高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则
函数的图象是高考的必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了，再去画图象，不是这里错，就是那里有问题，图象也画的乱七八糟，更甭提利用图象去解题了！但掌握以下几步，画函数图象将轻而易举：
1、首先，观察是否是基本初等函数（也就是我们在课本中学过的那几类函数），如果是，那就可以直接画；
2、如果不是，继续第二步，看看是否是经过一系列函数变换的，比如：翻折变换，对称变换，伸缩变换，平移变换等，如果是，那就根据变换的规律画出图象；
3、如果还不是，那基本这个函数图象也不需要你独自画出来了，那种题目基本会考查选择题，能从4个选项中选择出来就可以了！
一、基本初等函数的图象
一次函数
性质：一次函数图象是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
二次函数
性质：二次函数图象是抛物线，a决定函数图象的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图象与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数
性质：反比例函数图象是双曲线，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
指数函数
当0 不同底的指数函数图象在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。 对数函数 当底数不同时，对数函数的图象是这样变换的。 幂函数 性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0 对勾函数 对于函数y=ax+k/x，当a>0,k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。 二、函数图象的变换 常见的函数的图象变换有四种基本形式：平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。 1．平移变换（左加右减，上加下减） （1）横向平移变换（水平平移，简记：左加右减，这里的a>0。） 将函数y=f(x)的图象沿x轴方向平移|m|个单位，得到函数y=f(x+m)(m≠0)的图象，当m>0时，向左平移；当m<0时，向右平移。 （2）纵向平移变换（上下平移，简记：上加下减，这里的a>0） 将函数y=f(x)的图象沿y轴方向平移|n|个单位，得到函数y=f(x)+n(n≠0)的图象。当n>0时，向上平移；当n<0时，向下平移。 2．对称变换 （1）作函数y=f(x)的图象关于x轴的对称图象，得到函数y=－f(x)的图象。(简记：上下翻折) （2 ）作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到函数y=f(－x)的图象。(简记：左右翻折) （3）作函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象，得到函数y=－f(－x)的图象。(简记：旋转180度) （4）作函数y=f(x)的图象关于直线y=x的对称图象，得到函数y=f-1(x)的图象。 （5）作函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称图象，得到函数y=f (2a－x)的图象。 如图1。函数y=e^x的图象,通过（1）～（4）的变换，分别得到y=－e^x，y=e^（-x），y=－e^(-x)，y=lnx的图象。 3．翻折变换 （1）上下翻折变换（简记：上不动，下上翻） 将函数y=f(x)在x轴上方的图象保留，下方的图象翻折到上方去，得到函数y=|f(x)|的图象。 （2）左右翻折变换（简记：右不动，左对称） 将函数y=f(x)在y 轴右侧的图象保留，再作其关于y 轴的对称图象，并去掉y 轴左侧的原图象，得到函数y=f(|x|)的图象。如图二。函数y=1/e^x 的图象变换得y=1/e^|x|的图象。 4.伸缩变换 （1）函数)0)((>=a x af y 的图像可将函数)(x f y =的图象中的每一个点的横坐标不变纵坐标伸长（a>1）或压缩（0 （2）函数)0)((>=a x af y 的图像可将函数)(x f y =的图象中的每一个点的纵坐标不变横坐标伸长（0 1倍得到。 注意对于函数图象的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x 轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！ 例如：画出函数x y -=2ln 的图象 通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx 通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看： 我们需要看一个重要点：y=ln|x-2|与y=ln|2-x|是两个完全一样的函数，也就意味着画出y=ln|x-2|的图象就是y=ln|2-x|的图象。这样问题就简化了。我们尽可能使x 前面的系数为正，这样比较好操作。 这时，通过解析式x 上附加的东西，我们会发现，有翻折变换：y=lnx 变为y=ln|x|，加上绝对值，还有平移变换：y=ln|x|变为y=ln|x-2|，图象向右平移两个单位。 所以，我们可以得出： 第一步，画出函数y=lnx 的图象； 第二步，翻折变换；（进行翻折变换，得到函数y=ln|x|的图象） 第三步，平移变换。（进行平移变换，得到函数y=ln|x-2|的图象，即y=ln|2-x|的图象） 点评：根据绝对值的性质，发现y=ln|x-2|与y=ln|2-x|与是两个完全一样的函数，也就意味着画出y=ln|x-2|的图象就是y=ln|2-x|的图象。变x 前面的系数为正，这是解决这个问题的关键。 函数的图象变换（习题） 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的？ （） A．向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+（a＞0，且a≠1）的图象在第一、三、四象限，则必有（） A ．0＜a ＜1，b ＞0 B ．0＜a ＜1，b ＜0 C ．a ＞1，b ＜0 D ．a ＞1，b ＞ 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同，则()f x 可能是（ ） A ．1y x -= B ．2x y = C ．2log y x = D ．21y x =- 6. 当0＜a ＜1时，函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在（ ） A ． 第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内，函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线x =1对称 f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =ln x 关于y 轴对称， 则()y f x =的解析式为（ ） A ．()ln(1)f x x =+ B ．()ln(1)f x x =- C ．()ln(1)f x x =-+ D ．()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称，则a ，b 的值分 别为（ ） A ．15，8 B ．8，15 C ．3，4 D ．-3，-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在[1)+∞，上单调递减， (0)0f =，则(1)0f x +>的解集为（ ） A ． (1)+∞， B ．(1)(1)-∞-+∞，， C ．(1)-∞-， D ．(11)-， 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称，则 (2)f =_____________． 一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可； 函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________． 解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案 y ＝(x －1)2＋3 2．函数f (x )＝x ＋1 x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1 x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1) 3．已知f (x )＝? ???? 13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )， 则g (x )的表达式为________． 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则??? x 0＝2－x ， y 0＝y . ∴y ＝? ???? 132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －2 4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________． 解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1) 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________． 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5) 6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2] 7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1. 答案 (1，＋∞) 8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝??? log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有 两个实根，则实数a 的范围是________． 解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实 三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5 y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220 y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（ ） (A)向左平移 3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 函数图象B1 .函数y = a| x | (a > 1)的图象是( ) B（） B3．当a>1时，函数y=log a x和y=(1－a)x的图象只可能是（） A4．已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示 则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是(A) B5．函数(1) || x xa y a x =>的图像大致形状是（）D A B C D D 7．函数x x y cos -=的部分图象是( ) A 8．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ） A 9．一给定函数) (x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0 (1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ） A B C D C 10．函数y=kx+k 与y=x k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） A D C A 12． 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a － x 与y =log a x 的图像（ ） B 13. 函数1 1 1--=x y 的图象是（ ） D 14．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><函数的图象变换(习题)
高中数学双曲线函数的图像与性质及应用
(完整版)函数图象变换及经典例题练习
高中数学常见函数图像
2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用
三角函数图像的平移、变换练习题
高中数学函数图象高考题
函数图像变换及应用