 D.10 8、设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2 ＋y 2 4＝1的交点为A 、 B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为1 2的点P 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
圆锥曲线综合测试题 一、选择题 1．如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 2．以椭圆116 252 2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127 92 2=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π= Q PF ，则双曲线的 离心率e 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+ 4．21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．2 7 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ） A ．2 p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 7．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ） A ．1 (,)44± B ．1(,84± C ．1(,44 D ．1(,84 8．椭圆124 492 2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为 A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 9．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）
圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
圆锥曲线综合练习 例1、椭圆12 32 2=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。（2x+3y-5=0） 备份：1.过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。 2.椭圆144942 2 =+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程. 变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的 中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22 ，求该椭圆的方程。（13 23 2 2 =+ y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。 （1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62 变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。 （1）若的方程； 求直线l ,3 16 |AB |= （2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为 2 3 ，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B. （1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。 例2、已知椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-） 与椭圆C 交于不同的两点M,N. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为 10 3 时,求k 的值.
圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 23 B ．3 C ．2 7 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1 =PF ，则=||2PF （ ） 】 A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角 形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） |