数学科第_16导学案
8、直线的两点式方程为, 若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1=x2或y1=y2，
则直线P1P2的方程如何？
9、若直线l经过点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方程如何？直线的截距
式方程中a，b的几何意义如何？过原点的直线方程能用截距式表示吗？若直线l在两坐标轴上的截距相等，且都等于m，则直线l的方程如何？
10、所有直线都满足的一种方程形式：
课堂案
例1、求下列直线的方程：
（1）直线过点（2，-1），K=1；
（2）直线过点（2，-1）和点（-3,3）
（3）直线斜率为-3，在x轴上的截距为0。
例2：已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
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直线的一般式方程 [学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化. 知识点 直线的一般式方程 1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式. 2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时， 在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B . 3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数. (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？ 答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象. 故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线. (2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式. 题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－4 3，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0 B.4x ＋3y ＋7＝0
直线方程的一般形式 教师：前边，我们研究了直线方程的两点式、斜截式、点斜式和截距式，现在请同学们思考这样一个问题： ［投影显示问题1］ 问题1 已知点P 的坐标为（2，m ），点Q 的坐标为（n ，3）。试求直线PQ 的方程。 学生1：此题有误，因为当m ＝3，且n ＝2时，点P 和点Q 重合，所求的直线不确定。 教师：很好，那么我们考虑点P 和点Q 不重合时直线AB 的方程。 学生2：应用直线方程的两点式可知直线PQ 的方程为 2 23--=--n x m m y 。 学生3：（1）当m ≠3时，且n ≠2时，方程才是223--=--n x m m y ； ① （2）当m ＝3时，且n ≠2时，方程是y ＝3； ② （3）当n ＝2时，且m ≠3时，方程是x ＝2。 ③ 学生4：运用方程的两点式可知当n ≠2时，直线PQ 的方程为 )2(2 3---=-x n m m y ④ 教师：很好，我们将方程①和方程④作一比较，你会有何发现？ 学生5：方程④优于方程①，因为④比①的作用范围广；方程④实际上包括了方程①和方程②。 教师：从考虑①和④的联系与区别出发，你有何想法？ （留给学生少许思考时间后，个别学生已经有了想法，举手要求发言） 教师：我们能否将①、②、③予以综合，给出一个在点P 和点Q 不重合的条件下都成立的方程呢？ （此时，举手的学生更多了。） 学生6：可以，将方程①变为下列方程即可 （n －2）（y －m ）＝（3－m ）（x －2） ⑤ 教师：很好，在m ＝3和n ＝2不同时成立的条件下，表示直线的方程⑤属于哪种类型的方程呢？
（对于此问题学生有点茫然，不知从哪个角度给出方程的归属） 教师：大家可以从方程两边的代数式类型的角度出发。 学生7：是整式方程。 教师：几元几次？ 学生7：二元一次或一元一次方程。 教师：为什么？ 学生7：因为⑤等价于（m－3）x＋（n－2）y－mn＝0⑥ 而其中m、n为常数，当x－3、n－2都不为0时，⑥显然是关于x和y的二元一次方程；当x－3、n－2中仅有一个为0时，则⑥为关于x或y的一元一次方程。 教师：很好，为了统一起见，当m－3、n－2中仅有一个为0时，我们将⑥也可以看作关于x和y的二元一次方程，这就表明，直线PQ的方程是关于x、y 的二元一次方程。那么，是否任意一条直线L的方程都是二元一次方程呢？ 学生众：应该是的。 教师：为什么呢？……对于直线L我们如何确定它的方程呢？ 学生8：我们可在L的边上找出两个不同的点A和B。然后借助于A、B的坐标确定出该直线的方程，然后，考察这个方程是否为二元一次方程。 教师：哪位同学能将学生8的想法落到实处？ 学生9：若A、B两点的横坐标相同，高为a，则L的方程为x＝a，显然可以看作二元一次方程；当A、B的纵坐标相同时，设为b，则AB的方程为y＝b，这也可以看作二元一次方程；当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，设A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则…… 教师：能否将A、B的坐标简化一下呢？ （等学生沉默片刻后，教师将手指向投影中的问题1） 学生10：当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，必可在直线L上取点P（2，m），Q（n，3），则L的方程为⑥，显然是二元一次方程。 教师：还有没有其他的想法？ 学生11：可以从点斜式去考虑，由于直线L一定存在斜率…… 学生齐喊：不一定！
3.2.3 直线的一般式方程 整体设计 教学分析 直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想. 三维目标 1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培
养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.
课 题：直线方程 教学目标： （1）知识与技能： 掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程王新敞 （2）过程方法与能力： 通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力王新敞 （3）情感态度与价值观： 在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 教学重点：直线方程的点斜式、两点式、截距式的推导及运用 教学难点：直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论王新敞 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习： 1、直线的方程 2、直线的斜率与倾斜角。 二、新授 1. 直线的点斜式方程：已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程 问题一：已知直线l 经过点111(,)P x y ，且斜率为k 则直线方程：11()y y k x x -=- 解：设直线上任意一点(),P x y ，则k x x y y =--1 1要把它变成方程)(11x x k y y -=-.因为前者表示的直线上缺少一个点1P ，而后者才是整条直线的方程. 直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =. 注：斜率不存在，不能用点斜式方程。 2．直线的斜截式方程：已知直线l 经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，求直线l 的方程：b kx y += 注:⑴斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. ⑵斜截式b kx y +=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式. ⑶斜截式b kx y +=中，k ，b 的几何意义是什么？ 3. 直线方程的两点式：已知直线上两点),(11y x A ，B （),22y x )(21x x ≠，求直线方程. )(11 2121x x x x y y y y ---=-
直线方程的几种建立方式及其适用范围 罗村高级中学 黄勉 确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。 下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考： 一、 点斜式 若直线l 过定点),(00y x P ，斜率为k ，则直线l 的方程为)(00x x k y y -=-； 它不适用平行于y 轴（包括y 轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为090）的直线。当斜率不存在时，直线l 的方程为：0x x =；特别地，当k ＝0时，其方程为0y y =。 例1、 已知直线l 过点A （1，2）,B(3,m )，求直线l 的方程。 分析：因为直线l 经过点B(3,m ),且m 是一个参数，因此需要对m 进行分情况讨论。 解：当m ＝1时，直线l 的倾斜角为090，其斜率是不存在的，故此直线l 的方程为1=x 。 当m ≠1时，直线l 的斜率为11-= m k ，又因为直线l 通过点A （1，2），所以直线l 的方程为：)1(1 12--=-x m y 。 例2、 已知直线l 经过点P （—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的 方程。 分析：不难看出，直线l 在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。因此，需要对这两种情况分类讨论。 解：若直线l 经过原点，则直线l 的斜率为3 4-=k ，从而直线l 的方程为：x y 3 4-=，即034=+y x 。 若直线l 不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线l 的斜率为1-=k ，从而直线l 的方程为：),3(4--=-x y 即01=-+y x 。 二、 斜截式 若直线l 的斜率为k 且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：b kx y +=； 它不适用于平行于y 轴（包括y 轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜
高中数学-直线方程的几种形式练习 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.过点A(-2，1)且与x 轴垂直的直线的方程是( ) A.x=-2 B.y=1 C.x=1 D.y=-2 解析：过点(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线的方程是x=x 0，所以所求直线的方程为x=-2. 答案：A 2.已知直线l 过点P(3,2),且斜率为5 4 - ,则下列点不在直线l 上的是( ) A.(8,-2) B.(4,-3) C.(-2,6) D.(-7,10) 解法一：由斜率公式k= 1 21 2x x y y --(x 1≠x 2)，知选项A 、C 及D 中的点与点P 确定的直线斜率 都为5 4- . 解法二：由点斜式方程，可得直线l 的方程为y-2=5 4 - (x-3),即4x+5y-22=0. 分别将A 、B 、C 、D 中的点代入方程,可知点(4,-3)不在直线上. 答案：B 3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为____________. 解：过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--，代入点P(3,2)和 点Q(4,7)，求得直线方程为 3 43 272--= --x y ，整理得5x-y-13=0. 答案：5x-y-13=0 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 的图象正确的是( ) 图2-2-2 解析：结合四个图象,a 在两方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A 、B 、D 均错,只有C 正确. 答案：C 2.下列命题中： ① x x y y --=k 表示过定点P(x 0,y 0)且斜率为k 的直线; ②直线y=kx+b 和y 轴交于B 点,O 是原点,那么b=|OB|; ③一条直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,那么该直线的方程为 b y a x +=1; ④方程(x 1-x 2)(y-y 1)+(y 2-y 1)(x-x 1)=0表示过P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)两点的直线.
§1直线方程的点斜式和斜截式 一、选择题： 1．直线的点斜式方程00()y y k x x -=-（ ） A ．可以表示任何一条直线 B. 不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D. 不能表示与x 轴垂直的直线 2．经过点(2,1)P -，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为（ ） A ．22x y += B. 24x y += C. 23x y += D. 23x y +=或20x y += 3．直线cos sin 10,(0, )2x y πααα++=∈的倾斜角是（ ） A ．α B. 2π α- C. πα- D. 2π α+ 4．等腰AOB ?中，||||=， 点),3,1(),0,0(A O 点B 在x 轴的正半轴上，则此直线AB 的方程为（ ） A ．)3(31-=-x y B ．)3(31--=-x y C ．)1(33-=-x y D ．)1(33--=-x y 5．若0,0,0A B C >><，则直线0Ax By C ++=必经过（ ） A ．一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D. 一、二、四象限 6．直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞ C ．[2,0)(0,2]- D. [2,)+∞ 二、填空题： 7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是 . 8．若y 轴绕点(0,2)M -顺时针方向旋转30°，所得直线的方程是 . 9．直线过点(3,2)P -，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若AP ：PB = 2，则此直线方程是 . 三、解答题： 10．已知两点A （4，3）、B （2，1），直线l 过AB 的中点，且倾斜角是直线430x y -+= 的倾斜角的2 倍，求直线l 的方程.
教材分析 本节内容在教材中的地位和作用：“直线方程的几种形式”是人教版B版数学必修2的第二章第二节的内容。 课程分析:本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。 教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重； 教学难点：理解各式直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。 学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这一数学学科有了基本的了解，知道了解析几何是用代数方法研究几何问题。由于这一节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。 设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。遵循“探索---研究---运用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。 学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。
3.2.3 直线的一般式方程 一、教学目标 1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 二、重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程 各种形式的互化 三、教学过程 1、导入新课 前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题 ①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程? ②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性? 讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α. 1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程. ②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B A ，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ， 表示一条与y 轴平行或重合的直线. 结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线. 综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. 师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.
23 直线方程的几种形式 教材分析 这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个 定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点． 教学目标 1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法． 2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程． 3. 理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题． 4. 通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力． 任务分析 这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．
2.2.2直线方程的几种形式 伽利略铁球的轨迹 伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家，科学革命的先驱! 历史上他首先在科学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，扩大、加深并改变了人类对物质运动和宇宙的认识。为了证实和传播哥白尼的“日心说”，伽利略献出了毕生精力. 由此，他晚年受到教会迫害，并被终身监禁。他以系统的实验和观察推翻了以亚里士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观，开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学. 因此，他被称为“ 近代科学之父”。他的工作，为牛顿的理论体系的建立奠定了基础. 据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战，曾手拿一大一小两个铁球，站在高高的比萨斜塔上，将一大一小两个铁球同时扔下，结果人们发现，两个铁球同时落地，于是亚里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了. 一个铁球可以看作是一个质点，那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运动规律的点的集合。我们将之推广在平面直角坐标系中，这样的点的集合被称为直线，直线的位置既可以由两个点来惟一确定，也可以由一个点和一个方向来确定. 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：各种直线方程的推导，点斜式是直线方程的重中之重；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程. 目标难点：清楚各种直线方程的局限性；把握求直线方程的灵活性；运用数形结合、分类讨论等数学方法和特殊———一般———特殊的思维方式理解直线与二元一次方程的对应关系. ［学法关键］ 1．直线是点的集合，求直线方程实际上是求直线上点的坐标 之间满足的一个等量关系； 2．求直线方程的过程中，既要说明直线上的点的坐标满足方 程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，只有满足了这 两点，我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程 的直线； 3．通过二元一次方程与直线关系的认识和理解，培养数形结 合、数形转化的能力，能正确运用直线方程的各种形式解决问 题。 研习点1．直线的点斜式方程 1．点斜式方程 设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0=k(x －x0)， 由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线 方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程. 注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与 否. （1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点 斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上
, 直线的一般式方程 [学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、 B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋ C ＝0的形式.3.会进行直线方程 不同形式的转化. 知识点 直线的一般式方程 1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式. 2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－ C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B . 3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程. ? (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数. (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么 (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗 答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.
故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2 ≠0时才代表直线. - (2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式. 题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－4 3，且不经过第一象限的是( ) ＋4y ＋7＝0 ＋3y ＋7＝0 ＋3y －42＝0 ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) B.－5 D.－33 ] 答案 (1)B (2)D 解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－4 3的有：B 、C 两项. 又y ＝－4 3x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限， 所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3. 跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程. 解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，
《直线方程的几种形式》习题 1．直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是 （ ） A ．b B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b 2.经过点P (-2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值是 （ ） A ．4 B ．1 C ．1或3 D ．1或4 3．若方程(2m 2+m -3)x +(m 2-m )y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足 （ ） A ．m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 4．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _____． 6．经过点(－3，－2)，在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____ _____． 7． 已知直线Ax +By +C =0， （1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴； （5）设P (x 0,y 0)为直线Ax +By +C =0上一点， 证明：这条直线的方程可以写成A (x -x 0)+B (y -y 0)=0． 8.已知两直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1 =0的交点为P (2，3)，求过两点Q 1(a 1，b 1) , Q 2(a 2，b 2)的直线方程.
答案： 1、B 2、B 3、C 4、C 5、x +3y -9=0或4x -y +16=0 6、2x －3y =0，x +y +5=0 7、解：（1）采用“代点法”，将O （0，0）代入Ax +By +C =0中得C =0，A 、B 不同为零. （2）直线Ax +By +C =0与坐标轴都相交，说明横纵截距a 、b 均存在.设x =0，得B C b y - ==； 设y =0，得A C a x -==均成立，因此系数A 、B 应均不为零. （3）直线Ax +By +C =0只与x 轴相交，就是指与y 轴不相交——平行、重合均可。因此直线方程将化成x =a 的形式，故B =0且为所求.A 0 （4）x 轴的方程为y =0，直线方程Ax +By +C =0中A =0 C =0 B 0即可.注意B 可以不为1， 即By =0也可以等价转化为y =0. （5）运用“代点法”.因p (x 0,y 0)在直线Ax +By +C =0上， ()00y x ，∴满足方程Ax +By +C =0, 即Ax 0+By 0+C =0所以C =-Ax 0-By ， 故Ax +By +C =0可化为，Ax +By - Ax 0- By 0=0 即A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，得证. 8.解：P (2，3)在已知直线上，所以 两式相减得2(a 1－a 2)+3(b 1－b 2)=0，即 故所求直线方程为y －b 1=－2 3 (x －a 1)， 即2x +3y －3b 1－2a 1=0 而2a 1+3b 1=－1， 所以，所求直线方程为2x +3y +1=0.
《直线方程的一般形式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比． (二)能力训练点 通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力． (三)学科渗透点 通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点． 二、教材分析 1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系． 2．难点：与重点相同． 3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程． 三、活动设计 分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 (一)引入新课 点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程．
我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？ (二)直线方程的一般形式 我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式： y=kx+b 当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式． 由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程． 反过来，对于x、y的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0． (1) 其中A、B不同时为零． (1)当B≠0时，方程(1)可化为 这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云． (2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为 它表示一条与y轴平行的直线． 这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0 这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？
《直线方程的几种形式》教学反思 来到四中，已有四个月，渐渐培养出自己的上课风格及工作方法，终在学校举办的青年教师讲课比赛中得以检验。在听取各位领导及有经验的教师评课后，结合自己的主观想法，有了这一次对自己公开授课的一些思考。 优点： 1 耐心：鉴于学生数学基础较弱，在进行例题讲解的过程中，力求做到耐心细致，一步一步引领学生体验解题及应用所学知识的过程，让学生真正感觉到自己是学有所得，并且是学有所用，进而逐步增强学生学习的成就感，提升学习数学的兴趣及信心。 2 热情：不只是公开课，在自己授课的大部分时间内，保持自己授课的声音洪亮，并且注意节奏的变化以引起学生的注意，集中学生的注意力。 3 基础：作为一节新授课，本节内容相对来说较为丰富，但考虑到学生的学习实际，自己在备课的过程中大胆舍弃了一些边缘知识（直线的两点式方程及截距式方程的大胆舍去），而是将授课的重心放在直线方程的点斜式、斜截式、一般式中，并且进行了及时适度的训练。 缺点： 1 板书：由于在授课的过程中，自己需将例题或习题对学生进行细致的讲解，往往造成许多习题讲完后板面太乱亦或板书不开的情况，这就要求自己在以后的备课过程中，除了备教法以外，需额外地
在设计板书过程中投入更多的精力。 2 多媒体：由于本次授课内容为解析几何内容的直线方程部分，重点在于解析计算，所以在授课的过程中将重心放在了讲解计算过程，计算思路中而忽略了利用多媒体展示学生学习成果的过程，如果利用投影仪展示学生的解题过程的话，可以更加直接的发现学生学习的误区，同时可以提醒学生，共同提高。 3 口语：在授课的过程中，由于平时授课的随意性及自认为的幽默互动，往往使自己在正式上课时做不到收放自如，“完事了吗”“完事了”等一系列的非严谨语言在课堂中经常出现，违背了数学课堂的严谨规范性。但我觉得，如果课堂中有一些口语式的讲解的话，可以调动学生学习的兴趣，活跃课堂的气氛。因此，只有在授课过程中加强对课堂的控制，才不会使授课的方向走偏。 总的来说，三尺讲台，现在的自己只是站到了上面，如何才能使自己在上面站稳，并且在上面驾驭好课堂，做到收放自如，还需自己的进一步学习，进一步思考。
直线方程的两点式和一 般式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
编写人：王红卫 祖豆蔻 审核人：郑战彪 班级：17级 班 学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化； 2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程； 3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力； 重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式； 2、对于一元二次方程表示直线方程的理解； 一、课前准备 1、一般地，如果直线l 上 ，且 ，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。 2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，00 y y k x x -=-，即 （1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 【创设情景】 探究一 平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点 11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l 的方程式什么 归纳总结：直线方程的两点式为 助 学 案 直线方程的两点式和一般式 第19期
例1 探究二 在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。在直线方程的两点式 中，若 12 ,P P两点为坐标轴上的两点，即 1 P的坐标为(),0a,2P的坐标为(0,b)时，直线12 P P的方程形式如何其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线 归纳总结：直线的截距式方程 例2：直线l过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程 探究三 直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点能否统一成一种形式是怎样的方程 归纳总结：直线方程的一般式 1、直线方程的五种形式之间如何进行转化 2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么 3、各自的使用范围如何
直线方程的五种形式 公安三中 杨成文 【教学目标】直线方程的几种形式特点与适用范围；能根据问题具体条件选择恰当的形式求直线方程． 【教学重点】掌握直线方程的五种形式． 【教学难点】体会斜截式与一次函数的关系． 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 2．直线l 与x 轴交点的横坐标叫做 ； 与y 轴交点的纵坐标叫做 ； 当直线经过原点时，直线在x 轴和y 轴上的截距都为 ． 3．线段的中心坐标公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为 ． 二、基础自测： 1．已知直线l 的方程为3x －5y ＝4，则l 在y 轴上的截距为 ． 2．经过点)1,2(且斜率为-3的直线一般方程是 ；斜截式方程是 ． 3．经过两点)8,1(-和)2,4(-的直线l 的截距式方程是 ；一般式方程是 ． 4．若直线l 过点P (－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程是 ． 三、典型例题： 例1．分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过点(0,2)A ，它的倾斜角的正弦是35 ；
（2）过点(2,1)A ，它的倾斜角是直线1:3450l x y ++=的倾斜角的一半； 反思： （3）过点(3,2)A ，且在两坐标轴上的截距相等． 【变式拓展】（1）已知直线l 过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍， 求此直线的方程． （2）已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都经过点(1,2)A ， 求经过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线方程． 例2．设直线l 的方程为(1)30mx m y +-+=，根据下列条件分别确定实数m 的值： （1）直线l 在y 轴上的截距为6； （2）直线l 的斜率为2； （3）直线l 垂直于x 轴． 例3．如图，过点(2,1)P 作直线l ，分别交y x ,轴正半轴于,A B 两点． （1）当AOB ?的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当PA PB ?取最小值时，求直线l 的方程． （3）若OA OB +最小，求直线l 的方程； 【变式拓展】已知直线l 的方程为：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋(4－3m )＝0． （1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ； （2）过点M 引直线l 1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l 1的方程． 四、课堂反馈： 1．直线2(2)(23)2m x m m y m ++--=在x 轴的截距为3，则=m ． 2．如果AC <0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第 象限． 3．经过点(3,3)P 作直线l ，若l 与两坐标轴相交所得直角三角形的面积是18， 则满足要求的直线l 共有 条． 五、课后作业： 学生姓名：___________ 1．经过点(3,2)-，倾斜角为60?的直线方程是 ． 2．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 满足ab _______0，bc ________0． 4．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点________．
课题：直线方程的几种形式 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上． 2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x 1，y 1 )，直线是确定的，也就是可求的，怎样求 直线l的方程？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点 P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1． (二)斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．