不等式与不等式组知识点归纳
上大附中 何小龙
一、不等式的概念
1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明：
①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:
1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组?
??-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组?????>+≤+022
1042x x 的整数解为 。
4．如果关于x 的不等式（a-1）x 5．已知关于x 的不等式组?????<++>+0 1234a x x x 的解集为2 是 。 6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零 7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空） 8.不等式x 27->１，的正整数解是 9. 不等式x ->10-a 的解集为错误!未找到引用源。<３，则a 10.若a >b >c ，则不等式组?????c x b x a x 的解集是 11.若不等式组???--3 212 b x a x 的解集是－１ 13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质 的含量为 _____ g 14.若不等式组???3 x a x 的解集为x >３，则a 的取值范围是 三、一元一次不等式（重点） 1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2．解一元一次不等式的一般步骤： （1）分母 （2去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）将x 项的系数化为 1 例： 一、判断题（每题1分，共6分） 1、a ＞b ，得a ＋m ＞b ＋m （ ） 2、由a ＞3，得a ＞2 3 （ ） 3、x = 2是不等式x ＋3＞的解 （ ） 4、由－21＞－1，得－2 a ＞－a （ ） 5、如果a ＞ b ， c ＜0，则ac2＞bc2 （ ） 6、如果a ＜b ＜0，则 b a ＜1 （ ） 二、填空题（每题2分，共34分） 1、若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：a －5 b －5； －2a －2 b ；－1＋2a －1＋2b ；6－a 6－b ； 2、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为 ； 3、当x 时，代数式2x －3的值是正数； 4、代数式41＋2x 的不大于8－2 x 的值，那么x 的正整数解是 ； 5、如果x －7＜－5，则x ；如果－2 x ＞0，那么x ； 6、不等式ax ＞b 的解集是x ＜a b ，则a 的取值范围是 ； 7、一个长方形的长为x 米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为 ； 8、点A （－5，y1）、B （－2，y2）都在直线y = －2x 上，则y1与y2的关系是 ； 9、如果一次函数y =（2－m ）x ＋m 的图象经过第一、二、四象限，那么m 的取值范围是 ； 四、一元一次不等式组 （难点） 1、一元一次不等式组的概念： 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 例： 一、选择题 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（） A． 2, 3 x x > ? ? <-? B． 10, 20 x y +> ? ? -< ? C． 320, (2)(3)0 x x x -> ? ? -+> ? D． 320, 1 1 x x x -> ? ? ? +> ?? 2．下列说法正确的是（） A．不等式组 3, 5 x x > ? ? > ? 的解集是5 2, 3 x x >- ? ? <- ? 的解集是－3 C． 2, 2 x x ≥ ? ? ≤ ? 的解集是x=2 D． 3, 3 x x <- ? ? >- ? 的解集是x≠3 3．不等式组 2 , 3 482 x x x ? >- ? ? ?-≤- ? 的最小整数解为（） A．－1 B．0 C．1 D．4 4．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（） A．3 5．不等式组 20, 30 x x -> ? ? -< ? 的解集是（） A．x>2 B．x<3 C．2 6．若不等式组 2, x x m < ? ? > ? 有解，则m的取值范围是______． 7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____． 8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；?如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子． 9．若不等式组 2, 20 x a b x -> ? ? -> ? 的解集是－1 三、解答题 10．解不等式组 2(2)4,(1) 1 0(2) 32 x x x x -≤- ? ? + ? -< ?? 11．若不等式组 1, 21 x m x m <+ ? ? >- ? 无解，求m的取值范围． 12．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．?如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约了2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度．若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天计划用电量在什么范围内？ 易错点分析： 易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分． 例1 解不等式组? ??x －1＞0，①x ＋2＜0．② 错解：由①，得x ＞1，由②，得x ＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x ＜1． 错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x ＜－2或－2＜x ＞1等，这些都是错误的． 正解：由①，得x ＞1．由②，得x ＜－2，所以此不等式组无解． 易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”． 例2解不等式组???5x ＋12＞6－3x ， ① 4＋x 3－5＞2－2(1＋x )3 ． ② 错解：解不等式①，得x ＞－34．解不等式②，得x ＞5．由于x ＞－34 的范围较大，所以不 等式组的解集为x ＞－34 ． 错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a ＜b ）， ① ???x ＞a ，x ＞b ， ② ???x ＜a ，x ＞b ， ③???x ＞a ，x ＜b ， ④???x ＜a ，x ＞b ． 利用数可确定它们的解集分别为 ①x ＞b ，②x ＜a ，③a ＜x ＜b ，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”． 正解：解不等式①，得x ＞－34 ．解不等式②，得x ＞5． 所以不等式组的解集为x ＞5． 易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法． 例3 解不等式组?????x 2－2(x ＋3)≤11， ① 3x 2＋2(x ＋3)≤3． ② 错解：由①＋②，得2x ≤14，即x ≤7，所以不等式组的解集为x ≤7． 错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集． 正解：由不等式①，得32x ≥－17，即x ≥－343 ． 由不等式②，得72x ≤－3，即 x ≤－67 ． 所以原不等式组的解集为－ 343≤x ≤－67 ． 易错点4：在去分母时，漏乘常数项． 例4 解不等式组???2x －3＜1， ① x －12 ＋2≥－x ． ② 错解：由①，得x ＜2．在x －21＋2≥－x 的两边同乘2，得x －1＋2≥－2x ．于 是有x ≥－13，所以原不等式组的解集为2＞x ≥－13 ． 错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出 它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”连接． 正解：由①，得x＜2．在x－1 2 ＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋4≥－2x．于 是有x≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x＜2． 易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错． 例5 解关于x的不等式（1 2 －a）x＞1－2a． 错解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．将不等式两边同时除以（1－2a），得x＞2． 错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．正解：将不等式变形，得(1－2a)x＞2(1－2a)． （1）当1－2a＞0时，即a＜1 2 时，x＞2； （2）当1－2a＝0时，即a＝1 2 时，不等式无解； （3）当1－2a＜0时，即a＞1 2 时，x＜2． 例6 如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜10 7 ，则关于x 的不等式ax＞b的解集是_________． 错解：因为不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜10 7 ，所以 5b－a 2a－b ＝ 10 7 ， 则有? ??2a －b ＝7，5b －a ＝10， 解得???a ＝5，b ＝3． 从而知ax ＞b 的解集是x ＞35． 错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母 系数的取值范围，所以在解题时错误得出???2a －b ＝7，5b －a ＝10，解得???a ＝5，b ＝3． 从而错误得到ax ＞b 的解集是x ＞35 ． 正解：由不等式（2a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集是x ＜107，得???2a －b ＜0，5b －a 2a －b ＝107， 解得???a ＜0，b a ＝35． 所以ax ＞b 的解集是x ＜35． 易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况． 例7 若关于x 的不等式组???5－2x ≥－1，x －a ＞2 无解，则a 的取值范围是________________． 错解：由???5－2x ≥－1，x －a ＞0，得???x ≤3，x ＞a ． 又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a ＞3． 错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a ＝3，有x ≤3及 x ＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况． 正解：由???5－2x ≥－1，x －a ＞0得? ??x ≤3，x ＞a ．又因为不等式组无解，所以a 的取值范围 是a ≥3． 例8 已知关于x 的不等式组???x －a ≥0，3－2x ＞－1 的整数解共有5个，则 a 的取值范围是_________． 错解：由???x －a ≥0，3－2x ＞－1解得???x ≥a ，x ＜2． 又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a ≤x ＜2，这 5个整数解为－3，－2，－1，0，1，从而有a ≤－3(或a ＝－3)． 错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视a ≤x ＜2中有5个整数解时，a 虽不唯一，但也有一定的限制，a 的取值范围在－3与－4之间，其中包括－3，但不应包括－4，所以错解在确定 a 的取值范围时扩大了解的范围． 正解：由???x －a ≥0，3－2x ＞－1解得???x ≥a ，x ＜2． 又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a ≤x ＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a 的取值范围是－4＜a ≤－3． 总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊． 中考考点解读： 1. （2012山东滨州3分）不等式211841x x x x -≥+??+≤-? 的解集是【 】 A ．3x ≥ B ．2x ≥ C ．23x ≤≤ D ．空集 【答案】A 。 【考点】解一元一次不等式组。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 解21+1x x -≥得2x ≥，解+841x x ≥-得3x ≥。按同大取大，得不等式组的解集是：3x ≥．故选A 。 2. （2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如 果他骑车和步行的时间分别为x,y 分钟，列出的方程是【 】 A ．14250802900 x y x y ?+=???+=? B ．158********x y x y +=+=??? C ．14802502900 x y x y ?+=???+=? D ．152********x y x y +=+=??? 【答案】D 。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】李明同学骑车和步行的时间分别为x,y 分钟，由题意得： 李明同学到学校共用时15分钟，所以得方程：+=15x y 。 李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，x 分钟骑了250x 米；步行的平均速度是80米/分钟，y 分钟走了80y 米。他家离学校的距离是2900米，所以得方程：250+80=2900x y 。 故选D 。 3. （2012山东德州3分）已知a+2b=43a+2b=8?? ?，则a+b 等于【 】 A ．3 B ．8 3 C ．2 D ．1 【答案】A 。 【考点】解二元一次方程组。 【分析】两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：a+b=3。故选A 。 4. （2012山东东营3分）方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取 值范围是【 】． A ． k ≥1 B ． k ≤1 C ． k>1 D ． k<1 【答案】D 。 【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。 【分析】当k=1时，原方程不成立，故k ≠1， 当k ≠1时，方程()21k 1x =04-为一元二次方程。 ∵此方程有两个实数根， ∴221 b 4a c 4k 11k k 122k 04 -=-?-?=---=-≥（（）（），解得：k ≤1。 综上k 的取值范围是k ＜1。故选D 。 5. （2012山东菏泽3分）已知=2=1x y ?? ?是二元一次方程组+=8 =1mx ny nx my ??-? 的解，则2m n -的算术平方根为【 】 A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 【答案】C 。 【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。 【分析】∵=2=1x y ???是二元一次方程组+=8 =1mx ny nx my ??-?的解，∴2+=82=1m n n m ??-? ，解得=3=2m n ???。 ∴2=232=4=2m n -?-。即2m n -的算术平方根为2。故选C 。 6. （2012山东莱芜3分）对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b ＝ 1 b － 1 a ．若2⊕(2x －1)＝1，则x ＝【 】 A ． 5 6 B ． 5 4 C ． 3 2 D ．－ 1 6 【答案】A 。 【考点】新定义，解分式方程。 【分析】∵a ⊕b ＝ 1 b － 1 a ，2⊕(2x －1)＝1，∴2⊕(2x －1)＝11=12x 12 --。 ∴()135=32x 1=26x 3=26x=5x=2x 126 ?-?-??-。 检验，合适。故选A 。 7. （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn 的值为【 】 A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5 【答案】C 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。 【分析】∵m 、n 是方程x2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=22-，mn=1。 ∴()()2222m +n +3mn =m+n +mn =22+1=8+1=9=3-。故选C 。 8. （2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为【 】 A ． ()221x += B ． ()221x -= C ． ()229x += D ． ()2 29x -= 【答案】D 。 【考点】配方法解一元二次方程。 【分析】()2 22454+45+42=9x x x x x -=?-=?-。故选D 。 9. （2012山东临沂3分）不等式组2153112x x x - A ． B ． C ． D ． 【答案】A 。 【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 21531331112 x x x x x x - 故选A 。 10. （2012山东临沂3分）关于x 、y 的方程组3x y m x my n -=??+=? 的解是11x y =??=? ，则m n -的值是【 】 A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】D 。 【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值。 【分析】∵方程组3x y m x my n -=??+=?的解是11x y =??=?，∴31213m m m n n -==?????+==??。 ∴=23=1m n --。故选D 。 11. （2012山东日照4分）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 (A) k>34且k ≠2 (B)k ≥34且k ≠2 (C) k >43且k ≠2 (D)k ≥4 3且k ≠2 【答案】C 。 【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。 【分析】∵方程为一元二次方程，∴k －2≠0，即k ≠2。 ∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0， ∴（2k ＋1）2－4（k －2）2＞0，即（2k ＋1－2k ＋4）（2k ＋1＋2k －4）＞0， ∴5（4k －3）＞0，k ＞34 。 ∴k 的取值范围是k ＞34且k ≠2。故选C 。 12. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】 （A ）29人 （B ）30人 （C ）31人 （D ）32人 【答案】B 。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】设这个敬老院的老人有x 人，则有牛奶（4x ＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1 盒”可得不等式组： ()()4x 285x 144x 285x 11 ， 解得：29＜x ≤32。 ∵x 为整数，∴x 最少为30。故选B 。 13. （2012山东泰安3分）将不等式组841163x x x x +<-??≤-? 的解集在数轴上表示出来，正确的是【 】 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 。 【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 841163 x x x x +<-??≤-? ①②，由①得，x ＞3；由②得，x ≤4。 ∴其解集为：3＜x ≤4。 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上 表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此， 3＜x ≤4在数轴上表示为： 故选C 。 14. （2012山东潍坊3分）不等式组2x+3>53x 2<4??-? 的解等于【 】． A． 1 【答案】A。 【考点】解一元一次不等式组。 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，∴此不等式组的解集为：1＜x＜2。故选A。 15. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【】． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D。 【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。 【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。 ∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。 ∴最大数为24，最小数为8。 ∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。 【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 ２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 不等式及其性质（提高）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】 知识点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是() 【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的． 单元测试(五) 不等式与不等式组 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.不等式2x+3≥1的解集在数轴上表示为( ) 2.已知实数a A.50页 B.60页 C.80页 D.100页 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.用不等式表示,比x 的5倍大1的数不小于x 的一半与4的差：____________________. 10.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是__________. 11.不等式组()10,1432 x x ->++≥-????? ①②并在数轴上表示其解集. 14.(8分)若代数式()3252 k +的值不大于代数式5k+1的值,求k 的取值范围. 15.(8分)已知关于x ，y 的方程组521118,23128x y a x y a +=+-=-???①② 的解满足x>0，y>0，求a 的取值范围. 第九章不等式与不等式组 第一课时 不等式及其解集 一、选择题 1．下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2．下列不等关系中，正确的是（ ） A 、 a 不是负数表示为a ＞0 B 、x 不大于5可表示为x ＞5 C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0 D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜0 3．下列数值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x ＋3＞2成立的数有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4．下列说法错误的是（ ） A 、1不是x ≥2的解 B 、0是x ＜1的一个解 C 、不等式x ＋3＞3的解是x ＞0 D 、x ＝6是x －7＜0的解集 5．不等式x －2＞3的解集是（ ） A 、x ＞2 B 、x ＞3 C 、x ＞5 D 、x ＜5 6．满足不等式x －1≤3的自然数是（ ） A 、1，2，3，4 B 、0，1，2，3，4 C 、0，1，2，3 D 、无穷多个 7．已知关于x 的不等式x －a ＜1的解集为x ＜2，则a 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（ ） A P R S Q >>> B Q S P R >>> C S P Q R >>> D S P R Q >>> 二、填空题 9．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x ，则x 的取值范围是______________. 图3 不等式与不等式组知识总结 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 三、一元一次不等式 1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项 （4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念： 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 练习题：P133 一、不等式 (一)、不等式的基本概念 1、用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式。 2、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。 例1.下面哪些数值是关于x的不等式1-5x＜16的解？ -4.5 ， -4 ，-3 ，4 ，2.5 ，0 ，-1 答：当x=-4.5,-4,-3时，不等式不成立。当x= 4，2.5，0，-1时，不等式成立。 例2.下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是? -3 , -1 , 0 , 1, 1.5 , 2.5 ,3 , 3.5 例3．用不等式表示下列数量关系 (1)x的3倍大于x的2倍与5的差； (2)y的3/4与x的1/2的差小于2； (3)y的一半与4的和是负数； (4)5与a的4倍的差不是正数。 (5)a与1的和是正数; (6)y的2倍与1的和大于3; (7)x的一半与x的2倍的和是非正数; (8)c与4的和的30%不大于-2; (9)x 除以2的商加上2,至多为5; (10)a 与b 两数的和的平方不可能大于3。 3、不等式的解集 (1)、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。 (2)、含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 (3)、求不等式解集的过程叫做解不等式。 求下列不等式的解集 ○12(x-2)≤6-3x ○22x-3>1 ○33x+1<-2 ○43x+4≤6+2(x-2) ○5421+≤x x ○65 351x x ->+ 4、不等式解集的数轴表示 例将方程x＋6＝5的解在数轴上表示出来，如下图所示 而不等式x＋6＞5则有无数多个解，即x>－1的任何一个数都是不等式的解， 在数轴上表示出来是一个区间，如图 注意上图中的“空心点” 课堂练习 在数轴上表示出下列各式： （1）x≥2 （2）x＜－2 （3）x＞1 （4）x≤－1 (二)、不等式的性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 如果a>b，那么a+c>b+c (或a-c>b-c) 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 如果a>b，且c>0，那么ac>bc (或a/c >b/c) 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果a>b，且c<0，那么ac .选择题（共20小题） 1?实数a, b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（ a b 0 A ab> 0 B a+b v 0 C a v 1 D a - b v 0 ?恫 2.据丽水气象台天气预报”报道，今天的最低气温是17C,最高气温是25C,则今天气温t （C）的范围是（ At V 17 B t > 25 C t=21 D 17W <25 3?若x>y,则下列式子错误的是（） A x - 3>y - 3 B 3 - x> 3 - y C x+3 > y+2 4 .如果a v b v 0，下列不等式中错误的是( ) A ab> 0 B a+b v 0 C |a v 1 D a - b v 0 ?恫LI 的解集是x> 1 .其中正确的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 A x v 4 B x v 2C2v x v 4 不等式J> 1的解集是（） A 1 x >-—. 2 B x>- 2 C x v- 2 D .不等式2x > 3 - x的解集是（） A x > 3 B x v 3 C x > 1D x > 2 x v 1 9. x v A a> b>- b> B a>- a> b> C b>a>- b> D-a>b>-b . -a.-b. -a> a x > 2;④ \>1 x>2 12 5.如果a v 0, b>0, a+b v0,那么下列关系式中正确的是（ 6.下列说法：①x=0是2x - 1v 0的一个解; ②. 不是3x- 1> 0的解；③-2x+1v 0的解集是 3 7.一个不等式的解集为-1v x电，那么在数轴上表示正确的是（ &如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ O 10 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 不等式(组) 一.选择题 1. 若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A．m＞4 B．m≥4C．m＜4 D．m≤4 2. 不等式组的解集为（） A．x＞B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集 3.若a＜b，则下列结论不一定成立的是（） A. a-1＜b-1 B. 2a＜2b C. D. 4.若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D． 5.已知不等式≤＜，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D． 6.在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（） A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1 7. 不等式的解在数轴上表示正确的是（） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 8. 关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 9.（2018?广西贵港?3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（） A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3 二.填空题 1.不等式组的非负整数解有 4 个． 3. 不等式组的解集为． 4.（2018·黑龙江龙东地区）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是． 5.（2018湖南湘西州4.00分）对于任意实数A.b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b ﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是． 6. 为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分． （1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？ （2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？ 不等式(组) 一.选择题 1. 若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（D） A．m＞4 B．m≥4C．m＜4 D．m≤4 【解答】解：， ∵解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞m﹣1， 又∵关于x的一元一次不等式组解集是x＞3， ∴m﹣1≤3， 解得：m≤4， 9．2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式的概念；(重点) 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点、难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 二、合作探究 一元一次不等式的概念 下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A ．5x －2＞0 B ．－3＜2＋1x C ．6x －3y ≤－2 D ．y 2＋1＞2 解析：选项A 是一元一次不等式，选项B 中含未知数的项不是整式，选项C 中含有两个未知数，选项D 中未知数的次数是2，故选项B ，C ，D 都不是一元一次不等式．故选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围 已知－1 3 x 2a －1＋5＞0是关于x 的一元一次不等式，则a 的值是________． 解析：由－13 x 2a －1＋5＞0是关于x 的一元一次不等式得2a －1＝1，则a ＝1.故答案为1. 解一元一次不等式 解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)2x －3＜x ＋13； (2)2x －13－9x ＋26 ≤1. 解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 解：(1)去分母，得3(2x －3)＜x ＋1， 去括号，得6x －9＜x ＋1， 移项，合并同类项，得5x ＜10， 系数化为1，得x ＜2. 不等式的解集在数轴上表示如下： (2)去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6， 去括号，得4x －2－9x －2≤6， 移项，得4x －9x ≤6＋2＋2， 合并同类项，得－5x ≤10， 系数化为1，得x ≥－2. 不等式的解集在数轴上表示如下： 方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈根据不等式的解集求待定系数 已知不等式x ＋8＞4x ＋m (m 是常数)的解集是x ＜3，求m 的值． 解析：先解不等式x ＋8＞4x ＋m ，再列方程求解． 解：因为x ＋8＞4x ＋m ，所以x －4x ＞m －8，所以－3x ＞m －8，所以x ＜－13 (m －8)． 因为其解集为x ＜3， 所以－13 (m －8)＝3，解得m ＝－1. 方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想． 求不等式的特殊解 y 为何值时，代数式5y ＋4 6的值不大于代数式78－1－y 3 的值？并求出满足条件的最大整数． 一元一次不等式应用题专项练习 1．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：（1）用含x的代数式表示m； （2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数． 2某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地．已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是Skm，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费用外，其他收取的费用和有关运输资料由表列出： 运输工具行驶速度（km/h）运输单价（元/t．km）装卸费用 汽车50 2 3000 火车80 1.7 4620 （1）分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1元和y2元（用含S的式子表示）； （2）为减少费用，当s=100km时，你认为果品公司应该选择哪一家运输单位更为合算？ 3．用甲、乙两种原料配制成某种果汁，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表： 甲种原料乙种原料 维生素C含量（单位/千克） 800 200 原料价格（元/kg）18 14 （1）现制作这种果汁200kg，要求至少含有52 000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式； （2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过1 800元，那么请你写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的另一个不等式． 4，为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元， 精品文档 不等式与不等式组经典例题分析 足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和【例1】满等于。 【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式. 解：原不等式去分母，得 3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8. 满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11. 这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30. 【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程 的解，那么（）. 【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案. 的解为 2a＋5（x＋4）＝解：关于x的方程3 的方程关于x的解为 D. 由题意得.，解得因此选 ，2+c>2，那么（）【例3】 . 如果 A. a-c>a+c B. c-a>c+a C. ac>-ac D. 3a>2a 【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便 可以找到正确的答案. 由解: 所以a<0. 由2+c>2，得c>0，答案：B 满足不等式S，这四个数中最大数与最小数四个连续整数的和为S，【例4】的平方差等于 . 【分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出. 解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2. 由， <19精品文档． 精品文档 解得7 不等式与不等式组知识点归纳 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 例: 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。 2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1250 x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组??? ??>+≤+022 10 42x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x 一．选择题（共20小题） 1．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（） A．a b＞0 B．a+b＜0 C． ＜1 D．a﹣b＜0 2．据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是（） A．t＜17 B．t＞25 C．t=21 D．17≤t≤25 3．若x＞y，则下列式子错误的是（） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．x+3＞y+2 D． 4．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（） A．a b＞0 B．a+b＜0 C． ＜1 D．a﹣b＜0 5．如果a＜0，b＞0，a+b＜0，那么下列关系式中正确的是（） 6．下列说法：①x=0是2x﹣1＜0的一个解；②不是3x﹣1＞0的解；③﹣2x+1＜0的解集是x＞2； ④的解集是x＞1．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（） 8．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（） A．x＜4 B．x＜2 C．2＜x＜4 D．x＞2 9．不等式＞1的解集是（） A． x＞﹣B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D． x＜﹣ A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1 A．1个B．2个C．3个D．4个 A．0个B．1个C．2个D．3个 13．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） A．2x﹣3≤8 B．2x﹣3≥8 C．2x﹣3＜8 D．2x﹣3＞8 14．用abc表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么abc这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．a=b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 15．根据下面两图所示，对a、b、c三种物体的重量判断不正确的是（） A．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c 16．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 17．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 18．不等式组的整数解共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个 19．不等式组的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 20．若使代数式的值在﹣1和2之间，x可以取的整数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共2小题） 1．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=． 22．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=_________． 2. 给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ab>c,则b> c a ; ③若-3a>2a, 则a<0;?④若a 5.一天夜里，一个人在森林里散步，听见一伙盗贼正在分脏物，只听见他们说：“若每人分４个，则还剩２０个；若每人分８个，则还有一人少分几个.”问有盗贼多少脏物多少个 6、火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货厢的运费是万元,每节B节货厢的运费是万元;甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有哪几种方案请你设计出来;并说明哪种方案的运费最少 7、某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑．经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元．购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元． （1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元 （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍．该校有哪几种购买方案 （3）上面的哪种购买方案最省钱按最省钱方案购买需要多少钱 8、学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元（2）若每辆车上至少 ．．要有一名 教师，且总租车费用不超过 ．．．2300元，求最省钱的租车方案． 胡营中学“361自主课堂”教师导案设计 年级：七年级学科：数学主备人：时间：课题：不等式的性质课时：课型： 导学目标 知识技能 经历探索不等式的基本性质的过程，理解不等式的基本性质. 过程方法 在不等式基本性质的探索过程中，渗透类比思想方法,培养合情推理能力. 情感态度 与价值观 在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性, 进而培养学生的逻辑能力 学习重点探索不等式的基本性质. 学习难点基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括. 导学过程备注 1.复习引入 师：生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，不等关系在我们现实生活中普遍存在着．通过上一节课的学习，我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系．那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据？这就是今天我们所要研究的内容——不等式的基本性质 【设计意图】：向学生指出研究不等式基本性质的重要性与必要性，点明本节课要研究的内容． 师：初中里我们借助于数轴，学习过实数大小的比较，在数轴上实数大小是如何规定的？ 生：如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 师：也就是说我们是从数轴上直观感知的，借助于数轴去比较数的大小,是一种对数大小关系比较的感性认识． 师：从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，两实数大小的关系有以下定义： 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果 是负数，那么，反过来也对． 师：同学们，你能否用数学符号语言来表示这一定义？ 生： 师：这一定义有什么作用？ 生：从定义可知，要比较两实数的大小，可以考察这两个实数的差． 师：很好，通过差值的符号去判断两实数的大小，这是一种区别于从数轴上直观感知，严密的判断两数大小的方法． 师：在几何中当我们给出一个公理或定义后，往往要研究“性质与判定”，同样有了这个定义后，我们有必要去研究不等式的基本性质，以使我们更好的去求解或证明不等式． 提问：（1） （2）若 生：成立 师：为什么？ 生：用作差的方法去证明（学生讲解，教师板书） 师：板书不等式基本性质1与2 性质1：；（对称性） 性质2：，；，．（传递性）【设计意图】：向学生强调：这一定义是一种证明、求解不等 一、选择题（每小题5分，共30分） 1． 若m ＞n ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．m + a ＜n + b B ．ma ＜nb C ．ma 2＞na 2 D ．a -m ＜a -n 2．不等式4（x -2）＞2（3x + 5）的非负整数解的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若不等式组的解集为-1≤x ≤3，则图中表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．若方程()()31135m x m x x ++=--的解是负数，则m 的取值范围是 （ ） A ．54m >- B ．54m <- C ．54m > D ．54 m < 5．不等式()123 x m m ->-的解集为2x >，则m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．32 D ．12 6．不等式组123 x x -≤??- 不等式与不等式组 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每空3分，共15分） 1、在数轴上表示不等式2x ≥-的解集，正确的是（ ） A B C D 2、不等式组0 1x x >?? C 、01x << D 、无解 3、代数式1－m 的值大于－1，又不大于3，则m 的取值范围是（ ） A 、13m -<≤ B 、31m -≤< C 、22m -≤< D 、22m -<≤ 4、不等式 45 111 x -<的正整数解为（ ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、已知关于x 的不等式2)1(>-x a 的解集为a x -< 12 ，则a 的取值范围是（ ） A 、0a C 、1>a D 、1-<0 1, 2x x 的解集是________. 3、已知三角形的三边长分别为2、5、x ，则x 的取值范围是_____________. 4、不等式03φ+-x 的最大整数解是 5、若不等式（6)32<-x m 的解集为2 三、解不等式和不等式组（每题6分，共24分） 1、 22213+≥ -x x 2、 320<-≤x 3、 211841x x x x ->++<-??? 4、 x x x x --≥+>-??? ??324123 1() 四、（8分）求不等式组2(2)5 3(2)82x x x x +<+??-+≥?的整数解 五、（8分）若不等式组?? ?--3 212φπb x a x 的解集是－１ 1. 解不等式 空 1 5 x 5, 3 4 并把它的解集在数轴上表示出来 2. 给出下列命题：①若a>b,则ac 2 >bc 2 ;②若ab>c,则b>C ;③若-3a>2a,则a<0;?④若 a a 3 旳还不琴攻< 俎)韦为**( m>的 I 吟Wrti为半宦昨灾运动会的共品后*冋帯枚冋石勤址土老rtfm立艰说="我买丁两轲* +5 ,处105 斎”単价令号□为露冗和12亍亡.巫t$ 了 1 500 死.J3E 在述余 4 ■枚元”" 壬WiMi w r——下?说/你皆矩执钳了■ ” < 1 > 土黑卽命为什么说映老卽帝独错r ? 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