全概率公式及其应用
(清华大学数学科学系 叶俊)
命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。
1. 全概率公式和Bayes 公式
概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)|
(i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要
使用全概率公式和Bayes 公式。
背景：例如，在医疗诊断中，
中的哪一种，可用Bayes
完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。
定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i
≠=φ 且Ω=∞
=i i B 1
。进而，如还有
,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。
一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。
定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任
有
)()()(1
i i i B A P B P A P ∑∞
==
定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足
则
)
()
()()(A P B A P B P A B P i i i =
．
若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式
∑==
m
j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1
)
()()
()()( (+∞≤m , ,2,1=i m )
公式的直观理解：
，
的问题则可以用Bayes 公式来计算。且告诉我们 “B i 导致A ”的可能性的大小恰与乘积)()(A B P B P i i 成比例．
2. 几个典型的例子
2.1 树状图法
例1 某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占80%，合格率为90%，乙厂产品占10%，合格率为95%，甲厂产品占10%，合格率为80%。某顾客购买了一灯泡，求它是合格品的概率。 2.2 一般方法（公式法）
例2 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱
内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p ；
（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。 解 引进下列事件：
i H ＝{被挑出的是第i 箱} （i =1,2）
j A ={第j 次取出的零件是一等品}（j ＝1，2）
由条件知
2121)()(==H P H P
53215
111)|(,)|(==H A P H A P
(1)由全概率公式，知
)|()()|()()(2121111H A P H P H A P H P A P p +==
52
53215121=?+?=
(2) 由条件概率的定义和全概率公式，知
)
()
()|(12112A P A A P A A P q =
= =
)}|()()|()({)
(1
221212111H A A P H P H A A P H P A P +
=]2930171821495091021[25???+???
=...48557.0]29
51
499[41=+
例3 采购员要购买10个一包的电器元件. 他的采购方法是：从一包中随机抽查3个, 如这3个元件都是好的,他才买下这一包. 假定含有4个次品的包数占 30%，而其余包中各含 1个次品. 求采购员拒绝购买的概率。 解 记
B B A 1241==={},{},{}
取到的是含个次品的包取到的是含个次品的包采购员拒绝购买
又由古典概型计算知
103
1)(6
5
1)(310
392310361=-
==
-=C
C B A P C C B A P
从而由全概率公式得到
50
2310310765103)()()()()(2211=?+?=
+=B A P B P B A P B P A P .
例4 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件放入乙箱后，试求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 解 设A 表示事件 “从乙箱中任取一件产品是次品”, 根据全概率公式, 有
∑====3
)()|()(k k X P k X A P A P
4
1
63626103
60333
36132336231336
3303=?+?+?+?=C C C C C C C C C C C C
2.3 首步分析法与末步分析法
例5 (赌徒输光问题)
,
每赌一次
,
求甲输光的概率．解
出下面的事件关系式，其方法称为首步分析法．记事件
=
i
A{甲有赌本i元，但最终输光}, B={甲第1次赌赢}．
于是我们有
)
(
)
|
(
1+i
i
A
P
B
A
P＝，)
(
)
|
(
1-
=
i
i
A
P
B
A
P．
由上述关系式及全概率公式，我们得到
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
A
P
p
i
i
i
i
+
=
=
=q
A
P
p
A
P
i
i
)
(
)
(
1
1-
+
+
1
1-
+
+
=
i
i
qp
pp. (1) 这是一个常系数二阶差分方程, 且满足两个边界条件:
1
)
(
=
=元而最终输光
甲有赌本
P
p,
)
(=
=元而最终输光
甲有赌本a
P
p
a
．
为解(1), 注意到它等价于
)
(
)
(
1
1-
+
-
=
-
i
i
i
i
p
p
q
p
p
p．
, 由1
=
p得到
()1
1
1
1
1
-
??
?
?
?
?
=
-∑-
=
p
p
q
p
p
k
i
k
i(2)
()1
1
1
-
-
??
?
?
?
?
-
=p
p
q
p
q
p
q i
.
再利用0
=
a
p可解出
时有
=
i
p
a
a
i
p
q
p
q
p
q
??
?
?
?
?
-
??
?
?
?
?
-
??
?
?
?
?
1
.
(2)式，我们有
可得
从而有
a
i
p
i
-
=1．
例6 连续地抛掷一个很不均匀的硬币n 次. 假定这n次抛掷并不相互独立: 第
1次
第2
求第n次时出现正面的概率,
解令
第n次出现正面},
所以,β
=
+
)
(
1n
n
A
A
P。同理，β
-
=
+
1
)
(
1n
n
A
A
P。
显然，n
A,
n
A利用全概率公式，我们有
()()β
β
β
β-
+
-
=
-
-
+
=
+
=
=
+
+
+
+
1
)1
2(
)
1(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
A
P
A
A
P
A
P
A
A
P
A
P
p
由于α
=
1
p，故由递推计算可得
()()()[]()()
()()()()
[
]
()()?????=≠--+-=-++-+-+-+-==-+-+--=-----1
11221211212121211121112121
12
2
11
2βα
βββαβββββββββ若若n n n n n n p p p
讨论 （1）
则
α=n p , 故 .lim α=∞
→n n p .
（2）
则
()??? ?
?
--+=-211211αn n p ,
,
n n p ∞
→lim
（3
()()2
112212112lim lim 11=???
???--+-=--∞→∞→n n n n n p ββα.
3．全概率公式和Bayes 公式的应用
3.1 与离散型随机变量的结合
例7 设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为5的Poisson 分布, 假设现在市场上正在销售一种预防感冒的新型特效药, 对75%的人来说, 服用这种药可将上述的参数减少到3, 而对另外25%的人则无效. 求对于在试用期内恰患两次感冒的服药的人, 此药对他有效的可能性有多大。
解 我们记A=“任意选取一人, 此药对此人有效”. 而我们要求的概率为)2(=X A P . 由
题设条件知
4
1
)(,43)(==A P A P .
而
),2,1,0(!
5)|(,!3)(5
3 ==
===--k k e A k X P k e A k X P k k .
故由Bayes 公式知
)
()2()()2()
()2()2(A P A X P A P A X P A P A X P X A P =+===
=
8886.04
1!
254
3!
234
3!
23523232=?
+
??=
---e e e .
例8 (Poisson 分布在随机选择下的不变性, 也称为随机分流的不变性)
假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布, 而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p , 且每个顾客是否购买电视机是独立的, 问在这段时间内, 百货公司内购买电视机的人数为k 的概率有多大？
解 记X 为百货公司售出电视机的台数, 而N 为这段时间内进入百货公司的人数, 故由全概率公式知
!
)
()
()()(0
0n e
n N k X P n N P n N k X P k X P n n n λ
λ-∞
=∞
=∑∑========
由于在已知有N=n 名顾客进入百货公司的条件下, 百货公司售出电视机的台数服从参数为n 和p 二项分布, 即
?
?
?<≥-===-k
n k n p p C n N k X P k
n k k n 0)1()(
故
∑∞
=---==k n n k
n k
k n n e p p C k X P !
)1()(λ
λ
!)]1([)()!
(!!n e p p k n k n k n k k n λλλ--∞
=-?
-=∑
∑∞=----=
k
n k n k k n p k e p )!()]1([!)(λλλ
p k
p k
i i k e k p e e k p i p k e p λλλλλλλλ---∞
=-==
-=
∑!
)(!)(!)]1([!
)()1(0
即X 服从参数为p λ的Poisson 分布。
例9 设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为 ???
? ?
?7.03
.021
~X 而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U= X+Y 的概率密度g (u )
解 设)(y F 为Y 的分布函数, 则由全概率公式, 知U= X+Y 的分布函数为
)
2()2|()1()1|()
()()(==≤++==≤+=≤+=≤=X P X u Y X P X P X u Y X P u Y X P u U P u F U
)2|2(7.0)1|1(3.0=-≤+=-≤=X u Y P X u Y P
由于X 和Y 独立, 可见
)2(7.0)1(3.0)(-≤+-≤=u Y P u Y P u F U
)2(7.0)1(3.0-+-=u F u F
由此, 得U 的概率密度为
='=)()(u F u g U
)2(7.0)1(3.0-'+-'u F u F )2(7.0)1(3.0-+-=u f u f .
例10 从集},,2,1{N 中任意相继不放回地取出两个数21,X X ，求)(12X X P >
解 由全概率公式得
∑===>=>N
k k X P k X X X P X X P 1111212)()|()(
∑==>=N
k N
k X k X P 1
121
)
|( 而由于1
)|(12--=
=>N k
N k X k X P ，从而
21
)()1(111)(1112=--=--=>∑∑==N
k N
k k N N N N
N k N X X P . 3.2 随机和的相关问题的计算
3.3其他应用（如分布参数为随机的概率问题的计算等）
4. 全概率公式的推广与应用
4.1 连续型随机变量的情形
dx x f x X B P B P X )()()(?+∞
∞
-===
一般可用于二维随机变量的概率等的计算。
例11 假设甲、乙两种电器产品的使用寿命X 与Y 分别服从参数为μλ,的指数分布，且假定它们的寿命分布是相互独立的，试问产品甲的寿命比产品乙的寿命短的概率为多大？ 解 由公式知
dy e y Y Y X P dy
y f y Y Y X
P Y X P y
Y μμ-∞++∞
∞-?
?=<=
=<=
<0
)()()()(
μ
λλμμμλμ+=
-=<=-∞+--+∞
?
?dy e e dy e y X P y y y 0
)1()(
4.2 全期望公式——期望的求法之一
)()|(1
i i i B P B X E EX ∑∞
==
dy y f y Y X E EX Y )()|(?+∞
∞
-==
全概率公式的应用与推广 摘要;全概率公式是概率论的一个重要公式，也是概率论中的一个难点，它包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛。本文列举了几个例子并给出了三种推广形式，拓展了它在我们日常生活中的使用范围，进而成为我们解决类似的更加复杂问题的行之有效的工具，帮助我们更好地解决实际问题. 关键词;全概率公式 样本空间 事件 概率论是统计学在现实生活中应用的理论基础，它的特点是推理严谨和逻辑性较强，是学生学习中属于学习比较困难的学科，尤其是正确的应用全概率公式.在概率论中全概率公式是一个重要公式，它不仅含盖了事件的并和互不相容的概念，而且包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛. 1.全概率公式 性质（全概率公式）：假设对一个样本空间Ω，有12,,,n A A A 一列事件，若12,,,n A A A 为其的一个分割，即12,,,n A A A 互不相容，且Ω== n i i A 1，如果 ()()0,1,2,,,i P A i n >= ,则对任一事件B 有()()()i i 1P B P A P B|A n i ==∑)1(. 证明 如下图所示: 事件12,,,n A A A 中有且只有一个与事件B 同时发生，其中12,,,n A A A 互不相容，即∑==n i i BA B 1，显然12,,n BA BA BA 也互不相容. ∴由概率的加法公式和概率的乘法公式得：
全 在实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑。全概率公式就是一个运用这样思想去解决复杂问题的有力武器。 一、引例 例1 甲盒中有2只白球，5只红球；乙盒装中有3只白球，4只红球，现从 甲盒中任意取一只球放入乙盒，再从乙盒中任取一只球，求取到白球的概率。 分析：这是一个从未遇到的问题，在这个问题中，包含两个相继进行的随机试验，第一个是从甲盒中任取一只放入乙盒，第二个是从乙盒中任取一只。第二个随机试验的结果受到第一个结果的影响。现在的主要问题是不知道从甲盒中取出后放入乙盒中的球是什么颜色。 设{}A =从乙盒中取到白球，现在要求()P A 。 再设1{}B =从甲盒中取出的是白球，2{}B =从甲盒中取出的是红球。 现在我们来分析12A B B 与，的关系。 12A AB AB 发生当且仅当发生，即1212A AB AB AB AB ==+ 。则 121122()()()()(|)()(|)P A P AB P AB P B P A B P B P A B =+=+ 245323787856 =?+?=。 这就是将复杂事件分解为互不相容事件和的分析方法，现将此问题一般化抽象出全概率公式。 一、 全概率公式 定义1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω中的一组事件，且满足： ⑴ 互斥性 Φ(;,1,2,,)i j B B i j i j n =≠= ； ⑵ 完全性 1Ωn i i B == 。 则称12,,,n B B B 为Ω的划分。 例1中的12,B B 构成了样本空间的划分，下面我们利用维恩图来看一下例1
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 ~ 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648 = 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48344=??个，所以出现奇数的概率为 ` 48.0100 48 = （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48 = 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ；
全概率公式与贝叶斯公式解题归纳 来源：文都教育 在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果”，还是“由果索因”，因为全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率. 它们的定义如下： 全概率公式：设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个划分，如果()0,i P B > 1,2,,i n =L ，则对任一事件A 有 )|()()(1 i n i i B A P B P A P ∑==. 贝叶斯公式 ：设n ,B ,,B B 21 是样本空间Ω的一个划分，则 .,,2,1,)|()() |()()|(1n i B A P B P B A P B P A B P n j j j i i i ==∑= 例1 从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ，则(2)P Y == . 解 由离散型随机变量的概率分布有： (1)(2)(3)(4)14P X P X P X P X ========. 由题意，得 (21)0,(22)12,P Y X P Y X ====== (23)13,(24)14P Y X P Y X ======,则根据全概率公式得到
(2)(1)(21)(2)(22)P Y P X P Y X P X P Y X =====+=== (3)(23)(4)(24)P X P Y X P X P Y X +===+=== 111113(0).423448 =?+++= 例2 12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率. 解 令A={先取的1件为次品}，则,A A 为完备事件组，12(),(),33 P A P A = =令B={后取的2件皆为正品}，则2821128(),55C P B A C ==2721121(),55C P B A C == 由贝叶斯公式得 128()()()2355().128221()()()()()5 355355 P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ?====+?+? 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
全概率公式、贝叶斯公式推导过程 （1）条件概率公式 设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程 （1）条件概率公式 设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有： P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1) （3）全概率公式 1. 如果事件组B1，B2，.... 满足 1.B1，B 2....两两互斥，即B i ∩ B j = ?，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....; 2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分 设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则： 上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事
1绪论 1.1问题的提出 概率论是统计学在实际生活中应用的理论基础，在实际生活、生产、工作中经常会遇到各种各样有关于概率计算问题的模型或者事件，而往往有些实际事件的解决是十分复杂的，如果只是使用一般的概率计算方法是无法快捷甚至根本无法解决这些问题，而全概率公式是概率论中的一个重要公式，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，使用全概率公式解决问题可以借助引入各种小前提，将事件分解为两个或是若干个互不相容的简单事件的并集并且在每个小部分中可以比较容易的求得所需要的概率，从而进一步应用加法公式求出复杂事件的概率，所以针对某些复杂事件的处理一般可以使用全概率公式进行简化计算。 大家不禁思量，在解决概率问题时，使用全概率公式与使用一般方法相比有何不同？其优势体现在哪？全概率公式主要应用于哪些领域？本文主要探究的即是全概率公式在解决一些实际生活中遇到的问题中的应用以及其优势。 1.2使用全概率公式解决问题的意义 通过调查和统计我发现全概率公式的应用范畴十分广泛，同时其涉及领域也非常宽广。 我们可以看到，在现实的各种领域，比如生活、生产、经济、保险、投资、医疗等领域中，常常会涉及各种类型的概率计算，但是由于这些实际事件都会有着各种各样的限制条件或者其样本空间极为
复杂，因此在计算中也会遇到各种复杂问题。全概率公式的存在即有效地解决了一些复杂繁琐类的问题。在遇到使用一般方法进行处理分析十分麻烦乃至容易出错的复杂事件时，如果可以把这个事件分割成为互不相容的两个或者若干个简单事件，那么就可以运用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割，使原本复杂的事件转变为两个或者若干个简单事件，再使用条件概率对每个简单是件进行运算，最后运用加法公式将所有结果进行相加即可以准确便捷的得出结果，这也就是全概率公式的意义所在。灵活使用全概率公式有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。 1.3研究背景及预期结果 目前很多文献与论文都提及到了全概率公式的应用，但是一般都是对全概率公式进行证明、解释或者深度推广，其中很多文章都对全概率公式在某一部分领域的应用做出了阐释，并未能总结出全概率公式在各种领域中的实际问题上的应用。本文就是为了探求全概率公式在各种实际问题上的应用，归纳总结全概率公式的理解方法、求解问题时的分析方法、解决实际应用时的具体步骤以及应用此公式时应该注意的事项等几点研究体会，旨在更加完备的总结出全概率公式在解决各种复杂问题时的作用。 2全概率公式的概述 2.1全概率公式 全概率公式是概率论中的一个重要公式，它主要展示了“化整为零”的数学思想，将复杂的问题分割为两个或者若干个简单问题进行
全概率公式及其应用 (清华大学数学科学系 叶俊) 命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 1. 全概率公式和Bayes 公式 概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)| (i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要 使用全概率公式和Bayes 公式。 背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B B 12, 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率 P B A i ()，而后按各个后验概率P B A i ()的大小来推断患者患哪种病的可能性最大． 完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。 定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i ≠=φ 且Ω=∞ =i i B 1 。进而，如还有 ,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。 一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。 定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A ,有 )()()(1 i i i B A P B P A P ∑∞ == 定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足 P A ()>0, 则
全概率公式的推广及应用 摘要全概率公式是概率论中的重要公式，在实际生活中有广泛的应用，但 适用条件比较严格.本文给出五种全概率公式的推广形式，弱化了全概率公式事件列是互不相容的条件，拓展了使用范围，最后给出了相关的应用. 关键词概率空间;事件;全概率公式 Generalization and Applications of Full probability formula Xiaoye Cheng School of mathematics and computer science Abstract Full probability formula is one of the most important formula in probability theory. It has been used widely in real life. However, the conditions of this formula is very strict. In this paper, we give five kinds of generalized formula, which weaken the incompatible conditions in full probability formula. In the last section, we give some examples to show the applications of these generalized full probability formula. Keywords probability space;events; full probability formula 1、引言 我们学习了事件和概率，知道一个复杂事件的发生往往由多种条件导致，这时它的概率往往不易直接求得，在这种情况下复杂事件的概率就需要使用全概率公式，但全概率公式的使用条件比较有限，所以扩大全概率公式的使用范围，推广全概率公式是本文研究的内容.全概率公式是概率论中最基本的公式之一，提供了计算复杂函数概率的一条有效途径，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，但全概率公式的适用条件限制了它的使用范围，因此将全概率公式的条件弱化，扩大它的使用范围就成为我们研究的目标.本文给出了五种全概率公式的推广形式，进一步拓展了全概率公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工.
浅谈全概率公式及其应用 作 者：王托洛夫斯基文帅酷之健 指导教师：Yangjinying 摘要：本文分析了全概率公式的直观意义，介绍了使用全概率公式时寻找完备事件组的两种方法，并通过实例阐述了全概率公式在解决实际问题中的应用。 关键字：全概率公式；完备事件组；应用；样本空间 引言：概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一件伴随事件A 发生的完备事件组1B ,2B ,…，而计算各个i B 的概率与条件概率)|(i B A P 相对又要容易些，这是为了计算与事件A 有关的概率，可能需要是用全概率公式，本文就全概率公式及其应用做了详细的叙述。 一、 全概率公式及直观意义 全概率公式，又称全概公式，是指 ∑==n i i i A B P A P B P 1)|()()( 它实质上是一种分解式，若注意到 )()|()(i i i BA P A B P A P = 则求)(B P 的问题就转化为 +++)()()(321BA P BA P BA P …)(n BA P + 这里1BA ，2BA ，3BA ，…,n BA 两两互斥，注意到 321BA BA BA B =… n BA )(1 n i i A B == 就应有1A ,2A ,3A ,…，n A 两两互斥，且Ω== n i i A 1 于是1A ，2A ，3A …，n A 就成为一个完备事件组，这个完备事件组分割了事件B ，从而求)(B P 的问题最后归结为找一个合适的完备事件组的问题， 因此当事件B 比较复杂，直接计算)(B P 比较难时，设法找一个完备事件组1A ，2A ，3A ，…，n A 使 n i i BA B 1==，然后分别求出)(i BA P ，再相加，即可 求出)(B P 全概率公式的直观意义是：某事件B 发生的各种可能原因i A 1(=i ,2，3，…，)n 并且这些原因两两不能同时发生，如果B 是由原因i A 所引起的，
Advances in Education教育进展, 2017, 7(6), 328-333 Published Online November 2017 in Hans. https://www.doczj.com/doc/b713721329.html,/journal/ae https://https://www.doczj.com/doc/b713721329.html,/10.12677/ae.2017.76051 Some Famous Problems Solved by Full Probability Formula Xiaohan Yang School of Mathematics Science, Tongji University, Shanghai Received: Oct. 19th, 2017; accepted: Nov. 1st, 2017; published: Nov. 8th, 2017 Abstract Full probability formula is a basic subject of the theory of Probability. By presenting some inter-esting and famous problems that are applications of this subject instead of mathematics deduction, this paper attempts not only to illustrate how this extremely important formula comes into play but also to let individual feel it is fundamental and awesome to learn probability. Keywords Full Probability Formula, Monty Hall Problem, Simpson’s Paradox, Sensitivity Analysis 全概率公式解释的经典问题 杨筱菡 同济大学数学科学学院，上海 收稿日期：2017年10月19日；录用日期：2017年11月1日；发布日期：2017年11月8日 摘要 《概率论与数理统计》课程与实际问题联系非常密切，其重要性不言而喻。另一方面，不管是教科书还是学生，在教学和学习过程中都缺乏直接体会概率统计课程重要性的载体。本文尝试以课程中一个非常重要的公式——全概率公式为切入点，收集整理了用全概率公式解释的一些有趣的经典问题，并结合直观的树图讲解，使得学生在轻松掌握全概率公式这个知识点的同时，还有了利用概率统计方法解释现实中经典案例的直观体验，寓教于乐，提高学习积极性。
对全概率公式和贝叶斯公式的理解 我该怎么来理解这2个公式呢？打个比方，假设学校的奖学金都采取申请制度，只有满足一定的条件你才能拿到这比奖学金。那么有哪些原因能够使你有可能拿到奖学金呢？1、三好学生，拿到奖学金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好学生，拿到奖学金的概率是p(A2)=0.4。3、五好学生，拿到奖学金的概率是p(A3)=0.5。4、六好学生，拿到奖学金的概率是p(A4)=0.6。这些学生只能是三好四好五好六好学生种的一种，不能跨种类。这个学校学生是三好学生的概率是p(B1)=0.4，四好学生的概率是p(B2)=0.3，五好学生的概率是p(B3)=0.2，六好学生的概率是p(B4)=0.1。现在问题出来了，一个学生能够拿到奖学金的概率是多少？ 慢慢来分析，导致一个学生拿到奖学金的方式有哪些？这个学生是三好学生，刚好他又凭借三好学生的身份申请到了奖学金 p1=p(A1)*p(B1|A1)=0.4*0.3=0.12；这个学生是四好学生，刚好凭借他四好学生的身份拿到了奖学金，p2=p(A2)*p(B2|A2)=0.3*0.4=0.12；这个学生是五好学生，刚好凭借他五好学生的身份拿到奖学金，p3=p(A3)*p(B3|A3)=0.2*0.5=0.10；这个学生是六好学生，刚好凭借他六好学生的身份拿到了奖学金， p4=p(A4)*p(B4|A4)=0.1*0.6=0.06。四种方式都能导致一个学生拿到奖学金，那么拿到奖学金的概率为p=p1+p2+p3+p4=0.4.所以这么理解全概率公式：导致一个事件发生的原因有很多种（各种原因互斥），那么这个事件发生的概率就是每种原因引起该事件发生的概率的总和。 一个学生已经拿到了奖学金，这个学生是三好学生的概率是多少？ p=p1/(p1+p2+p3+p4)=0.3。怎么理解呢？一个事件已经发生了，有很多原因都能导致这个事件发生。那么其中的一种原因导致该事件发生的概率是多少？这就是贝叶斯概率公式解决的问题。就正如一本书现在已经被别人借走了（事件已经发生），已知只有可能是张三，李四，王五这3个人借走（事件发生的所有原因）。那么这本书被张三借走的概率会是多大呢？ 现在是不是已经理解了这2个公式呢。
【标题】全概率公式及应用 【作者】刘媛 【关键词】全概率公式随机事件条件概率 【指导老师】林昌盛 【专业】数学与应用数学 【正文】 一、引言 在研究实际问题的过程中,除了要考虑事件A的概率P(A)之外,还须考虑在“已知事件B已发生”条件事件A发生的概率.一般地说,后者的概率与前者的概率未必相同.为了清晰起见,第二类情况下的概率称为条件概率,记为P(A|B)或PB(A).条件概率是概率论中一个重要的基础概念,与之有关的三个重要公式是：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式,其中以乘法公式为基础的全概率公式在实际中有着广泛的应用.全概率公式就是把一个复杂的事件分解成若干个互不相容的简单事件,再由简单事件的概率求得最后的结果.本文在具体分析全概率公式的同时还发展出几个由全概率公式导出的推论,在分析其中定理的同时还运用其公式解决实际生活中比较典型的例 子. 二、全概率公式的基本理论 定义设A1,A2,…,An为n个事件,若满足： （1）完全性：A1∪A2∪…∪An＝Ω； （2）互不相容性：AiAj＝,i≠j,I,j＝1,2,…,n； （3）P(Ai)＞0,i＝1,2,…,n, 则称A1,A2,…,An为Ω的一个完备事件组. 定理1 设A1,A2,…,An为一完备事件组,则对任一事件B,成 立：＝ 分析：从形式上看,公式的右边比左边复杂.实质上,定理中给出的条件“B是任一事件”往往很复杂,要直接求出B的概率很难入手,若能把事件B分解为许多简单的、互不相容的事件之和,且这些事件的概率可求,则求出就迎刃而解了.从下面的证明,也可以看出这个思路. 证明：∵＝Ω＝( )＝ 由条件（2）AiAj＝,i≠j ∴(BAi)(BAj)＝B(AiAj)＝＝(i≠j) ∴＝( )＝ 由于＞0,应用乘法公式得：＝.这个公式称为全概率公式. 全概率公式中的条件（1）可推广为,得如下定理： 定理2 设（1）A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件；（2）.则对事件有＝. 分析：从形式上看, 是的一个子集,并且A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件,那么我
二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公 式 , , ∴
P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件 发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的. [例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是. [例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为
对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为
由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. [例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)} ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)} ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 由条件概率公式得,
全概率公式的分析与运用 41521335吕瑞杰 摘要：全概率公式的运用一直以来都是一个难点，尤其是对完备事件组的选择及理解上。本文从完备事件组到全概率公式的意义，都进行了较为详尽的分析。指出了可运用全概率公式的随机试验分析。并且通过举例全方位加强了对全概率公式的分析运用。 关键词：全概率公式；完备事件组；分析；运用 在概率的计算中,有时必须综合利用加法公式与乘法公式,而这就是全概率公式。使用全概率公式的关键是找到一个完备事件组。对于这类问题,在如何划分互不相容的“简单”事件找到完备事件组从而达到求解目的的方法思路,也由于题目的意义不同而多变化,怎样把一个复杂事件分解为若干互不相容的“简单”事件?本文通过对一些典型题目的分析研究,总结出一个求解上述问题的分析方法、解题步骤,以便更好地解决这类问题。 全概率公式：设试验E 的样本空间为?，B 为 E 的事件，12,...n A A A 是?的一个完备事件组，且(A 0)(i 1,2...,n)j P >=，则 1(B)(A )(B |A )n i i i P P P ==∑ 应用示例： 两台机床加工同样的零件,第一台的废品率是0. 03,第二台的废品率是0. 02,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,求任意取出的一个零件是合格品的概率。 分析：要正确而熟练地运用全概率公式,必须首先对公式的内涵有一个清楚的了解,从公式 1(B)(A )(B |A ) n i i i P P P ==∑ (1,2,...,)i n =的结构可以看出:(A )i P 是我们考虑导致事件B 发生时的若干不同的假设情况的概率,它们都可以从题中的所给已知条件直接得出,(B|A )i P 所表示的是在若干假设事件A i 发生的条件下事件B 发生的概率,即我们可以从中看到先有A i 后有B ,且A i 互不相容,也就是只有A i 发生了,才有B 发生的可能,此即应用公式时的两个前提条件:A i 的完全性与互不相容性,而且当A i 发生后B 发生的条件概率就好求了,此时具备了完全性与互不相容性的
1-3 全概率公式与贝叶斯公式的运用举例一、全概率公式 是一个完备事件组并且P P(B)= 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： ①找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为 ②命名目标的概率事件为事件B ③带入全概率公式求解 下面是具体实例对全概率公式的运用 1、甲盒子里面有4个红球3个白球，乙口袋有2个红球，5个白球，从甲口袋随机拿出一个球放到乙口袋，然后从一口袋中随机拿一个球，求这个球是红球的概率。 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“从乙里面取出红球” ③全概率公式求解 P(B)=P()P(B|+ P()P(B|= 2、甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“从袋子里面取出白球” ③全概率公式求解 P(B)=P()P(B|+ P()P(B|= 3、某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、 三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“射手通过选拔赛” ③全概率公式求解 P(B)=P()P(B|+ P()P(B|+ P()P(B|+ P()P(B| =
= 二、贝叶斯公式 是一个完备事件组并且P P(|B)= 贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求出事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下： ①找出目标条件所在的完备事件组，并命名 ②命名已知会发生的结果事件 ③带入贝叶斯公式求解 下面是具体实例对全概率公式的运用 4、某学生接连参加同一课程的考试两次，两次相互独立，第一次及格的概率是P，如果第一次及格，那么第二次及格的概率也是P，如果第一次不及格，那么第二次几个的概率就是,如果他第二次考试及格了，求第一次考试及格的概率 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“第二次考试及格” ③贝叶斯公式求解 == 5、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“汽车停车修理” ③贝叶斯公式求解 = 6、甲袋中有4个红球，3个白球，乙袋中2个红球，5个白球，从两个袋子里任取一个袋子出来，然后从这个袋子里面拿出一个球，结果是红球，求这个球是从甲袋取出来的概率。
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记A i ={球取自i 号箱}, i =1,2,3; B ={取得红球}即 B= A 1B+A 2B+A 3B ， 且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥 B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3 之一同时发生，P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B ) 123
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每一项 运用乘法公式得P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B ) ∑==3 1i i i A B P A P B P )()()(｜代入数据计算得：P (B )=8/15
∑==n i i i A B P A P B P 1) ()()(｜全概率公式: 则设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，即 n i i A B 1=?
设S 为随机试验的样本空间，A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i =1,2,…,n , ∑==n i i i A B P A P B P 1) ()()(｜全概率公式: 称满足上述条件的A 1,A 2,…,A n 为完备事件组. ,1S A n i i == 则对任一事件B ，有
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648 = 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48 = （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48 = 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ；
3.全概率公式和贝叶斯公式 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式 【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。 【学情分析】： 1、知识经验分析 前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。 3、情感态度与价值观 通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。 难点：全概率公式和贝叶斯公式各自的适用条件及不同的情形。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 引例：三个罐子分别编号为 1， 2，3，1号装有 2 红 1 黑球， 2号装有 3 红 1 黑球，
3号装有 2 红 2 黑球。 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。 解：记 i B ={ 球取自i 号罐 } i =1， 2， 3； A ={ 取得红球 }，显然 A 的发生总是伴随着 123B B B ，，之一同时发生，即123+A AB AB AB =+，且123,,AB AB AB 两两互斥。 123()()+()()P A P AB P AB P AB =+3 1 ()(|)i i i P B P A B ==∑P (A |B 1)=2/3， ()23 4 P A B = ()312 P A B = 代入数据计算得：()0.639P A = 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、全概率公式 1、全概率公式： 定义 3 若 n 个事件 12......n B B B ， 满足 1 n i i B S ==U ， i j B B =Φ(),,1,2,i j i j n ≠=L ，则称 12......n B B B ， 为 S 的一个划分， 或称其是一 个完备事件组。 定理 设 12......n B B B ，是 S 的一个划分，且 ()0,1,2,....i P B i n >= 则对任一事件 A S ?，有1 ()()(|)n i i i P A P B P A B ==∑ 例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解： 设事件A 为“任取一件为次品”， 摂,1,2, 3.i B i i =事件为任取一件为厂的产品123, B B B S =U U ,,1,2,3.i j B B i j =?=由全概率公式得 【设计意图】：通过这个例子，让学生感受全概率公式解决实际问题的重要性 。 三、贝叶斯公式 贝叶斯（Bayes ）公式 ) ,,2,1() ()() ()()(1 n i B P B A P B P B A P A B P n k k k i i i Λ== ∑-其中12......n B B B ，为样本空间S 的一