角的概念的推广和弧度制 知识点归纳
1、如果角α和β终边相同，则α与β的关系是 。
2、几种终边在特殊位置时对应角的集合为：
3、弧度制定义：我们把长度等于 长的弧所对的 叫1弧度角 角度制与弧度制的互化关系： 。
1︒= 。 1弧度= 度≈ 。
4、弧长公式： 。（α是圆心角的弧度数）
5 扇形面积公式：_______________________S ==
技巧：求n
α所在的象限 把单位圆在各象限的圆弧都n 等分，从正半轴开始沿逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止，则有标号n 的就是
n α所在象限数。 例题：
一、角的概念
例1、以下结论正确的是
A ．终边相同的角一定相等
B ．第一象限的角都是锐角
C ．终边在x 轴上的角可以表示为2()k k Z π∈
D ．sin cos y x x =+是非奇非偶函数 例2、已知α为第三象限角，则2
α所在象限为 。
例3、 若角α是第二象限角，则
2
α是第 象限角，α2是第 。象限角。 二、弧度制及弧长公式 例4、一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是 弧度， 度，扇形的面积是 。
例5、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 。 练习：
1、在下列各组角中，终边不相同的一组是（ ） A ︒60与︒-300 B ︒230与︒950 C ︒1050与︒-300 D ︒-1000与︒80
2、下列各命题中，真命题是（ ）
A 、每一象限角是锐角
B 、直角不是任何象限角
C 、第二象限角比第一象限角大
D 、三角形的内角一定是第一或第二象限角
3、若角α是第三象角，则角2
α是（ ）的角； A 、第一象限或第三象限 B 、第二象限或第三象限 C 、第二象限或第四象限 D 、第一象限或第四象限
4、角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（ ）
A 、}225,45{︒︒
B 、},4|{Z k k ∈+=π
παα C 、},42|{Z k k ∈+=π
παα D 、},4|{Z k k ∈±=π
παα
5、若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角的所夹扇形的面积为（ ）
A 、2sin 1
B 、2sin 12
C 、1
sin 12 D 、1tan 6、若rad 3-=α，则它是（ ）
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角
7、在不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（ ）
A 、弦长相等
B 、弧长相等
C 、弦长等于所在圆的半径
D 、弧长等于所在圆的半径
8、角
π3
16化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式是（ ） A 、35ππ+ B 、 344ππ+ C 、326ππ- D 、373ππ+ 9、一个半径为R 的扇形，它的周长为R 4，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
A 、2)1cos 1sin 2(21R -
B 、21cos 1sin 21R
C 、22
1R D 、2)1cos 1sin 1(R - 10、 已知集合{}Z k k k M ∈+≤≤=,)12(2|παπα，{}66|≤≤-=ααN ，则=N M （ ）
A 、∅
B 、 {}παπαα260|≤≤≤≤或
C 、 {}παα≤≤0|
D 、
{}παπαα-≤≤-≤≤60|或 11、第三象限角的集合为：
12、在区间]360,720[︒︒-上且与角︒125终边相同的角是：
13、在扇形中，圆心角所对弦长等于半径，则这个圆心角的角度数为
14、若22π
βαπ
<<<-，则角βα-的取值范围是
17、已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角θ为何值时，扇形的面积S 最大，并求出S 的最大值；
答案：
1、C
2、B
3、C
4、B
5、C
6、C
7、D
8、B
9、D 10、D
11、⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322|ππαππα 12、︒-595、︒-235、︒125 13、︒60 14、)0,(π- 15、当5=r 时面积最大，最大值为25
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
角概念的推广与弧度制 【知识导图】 知识讲解 知识点1 角的有关概念 1、从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角. 2、从终边位置来看，可分为象限角与轴线角. 3、若β与α是终边相同的角，则β用α表示为()2k k Z βπα=+∈. 知识点2 角度与弧度 1、弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、角α的弧度数 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是l r α=. 3．角度与弧度的换算①1180rad π ︒=；②1801rad π⎛⎫ =︒ ⎪⎝⎭ . 4．弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，则l r α=，扇形的面积为211 22 S lr r α= =. [易错提醒] 角度制与弧度制不可混用 角度制与弧度制可利用180rad π︒=进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 知识点3 任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么sin y α=，cos x α=，y tan x α= 角的概念与弧度制 任意角 角的概念的推广 角的分类终边相同的角弧度制 定义 弧度制与扇形 任意角的三角函数 三角函数的定义 三角函数的符号三角函数线
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()1,0. [方法技巧] 三角函数值符号记忆口诀 记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 知识点4 三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于 x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos sin αα，，即 ()P cos sin αα，，其中cos OM α=，sin MP α=，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切 线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余 例题讲解 【例题1】与263-︒角终边相同的角的集合是（ ） A ． {α|α=k ⋅360°+250°,k ∈Z } B ． {α|α=k ⋅360°+197°,k ∈Z } C ． {α|α=k ⋅360°+63°,k ∈Z } D ． {α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z } 【答案】D 当α终边相同的角与α相差360°的整数倍，所以，与−263°角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z }，故选D ． 【例题2】9°=（ ） A ． π 36 B ． π 20 C ． π 10 D ． π 9 【答案】B 由角度制与弧度制的转化公式可知：9∘=9 180π=π 20.本题选择B 选项. 【例题3】已知0240的圆心角所对的弧长为8m π，则这个扇形的面积为_______2m . 【答案】24π 04 240π3 = 弧度．
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
1. 主要内容：角的概念的推广，弧度制 2. 知识点： ①角的定义：初中：是从一点出发的两条射线形成的几何图形。 现在：角是一条射线绕其端点旋转而成的。规定按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，称它形成的角叫做零角。 ②象限角：在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴非负半轴重合，这时角的终边（端点除外）在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，则认为此角不在任何象限。 ③终边在x轴非负半轴上角的集合是{α|α=k·360°，k∈Z}，终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，终边在第一象限的角的集合是： ④若α是锐角，则角α终边在第一象限，角180°－α终边在第二象限，角180°＋α终边在第三象限，角360°－α终边在第四象限。 ⑤弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 （其中α为圆心角的弧度数） 【典型例题】 例1. 写出与－1840°终边相同的角的集合M （2）把－1840°的角写成k·360°+α（0°≤α<360°）的形式。 （3）若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α 解： 小结：在0°到360°角范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行，因为任意一个角α均可写成k·360°+α1（0°≤α1＜360°）形式，所以与α终边相同的角的集合也可写成{β|β=k·360°+α1，k∈Z}，如本题M={β|β=k·360°+320°，k∈Z}，由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k=－1和0即可。
例2. 解：由α在第二象限，则90°+k·360°<α<180°+k·360°k∈Z， 小结： 例3. 已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为多大时，求它的最大面积？ 解：设扇形的弧长为l，半径为R，由已知条件： 小结：当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值，其求法是把面积S转化为关于R的二次函数，但要注明R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必需满足0 第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 知识梳理． 一、角的概念 1．角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，叫做________．按逆时针方向旋转所形成的角叫做________，按顺时针方向旋转所形成的角叫做________，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个________．射线的起始位置称为________，终止位置称为________．射线的端点叫做角的________． 2．角的分类：__________________. 3．象限角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的________在第几象限，就说这个角是第几象限的角．4．轴线角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边落在________，就说这个角是轴线角．5．区间角：区间角是介于两个角之间的所有角，如： 6．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合(连同角α在内)，可以记为_____________________________． 1．1弧度角的定义：我们把长度等于________的弧所对的圆心角叫做________角.1弧度记作1 rad. 用弧度作为度量角的制度，叫做________． (1度的角：把周角分成360等份，则其中1份所对的圆心角叫做1度的角．用度作为度量角的制度，叫做角度制) 2.角度制与弧度制的互化：180°＝πrad ,1°＝rad；1弧度≈57.3°. 度30°45°60°90°120°135°150° 弧度______ 度210°225°240°270°300°315°330° 弧度____________ 4．扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2. 三、任意角的三角函数 1．三角函数的定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点P(x，y)，点P到原点的距离记为r(r＝>0)，那么sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 注意：上述比值不随点P在终边上的位置的改变而改变． 2．三角函数在各象限的符号. 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得到三角函数在各象限的符号如上表．也可概括为如下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．若终边落在坐标轴上，则可用定义求出三角函数值． 角的概念的推广和弧度制 知识点归纳 1、如果角α和β终边相同，则α与β的关系是 。 2、几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 3、弧度制定义：我们把长度等于 长的弧所对的 叫1弧度角 角度制与弧度制的互化关系： 。 1︒= 。 1弧度= 度≈ 。 4、弧长公式： 。（α是圆心角的弧度数） 5 扇形面积公式：_______________________S == 技巧：求n α所在的象限 把单位圆在各象限的圆弧都n 等分，从正半轴开始沿逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止，则有标号n 的就是 n α所在象限数。 例题： 一、角的概念 例1、以下结论正确的是 A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．终边在x 轴上的角可以表示为2()k k Z π∈ D ．sin cos y x x =+是非奇非偶函数 例2、已知α为第三象限角，则2 α所在象限为 。 例3、 若角α是第二象限角，则 2 α是第 象限角，α2是第 。象限角。 二、弧度制及弧长公式 例4、一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是 弧度， 度，扇形的面积是 。 例5、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 。 练习： 1、在下列各组角中，终边不相同的一组是（ ） A ︒60与︒-300 B ︒230与︒950 C ︒1050与︒-300 D ︒-1000与︒80 2、下列各命题中，真命题是（ ） A 、每一象限角是锐角 B 、直角不是任何象限角 C 、第二象限角比第一象限角大 D 、三角形的内角一定是第一或第二象限角 3、若角α是第三象角，则角2 α是（ ）的角； A 、第一象限或第三象限 B 、第二象限或第三象限 C 、第二象限或第四象限 D 、第一象限或第四象限 4、角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（ ） A 、}225,45{︒︒ B 、},4|{Z k k ∈+=π παα C 、},42|{Z k k ∈+=π παα D 、},4|{Z k k ∈±=π παα 5、若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角的所夹扇形的面积为（ ） A 、2sin 1 B 、2sin 12 C 、1 sin 12 D 、1tan 6、若rad 3-=α，则它是（ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 7、在不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（ ） A 、弦长相等 B 、弧长相等 C 、弦长等于所在圆的半径 D 、弧长等于所在圆的半径 8、角 π3 16化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式是（ ） A 、35ππ+ B 、 344ππ+ C 、326ππ- D 、373ππ+ 9、一个半径为R 的扇形，它的周长为R 4，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A 、2)1cos 1sin 2(21R - B 、21cos 1sin 21R C 、22 1R D 、2)1cos 1sin 1(R - 10、 已知集合{}Z k k k M ∈+≤≤=,)12(2|παπα，{}66|≤≤-=ααN ，则=N M （ ） 《角的概念的推广与弧度制》 一、复习要求： 1． 理解正角、负角、零角这三个概念，关键是终边的旋转方向。 2． 象限角、区间角、终边相同的角和轴线角这几个概念的区别与联系。 3． 正确理解几个有特殊含义的角，如：“00到0 90的角”、“第一象限的角”、“锐角” 和“小于090的角”。 4． 角度制与弧度制的区别与联系（角度与弧度的相互转化）。 二、复习重点： 1． 识别、理解并能正确表示各种角，理解弧度制概念的建立及弧度与角度的换算。 2． 能按不同的要求写出符合条件的角的集合和有符号语言正确地表示它们。 三、复习过程： 1．知识及重要方法落列： 正角、负角、零角；象限角、区间角、终边相同的角和轴线角；角度与弧度的相互转化。 方法：例举法，特殊值法，分类讨论，几何法，数形结合。 2．典型例题分析： 例1．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？ 解：2小时40分=38小时，ππ316382-=⨯-∴ 故分针走过的角为π3 16- 。 练习1： 将钟表上的时针作为角的始边，分针作为角的终边，那么当钟表上显示8点5分时，时 针与分针构成的最小正角是 （逆时针旋转为正，顺时针旋转为负） 例2．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，当大链轮转过一周时，求小链转 过的弧度数。 解：当大链轮转过一周，即转过48个齿时，小链轮也必须同步转过48个齿，故小链轮转过了5 122048=周。 所以，小链轮转过的弧度数为ππ5 242512=⨯。 练习2： 直径为10cm 的 滑轮上有提条长为6cm 的弦，P 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的 角速度旋转，则 经过5秒钟后，点P 经过的弧长等于 。 例3．弧度为2的圆心所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是多少？这个圆心 角所夹的扇形的面积是多少？ 解：如图，过O 作 AB OD ⊥ 于D 。有垂径定理知D 为AB 的中点， ,121==∴AB AD rad AOB AOD 12 1=∠=∠ ：1 sin 1=OA l=|a|r ，得1 sin 21sin 2=⨯=i l 角的概念的推广与弧度制中的常见陷阱分析 推广后角的概念和弧度制是三角函数学习的基础，因此要熟练掌握推广后角的概念与弧度制.初学者往往会因对所涉及的相关概念理解不透彻及对公式使用条件没有正确的认识等造成错误.下面举例说明. 陷阱一、忽视角的旋转方向对角的正、负影响 例1时间经过4小时，时钟分针各转了多少度？各等于多少弧度？ 错解：时针转了120?，等于2π 3 弧度；分针转了4 ×360?＝1440?，等于8π弧度. 辨析：时钟的时针、分针均是顺时针方向旋转，其报旋转的角应为负值， 正解：时针顺时针旋转了120?，等于2π 3 弧度；分 针顺时针旋转了4×360?＝1440?，等于8π弧度. 所以，时针转了－120?，等于－2π 3 弧度；分针转 了－1440?，等于－8π弧度. 特别提醒：在角的概念推广中，要抓住角的始边的旋转方向与“＋、－”的对应关系，即“逆时针”对应“＋”，“顺时针”对应“－”. 陷阱二、忽视轴线角的存在 例2若α为第二象限的角，则角2α终边所在的位置(象限角或轴上角). 错解：∵α为第二象限的角，∴90?＋k ·360?＜α＜180?＋k ·360?，k ∈Z ， ∴180?＋2k ·360?＜2α＜360?＋2k ·360?，k ∈Z ， ∴角2α终边所在的象限是第三或第四象限. 剖析：上面的解法只考虑到象限角，而没有考虑到轴线角，即2α的终边还可以是终边落在在y 轴非正半轴上的轴线角，因此产生了漏解. 正确：同错解，得180?＋2k ·360?＜2α＜360?＋2k ·360?，k ∈Z ， ∴角2α终边所在的象限是第三或第四象限，或是在y 轴非正半轴上的轴线角. 特别提醒：轴上角由于位置比较特殊，往往比较容易忽略，因此在我们的思维中要建立考虑角的位置时就必考虑轴线角的意识. 陷阱三、忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 例3用集合表示终边在阴影部分的角α的集合. 错解：由图1知，终边落在 射线OA 上的角为2k π＋π 4 (k ∈Z), 终边落在射线OB 上的角为2k π＋5π 6 (k ∈Z). ∴终边落在图中阴影部分的 集合为α∈{α|2k π＋ 5π6 ≤α≤2k π＋π 4，k ∈Z}. 剖析：上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等式，左边的比右边的大. 正解：由图知，终边落在射线OA 上的角为2k π ＋π 4(k ∈Z)，终边落在射线OB 上的角应写为2k π－7π6(k ∈Z). ∴终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|2k π－7π6≤α≤2k π＋π 4 ，k ∈Z}. 陷阱四、混用角度制与弧度制 特别提醒：利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则：(1)按逆时针方向书写；(2)表示区域角的不等式两个端点值相差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的角的最小差值. 例4用集合表示终边在阴影部分的角α的集合. 错解：由图2知，终边落在AB 直线上的角为k π＋60?(k ∈Z)，终边落在CD 直线上的角为k π＋150?(k ∈Z). ∴终边落在图中阴影部 分的集合为α∈{α|k π＋ 60?≤α≤k π＋150?，k ∈Z}. 剖析：上述解答的结果中角的表达式混用角度制与弧度制，忽视了表示角的统一性. 正解：由图知，终边落AB 直线上的角为k π＋π 3 (k ∈Z)，终边落在CD 直线上的角为k π＋5π 6 (k ∈Z). ∴终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|k π＋ π 3 ≤α≤k π＋5π 6 ，k ∈Z}. 特别提醒：在角的概念推广后，又引入了弧度制，只要我们注意把角的表示统一到弧度制上或角制上，就可以避免混用角度制与弧度制的错误. 陷阱五、忽视弧长公式与扇形面积公式的使用条件 例5已知扇形的半径为1cm ，圆心角为30?，求扇形的弧度和面积. 错解：由题意知扇形的弧长L ＝r|α|＝1×30＝30(cm)， 所以S ＝12r 2|α|＝1 2 ×12×30＝15(cm 2). 剖析：上述解法忽视了公式L ＝r|α|与S ＝1 2 r 2| α|这两个公式使用的条件是α必须用弧度数表示. 图1 图2 角的概念的推广 一、考点突破 1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同 的角”的含义； 2. 掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 3. 体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 二、重难点提示 重点：掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 难点：终边相同的角、第几象限角的表示。 1. 角的概念的推广： 一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O 点，可以向两个方向旋转：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转时，也看作一个角，叫零角。这样就形成了任意大小的角。 2. 记法与运算： （1）记法： 射线OA 绕O 点旋转到OB 所成的角记作∠AOB ； 射线OB 绕O 点旋转到OA 所成的角记作∠BOA ； （2）运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和： 射线OA 绕点O 旋转到OB ，又从OB 旋转到OC ，得到∠AOC ，这个过程可表示成角的运算：∠AOC=∠AOB+∠BOC 。 3. 终边相同的角： 与α终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈??+=αββ。 4. 象限角： 角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，此时终边在第几象限，则称这个角是第几象限角。 例题1 射线OA 绕点A 顺时针旋转80°到OB ，再逆时针旋转300°到OC ，再顺时 针旋转100°到OD 位置，求AOD ∠的大小。 思路分析：利用正负角的概念结合角的运算求解。 答案：解：AOD ∠=AOB ∠+BOC ∠+COD ∠=?=?-+?+?-120)100(300)80(。 例题2 在ο0～ο 360之间,找出下列终边相同的角,并判定它们是第几象限角: （1）?-150；（2）?650；（3）'?-15950。 思路分析：把负角逆时针旋转一周或者几周，即可得到ο0～ο360之间的角，把超过ο360 的角顺时针旋转一周或者几周，即可得到ο0～ο360之间的角。 答案：（1）?=?+?-210360150，第三象限角； （2）?=?-?290360650，第四象限角； （3）95015360312945-?'+??=?'，第二象限角。 例题3 写出终边在下列位置上的角的集合。 （1）在坐标轴上； （2）在第三象限； （3）在第一和三象限； （4）在y 轴左方。 思路分析：（1）利用旋转的方法，选择0°开始，旋转k 个90°，即得坐标轴上的所有角；对于（2）（3）（4）表示某一区域内的角，可以选择这一区域边界上的一条射线或直线逆时针旋转到另一边界，然后将终边在两边界上的角的集合用不等式连接起来即可。 答案： （1）{} 90,k k Z αα=?∈o ； （2）{}180********,k k k Z αα-+?<<-+?∈o o o o ； （3）{}18090180,k k k Z αα?<<+?∈o o o ； （4）{}90360270360,k k k Z αα+?<<+?∈o o o o 。 【综合拓展】 当α是第一象限角时，请在坐标系内画出 3 α 所在的位置。 思路分析：根据α是第几象限角，表示出α的范围，进而求出3 α 的范围，再根据范围判断是第几象限角。 答案：以α是第一象限角为例： 角的概念的推广和弧度制、任意角的三角函数 【基础知识】 1．角的概念 (1)任意角： ①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360° ＋α，k∈Z}． (3)象限角： ①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那 么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． ②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数 是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝l r，l是以角α作为圆心 角时所对圆弧的长，r为半径．比值l r与所取的r的大小无关，仅与角的大小 有关． (3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ π 180rad,1 rad＝? ? ? ? ? 180 π°. (4)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝1 2lr＝ 1 2|α|·r 2. 3．任意角的三角函数 (1)任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y x.三个三角函数的初步性质如下表： 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. (Ⅱ) (Ⅲ)(Ⅳ) 为正弦线；有向线段OM为余弦线；有 [ 1．对角概念的理解要准确 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的 角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α 任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3、终边相同的角与象限角： 与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角． 知识点二：弧度制 弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若 0| cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如 浅谈从角的推广到弧度制的建立 1、角的概念的推广. 静态地，我们把有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.同时我们还知道，角可以动态的看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分为角的内部.当时，不考虑旋转方向，不论从OA旋转到OB还是从OB旋转到OA，它们旋转的绝对量都是一样的，而且旋转的绝对量不超过一个周角. 在实际生活中还会遇到角的旋转量超过一个周角的情况.例如，父母让孩子独自乘坐摩天轮，而父母分别站在摩天轮的两侧，当摩天轮转动起来后，父亲看到的转动方向与母亲看到的转动方向是相反的，如果父亲看到的是顺时针转动，则母亲看到的就是逆时针转动，一圈又一圈地转动着.这就是说，角度可以不限于0—360度的范围，而且角度还应该考虑到方向.为了描述这种现实状况，我们把角的概念加以推广. 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角. 角的概念经过以上的推广以后，就应该包括正角、负角、零角，也就是可以形成任意大小的角. 在直角坐标系中讨论角，是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不在任何象限，称作轴线角（也称象限界角） 2、角度制的产生历史. 如何度量一个角的大小？无论是从理论上，还是历史事实上，都有很多办法.最常见的一种办法就是我们熟悉的角度制：把圆周等分成360份，其中的一份圆弧所对应的圆心角就是1°.用度作为单位来度量角的单位制就是角度制. 选择360是有一定意义的. 历史方面，公元前1800年，巴比伦人建立起了独特的60进制计数系统.在天文观测上，巴比伦人记太阳在黄道上一日所行为一度，365.25天一年一圈，为了方便计算，将圆形定为360份，一年四季各有90份，每个月占30份.因此有了30、60、90、180、360这样的数据.在巴比伦人发明了60进制后，角的度量问题上不仅选择了360，进而规定1份可等分为60小份，1小份还可等分为60更小份.应用价值方面，由于360不大不小而且有多个因子，所以在这种制式下，直角、平角、半个直角等很多典型的角都可以用整数表示出来，很多正多边形的 高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类⎩ ⎪⎨⎪⎧ 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 二、常用结论汇总 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角 三、考点解析 考点一 象限角及终边相同的角 例、(1)若角α是第二象限角，则α 2 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 跟踪训练 1．集合},4 {Z k k k ∈+ ≤≤π παπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 高中数学弧度制知识点 任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若，求和的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ． 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30?；390?；?330?是第 象限角 300? 60是第 象限角 585? 1180?是第 象限角 2000是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③{第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（B） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置. 解 ∵是第二象限的角。 ∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）. （1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z）。 角的概念的推广弧度制 题型一：角的概念的推广 【知识】 1．角的旋转定义：． 2．角的大小扩大： 正角：；负角：；零角：． 3．研究角的工具：平面直角坐标系． 单独的一个角，由其终边位置，分为象限角、轴线角两类： 4．象限角、轴线角： 〔1〕象限角：第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角；如－330°、135°、-120°、-30°角，分别是第一、二、三、四象限的角． 〔2〕轴线角：终边落在坐标轴上．如－90°、180°、90°、360°角，都是轴线角； 【稳固与应用】 例1 概念辨析： 〔1〕锐角；第一象限角；0°～90°的角；小于90°的角． 〔2〕钝角；第二象限角；90°～180°的角；小于180°的角． 题型二：终边一样角集合定理及其应用 【知识】 1．研究多个角时，主要从它们的终边位置关系入手，分终边一样的角、终边对称的角两类．2．终边一样的角集合定理： 所有与角α终边一样的角β，连同角α在，构成的集合S＝． 推论1： 第Ⅰ象限角集合：；第Ⅱ象限角集合：； 第Ⅲ象限角集合：；第Ⅳ象限角集合：； 推论2： 终边在x轴非负半轴上的角集合：；终边在x轴非正半轴上的角集合：； -终边在x轴上的角集合：；终边在y轴非负半轴上的角集合：； 终边在y轴非正半轴上的角集合：；终边在y轴上的角集合：． 3．终边对称的角的结论： 如果角α、β终边关于x轴对称，那么α、β的关系为：； 如果角α、β终边关于y轴对称，那么α、β的关系为：； 角α、β终边关于原点对称〔共线〕，那么α、β的关系为：． 【稳固与应用】 例1当α分别为一、二、三、四象限的角时，探究二倍角2α、半角2 α的终边分布规律． 结果： 例2写出与以下个角终边一样的角的集合S，并把S中适合不等式360720 β -︒≤<︒的元素写出来：〔1〕60°14′；〔2〕-21°；〔3〕363°14′． 1．假设18045 =⋅+，Z αk k∈，那么角α所在象限为 A A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限 2．假设φ是第二象限角，那么2 -都不是 φ和2 πφ A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角 3．〔1〕α分别为三象限的角，那么2 α所在的象限为 D A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限 〔2〕假设角θ的终边与67 π的终边一样，那么在[0,2)π终边与3 θ角的一样的是．27 π π20π3421 题型三：弧度制及其结论的应用 【知识】 1．度量角的体制有两种，一个是角度制，另一个是弧度制．弧度制是另一种度量角的单位制．单位，符号：． 2．1弧度角的规定：． 3．圆中重要的比例关系：同圆或等圆中，两个圆心角之比等于它们各自所对的弧长之比．【稳固与应用—弧度公式、根本换算关系及弧长扇形面积公式】 例1 推导弧度公式：l α =． r 证明：设圆心角α弧度数绝对值为||α，所对弧长l，圆半径r．∵1rad的圆心角所对弧长为，∴||α弧度的圆心角所对弧长为，又||α弧度的圆心角所对弧长为l，∴l=，于是有||α=．即||α=．注：角的概念推广后，弧度的概念也随之推广，即： 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； 例2 推导角度与弧度互换的根本关系、特殊角的弧度与角度互换关系． 提示：〔1〕角度换算成弧度的根本关系为：高中数学第一课-三角函数--角的概念、弧度制-任意角的三角函数t
20、角的概念的推广和弧度制
角的概念的推广与弧度制
角的概念的推广与弧度制中的常见陷阱
必修4第一章任意角的概念与弧度制,三角函数定义
12角的概念的推广和弧度制
任意角的概念与弧度制
任意角及弧度制知识点总结
浅谈从角的推广到弧度制的建立
高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数
高中数学弧度制知识点
角的概念的推广弧度制
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