高一上学期数学讲义
1.1集合及其表示法
一、教学内容分析
集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。
本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本运算，初步掌握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史，能用集合的思想去观察、思考、表述和解决一些简单的实际问题。 二、教学目标设计
知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义. 三、教学重点及难点
教学重点：集合的基本概念；
教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、数学史引入
（1）“物以类聚，人以群分”（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌； （4）所有的正有理数； （5）…… 二、学习新课
（1）集合的有关概念：
集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素； 集合的分类：有限集、无限集；
集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”； （2）集合的表示方法：
集合的符号表示：集合常用大写英文字母A 、B 、C …表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c …表示 元素与集合的关系：属于∈与不属于?（注意方向和辨析）；
列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法 描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}
A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法. （3）特殊集合的表示：
常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-
Q ）、整数集Z （正整数集+
Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*
N ；
空集?（例：方程2
20x +=的实数解集为?）.
[说明] 描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。
例1、判断下列各组对象能否组成集合：
（1）不等式320x +>的解； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线21y x =-上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。 例2、用符号∈或?填空： （1）2______N
（2
Q （3）0____? （4）0______{}0
（5）b ______{},,a b c
（6）0______*
N
例3、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 答：{}2
（2）大于10而小于20的合数组成的机荷 答：{}12,14,15,16,18 例4、用描述法表示下列集合：
（1）被5除余1的正整数所构成的集合 答：{}|51,x x k k =+∈N （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 答：{}(,)|0,,x y xy x y >∈∈R R （3）函数221y x x =-+的图像上所有的点 答：(){}2
,|21,,x y y x
x x y =-+∈∈R R
（4）12345,,,,34567??
?
???
答：*,,52n x
x n n n ??=∈≤??+?
?
N
例5、用列举法表示下列集合： （1）
(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N
答：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1
,5,0 （2
）{}
2
230,x x x x --=∈R
答：{}3,1- （3）{}2230,x x x x -+=∈R
答：?
（3）12,5x
x x ??
∈∈??-??
N Z
答：{}7,1,1,3,4--
例6、用符号∈或?填空： （1
）{
x x <
（2）{
}2
*
3____1,x x n n =+∈N
（3）(){
}
2
1,1____y y x -=
（4）()(){}2
1,1____,x y y x -=
[说明]例4－例6都涉及到了集合的描述法表示，这也是本节课的最大的难点，题目不宜过多，可以从中选取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念. 三、巩固练习：课本P7练习1.1
四、课堂小结：集合的概念、表示方法 五、作业布置
（必做题）课本P7习题1.1 （选做题）已知集合{}
,,A x x a a b ==∈Z ，若12,x x A ∈，判断：A x x ∈?21是否成立． 六、教学设计说明
1．通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念，再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。
2．由于本节课文字信息量较大，因此用制作课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。
1.2集合之间的关系
一、教学目标设计
理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念 二、教学重点及难点 教学重点：子集的概念
三、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习：（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法。 （2）集合中元素的特性是什么？
二、引入： 观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）： （1）{}1,2,3A =，{}1,2,3,4,5B =；
（2）A =
N ，B =Q ；
（3）A 是××中学高一年级全体女生组成的集合，B 是××中学高一年级全体学生组成的集合．
[说明] 给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系，引出子集、真子集、集合相等的概念。 三、学习新课 1．概念辨析 定义1：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．
一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ?
或B A ?（读作：A 包含于B 或B 包含A
1）A B ?有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；
（2）空集?是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集； （3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈?∈”.
定义2：对于两个集合A 与B ，如果A B ?且B A ?，那么叫做集合A 等于集合B ，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；
1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）判定A B =，即判定“任意x B ?∈，且任意 x B x A ∈?∈”.
定义3：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作：A B ü或B A Y，读作A 真包含于B 或B 真包含A .
（1）空集是任何非空集合的真子集，A ?ü；
（2）判定A B ü，即判定“任意x A x B ∈?∈，且存在00x B x A ∈??”；
（3）子集与真子集符号的方向； （4）易混符号：①“∈”与“?”②{}0与?
2．例题分析
1、写出数集N 、R 、 *
N 、Z 、Q 的包含关系； 2、写出集合{
}
,,x y z 的所有真子集；
3、已知集合{}1,3,5,7,9M
=，写出符合下列条件的M
的子集：
（1） 以集合M 中的所有质数为元素； （2） 以集合M 中所有能被3整除的数为元素； （3） 以集合M 中所有能被2整除的数为元素。
4、设集合{}|1,A x x x R =
>∈，{}|5,B x x x R =≥∈；
（1）判断2分别与A 、B 的关系 （2）确定A 、B 之间的关系 5、确定下列两个集合关系：
（1）{|21,}A x x k k ==+∈Z ， {|21,}B x x m m ==-∈Z （2）*
{|21,}A x x k k ==+∈N ，*
{|21,}B x x m m ==-∈N （3）{|41,}A x x k k ==±∈Z ， {|21,}B x x k k ==+∈Z 四、巩固练习：课本P11练习1.2 五、课堂小结
理解集合之间的包含关系，掌握子集、集合相等、真子集概念之间的区别与联系，掌握他们的各种符号表示及证明方法。对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ?，规定空集是任何集合的子集。当集合A 是集合B 的子集时，进一步详细讨论，若集合B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 是集合B 的真子集；若集合B 也是集合A 的子集，那么集合A 与集合B 相等。 两个集合之间也不一定存在包含关系，如集合A 中任何一个元素都不属于集合B ，集合B 中任何一个元素都不属于集合A ，等等，这些在集合运算中能得到体现。
六、作业布置
（必做题）课本P11习题1.2 （选做题）设集合
,,{0,1,2,3,4,5}A B A C B ??=且， {0,2,4,6,8}C =，求集合A 的个数.
七、教学设计说明
本节内容是集合这个章节的第二节，是继第一节集合概
念后的又一节概念课，通过集合与集合之间的关系，比较元素与集合的关系，使同学们加深对集合概念的理解。另一方面，用定义的方法来判定集合与集合的关系，也是本节课的难点之一，需要对概念在理解的基础上进一步熟练掌握。因此，本节课内容较多，需要同学们通过简单而直观的实例来区分概念，从而达到熟练掌握的效果。
1.3 (1)集合的运算（交集、并集）
一、教学内容分析
本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程
的解集，则是求方程
和
的解集的并集。
本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用． 二、教学目标设计
理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。
三、教学重点及难点：交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用； 交集与并集概念、符号之间的区别与联系。
四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、子集与真子集的区别。
2、含有n 个元素的集合子集与真子集的个数。
3、空集的特殊意义。 1、概念引入
（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课p12）
A=}10{的正约数为x x B=}15{的正约数为x x C=}1510{的正公约数与为x x
解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C 中元素是A 与B 中公共元素。
（2）用图示法表示上述集合之间的关系 2，10 1，5 3，15
2、概念形成
交集定义
一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。记作A ∩B （读作“A 交B ”），
A
B
即：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}（让学生用描述法表示）。
?
交集的图示法
?
请学生通过讨论并举例说明。
3、概念深化 交集的性质（补充）
由交集的定义易知，对任何集合A ，B ，有：
A ∩A=A ，A ∩U=A ，A ∩φ=φ；②A ∩
B ?A ，A ∩B ?B ；③A ∩B=B ∩A ；④A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩
C= A ∩（B ∩C ）；⑤A ∩B=A ?A ?B 。 4、例题解析
例1：已知}21{≤<-=x x A ，B=}02{<≤-x x ，求B A ?。(补充) 解：}01|{<<-=x x B A
[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。 例2：设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求
A ∩
B 。（补充）
解：A ∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形} ={x|x 是等腰直角三角形}
[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A ∩B
例3：设A 、B 两个集合分别为{}
102),(=+=y x y x A ，}53),{(=-=y x y x B ，求A ∩B ，并且说明它的意义。（课本p11例1） 解：?
??
???=-=+=?53102{
),(y x y x y x B A ={（3，4）}
[说明] B A ?表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。 例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}， 求（A ∩B ）∩C ， A ∩（B ∩C ），A ∩B ∩C 。
解：（A ∩B ）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A ∩（B ∩C ）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩C= A ∩（B ∩C ）={2}。
练习1.3（1）
1、概念引入
引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示
A=02{=-x x }， B={}
03=+x x ， C=}0)3)(2({=+-x x x 答：A={}2， B={-3} ，C={2，-3}
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C 中元素由A 或B 的元素构成。
2、概念形成
?
并集的定义：一般地，由所有属
于A 或属于B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B （读作“A 并B ”），即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。 ?
并集的图示法
,A B A ?≠?,B B A ?≠? ,B B A =? ,A B A ?≠?,B B A ?≠
? ?
请学生通过讨论并举例说明。
B
B A A B A ?≠
?
≠
??,B
A B A ?=?φ
=?B A
3、概念深化
并集的性质（补）
①A ∪A=A ，A ∪U=U ，A ∪φ=A ；②A ?（A ∪B ），B ?（A ∪B ）；③A ∪B=B ∪A ；④A ∩B ?A ∪B ，当且仅当A=B 时，A ∩B=A ∪B ；⑤A ∪B=A ?B ?A.
[说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补） 交集是属于A 且属于B 的全体元素的集合。 并集是属于A 或属于B 的全体元素的集合。
x ∈A 或x ∈B 的“或”代表了三层含义：即下图所示。 4、例题解析
例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A ∪B 。（补充） 解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A ∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。
[说明] ①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。
例6：设A={a,b,c,d}，B={b ，d ，e ，f}，求A ∩B ,A ∪B 。 （课本p12例2）
解：A ∩B={b,d}，则A ∪B={a,b,c,d,e,f }。
例7：设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角}，求A ∪B 。（补充） 解：A ∪B={x|x 是锐角三角形}∪{x|x 是钝角三角形}={x|x 是斜三角形}。 例8：设A={x|-2
[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。
例9、已知A={x|x=2k, k ∈Z 或x ∈B}, B={x|x=2k-1, k ∈Z},求A ∪B 。（课本P12例4） [说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。 三、巩固练习：1.3（2） 补充练习
1、设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3}，求A ∪B.
解析:利用数轴，将A 、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求.
解：将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。 A ∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3}
2、A={1，3，x}，B={2
x ,1},且A ∪B={1，3，x}。 求x ？ 3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A 的个数？
4、A ={x|-2 1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用. 2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题. 3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。 五、课后作业 1、书面作业：习题1.3----4,5,6,7,8,9 2、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x ∈M 或x ∈P”是“x ∈M ∩P”的什么条件？（“x ∈M 或x ∈P”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件） 3、思考题：设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A ∩B={9},求实数m 的值. 解：∵A ∩B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3. 若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A ∩B={9}矛盾； 若m=3，则B 中元素m-5=1-m=-2，与B 中元素互异矛盾； 若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A ∩B={9}.∴m=-3。 六、教学设计说明 1、注重数形结合，从集合A 和B 的文氏图中引出交集、并集的概念在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A 和集合B 的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础。 2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。教材对于交集、并集的概念还给出 了它们各自的符号语言表示，① ② 即： 对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”。 ①中的“且”字，它说明 的任一元素 都是A 与B 的公共元素。由此可知， 必是A 与B 的 公共子集，即： 。 ②式中的“或”字的意义，“ ”这一条件，包括下列三种情况： ， ，且 （很明显，适合第三种情况的元素 构成的集合就是 ）。还要注意，A 与B 的公共 元素在 中只出现一次。因此， 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合。 由定义可知，A 与B 都是 的子集，联系到 都是A ，B 的子集，可得下面的关系式： 3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。教师在讲解了交集、 名 称 交 集 并 集 定义 由所有属于集合A 且属于集合B 的元 素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的 集合，叫做A 与B 的并集。 记 号 （读作“A 交B ”） （读作“A 并B ”） 简 而 言 之 A 与 B 的公共元素组成的集合即 且 A 与 B 的所有元素组成的集合即 或 图 示 （一般情形） （阴影为 ） （阴影为 ） 性 质 ， , ， ， , ， ， 4、可是当补充用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的问题。用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）。作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。 5、适当地运用集合关系进行简单推理。运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力。 1．3(2)集合的运算（全集、补集） 一、教学内容分析 子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念。而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。 正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。 补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念。 正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题。 因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在于个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力。 二、教学目标设计 了解全集与补集的意义；掌握补集符号“C U A ”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。 三、教学重点与难点 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、复习回顾 1、集合的子集、真子集概念、求法？ 2、两个集合相等应满足的条件是什么？ 二、讲授新课 1、概念引入 回答下列问题 例:A={班上所有参加足球队的同学} B={班上没有参加足球队的同学} U={全班同学} 那么U 、A 、B 三集合关系如何？ 集合B 就是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。即图中阴影部分。 2、概念形成 ? 全集定义 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U 。 [说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R 看作全集U ，有时把有理数集Q 看作全集U ，有时把正整数集合看作全集U 。 ? 补集定义 一般地，设U 为全集，A 是U 的一个子集（即A ?U ），则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作CuA ，即CuA={x|x ∈u ，且x ?A}，读作“A 补”。 （上图阴影部分即表示A 在U 中补集CuA 。） ? 举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U ，那么有理数集Q 的补集CuQ 就是全体无理数的集合。 3、概念深化 补集的性质(补) ① A ∩CuA=φ ② A ∪CuA=U ③ Cu （CuA ）=A [说明]A 的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。 4、例题解析 例1、 若U={2，3，4}，A={4，3}，则C U A=_________。 例2：设U=R ，A={ } 21<≤x x ，写出CuA 。（课本P14例5） 解：CuA={ } 21≥ [说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的好习惯。②强调补集何时在端点处可以取得等号，何时不能取得等号。 例3：若集合A={} 2>x x ，当全集U 分别取下列集合时，写出CuA 。（补充） ① U=}{R x x ∈ ② U=}0{≥x x ③U=}2{≥x x (画数轴) 解：① CuA=}2{≤x x ② U=}20{<≤x x ③U=}2{=x x [说明]补集是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集是什么？全集不同，导致补集不同。 例4：设U={a ，b ，c ，d ，e}，A={a ，b}，B={b ，c ，d}， ① 求CuA ∩CuB ，Cu(A ∩B)，Cu(A ∪B)，CuA ∪CuB(课本P14例5) ②从上述结论中，你发现有什么结论？（补） ③对任意的集合A ，B ，请你用集合的图示法说明是否有以上结论。 （习题1.3（3）第2题） [说明]①通过练习，引导学生发现如下结论：CuA ∩CuB=Cu(A ∪B),CuA ∪CuB=Cu(A ∩B) 。②结合实例及图示帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。 三、巩固练习 （1）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）班的学生干部}，求A ，B ，B A ?的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3）） (2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。 （3）若U={1，2，4，8}，A=?，则CuA= 。 （4）若U={1，3，a 2 +2a+1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。 (5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。 解答： （1）：CuA={高一（1）班的男生}，CuB={高一（1）班的所有不是学生干部的学生}，Cu （B A ?）={高一（1） 班所有除了学生干部的女生的同学} （2）：CuB={直角三角形或钝角三角形}。 （3）：CuA=U （4）：a 2 +2a+1=5；a=-1± （5）：利用文恩图，B={1，4}。 四、课堂小结 1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。 2、能熟练求解一个给定集合的补集。 3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。 五、课后作业 1、课本P15 习题1.3——8，9，10 2、思考题：已知全集U={x },101N x x ∈≤≤,A={x },100为偶数x x ≤< B={x },100为奇数x x ≤<,求)(B A C U ?的所有元素之积及)(B A C U ?的所有元素之和。 六、教学设计说明 （1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义。全集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义。其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质。 （2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，“ U A 是A 在全集U 中的补集”，不能把它简单地说成 U A 是A 的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A 在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A 的补集是没有意义的。 （3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。 本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 举例如下，请同学们思考其结果。 填充： ⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A=_________。 ⑵若S={三角形}，A={锐角三角形}，则C S B=_________。 ⑶若S={1，2，4，8}，A=φ，则C S A=_________。 ⑷若U={1，3，a 2 +2 a +1}，A={1，3}，则C u A={5},则a =_______。 ⑸已知A={0，2，4}，C u A ={-1，1}，则C S B={-1，0，2}，求B=_______。 ⑹设全集U={2，3，m 2 +2 m -3}，A={|m+1|,2}，则C u A=5,求m= _______。 ⑺设全集U={1，2，3，4}，A={ x | x 2 -5 x +m=0，x ∈ U}，求C U A 、m 。 评析： 例⑴解：C S A={2} 主要是比较A 及S 的区别。 例⑵解：C S B={直角三角形或钝角三角形} 注意三角形分类 例⑶解：C S A=S 空集的定义运用 例⑷解：a 2 +2 a +1=5，a =-1± 5 利用集合元素的特征。 例⑸解：利用文恩图由A 及C u A 先求U={-1，0，1，2，3}，再求B={1，4} 例⑹解：由题m 2 +2 m –3=5且|m+1|=3 解之m=4或m=2 例⑺解：将x =1，2，3，4代入 x 2 -5 x +m=0中，得m=4或m=6 当m=4时，x 2 -5 x +4=0，即A={1，4} 当m=6时，x 2 -5 x +6=0，即A={2，3} 5 故满足条件：即C U A={1，4}，m=4；C U B={2，3}，m=6。此题解决过程中渗透分类讨论思想。 课堂练习：课本P10练习1、2。 1.4 (1)命题的形式及等价关系 一、教学内容分析 命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。 推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。 教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。 本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。 二、教学目标设计 理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。 三、教学重点及难点 理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。 四、教学用具准备：多媒体 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、复习回顾 在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。 假命题：错误的命题。 命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？ 本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。 [说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。 二、讲授新课 1．命题 例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题） 1.个位数是5的自然数能被5整除； 2.凡直角三角形都相似； 3.上课请不要讲话； 4.互为补角的两个角不相等； 5.你是高一学生吗？ 解：1.真命题：它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能被5整除。 2.假命题：取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角分别是900、600、300的直角三 角形不相似。 3.不是命题不是判断语句。 4.假命题：取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了. 5.不是命题 是疑问句，不是表示判断的陈述句。 结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。 ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可） [说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。 ③真命题的确定：作出证明，方法 [说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法. 2、推出关系： 一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α?β表示，读作“α推出β”。换言之，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。 例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“?”表示α、β之间关系吗？（补充例题） 解：α?β关系成立，但反过来不行。 例3：在下列各题中，用符号“?”或“?”把α、β这两件事联系起来。（补充例题） 1. α：实数x 满足92 =x ，β：3=x 或3-=x 。 （“α?β”） 2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。（“α?β”） 3. α：B A ?，β：A B A = 。（“α?β”） 4. α：0=ab ，β：0=a 。（“β?α”） 3、α与β等价： 如果α?β，β?α，那么记作βα?，叫做α与β等价 4、传递性：α?β，β?γ，则α?γ 三、巩固练习：课本P/17 练习1.4（1）——1，2 四、课堂小结： 本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系. 五、作业布置： 1、书面作业：P/20，习题1.4——1 2、拓展作业：在下列各题中，用符号“?”或“?”或“?”把α、β这两件事联系起来： （1） α：x 适合方程0652 =+-x x ，β：3x 2==或x ； （2） α：3x -=，β：3=x ； （3） α：B A ?，β：B B A = ； （4） α：集合N M =，β：A N N M =。 六、教学设计说明（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫。在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义。 （2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备。 （3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。 本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。 1.4 (2)命题的形式及等价关系 一、教学内容分析 教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。 本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。 ?? ? ?????同一法反证法 间接证明直接证明 二、教学目标设计 （1）理解四种命题的概念； （2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； （4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想 方法。 三、教学重点及难点 理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。 四、教学用具准备 多媒体教室 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一．复习提问： （1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？ （2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？ （3）命题 二．讲授新课： 关于四种命题 1、概念引入 在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。 如果我们把以上命题作以下变化： （1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。 我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。并且它们互为逆命题。 （2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。 像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。 （3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。 像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。 2、概念形成 由以上例子归纳出四个命题的一般形式： 原命题： βα，那么如果 逆命题： αβ，那么如果 否命题： βα，那么如果 逆否命题：αβ，那么如果 并在四种命题之间的相互关系如下： 3、概念运用（例题分析） 例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。（课本例题） 命题A ：如果两个三角形全等，那么它们面积相等； 命题B ：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。 （过程略） 互逆 互逆 逆 逆 否 否 [说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的。我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题。 4、巩固练习 课本P19，练习1.4(2) 5、概念深化（拓展练习） 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。（补充） ①负数的平方是正数； ②正方形的四条边相等； ③若a=0，则ab=0； ④若a=b ，则ac=bc ； ⑤全等三角形一定相似； ⑥末位数字是零的自然数能被5整除； ⑦对顶角相等； ⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线； [说明] 1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。2、原命题为真，它的否命题不一定为真。3、原命题为真， 1、概念引入（见上） 2、概念形成 如果A ,B 是两个命题，A B B A ??,，那么A ,B 叫做等价命题。 3、概念运用 已知BD 、CE 分别是ABC ?的B ∠，C ∠的角平分线，CE BD ≠。求证：AC AB ≠。（课本P19） （过程略） [说明]1、 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。 2、反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4、巩固练习 课本P20，练习1.4(3) 三、课堂小结： 1、四种命题的概念及形式 2、四种命题之间的关系及同真同假性。 四种命题的真假关系：原命题为真 四、作业布置 课本P20，习题1.4—2，4，8，10。 五、教学设计说明 1）由命题的条件、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。四种命题形式的构成虽然不难理解，但给出一种命题形式，要正确写出它的另外三种命题形式却不容易。解决这个难点的关键是分清命题的条件和结论。必要时可先将命题改写成“如果…，那么 …”的形式。 2）另外，在写一个已知命题的否命题或逆否命题时，要把一个断语α正确地变成它的否定断语- α，初学者在这些地方时常出错。一般地，“是”的否定断语为“不是”；“>”的否定断语为“≤”；“≥”的否定断语为“<”；“都是”的否定断语为“不都是”或“至少有一个不是”；等等。具体解题时，不要生搬硬套，要仔细思考，以保正确。 1.5 （1）充分条件与必要条件 一、教学目标设计 通过实例理解充分条件、必要条件的意义。 能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性 二、教学重点及难点 充分条件、必要条件的判断；充分条件、必要条件 三、教学流程设计 四、教学过程设计 一、概念引入 早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。 今天，在日常生活中，常听人说：“这充分说明……”，“没有这个必要”等，在数学中，也讲“充分”和“必要”，这节课，我们就来学习教材第一章第五节——充分条件与必要条件。 二、概念形成 1、首先请同学们判断下列命题的真假 (1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。 (2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。 (3)若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数。 (4) 若ab=0，则a=0。 解答：命题（2）、（3）、（4）为真。命题（4）为假； 2、请同学用推断符号“?”“?”写出上述命题。 解答：（1）两三角形全等?两三角形的面积相等。 (2) 三角形有两个内角相等?三角形是等腰三角形。 （3）某个整数能够被4整除?则这个整数必是偶数； （4）ab=0 ? a=0。 3、充分条件与必要条件 继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。 ?若某个整数能够被4整除?则这个整数必是偶数中，我们称“某个整数能够被4整除”是“这个整数 必是偶数”的充分条件，可以解释为：只要“某个整数能够被4整除”成立，“这个整数必是偶数”就一定成立；而称“这个整数必是偶数”是“某个整数能够被4整除”的必要条件，可以解释成如果“某个整数能够被4整除”成立，就必须要“这个整数必是偶数”成立 ?充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α ?β，那么α叫做β的充分条件。[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了。②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。③结合实例解释为： x = 0 是 xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.） ?必要条件：如果β?α，那么α叫做β的必要条件。 [说明]：①可以解释为若β?α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件。②无它不行，有它也不一定行③结合实例解释为：如xy = 0是x = 0的必要条件，若xy≠0，则一定有x≠0；若xy = 0也不一定有x = 0。 回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。 （1）中：“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；“两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。 （2）中：“三角形有两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件；“三角形是等腰三角形”是“三角形有两个内角相等”的必要条件。 4、拓广引申 把命题：“若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数”中的条件与结论分别记作α与β，那么，原命题与逆命题的真假同α与β之间有什么关系呢？ 关系可分为四类： （1）充分不必要条件，即α?β,而β?α; (2)必要不充分条件，即α?β,而β?α; (3)既充分又必要条件，即α?β，又有β?α; (4)既不充分也不必要条件，即α?β，又有β?α。 三、典型例题（概念运用） 例1：（1）已知四边形ABCD 是凸四边形，那么“AC=BD ”是“四边形ABCD 是矩形”的什么条件？为什么？（课本例题p22例4） （2）""y x =是""22y x =的什么条件。 （3）“a+b>2”是“a>1,b>1”什么条件。 解：（1）“AC=BD ”是“四边形ABCD 是矩形”的必要不充分条件。 （2）充分不必要条件。 （3）必要不充分条件。 [说明]①如果把命题条件与结论分别记作α与β，则既要对“α?β”进行判断，又要对“β?α”进行判断。②要否定条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可。 例2：判断下列电路图中p 与q 的充要关系。其中p ：开关闭合；q ：灯亮。（补充例题） [说明]①图中含有两个开关时，p 表示其中一个闭合，另一个情况不确定。②加强学科之间的横向沟通，通过图示，深化概念认识。 例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题） （1）头发长，见识短。 （2）骄兵必败。 （3）有志者事竟成。 （4）春回大地，万物复苏。 （5）不入虎穴、焉得虎子 （6）四肢发达，头脑简单 [说明]通过本例，充分调动学生生活经验，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情。 四、巩固练习1、课本P/22——练习1.5（1） [说明]通过练习，及时巩固所学新知，反馈教学效果。 五、课堂小结 1、本节课主要研究的内容： 推断符号?，? 充分条件的意义 命题充分性、必要性的判断。 必要条件的意义 2.充分条件、必要条件判别步骤：① 认清条件和结论。 ② 考察和的真假。 3、充分条件、必要条件判别技巧：① 可先简化命题。② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 六、课后作业 书面作业：课本P/24习题1.5——1，2，3。 七、教学设计说明 1、充分条件、必要条件以及下节课中充要条件与集合的概念一样涉及到数学的各个分支，用推出关系的形式给出它的定义，对高一学生只要求知道它的意义，并能判断简单的充分条件与必要条件。 2、由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念。 3、教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念。 4、由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键。教学中始终要注意以学生为主，结合相关学科及学生生活经验让学生在自我思考、相互交流中去给概念“下定义”，去体会概念的本质属性。 1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件） 一、教学目标设计 理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。 二、教学重点与难点 理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。 三、教学流程设计 四、教学过程设计 一、复习引入 问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？ 答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。 练习： 判断下列各命题条件的充分性和必要性 (1)若x>0则x 2 >0（充分不必要条件）。 (2)若两个角相等，则两个角是对顶角。（必要不充分条件）。(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。(充分必要条件) (4)若x 是4 的倍数，则x 是6的倍数（既不充分又不必要条件） （5）若a ，b 为实数，b a =，则2 2 b a =。(充分必要条件) 二、概念形成 1、结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等?三角形的三个角相等，所以“三角形的三 条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等?三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。 2、充要条件定义 一般地，如果既有α?β，又有β?α，就记作：α?β（“?”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。 [说明] ①可以解释为α?β，α与β互为充要条件。②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。③可以结合实例解释为：如|x| = |y|与x 2 = y 2 互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有 x 2 = y 2 ；若|x|≠|y|，则一定有x 2 ≠ y 2。 三、概念运用与深化（例题解析） 例1： 指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（补充例题） （1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0. （2）α：同位角相等；β：两直线平行。 （3）α：x=3； β：x 2 =9。 （4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。 解：（1）因x-2=0 ?(x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0?x-2=0. 所以α是β的必要而不充分条件。 （2）因同位角相等?两直线平行，所以α是β的充要条件。 （3）因x=3?x 2 =9,而x 2=9?x=3，所以α是β的充分而不必要条件。 （4）因四边形的对角线相等?四边形是平行四边形，又四边形是平四边形?四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。 [说明]①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一种基本方法。 例2：已知实系数一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ），“042=-ac b ”是“方程02=++c bx ax 有 两个相等的实数根”的什么条件？为什么？（课本例题P21例5） 解：方程02 =++c bx ax 变形为 224()24b b ac x a a -+=. ∵042 =-ac b ∴a b x x 221- == ∴“042=-ac b ”是“方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根”的充分条件。 反过来，方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根21x x =，那么根据方程根与系数关系得 ?? ??? = =?-==+a c x x x a b x x x 2121121 22 ∴042=-ac b ∴“042=-ac b ”是“方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根”的必要条件。 综上所述“042 =-ac b ”是“方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根”的充要条件。 [说明]充分性证明：条件?结论；必要性证明：结论?条件。 四、巩固练习 课本P/22——练习1.5（2）1，2 补充练习 1、判断下列各命题条件是否是充要条件： (1)x 是6的倍数，则x 是2的倍数。（充分不必要条件） (2)x 是2的倍数，则x 是6的倍数。（必要不充分条件） (3)x 既是2的倍数也是3的倍数，则x 是6的倍数。(充要条件) (4)x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件） 五、课堂小结 内容小结 本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α?β，又有β?α，则α是β的充要条件。 方法小结：如何判断充要条件 判别步骤： ①认清条件和结论。②考察p?q和q?p的真假。 判别技巧： ①可先简化命题。②否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 六、课后作业 1、书面作业：习题1.5 ----4,5,6,7,8,9 3、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件） 七、设计说明 1．在理解充要条件意义时，应明确若α是β的充要条件，则β也是α的充要条件。 2．由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关。而学生在这之前已经学习了原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的。为此，在实际教学中，可通过等价命题进行判断。 3．回答α是β的什么条件时，应从α是β的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述。 4．由于这节课概念性、理论性较强。一般的教学使学生感到枯燥无味。为此，激发学生的学习兴趣是关键。把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学题，自我感知数字美，从而培养学生的数学能力。 1.6 子集与推出关系 一、教学内容分析 《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，它安排在第 一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。这节内容的增加对第一章中集合、条件推出等知识作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识在现代数学中的重要作用。 二、教学目标 1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法； 2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性； 3、进一步树立辩证唯物主义观点，增强热爱家乡，热爱祖国的民族情感。 三、教学重点及难点 教学重点：集合间的包含关系与推出关系的理解与运用 教学难点：子集与推出关系等价性 四、教学过程设计 一、 课程引入 1．复习充分、必要条件 2．引例： 用“?”，“?”，“?”，“?”填空： (1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝ 我是奉贤人 ________ 我是上海人 (2)x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3} (3){x|x 2 =1}_______{x|x=1} x 2 =1 _______ x=1 3．讨论 从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？ 我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ?B ，则α?β；反之，若α?β，则A ?B 。 二、学习新课 1。概念辨析 (1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。 (2) 一般地，证明： ①充分性（“A ?B ”?“α?β” ） ②必要性（“α?β”?“A ?B ” ） (3)进一步剖析引例中的条件关系。 2. 例题分析 例1：请同学们四人一组，每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给出，小组研究) 结论： (1) A ?B ?α是β的充分条件； (2) A ?B ?α是β的必要条件； (3) A B ?α是β的充分非必要条件； (4) A B ?α是β的必要非充分条件； (5) A ＝B ?α是β的充要条件。 例2：设α：1≤x ≤3，β：m+1≤x ≤2m+4，m ∈R ，α是β的充分条件，求实数m 的范围。 3．问题拓展 若上题中α是β的必要条件，求实数m 的取值范围。 三、巩固练习 课本P24 练习1.6(1.2) 四、课堂小结 1、在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手： 方法一：逻辑推理 方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题 2、通过本节课的学习，我们把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来，同时我们用到了等价转化思想，这充分体现了集合论在现代数学中的基础作用。 五、作业布置 习题册P9(习题1.6 A 组) 六、教学设计说明 为了达到预期的教学目标，本堂课主要采用启发引导式的教学方式，以教师的设问为开始，以学生的探究 为主线，将“问题探索”的过程还给学生，结合师生、生生的互动交流，在学生的“最近发展区”启发引导他 ? ? ≠? ≠? 沪教版高一数学教案 精品文档 沪教版高一数学教案 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征; 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; 掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生～ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合 ，也简称集。 3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由: 大于3小于11的偶数; 我国的小河流; 非负奇数; 1 / 3 精品文档 方程x210的解; 某校2007级新生; 血压很高的人; 著名的数学家; 平面直角坐标系内所有第三象限的点全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作:a?A 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:aA 例如，我们A表示 “1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3?A 4A，等等。 6(集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C表示，集合的元素用 小写的拉丁字母a,b,c,表示。 ,(常用的数集及记法: 2 / 3 精品文档 非负整数集，记作N; 正整数集，记作N*或N+; 整数集，记作Z; 有理数集，记作Q; 实数集，记作R; 例题讲解: 例1(用“?”或“”符号填空: ; ; Z; 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国，印度A， 英国 A。例2(已知集合P的元素为1,m,m23m3, 若3?P且-1P，求实数m的值。 课题 两条直线的位置关系 解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ， 高中数学教材（沪教版）目录 高一上 第一章集合与命题 一集合 1.1集合及其表示法 1.2集合之间的关系 1.3集合的运算 二四种命题的形式 1.4命题的形式及等价关系 三充分条件与必要条件 1.5充分条件、必要条件 1.6子集与推出关系 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法 2.4基本不等式及其应用 *2.5不等式的证明 第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立 3.3函数的运算 3.4函数的基本性质 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数 4.1幂函数的性质与图像 二指数函数 4.2指数函数的性质与图像 *4.3借助计算器观察函数递增的快慢 高一下 第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数 4.4对数的概念及其运算 四反函数 4.5反函数的概念 五对数函数 4.6对数函数的性质与图像 六指数方程和对数方程 4.7简单的指数方程 4.8简单的对数方程 第五章 三角比 一 任意角的三角比 5.1任意角及其度量 5.2任意角的三角比 二 三角恒等式 5.3同角三角比的关系和诱导公式 5.4两角和与差的正弦、余弦和正切 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 三 解斜三角形 5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 第六章 三角函数 一 三角函数的图像及性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 6.2正切函数的图像与性质 6.3函数()sin y A x ωφ=+的图像与性质 二 反三角函数与最简三角方程 6.4反三角函数 6.5最简三角方程 高二上 第七章 数列与数学归纳法 一 数列 7.1数列 7.2等差数列 7.3等比数列 二 数学归纳法 7.4数学归纳法 7.5数学归纳法的应用 7.6归纳—猜想—证明 三 数列的极限 7.7数列的极限 7.8无穷等比数列各项的和 第八章 平面向量的坐标表示 8.1向量的坐标表示及其运算 8.2向量的数量积 8.3平面向量的分解定理 8.4向量的应用 第九章 矩阵和行列式初步 一 矩阵 9.1矩阵的概念 9.2矩阵的运算 二 行列式 9.3二阶行列式 9.4三阶行列式 18.1总体和样本 一．教学目标： 理解总体均值、总体中位数、总体方差、总体标准差的概念；掌握以上统计量的求法；会用计算器求各统计量. 二．教学重点及难点： 重点：各统计量的求法； 难点：对各统计量意义的理解. 三．教学过程： （一）背景介绍： 1．关于数理统计学科 2．关于数学家 [说明]介绍统计学的研究对象、实际意义及有关的数学家，明确学习目的，激发学习兴趣. 二、学习新课 1．阅读教材 2．理解概念 （1）总体与个体：在统计问题中，研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做 个体. 总体根据所含个体的数量有限还是无限分为有限总体与无限总体.（以下均讨论有 限总体） （2）总体均值：()N x x x N +++= 211μ （3）总体中位数：把总体中的N 个个体按从小到大，当N 为奇数时，位于该数列正中 位置的数叫做总体的中位数；当N 为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平 均数叫做总体的中位数，记作m . （4）总体方差：()()()[] 2222121μμμσ-++-+-=N x x x N () 2222211μ-+++=N x x x N （5）总体标准差：总体方差的算术平均根σ [说明]平均数反映总体的平均状态，中位数反映总体的中等水 平，方差与标准差反映总体的离散程度. 3．例题分析 例1、在研究本班同学的身高时，请指出这个问题中的总体和个体. 解：总体是本班所有同学的身高；个体是本班每一个同学的身高. [说明]注意研究对象并不是指人，而是指相关的量，这里指身高数据. 例2、某班级一个小组12位学生的一次数学测验成绩如下： 84，82，100，92，62，96，96，69，76，84，64，72. 求总体平均数，总体中位数，总体方差，总体标准差. 解：（略） 例3、甲、乙两人各射靶十次，成绩（环数）如下表： 解：甲、乙成绩的平均数均为7环，中位数也为7环，标准差分别为1.0954和2.1907，所以两人平均水平一般，但甲的水平更稳定. [说明] 自主运用统计知识对实际问题进行分析. 4．问题拓展 思考：在例2中，每个学生的成绩都减去10分，平均数和方差与原来有什么变化？若每个成绩都变为原来的二分之一呢？ 方差与标准差 班级姓名学号 学习目标：1.经历方差与标准差概念的引进和形成过程，知道方差和标准差是表示一组数据波动程度的量； 2.会计算一组数据的方差和标准差； 3.能根据一组数据的方差或标准差来解释数据的波动性，并用于解决简单 的实际问题. 学习重点：通过对一组数据的波动性的分析，引进方差和标准差的概念和计算方法，并初步进行实际应用 学习难点：方差和标准差的计算. 学习范围： 学习过程 一、引入： 1.下列各组数据的平均数、中位数、众数分别为A组:_______;B组:_______. A组: 0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组: 4, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 9. 2.某食品厂有甲乙两条流水线生产某种100克的袋装食品,在试生产时,从这两条流水线分别随机各抽取5袋食品,称出各袋食品的重量(克)分别是: 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101.由上述提供的信息,你认为哪一条流水线生产的5袋食品的重量比较稳定(即波动较小)? 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101. 甲、乙两条流水线生产的5袋食品重量的平均数分别为:_______________ 由此能不能说这两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小一样? 为了直观地看出甲乙两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小,用下图表示出来. 从图中可以看出,两组数据都在100附近,但甲的数据波动程度较小,乙的数据波动程度较大.学习要点 二、新知新觉： 如果一组数据:x1,x2,…,xn,它们的平均数为x,那么这n个数与平均数x的差的平方的平均数叫做这n个数的方差,记作S2.即_____________________ 方差的非负平方根叫做标准差,记作S.即____________________________ 方差与标准差反映了一组数据波动的大小,即一组数据偏离平均数的程度.一组数据越接近于它们的平均数,方差与标准差就越小,这时平均数就越具有代表性.只有当一组数据中所有的数都相等时,方差与标准差才可能为零. 方差(标准差)越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 分别计算上述问题的方差和标准差， 三、合作探究: 例题1. 某区要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛.在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为: 9.7,10,9.6,9.8,9.9;乙的平均成绩为9.8环,方差为0.032. (1) 甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少? (2) 据估计,如果成绩达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛? 例题2. 100克的鱼和家禽中,可食用部分蛋白质的含量如图所示. (1) 100克的鱼和家禽中,可食用部分的蛋白质含量的平均数各是多少克? (2) 100克鱼和家禽的蛋白质的平均含量中,哪一个更具有代表性?请说说判断的理由. 1.5充分条件，必要条件 训练题 一、选择题 1、α是β的充要条件的是（ ） A 、532:5 23:->-->+x x βαB 、b a b a ><>:2,2:βα C 、四边形是正方形相垂直平分四边形的两条对角线互::βα D 、有唯一解的方程关于1:0 :=≠ax x a βα 2、“22≤≤-a ”时“实系数一元二次方程012 =++ax x 无实根”的（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 4、“0>x ”是“0≠x ”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、对任意实数c b a ,,，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是 无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“b a >”是“2 2b a >”的充分条件；④“5a C 、1-k ，5 教学题目：抛物线的标准方程 教学目标： 1. 能力与技能： （1）掌握抛物线的定义，理解抛物线的发生过程 （2）掌握抛物线的四种标准方程、图像、焦点、准线之间的关系 （3）会用待定系数法确定抛物线标准方程。 2. 过程与方法： （1） 有实际问题引入要研究的课题，发展学生的实践能力，通过实验使学生 发现抛物线的形成过程。 （2） 求抛物线的焦点坐标和准线方程中贯彻数形结合的思想。 （3） 掌握待定系数法在方程中的应用。 3. 情感与价值观： 让学生学会细心观察周围的事物，数学来源于生活，又为生活服务。 教学过程： 一.引入：探照灯、汽车前灯、卫星天线、激光 望远镜都是利用抛物线原理制成的，因此在生活当 中，抛物线是一个用途非常广泛的曲线。下面简单 介绍抛物线的光学反射原理，引起学生的兴趣。从 而引出课题：抛物线的标准方程。 二.新课： 1. 抛物线的定义：先从一个有趣的实验说起，仔细讲解实验的过程，让学生从实验的过程中发现抛物线的特点，从中学生可以自己总结出抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。同时强调抛物线定义也是抛物线的性质即：是抛物线上的点就满足到焦点距离等于到准线的距离。 2. 抛物线标准方程的推导： 求一般曲线的方程（一般步骤）：1.建系2.设点3列式4.化简 建立抛物线的坐标系（由学生讨论）过点F 做准线L 的垂线，垂足为K 。以直线KF 为x 轴，线段KF 的中垂线为y 轴建立直角坐标系。 设︱KF ︱= p,则焦点F 的坐标是(2p ,0),准线l 的方程为2 p x -= 11.3两条直线位置关系 一、教学内容分析 本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用. 在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想. 本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解. 然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式. 本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法. 对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题. 二、教学目标设计 理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力. 1.4 (1)命题的形式及等价关系 一、教学内容分析 命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。 推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。 教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。 本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。 二、教学目标设计 理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。 三、教学重点及难点 理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。 四、教学用具准备 多媒体 六、教学过程设计 一、复习回顾 在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。 命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。 假命题：错误的命题。 命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？ 本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。 [说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。 二、讲授新课 1．命题 例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题） 1.个位数是5的自然数能被5整除； 2.凡直角三角形都相似； 3.上课请不要讲话； 4.互为补角的两个角不相等； 5.你是高一学生吗？ 解：1.真命题 它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能 被5整除。 2.假命题 取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角分别是900、600、300 的直角三角形不相似。 3.不是命题不是判断语句。 4.假命题 取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了. 5.不是命题是疑问句，不是表示判断的陈述句。 结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。 ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即 可） 直线的点法向式方程 教学目标： 1、掌握直线的点法向式方程 2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想 3、培养学生的自主探索研究能力. 教学重点：直线的点法向式方程 教学难点：选择恰当的形式求解直线方程 教学方法：教师启发引导，学生主动探索 教学过程： 一、复习引入 上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下： （1） 若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如 何判断点P 是否在直线l 上？ （①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标 的点都在直线l 上） 我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形 （2） 复习点方向式方程 直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一 问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？ 今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。（写出课题） 二、概念形成 设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =r ，Q (,)x y 为直线l 上任意一点 则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥u u u r r ∴0=? 即00()()0a x x b y y -+-=① ∴直线l 上的任一点都满足方程① 反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥u u u u r r ，即1Q 在直线l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 沪教版高中数学高二上册《数列》教案 目录 7.1 数列（数列的递推公式） (1) 7.1 数列（数列的递推公式） (7) 数列的递推关系 (12) 7.1 (1)数列（数列及通项） (15) 第三章数列 (23) 用构造法求数列的通项公式 (25) 等差数列（二） (31) 7.2(1)等差数列 (35) 等差数列 (38) 等差数列 (40) 7.2（4）等差数列的通项公式和前 (46) 7．3（3）等比数列的前n项和（1） (53) 7.3(4)等比数列的前n项和（2） (59) 等比数列的前 (64) 7.4 数学归纳法 (66) 7.5数学归纳法的应用 (78) 7．6 归纳—猜想—论证 (85) 7.7 (2)极限的运算法则 (89) 数列极限的定义 (99) 7.8（1）无穷等比数列的各项和（1） (101) 7.8 (2) 无穷等比数列的各项和（2） (108) 课题:无穷等比数列各项的和（1） (113) 无穷等比数列各项的和 (117) 7.1 数列（数列的递推公式） 一、教学内容分析 本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式. 二、教学目标设计 1、知道递推公式也是给出数列的一种方法； 2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成学生的观察能力； 3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力. 三、教学重点及难点 重点：理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系. 难点：阅读算法程序框图，建立递推关系式. 四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、情景引入 1．观察 3、6、9、12、15、18、21. ① 2．思考 函数的最大值与最小值 一、教学目标： 1. 理解函数最大值和最小值的概念，并会求基本函数的最大值和最小值; 2. 感受数学的应用价值、体验数学学习的乐趣 二、教学重难点: 重点：函数最值的概念及求解 难点：求具体函数的最值 三、教学过程 1. 问题引入 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 解：间熊猫居室的宽为x 米)100(< 沪教版高一数学等差中项知识点 高一数学等差中项知识点总结 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 或an=am+(n-m)d 前 n 项和公式为： Sn=na1+[n(n-1)/2]d或sn=(a1+an)n/2 若m+n=2p则： am+an=2ap 以上 n 均为正整数 文字翻译 第n 项的值 =首项 +( 项数 -1)* 公差 前 n 项的和 =( 首项 +末项 )* 项数 /2 公差 =后项 - 前项 高一数学等差中项练习及解析 1.已知等差数列 {an} 的首项 a1=1，公差 d=2，则 a4 等于 () A.5 B.6 C.7 D.9 答案： C 2.在数列 {an} 中，若 a1=1，an+1=an+2(n≥1) ，则该数列的通项公式 an=() A.2n+1 B.2n-1 C.2n D.2(n-1) 答案： B 3. △ABC三个内角 A、B、C成等差数列，则B=__________. 解析：∵ A、B、C成等差数列，∴ 2B=A+C. 又A+B+C=180°，∴ 3B=180°，∴ B=60°. 答案： 60° 4.在等差数列 {an} 中， (1)已知 a5=-1 ，a8=2，求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12，a4=7，求 a9. 解： (1) 由题意，知 a1+ 5-1 d=-1 ，a1+ 8-1d=2. 解得 a1=-5，d=1. (2) 由题意，知 a1+a1+ 6-1 d=12，a1+ 4-1d=7. 解得 a1=1，d=2. ∴a9=a1+(9- 1)d=1+8×2=17. 一、选择题 1.在等差数列 {an} 中， a1=21，a7=18，则公差 d=() A.12 B.13 C.-12 D.-13 解析：选 C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18，∴ d=-12. 2.在等差数列 {an} 中， a2=5，a6=17，则 a14=() A.45 B.41 C.39 D.37 解析：选 B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17 ，解得 d=3. 所以 a14=a2+(14- 2)d=5+12×3=41. 平面向量的分解定理 【教学目标】 1．理解和掌握平面向量的分解定理； 2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量； 3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。 4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。【教学重难点】 平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。 【教学过程】 一、设置情景，引入课题 （1）观察。 前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？ 下面让我们来看一个实例： 实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受 的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F 1和F 2 。 B 思考：从这个实例我们看到了什么？ 答：一个向量可以分成两个不同方向的向量。（2）复习正交分解，并抽象为数学模型。 e 1 a=入1e 1 +入2e 2. 1 j P OP xi y j =+。 二、探索探究，主动建构 概括讨论，提出新问题： 如果向量21,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,e e 表示向量a ？ 数学实验1： 实验设计： （1）实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？ （2）实验步骤： A ．以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和； B ．每个同学先独立作图； C ．小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同。并得出结论。 （3）实验报告：（由学生发言）可以分解，且分解的长度和方向唯一的。 师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？ 生：21,e e 是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O 。 沪教版高中数学高二下册教案 目录 课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 (1) 4.4（2）对数的运算 (6) 4.4（3）对数的概念及运算—— (11) 反函数 (20) 4.6对数函数的图像与性质（1） (25) 4.6对数函数的图像与性质 (31) 4.6对数函数的图像与性质（1） (34) 4.6对数函数 (44) 反函数、指、对数函数 (47) 基本初等函数 (53) 数学：第4章《幂函数、指数函数和对数函数（下）》单元练习（2） (58) 4.7简单的指数方程 (66) 4.7 简单的指数方程 (68) 4.8简单的对数方程 (74) 4.8 简单的对数方程 (76) 4.8 简单的对数方程 (78) 课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 一、教学内容分析 为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新 的知识——对数。本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。 二、教学目标设计 1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系； 3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值； 4. 经历由指数式提出对数概念的过程； 5. 养成类比、转化的思维习惯； 三、教学重点及难点 对数式与指数式的互化 四、教学用具准备 多媒体课件 五、教学流程设计 高中数学知识点归纳 高一(上)数学知识点归纳 第一章 集合与命题 1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、 并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。 2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、 真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解 交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意 义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个 简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。 3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点 是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。 4.集合之间的关系：(1)子集：如果A 中任何一个元素都属于B ，那么A 是B 的 子集，记作A ?B.(2)相等的集合:如果A ?B,且B ?A ，那么A=B.(3).真子集： A ?B 且B 中至少有一个元素不属于A ，记作A ?B. 5.集合的运算：(1)交集：}.{B x A x x B A ∈∈=且I (2)并集:}.{B x A x x B A ∈∈=或Y （3）补集：}.{A x U x x A C U ?∈=且 6.充分条件、必要条件、充要条件 如果P Q ?,那么P 是Q 的充分条件，Q 是P 的必要条件。 如果P Q ?,那么P 是Q 的充要条件。也就是说，命题P 与命题Q 是等价命题。 有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。 2.数集有：自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ,实数集R 。 3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。 4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图 叫做文氏图。 标题：抛物线的性质——焦点弦的常用结论 说明： 本教学设计是提炼了抛物线的一些常用结论在具体解题中的应用与深入，配有中学生比较喜爱的来自网络的数学歌曲——小苹果之《圆锥曲线》及用几何画板给出图像的运动变化来帮助学生直观的理解知识，对得到的结论又用学生看得见的图像运动的变化数据进行验证。培养学生用运动的观点来学习数学，提高学生的学习兴趣！同时也用简便的方法解决了抛物线中比较难的知识点，符合现在提倡结合多媒体进行教学的要求。体现了数形结合思想！课堂设计简洁、明了，思路清晰！ 抛物线的性质——焦点弦的常用结论 教学目的：帮学生去探讨抛物线焦点弦的一些性质，并能应用于以后的解题中. 教学重点：抛物线焦点弦长度的简便计算，两端点坐标的定值关系，及角的关系. 教学难点：抛物线焦点弦的一些性质的推导与证 明. 教学过程： 一、复习引入 1、如图，若_______ y P. ,(= x 则 | PA | ), 焦半径_____. |= PF | __________ 2、已知直线3-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 分析：①设建方程组：???-==3 42x y x y ；②消元得一 元二次方程：01242=--y y ；③得出韦达定理： ?? ?-==+12 4 2121y y y y ④画图 求结论：28||212=-=y y d . 设计意图：提醒学生牢固抛物线概念，它是解题之本. 二、讲解新课 1、将上面例题改为：已知直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 要求：①发现了什么？它告诉我们在以后的解题中要注重于观察！ ②已知直线经过焦点，属于特殊直线，求解方法有没有特殊性？ ③如果直线是过焦点的任意直线，有没有其他不变的结论？ 分析：①抛物线的焦点坐标为)0,1(，发现直线经过抛物线的焦点. ②由复习1知，p x x ++=21|AB |.8||,6.016212=∴=+=+-∴AB x x x x . 结论1、抛物线的焦点弦长：p x x ++=21|AB | 推论：当抛物线的焦点弦与对称轴垂直时，焦点弦长最短，此时的焦点弦称为抛物线的通经,其长为p 2. 2、将问题一般化：已知直线）（0)2 (≠-=k p x k y 与抛物线px y 22=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 分析：??? ????=?=+=+?=++-??????=-=2 212212221222 222-4)2(04)2(2)2(p y y p x x k p k x x k p px k x k px y p x k y 课题：___集合的运算_ 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 或3 }，集合 } x-≤ 2240 R,A为不等式 不成立,B是不等式 ⅰ是否存在实数a, 集合的运算 一、选择： 1、设集合M ＝1|),{(2 2 =+y x y x ,∈x R ，∈y R }，N ＝{ 0|),(2 =-y x y x ，∈x R ， ∈y R }，则集合N M 中元素的个数为 （ B ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ?∈且,|，如果{} 1log 2<=x x P ， {} 12<-=x x Q 那么Q P -等于（ B. ） A ．{x|0 目录 一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量 九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程 十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计 补集： C U A {xx U 且x A} 3．集合关系 空集 A 子集 A B : 任意 x A x B 注：数形结合 --- 文氏图、数轴 4．四种命题 原命题：若 p 则 q 否命题：若 p 则 q 原命题 逆否命题 5．充分必要条件 p 是 q 的充分条件： P q p 是 q 的必要条件： P q p 是 q 的充要条件： p? q 6．复合命题的真值 ① q 真(假) ? “ q ”假(真) ② p 、q 同真 ? “ p ∧ q ”真 ③ p 、q 都假 ? “ p ∨ q ”假 7. 全称命题、存在性命题的否定 M, p(x )否定为 : M, p(X) M, p(x )否定为 : M, p(X) 并集： A B {x x A 或 x B} 一、集合与常用逻辑 1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集 U ：如 U=R 交集： A B {x x A 且x B} 逆命题：若 q 则 p 逆否命题：若 q 则 p 否命题 逆命题 二、不等式 1．一元二次不等式解法 若a 0，ax2 bx c 0有两实根, ( ) ，则ax2 bx c 0 解集( , ) ax2 bx c 0 解集( , ) ( , ) 注： 若a 0，转化为a 0 情况 2．其它不等式解法—转化 x a a x a x2 a2 x a x a 或x a x2 a2 f(x) 0 f (x)g(x) 0 g(x) a f(x) a g(x) f (x) g(x)( a 1) f (x) 0 log a f(x) log a g(x) (0 a 1) a a f (x) g(x) 3．基本不等式 ①a2 b 2 2ab ②若a,b R ，则 a b ab 2 注：用均值不等式a b 2 ab 、ab (a b)2 2 求最值条件是“一正二定三相等” 三、函数概念与性质 1．奇偶性 f(x) 偶函数 f ( x) f (x) f(x) 图象关于y 轴对称 f(x) 奇函数 f ( x) f(x) f(x) 图象关于原点对称注：① f(x) 有奇偶性定义域关于原点对称 ② f(x) 奇函数, 在x=0 有定义f(0)=0 ③“奇+奇=奇”(公共定义域内) 2．单调性 f(x) 增函数：x1沪教版高一数学教案
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系
标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式
教学重 两条直线平行与垂直的判定 点
教学难 点
教学方 法
教具准 备
点到直线的距离公式 讲练结合 教材
教学过 程
【基础练习】
1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=0
3.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2
一点，则 k 的值等于 1 2
4.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.
5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.
简解：答案为 28 3
【范例导析】
【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０
∴ l1 与 l2 相交；
当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m
1 6 得 m＝3 m 2 2m
故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，
（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.
例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。求直线 l 的方程。
分析：可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离 公式求出直线斜率
解法一：:若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3，此 时与 l1 、 l2 的交点分别是 A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题 意。若直线 l 的斜率存在，则设 l 的方程为 y=k（x-3）+1，
解方程组
x
y
y k
1 0
x 3
得 1
A（
3k k
2 1
,
－
4k 1 k 1
）
解方程组
x
y
y k
60
x 3
得 1
B（
3k k
7 1
，－
9k 1 k 1
）
由|AB|=5 得
3k k
2 1
3k k
7 1
2
+
4k 1 k 1
9k 1 k 1
2
=25，
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。
综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
解法二.设直线 l 与 l1 、 l2 分别相交于 A（x1，y1）、B（x2， y2），则 x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5高中数学目录(沪教版)
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