函数的应用
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1、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2、体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
一、解应用题的策略：
特别提醒：
解答应用题重点要过三关：
(1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和y与利率r及存期x的关系．(2)文理关：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题．(3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力．
二、解决应用题的一般程序：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
三、几种不同增长的函数模型
(1)指数函数模型： y＝ab x＋c(b>0，b≠1，a≠0)
(2)对数函数模型： y＝m log a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)
(3)幂函数模型：y＝ax n＋b(a≠0)
类型一 指数函数模型
例1：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log 1.0121.20
＝15)．
练习1：医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表： 天数 1 2 3 4 5 6
病毒细胞个数 1 2 4
8 16 32 可杀死
其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天，lg2＝0.3010)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)
练习2：已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减
弱到原来强度的13
以下，则至少需要重叠玻璃板数为( ) A ．8块
B ．9块
C ．10块
D ．11块
类型二 对数函数模型
例2：燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，2岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q
10
，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
练习1：大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m ，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的
游速可以表示为函数y ＝12log 3x 100
，单位是m/s ，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
练习2：某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为( )
A．300 B．400
C．600 D．700
类型三函数模型的选取
例3：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，根据已有的知识经验模拟函数可选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明你的理由．
练习1：某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?
练习2：某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可以增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
1、某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A．x>22% B．x<22%
C．x＝22% D．x的大小由第一年产量确定
2、某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
3、某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A 、B 产品各1件，盈亏情况是( )
A ．不亏不赚
B ．亏5.92元
C ．赚5.92元
D ．赚28.96元
4、某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( )
A ．不增不减
B ．约增8%
C ．约增5%
D ．约减8%
5、(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正
比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝? ??
??116t －a (a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
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基础巩固
1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2010年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是 ( )
A ．y ＝0.95x 50 ·m
B ．y ＝(1－0.05x 50 )·m
C ．y ＝0.9550－x ·m
D ．y ＝(1－0.0550－x )·m
2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
A ．10%
B ．15%
C ．18%
D ．20%
3．抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2≈0.301 0)( )
A ．6次
B ．7次
C ．8次
D ．9次
4．某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供应量y 2(万件)与市场价格x (元/件)分别近似地满足关系：y 1＝－x ＋70，y 2＝2x －20.y 1＝y 2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为________元/件．
5．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；
③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号)．
能力提升
6．如图，由桶1向桶2输水，开始时，桶1有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e －nt ，那么桶2的水就是y ＝a －a e －nt .假设经过5 min ，桶1和桶2的水相等，则再过____min ，桶1中的水只有a 8L.
指数函数说课稿 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ ◆ 我是来自说课的题目是《指数函数》 著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程. 学习者不是信息的被动接受者，而是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展，从而激发学生数学学习兴趣，培养学生运用数学的意识与能力◆ 下面我将从几个部分具体阐述对本节课的分析和设计。 第一部分、教学内容分析◆ 二、教材分析 1.本节教材的地位、作用 本节课是《普通高中课程标准实验教科书（苏教版）数学必修1》第二章第二节第1课时《指数函数》。因为我所教的学生是省一级示范学校的平行班，根据学生的实际情况，同时也为了理顺知识间的逻辑关系，让学生能在观察、探究、比较、识别中把握概念和性质的内涵，教学中我对这部分内容进行了整合处理，我将《指数函数》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（细胞分裂和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但从学生学习的角度看,学生感受指数函数的实际背景的知识储备仍不够丰富,理解和掌握这些 内容仍有一定难度,因此, 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 2．教学目标 ⑴知识与技能： 初步理解指数函数的概念和意义；能够借助计算器画出具体的指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调的特点。 从实例探究中感知指数函数的概念，并体会指数函数是一类重要的函数模型。 利用计算工具比较指数函数增长差异，体会指数等不同函数的类型增长的含义。 ⑵过程与方法：
第2章 函 数 §2.1 函数的概念 2．1.1 函数的概念和图象(一) 一、基础过关 1．下列对应： ①M ＝R ，N ＝N ＋，对应法则f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应法则f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有________个． 2．下列各组函数中，表示同一函数的有________个． ①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 ②y ＝x 0和y ＝1 ③f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 ④f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 3．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________. 4．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________． 5．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2＋4的定义域为________________________________． 6．给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N ) 的图象是一条直线；④f (x )＝x 2 x 与g (x )＝x 是同一个函数． 其中正确命题的序号有________． 7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.
高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;
指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81
指数函数 典例分析 题型一 指数函数的定义与表示 【例1】 求下列函数的定义域 (1)32 x y -= (2)21 3 x y += (3)512x y ??= ??? (4)()10.7x y = 【例2】 求下列函数的定义域、值域 ⑴11 2 x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2 120.5x x y +-= 【例3】 求下列函数的定义域和值域： 1．x a y -=1 2．31 )2 1(+=x y 【例4】 求下列函数的定义域、值域 (1)11 0.4 x y -=； (2)y = (3)21x y =+ 【例5】 求下列函数的定义域 (1)13x y =; (2)y =
【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ， (3)f -的值． 【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ） A B ．2或2- C ．2- D ．2 题型二 指数函数的图象与性质 【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___b c a a ；②1b a ?? ??? 1c a ?? ??? ；②11 ___b c a a ；②__a a b c ． 【例9】 比较下列各题中两个值的大小： ⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9． 【例10】 比较下列各题中两个值的大小 (1)0.80.733， (2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01， (4) 3.3 4.50.990.99， 【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小 (1) 22m n < (2)0.20.2m n > (3)()01m n a a a <<< (4)()1m n a a a >>
2.5.1函数的零点 教学目标： 1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系． 2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题． 3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识． 教学重点： 函数零点存在性的判断． 教学难点： 数形结合思想，转化化归思想的培养与应用． 教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合． 教学过程： 一、问题情境 1．情境：在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解； 2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？ 二、学生活动 1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象填空： （1）k0，b0； （2）方程kx＋b＝0的解是； （3）不等式kx＋b＜0的解集； x y O －2 图1
2．如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空： （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是 ； （2）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ． 三、建构数学 1．函数y ＝f (x )零点的定义； 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象之间关系： △＝b 2－4ac △＞0 △＝0 △＜0 ax 2＋bx ＋c ＝0的根 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象 y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点 3．函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点． 四、数学运用 例1 函数y ＝f (x )(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x ) 的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集． 例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 练习：（1）函数f (x )＝2x 2－5x ＋2的零点是_______ ． O x 1 x 2 x y O x 1＝x 2 x y O x y y x O －5 －3 －1 1 3
~ §函数的应用(I) 课时目标 1.能运用所学的函数知识、方法解决模型为一次函数、二次函数及分段函数的实际问题.2.通过对实际问题的解决、培养数学应用意识，用数学的眼光看问题，用数学的思想、方法、知识解决问题． 几类常见的函数模型 (1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)； ] (2)反比例函数模型：f(x)＝k x ＋b (k、b为常数，k≠0)； (3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，a≠0)； (4)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 一、选择题 1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A．310元B．300元 { C．290元D．280元 2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A．减少%B．增加% C．减少%D．不增不减 3. 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽视不计，精确到0.1m)( ) A．6.9mB．7.0mC．7.1mD．6.8m ￥
4．国家购买某种农产品的价格为120元/担，某征税标准为100元征8元，计划可购m 万担．为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．则税收f(x)(万元)与x的函数关系式为( ) A．f(x)＝120m(1＋2x%)(8－x)% (0 3.1 指数函数【思维导图】 【微试题】 1. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()12x f x ??= ??? D ．()3x f x = 【答案】D 2.若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ A ） A ．01>>b a 且 B ．010<<<>b a 且 【答案】A 3．若函数 1 ( ),0 3 () 1 ,0 x x f x x x ? ≤ ?? =? ?> ?? ，则不等式|f(x)|≥ 1 3的解集为（） A. [) 13， B. (],3 -∞ C. []31 -， D. [)31 -，【答案】C 4. 已知函数()f x x x -+=22. (Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: ()f x 是区间 ),0(+∞上的增函数； (Ⅱ) 若325)(+?=-x x f ，求x 的值. 【答案】 【解析】解：(Ⅰ) 设120x x ∈+∞，（，），且12x x <，则 )22()22()()(221121x x x x x f x f --+-+=- 121211 (22)()22x x x x =-+- 21 121222(22)22x x x x x x -=-+? =2121212) 12)(22(x x x x x x ++-- ∵120x x ∈+∞，（，），且12x x <， ∴121222220x x x x <∴-<， 1212021x x x x ++>∴> 12210x x +∴->， 又0221>+x x ∴12()()0f x f x -< 指数函数及其性质教案 一、教学目的 1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。 2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类 比、猜测、归纳的能力。 3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看问题。 4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、 概括、分析、综合的能力。 二、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 三、教具、学具准备： 多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。 四、教学方法 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 五、学法指导 1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概 念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。 2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到 分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数 的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。 4.注意学习过程的循序渐进。在概念、图象、性质、应用的过程中按 照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象 双基达标(限时15分钟) 1．函数f(x)在R上是增函数，则f(3)与f(5)的大小关系是________． 解析根据增函数的定义直接作答． 答案f(3)＜f(5) 2．若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(π)与f(3)的大小关系是________．解析根据减函数的定义直接作答． 答案f(π)＜f(3) 3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________． 解析根据增函数的定义有x＞1－x，解得x＞1 2. 答案{x|x＞1 2} 4．函数y＝x2的单调减区间是________． 解析根据函数y＝x2的图象直接作答． 答案(－∞，0) 5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________． ①y＝－x＋1②y＝－2 x③y＝x 2－4x＋5④y＝ 2 x 解析结合函数的图象可知①③④在区间(0,2)上均为减函数．答案② 6．(1)证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数； (2)证明函数f(x)＝1 x在(0，＋∞)上是减函数． 证明(1)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)， 由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)＝3x＋2在R上是增函数． (2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝1 x1－ 1 x2＝ x2－x1 x1x2， ∵0 3.1.2指数函数(一) 一、基础过关 1．函数f(x)＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________. 2．函数y＝x 1 2的值域是__________________． 3．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．4．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y 倍，则函数y＝f(x)的图象大致为________．(填序号) 5．函数y＝???? 1 2x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域为______． 6．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________． 7．判断下列函数在(－∞，＋∞)内是增函数，还是减函数？ (1)y＝4x；(2)y＝???? 1 8 x；(3)y＝3 2 x . 8．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2) 3 1 ) 4 1 (和3 2 ) 4 1 (； (3)2－1.5和30.2. 二、能力提升 9．设函数f(x)＝ ?? ? ??2x，x<0， g(x)，x>0. 若f(x)是奇函数，则g(2)＝________. 10．函数y＝a|x|(a>1)的图象是________．(填序号) 11．若f (x )＝????? a x (x >1)，????4－a 2x ＋2 (x ≤1).是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 12．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝21x －4 ；(2)y ＝????23－|x |；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋1. 三、探究与拓展 13．当a >1时，证明函数f (x )＝a x ＋1a x －1是奇函数． 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y = f(x)(xeD)的零点。 2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与 兀轴交点的横坐标。 即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点. 3、函数零点的求法： ①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根； ? (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点. 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。 ②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。 x ③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。 ④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0). (1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次 函数有两个零点. (2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数 有一个二重零点或二阶零点. (3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点. ⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。 ⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1. ⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。 5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把 复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。 6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。 试判断方程X4-X2+2X-1= 0在区间［0, 2］内是否有实数解？并说明理由。 [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 3.4.2函数模型及其应用 一、基础过关 1．已知某食品5 kg价格为40元，则该食品价格与重量之间的函数关系为________，8 kg 食品的价格为________元． 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函 数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人 员没有销售量时的收入是________元． 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四 年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________． 4．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2. 5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________． 6．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时) 7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份123 产量(千件)505253.9 y＝ax＋b或y＝ a x＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问： 用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 8．假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)．计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式． (2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的范围． 二、能力提升 9．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的 人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》说课稿 各位评委，你们好，今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第1个模块中第二章的2.1.2指数函数及其性质的第一节课。 下面我从教材分析；教学目标分析；教法、学法分析；教学过程分析；板书设计分析；评价分析等六个方面对本设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 （1）本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数、三角函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。 （2）在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。 2、教材处理 根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。本节教材我分两节完成，第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时为指数函数的应用。本节课是第一课时。 3、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 4、教具、学具准备：多媒体课件。 二、教学目标分析 根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标： 1、知识目标：①掌握指数函数的概念；②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题； 2、能力目标：①渗透数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力； 3、品德目标：①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力③领会数学科学的应用价值。 三、教法、学法分析 1、教法分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 2、学法指导 本节课是在学习完“指数”的概念和运算后编排的，针对学生实际情况，我主要在以下几个方面做了尝试： 2.1.2 函数的表示方法(一) 一、基础过关 1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________． 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________． 3．如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________． 5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________. 6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 7．根据已知条件，求函数表达式． (1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)； (2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]． 二、能力提升 8．已知f ? ????1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2 ，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6· 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________． ①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410 ] ④y ＝[x ＋510 ] 10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________． 11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400 函数的应用 教学目标 知识目标： 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型； 使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题； 能力目标： 培养学生数学的应用意识，提高解决实际问题的能力； 情感目标： 培养学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点和难点： 使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型，并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。 课前准备：学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程： 一、复习 提问：我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示？ y=kx+b ：当k 0≠时是一次函数；当k 0≠，b=0时是正比例函数；当k=0时是常值函数。 [说明：渗透分类的数学思想，明确函数间的关系] 二、函数的应用 1、 龟兔赛跑（动画演示） 师：兔子在醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，以每小时跑3000米的速度奋力去追，而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进，那么谁能胜利呢？ 师：你能用学过的方法直观地反映这一问题吗？ （学生讨论后回答） 若设兔子醒后追赶了t 小时，龟、兔离开兔子睡觉处的路程S （米）与时间t （小时）各是什么关系？并在同一直角坐标系内画出图象。 （学生回答） 师：（板书）兔：1S =3000t ()0≥t ； 龟：t S 50025002+= ()0≥t ； （图象实物投影） 师：图象的交点表示什么实际意义？交点左侧表示什么意义？右侧又表示什么意义呢？ （学生回答后，老师归纳） 归纳：两图象交点表示当自变量为交点横坐标时，两函数值相等，且同为交点纵坐标；反映在龟兔赛跑中，即经过相同的时间，兔子正好追上乌龟； 交点左侧部分图象对于相同的自变量，两函数值不同，其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即乌龟跑在兔子前面， [说明：对学生 脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法；通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动，使学生充分认识图象获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2
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