轴对称作图及实际应用（讲义）
?课前预习
1.尺规作图书写作法时注意：
点线取__________，作弧说__________．
应用作图：
①______________________，设计作图方案；
②调用__________________完成图形．
2.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什
么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？
街道
居民区B 居民区A
?知识点睛
1.五种基本作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角；
③作已知角的角平分线；
④作已知线段的垂直平分线；
⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．
2.轴对称最值问题：
（1）特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．
（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．
例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．
B
A
l
?精讲精练
1.作已知线段的垂直平分线．
已知：线段MN．
求作：直线AB，使AB垂直平分MN．
M
N
作法：
（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作弧，两弧相交于点A和点B；
（2）_______________________________________．
_______________________________________．
2.（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．
已知：A为直线MN上一点．
求作：直线AB，使AB⊥MN．
A
作法：
①________________________________________________
________________________________________________；
②________________________________________________
________________________________________________；
③________________________________________________．
_________________________________________________．
（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．
已知：A为直线MN外一点．
求作：直线AB，使AB⊥MN．
A
M N
作法：
①________________________________________________；
②________________________________________________
________________________________________________；
③________________________________________________
________________________________________________；
④________________________________________________．
_________________________________________________．
3.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两
个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？（不写作法，保留作图痕迹）
4.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷
泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A，B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
5. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上
求作一点R ，使△PQR 的周长最小．
F
E
D B
A
第5题图 第6题图
6. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的
动点，E 是AC 边上一点．若AE =2，当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．
7. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂
直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，
则△BDM 的最小 周长为_________．
8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点
M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．
M F
E
D C B A
9. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，∠BAD =110°，在BC ，CD 上分别
找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，求∠AMN +∠ANM 的度数．
A B
C
D M
N
D
C
B
A
10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两
个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．
【参考答案】
?课前预习
1. 名称、心径
画出草图，基本作图2. 图略
?知识点睛
2. （1）定直线，（2）将折线转直
图略
?精讲精练
1.图略
（1）点M，点N，大于1
2
MN长
（2）作直线AB
直线AB即为所求
2.（1）图略
①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；
②分别以点C，点D为圆心，大于1
2
CD长为半径作弧，两弧交MN上方于
一点B；
③作直线AB．
直线AB即为所求．
（2）图略
①在MN下方任取一点P；
②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C，
点D为圆心，以大于1
2
CD长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；
④作直线AB．
直线AB即为所求．
3.略（提示：AB的垂直平分线和m，n所成角的平分线的交点即为所求）
4.略（提示：先作出AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以1
2
AB长为半径
作弧，交AB的垂直平分线于点M）
5.略（作点P关于BC的对称点P'，连接P Q'交BC于点R）
6.30°
7.8 cm
8.作图略，△PMN周长的最小值为4．
9.140°
10.如图所示：点M，N即为所求．
轴对称作图及实际应用（随堂测试）
1. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、
李村之间建一座定点医疗站P ，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P 点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
李
张
2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =130°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分
别找一点M ，N ．当△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为_________．
D A B
M
N
C
C
B
A
D
特征：定点：_________ 动点：_________
动点在定直线：__________上
目标：△AMN 周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数． 操作：具体操作在图上进行．
【参考答案】
1.图略
2.100°
定点：A
动点：M，N
动点在定直线：BC，CD上
轴对称作图题归纳 欧阳光明（2021.03.07） 1、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1； (2)在DE 上画出点P ，使PC PB +1最小； （3）在DE 上画出点Q ，使QC QA +最小。 2、已知，如图，角的两边上的两点M 、N ，求作：点P ，使点P 到OA 、OB 的距离相等， 且PM=PN （保留作图痕迹） 3、如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流MN 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该 站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹） 4、民族中学八⑵班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C 处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。 5、已知AOB ∠和,C D 两点，是否能找到一点P ，使得P 点到,OA OB 的距离相等，且点P 到C,D 两点的距离相等，（要求保留作图痕迹， · · A B O M N M N . A . B
*欧阳光明*创编 2021.03.07 不用写做法） 6、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近． 7、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。8、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。 9、已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M． （1）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小； 作法： （2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大； 作法： （3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． *欧阳光明*创编 2021.03.07
轴对称作图及实际应用 学生做题前请先回答以下问题 问题1：轴对称最值问题的特征： ①有定点、_____； ②动点在____________上运动， ③求动点与定点连接组成的____________． 问题2：轴对称最值问题的解决方法： 以_______________为对称轴，作______的对称点，________________，利用_____________进行处理． 轴对称作图及实际应用（轴对称最值问题一）（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图1，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点E，OB上有一动点F，求△PEF周长的最小值．如图2，某同学分别作点P关于OA，OB的对称点，则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 2.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点．若AE=2，则当EF+CF的和取得最小值时，点F的位置为( )
A.AD的中点 B.点D的位置 C.AD与BE的交点 D.AD上任意位置 3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF交AB边于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，已知∠AOB=α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E，F分别是OA，OB上的动点．若△PEF周长的最小值等于2，则α=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，P是射线DE上的一
第19课时轴对称和轴对称图形、尺规作图 一、考点说明（见中考指南P96） 二、典型例题 例1 （1）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，CE=1，点P在 BD上移动，则PC+PE的最小值是. （2）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是 AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C， 则A′C长度的最小值是. 例2如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1）、B（4，2）、 C（3，4）.（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的 △A1B1C1;（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出 △PAB，并直接写出P的坐标． 例3有一块直角三角形的绿地，量得两直角三角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心、任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确 的个数是( ) ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°; ③点D在AB的垂直平分线上;④ A.1 B.2 C.3 D.4
三、反馈检测（10分钟） 1. 下列图案中，不是轴对称图形的是() 2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA； ③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（） A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④ 3. 如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为. 4. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A，∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是 . （2）（3）（4）（5） 5. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1.四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE. （1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B 是对称点；（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积． 智者加速： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），点B（0，2），点C是线段OA的中点．（1）点P是直线AB上的一个动点，当PC+PO的值最小时，①画出符合要求的点P（保留作图痕迹）；②求出点P的坐标及PC+PO的最小值；（2）当经过点O、C的抛物线y=ax2+bx+c与直线AB只有一个公共点时，求a的值并指出这个公共点所在象限．
轴对称 【基础训练】 1．观察下列图案，是轴对称图形的是（ ） 答案： D 2. 下列数中，成轴对称图形的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 答案： B 3．如图所示，将一张正方形纸片经过两次对 折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到 的图形是（ ）． 答案： D 4．已知点P （－2，1），那么点P 关于x 轴对称的点P '的坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（－1，2） D ．（2， 1） 答案： B 5．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．正方形 C ．等边三角形 D ．长方形 答案： A 6．桌面上有A 、B 两球，若要将B 球射向桌 面任意一边，使一次反弹后击中A 球，则如 图所示8个点中，可以瞄准的点有 （ ）个. A ． 1 B ． 2 C ．4 D ．6 答案：B 7．小强站在镜前，从镜中看到镜 子对面墙上挂着的电子表，其读数 如图，则电子表上的实际时间是________ ． 答案： 10：51 8．已知在数轴上点A 对应的数为5，点B 对应的数为 2，若点A 与点B ?关于数轴上的 点C 对称，则C 点对应的数是________ ． 答案： 3.5 9．一辆汽车牌在水中的倒影为， 则该车牌照号码为 ． 答案：MI7936 10．仔细观察下图的图案，并按规律在横线上画出合适的图形． 答案： 11．如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴． 答案： 2和 4；2； 12．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成 了轴对称图形，已知OC 是对称轴，∠A =35o， ∠BCO =30o，那么∠AOB =____ ___． 答案： 130? 13．如图，已知四边形ABCD 和直线l ．作 出四边形ABCD 关于直线l 对称的图形． 答案：l D' C' B' A' D C B A 14．如图，有A ，B ，C 三个村庄，现要修建一所希望小学，?使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（?保留作图痕迹）． 答案：作AB 和BC 的垂直平分线DE 、FG ，其交点P 即为满足条件的点（如图）。理由如下： 因点P 在DE 上，所以点P 到边A 和B 两点的距离相等，又点P 在FG 上，所以点P 到边B 和C 两点的距离相等，即点P 到A 、B 、C 三点的距离相等。 A 15．如图，A 、B 两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹． .B A . 答案：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知， 作出AB 的中垂线与河岸交于点P ，则点P 满足到AB 的距离相等． 5
全等三角形与轴对称图形测试题(1) 姓名：_____________ 1. 下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等 的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有()A 、3 个B 、2 个C 、1 个D 、0 个 2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS'来判定全等，那么一定也可以依据“ASA来判 定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要 判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 3. 已知：在厶ABC中，AD为/ BAC的角平分线，DE丄AB, F为AC上一点，且/ DFA=100°,贝U ( ) A.DE>DF B. DE 《画轴对称图形》教学设计 一、教材分析： 之前我们知道了如何寻找轴对称图形的对称轴，本节课学生需要知道，已知原图形与对称轴，如何画对称之后的图形。这也是对称变换的核心知识，也为今后数学与其它学科的知识内容（如物理的镜面反射）打下基础。 二、教学目标： 知识与技能目标：能画出简单平面图形作轴对称之后的图形，了解画一般轴对称图形的方法； 过程与方法目标：经历画轴对称图形的一般过程，掌握基本的数学作图规范； 情感、态度与价值观目标：培养审美情操，培养学习兴趣。 三、教学重难点： 重点：作平面图形的轴对称图形； 难点：作轴对称图形的一般步骤中所包含的原理。 四、教学过程： 1、复习引入： 问1：如何作一轴对称图形的对称轴？（随机抽查） ①作对应点连线的垂直平分线； ②作过两对对应点连线中点的直线。 对称轴把一个图形分成两个部分，有两部分我们可以作出对称轴，那么有图形的一部分和对称轴，我们能否作出另一部分？ 2、新课探究： 试一试：在格点图中，画出已知图形的轴对称图形。 （由作出图形的同学展示自己的成果，并向其它同学分享作图步骤。） 学生总结作轴对称图形的步骤： ①寻找原图形中各点关于对称轴对称后的对应（对称）点； ②按照一定的顺序连接各对应（对称）点。 问2：在格点图中，依据各点我们很容易找到对应点，再依次连接。若没有格点，如何能作出轴对称之后的图形？ 将问题进行分解，可以分如下两个问题进行探究： 问2-1：在没有格点的一般情况下，作轴对称图形要遵循怎样的步骤？ 类比以上格点图中的做法，学生容易想到，在一般情形下，作轴对称图形也可分为找对称点与连接各对称点的两步。 问2-2：在一般情况下，如何作一点关于某条直线对称的对应点？ 由于对称轴是对应点连线的垂直平分线，我们可以按照垂直和评分的两步来作对称点。 ①对称点间连线与对称轴垂直，即对称点在过点直线的垂线上： 轴对称填空选择 一、填空题 1．如图，在△ABC 中，AB =AC =14cm ，边AB 的中垂线交AC 于D ，且△BCD 的周长为24cm ，则BC =__________． 2. 下列数中，成轴对称图形的有___________个 3．等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等 于 ___________． 4．仔细观察下图的图案，并按规律在横线上画出合适的图形． 5.（1）等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为 ； （2）等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为 . 6.如图14－112所示，△ABC 是等边三角形，∠1=∠2=∠3，则∠BEC 的度数为 7．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交 BC 于D ，∠1= 2 1 ∠2，则∠B= 8.如图14-111所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 是角平分线，若∠BDC=69°，则∠A 等于 9、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠B=20°，则∠DAC= 10．点（2，5）关于直线x =1的对称点的坐标为__________． 16．已知点A （x ，－4）与点B （3，y ）关于y 轴对称，那么x ＋y 的值为_______． 17.如图14－116所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF=_______． 18.如图14－117所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD=3，BD=5，则点D 到AB 的距离为 . 19.如图14－118所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，延长BC 到D ，使CD=CE ，连接DE ，若△ABC 的周长是24，BE=a ，则△BDE 的周长是 . 20．已知：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ． 第十九学时：13.2．1作轴对称图形 编写人：陈平儒审核人：陈宗玉时间：2013-10-17 班级姓名：组别： 一、学习目标： 1、能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解决相应的数学 问题。 2、通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象及推理能力。 3、极度热情、享受成功、感受数学就在身边。 二、重点难点 重点：作轴对称图形 难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。 三、合作探究（同学合作，教师引导） 1、复习回顾：线段公理；垂直平分线的性质。 2、自己动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到 了什么?改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么? 归纳： (1) 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的、________完全相同； (2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的__________； (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴__________。 3、把图1补成关于直线l对称的图形 四、精讲精练 例1、如图2，如何在直线l上找一点P，使线段PA与PB的和最小？练习：1、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。 2、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的图案。 例2、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。 练习1. 城北中学八⑵班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB 桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。 2. 开展你的想象，从一个或几个图形出发，利用轴对称或与平移进行组合，设计出一个 图案，并与同学进行交流称图形。 l 图1 · · A B l 图2 a a a 张村 李庄 l A B B C． D. O A 轴对称图形解答题较难题 一、翻折变换题型 1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=?AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程． （ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长． （ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长． 二、特异三角形 1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． （ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线； （ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数． 5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到 △ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ． （ 1 ）求证： FD=FB ． （ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若 EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长． 三、点的运动变化题型 8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度 轴对称专题 [轴对称图形] 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． [轴对称] 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． [图形轴对称的性质] 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． [轴对称与轴对称图形的区别] 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． [线段的垂直平分线] （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 [轴对称变换] 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．[轴对称变换的性质] （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． [作一个图形关于某条直线的轴对称图形] 轴对称作图及实际应用（作图） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.如图1，已知线段MN，在MN上求作一点O，使OM=ON．如图2用尺规作图作出了点O，下列作图语言叙述正确的是( ) A.分别以点M，点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求． B.分别以点M，点N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求． C.以点M为圆心，任意长为半径作弧，再以点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点O，点O即为所求． D.分别以点M，点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB，直线AB即为所求． 2.平面内，过直线外一点作已知直线的垂线最终都转化为下列哪一种基本作图( ) A.作一个角等于已知角 B.作一条线段等于已知线段 C.作已知角的角平分线 D.作已知线段的垂直平分线 3.如图1，已知A为直线MN外一点，求作直线AB，使AB⊥MN．如图2用尺规作图作出直线 AB，下列叙述：①任取一点P；②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点； ③分别以点C，点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④作直线AB．直线AB即为所求．其中错误的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 4.如图，A，B，C三个村庄联合打井，为使井到三个村庄的距离相等，下列确定水井的位置的说法中正确的是( ) A.连接AB，AC，BC，作线段AB的垂直平分线MN，作∠ABC的角平分线BD交直线MN 于点P，点P即为水井的位置 B.连接AB，AC，作线段AB的垂直平分线MN，作线段AC的垂直平分线EF交直线MN于点P，点P即为水井的位置 C.连接AB，AC，BC，作∠ABC的角平分线BD，作∠BAC的角平分线AE交BD于点P，点P即为水井的位置 D.作直线AB，BC，过点A作BC的垂线MN，过点C作AB的垂线EF交MN于点P，点P 即为水井的位置 5.在高速公路的同侧有两个化工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人到医院的距离相等，关于医院位置，下列说法正确的是( ) A.连接BA并延长交直线于点P，点P即为医院的位置 第1章《轴对称图形》常考题集（07）：1.2 轴对称的性 质 收藏试卷试卷分析布置作业在线训练显示答案下载试卷 一．填空题 91．如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF= 度． 92．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于 度． 93．如图，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A′处，若点D为AB边的中点，∠B=50°，则∠BDA′的度数为 ． 94．如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为 95．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm． 96．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为 97．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为____________ 98．如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C= 度． 99．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为____________ 100．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为 ． 101．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周长为 ． 102．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=70°，则∠2= 度． 浅谈轴对称图形的应用 养龙司中学——李明 在数学的大家庭中。有一对兄弟深深的吸引了我，他们的形状，他们的关系，他们的普遍性，让人觉得他们一直在我们的身边，离我们很近很近。他们就是轴对称图形。 轴对称图形是一个一定要沿着某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合的图形，之所以说到他们的关系是因为他们两个总是被一条直线所连着，好似一对分不开的兄弟，关系十分的密切。把他们拉在一起的这条直线就是他们的对称轴。当然这条对称轴就像一个公正的法官。左右两边的长度、面积、大小等，都一点儿也不差，唯一不同的就是他们所朝的方向。 在数学的课本上，我们看见过他们的身影，我们也接触和了解过他们。但是他们给我印象更多的，却是他们在日常生活中所扮演、组成的图形或者可以说是事物。 一、生活当中的轴对称图形 1、自然界中的轴对称图形 当我漫步在街头时，我时常看见飞来飞去的蝴蝶。当一只蝴蝶停留在花朵上，张合着翅膀时，我发现如果将蝴蝶两只触角的中点与尾部相连接，连接好的线段所在的那一条直线就是其对称轴。而右边的翅膀就像是左边的翅膀沿着对称轴翻过去的图形。跟蝴蝶一样是轴对称图形的动物还有很多。比如蜻蜓、飞蛾等。如果到了秋天，远看稻田，金黄的一片，不禁使人感觉到又是一个丰收的季节。就在这个令 人喜悦的季节里，我行走在田边的小路上，随手捡起了一片金黄的树叶，仔细的观察了一下，发现其实树叶也有对称轴。如果我们将树叶中间的那根经，当成是其左右两边的对称轴，那将树叶右边部分沿着这条对称轴对折过去，正好与左边的一半树叶重合。 2、商标中的轴对称图形 有一次，我跟我的家人去中国银行取钱，我无意间发现中国银行的标志也是一个轴对称图形。这个图形的对称轴有两条。第一条是图标中两竖相连接所形成的，而另一条就是方框上下两条横线连接的线段的中点，所在的那一条直线就是其第二条对称轴。和中国银行一样的还有中国联通、中国农业银行以及奔驰汽车等轴对称图形。但是如果大家觉得前面几个例子，平时都没有注意到的话，那么下面说到的这个例子大家肯定熟悉的不得了。这个例子就是商标，我先来举一个吧。平时我最大的兴趣就是吃零食。所以我对“旺旺”这个商标熟悉的不得了。我发现在旺旺这个商标当中，将其头发上的一个中点到两脚脚后跟之间的线段的中点，想连接的线段所在的那一条直线就是其对称轴。也正是这条对称轴将旺旺这个图标分成了相等的两份。像旺旺这样具有对称轴的商标还有很多。比如：五粮液的商标、麦当劳的商标、CONVERSE（匡威）的商标等等。而且这些图形都是我们日常生活中常见的，这也不告诉了我们，只要我们认真、仔细的观察生活，数学的无处不在吗。 二、建筑当中的轴对称图形 说了生活中较为普通也较常见的轴对称图形后，也应该说说在建 初中尺规作图数学史 尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中. 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错 轴对称图形的应用专题研究报告 普田中学孔毅 数学的世界真可谓是浩瀚无比。由点到线，由线到面，由面到体。无不蕴藏着丰富的知识。我记得曾经有一句著名的格言：数学比科学大得多，因为它是科学的语言。可想而知，数学的伟大与魅力了吧！ 然而，在数学的大家庭中。有一对兄弟深深的吸引了我，他们的形状，他们的关系，他们的普遍性，让人觉得他们一直在我们的身边，离我们很近很近。他们就是轴对称图形。 轴对称图形是一个一定要沿着某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合的图形，之所以说到他们的关系是因为他们两个总是被一条直线所连着，好似一对分不开的兄弟，关系十分的密切。把他们拉在一起的这条直线就是他们的对称轴。当然这条对称轴就像一个公正的法官。左右两边的长度、面积、大小等，都一点儿也不差，唯一不同的就是他们所朝的方向。 在数学的课本上，我们看见过他们的身影，我们也接触和了解过他们。但是他们给我印象更多的，却是他们在日常生活中所扮演、组成的图形或者可以说是事物。 一、生活当中的轴对称图形 1、自然界中的轴对称图形 当我漫步在街头时，我时常看见飞来飞去的蝴蝶。当一只蝴蝶停留在花朵上，张合着翅膀时，我发现如果将蝴蝶两只触角的中点与尾部相连接，连接好的线段所在的那一条直线就是其对称轴。而右边的翅膀就像是左边的翅膀沿着对称轴翻过去的图形。跟蝴蝶一样是轴对称图形的动物还有很多。比如蜻蜓、飞蛾等。如果到了秋天，远看稻田，金黄的一片，不禁使人感觉到又是一个丰收的季节。就在这个令人喜悦的季节里，我行走在田边的小路上，随手捡起了一片金黄的树叶，仔细的观察了一下，发现其实树叶也有对称轴。如果我们将树叶中间的那根经，当成是其左右两边的对称轴，那将树叶右边部分沿着这条对称轴对折过去，正好与左边的一半树叶重合。 2、商标中的轴对称图形 有一次，我去中国银行取钱，我无意间发现中国银行的标志也是一个轴对称图形。这个图形的对称轴有两条。第一条是图标中两竖相连接所形成的，而另一条就是方框上下两条横线连接的线段的中点，所在的那一条直线就是其第二条对称轴。和中国银行一样的还有中国联通、中国农业银行以及奔驰汽车等轴对称图形。但是如果大家觉得前面几个例子，平时都没有注意到的话，那么下面说到的这个例子大家肯定熟悉的不得了。这个例子就是商标，我先来举一个吧。平时我最大的兴趣就是吃零食。所以我对“旺旺”这个商标熟悉的不得了。我发现在旺旺这个商标当中，将其头发上的一个中点到两脚脚后跟之间的线段的中点，想连接的线段所在的那一条直线就是其对称轴。也正是这条对称轴将旺旺这个图标分成了相等的两份。像旺旺这样具有对称轴的商标还有很多。比如：五粮液的商标、CONVERSE（匡威）的商标等等。而且这些图形都是我们日常生活中常见的，这也不告诉了我们，只要我们认真、仔细的观察生活，数学的无处不在吗。 二、建筑当中的轴对称图形 说了生活中较为普通也较常见的轴对称图形后，也应该说说在建筑方面关于轴对称的宏伟建筑了。像我们中国的天安门城楼。如果用线段连接天安门城楼的 轴对称在生活中的应用 江苏泰州市沈毅中学 韩新正 邮编 225300 我们生活在一个充满对称的世界中，从自然景观到分子结构， 从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子，而轴对称是对称中重要的一种，在日常生活中有着非常重要的应用。本文试举几例，谈谈轴对称在生活中的应用。 一．利用轴对称巧妙设计, 使所用的输水管线最短 例1：如图1，要在河道L 上修建一座水泵站，分别向A 、B 两 镇供水，泵站建在河道的什么地方，可使所用的输水管线最短？ L （图1） 分析：我们可以把河道近似地看成一条直线l ，问题就是要在直 线L 上找一点C ，使AC 与BC 的和最小。设B ’是B 关于l 的对称点，本题就是要使AC 与CB ’的和最小。在连接AB ’的线中，线段AB ’最短。因此，线段AB ’与直线l 的交点C 的位置即为所求。 二．利用轴对称,在台球比赛中准确击球 例2：如图2，已知台球桌ABCD 内有两球 P 、Q ，现击打球Q 去撞击AD 边后反弹，再撞击P 球。请画出Q 球撞击AD 边的位置。 D C 图2 分析：要使球Q撞击AD边反弹，再撞击球P,必须使球Q的入射角等于其反射角，显然，作P点关于AD的对称点P’,连结P’Q, P’Q 与AD相交于点E,很容易得到∠QED=∠AEP’=∠AEP。所以点E即为所求的点。 三．利用轴对称，求出镜中电子钟的实际时刻和水中车牌倒影的实际号码 例3.小明从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图3所示，这时的实际时刻应该是（） A. 21:10 B. 10:21 C. 10:51 D. 12:01 3 分析：根据镜子中电子钟示数与实际时刻的读数成轴对称，镜子是对称轴，所以在镜中电子钟示数的右边划一条直线作为对称轴，找出各数字的对称图形，立即可以得出这时的实际时刻是10：51，所以选择C. 例4．一辆汽车的车牌在水中的倒影如图4所示，请问该车的车牌号码是多少？ 分析：水中的倒影与实际的车牌号成轴对称，但两组数据的方向是一致的，所以在水中的倒影下边划一条直线作为对称轴，就很容易求得该车的实际车牌号是M17936，本题应和例3区别开来。 【本讲教育信息】 一、教学内容： 1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。 二、知识要点： 1. 基本概念 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （3）轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 （4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。） 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 尺规作图 （1）如何作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点 （2）作线段的垂直平分线 ①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点， ②作直线CD。 CD就是线段AB的垂直平分线。 5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点 《运用轴对称设计图案》教学设计 贵州省平塘县牙舟中学王茂林 一．教材依据 人民教育出版社（义务教育课程标准实验教科书）数学八年级上册第十三章活动课。二．设计理念 初中数学教学大纲中明确指出：“要坚持理论联系实际，把数学知识运用到实际中去分析、解决力所能及的实际问题.”,《全日制义务教育数学课堂标准》提出“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动的经验。”因此，在本节课教学设计中,体现以下教学理念: 1、在生活中学数学：紧密联系学生的生活实际，创设学生熟悉的情境，如牙舟陶、黔南剪纸、自制花边等，让学生在真实有趣的情境中学习数学。 2、在活动中学数学：本课设计了一系列数学活动，充分让学生参与，让学生在具体的活动中获得数学知识。 3、学有价值的数学：通过本课的学习，学生体会轴对称的重要性，学会运用轴对称设计图案。 4、人人都得到发展：学生通过教学活动，体验制作的过程，并在过程中理解和 会 教学重点 四、教学流程安排 五、教学流程设计 [活动2] 创设情境，探索新知，获取新 知 一、美术字与轴对称 3、猜想下列几个未写完的美术字是什么 汉字或字母？ 问题1： 该公司安排甲、乙两种货车运货，有 几种方案？ 问题2： 4]制作花边，作品展示，体会成功 的喜悦。 有时，将平移和轴对称结合起来，可以设 计出更丰富的图案，许多镶边和背景图案就是这 样设计的. 请你利用平移和轴对称设计图案，制 作成花边，并说明你的设计过程，与同学 九、教学反思： 本节课是一节数学活动课，这是一堂集欣赏美与动手设计为一体的活动课，让学生在动手操作中探究，在理解中创新，以学生交流、合作为主，用轴对称研究美术字的对称和写出轴对称的美术字；利用轴对称设计图案，体验数学与生活的紧密联系，课堂教学模式发生了根本性的变化，教师不再是简单的知识传授者，而是一个组织者和引导者，并调动了每一位学生自制图案的主动性，使他们真正成为学习的主人，积极参与到活动中的每一个环节，努力探索自制美丽图案的方法，大胆展示自己的作品。本节课，学生始终保持着高昂的学习激情，全身心投入到自制图案的全过程；通过展示自己的作品，感受到学习数学的乐趣，品尝到成功的喜悦；通过对牙舟陶及剪纸作品的欣赏，培养学生爱国、爱家乡的热情。 作图专题之轴对称作图（七下） 题组一：分析转化作图 1. 如图，A ，B 在方格纸上的格点位置上，在网格图中再找一个格点C ，使它 们所构成的三角形为轴对称图形，这样的格点C 共有的个数为________． A B 2. 图1，图2均为7×6的正方形网格，点A ，B ，C 在格点上．在图1，图2中 确定格点D ，并画出以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可） 图2 图1 A B C C B A 题组二：轴对称最值作图 轴对称最值问题： （1）特征：有两点，有动点，动点在定直线上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小． （2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，折转直，利用两点之间线段最短进行处理． 1. 如图，在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A ，B 到点P 的距离之和 AP +BP 最小，并说明理由． B A l 2. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别 为边AB ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值． P C B A 3. 如图，在10×10的网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点 A ， B 和直线l ． （1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1； （2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值． l B A 4. 如图所示，在台球桌面ABCD 上，有白和黑两球分别位于M ，N 两处．问：怎 样撞击球M ，才能使白球先撞击台边BC ，反弹后再去击中黑球N ？ D C B A N M《画轴对称图形》教学设计
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