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定积分与微积分基本定理练习题及答案1.4
所围成图形的面积,其中正确的是x y=1.(2011 宁·夏银川一中月考)求曲线y=x2 与
)(
x2)dx 1(x-A.S=1(x2-x)dxB .S=
00
y)dy-C.S=1(y2-y)dyD .S=1(y
00
]答案[B
][分析根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[0,1][解读](0,0) ,(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于
在两函数图象的交点坐标是
x2)dx.-=(x与y=x 所围成图形的面积S1 x2,故函数y=x2上,x≥
的大小关系、c ,则=sinxdx a、b=2.(2010 山·东日照模
考)a xdx ,b=exdx,c222
000
(是)
a
c ][答案D 1cosx|02,b=2exdx=ex|02=e2-1>2,c=2sinxdx [解 读]a==-2=x2|02=2xdx 2000 (1,2) ,=1-cos2∈ c )( x3 围成的封闭图形面积为,.3 (2010 山·东理,7)由曲线y=x2 y= 11 1 7 C. B. A.412] A [D.答案123 x2y=]解读[.(1,1)由得交点为(0,0) , x3y= 11=x3)dx (x2 -11 .=∴=01 S x3 x4- 12340 ]点评[图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函 数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题: A(2,4) y P )(2010 ·南师大附中湖设点在曲线=x2 上从原点到, 移动,如果把由直线OP 如图所示,当=及直线=直线y x2 x 2 1S所围成的面积分别记作,S2.的坐S1=时,点S2 P )(标是 1/13 --- ----- 4 164 16,, A. B. 5399 415413 ,,C. D. 5377 [答案]A t3=S2;=x2)dx tx,∴S1=(tx-直线]设P(t,t2)(0≤t , ≤则2) OP:y=[解读(x2t26t0t384416 ,∴P ,2ttx)dx =-+,若S1=S2,则t =-. 36339 ()4.由三条直线x=0、x=2、y=0 和曲线y=x3 所围 成的图形的面积为 418 6 D.B.C. 53A .4 [答案]A x4x3dx S==]02=4.[解读240 ) -1(sinx+1)dx 的值为()1湖·南省考试院调研.(2010 5 A.0 B.2 C.2+2cos1D .2-2cos1 [答案]B -][解读1)=-cos(-(- 2.cos11(sinx++1)dx-=1)(-+cosx1)x)|(--11=1 ()6.曲线y=cosx(0≤x≤2与π)直线y=1 所围成的图形面积是 A .2πB.3π π3 C. D .π2 [答案]A ][解读如右图, S=∫02π-(1cosx)dx =(x-sinx)|02 =π2π. [ 点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为 π,,则对称性就无能为力了.π6 7.函数F(x) =xt(t -4)dt 在[-1,5] 上()0,无最小值0A .有最大值 32 32 0 和最小值-B.有最大值3 C.有最小值-,无最大值 2/13 --- ----- D.既无最大值也无最小值 [答案]B [解读],,x2=4 (x)=0,得x1=0F′(x)=x(x -4),令F′73225∵F(-1) =-,F(0)=0,F(4)=-,F(5)=- . 33332 ∴最大值为0,最小值为-. [点评]一般地,F(x) =xφ(t)dt的导数F′(x)=φ(x).0 1dt,若f(x) 取值范围是() 3,+∞B .A.(0,e21) 6 D .(0 ,e11)C.(e-11,e) [答案]D 1f(x) =dt=lnt|1x =lnx ,a3=S3-S2=][解读21-10=11,由lnx<11 得,0 9.(2010 福·建厦门一中)如图所示,在一个长为π,宽为 2 的矩形OABC内,曲线y= sinx(0 ≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形 ()OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 π31 2 A. B. C. D. πππ4 ][答案A S=π[解读]由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得 sinxdx =-cosx|0=π-(cos π-cos0) =2 ,再根据几何概型的算法易知所求概率P = S21= .=S矩形2ππOABC x+2 -2≤x<0 S轴所围成的图形面积的图象与x=函数.10(2010 吉·林质检) f(x) π2cos0≤x≤ 2 为() 3/13 --- ----- 31 A.B.2D. 21 C.4 [答案]C ππ2)dx-解读] 2(x +[ 4.+2=∫-面积S=2f(x)dx = +∫02cosxdx =2 220 11.(2010 ·沈阳二十中)设函数f(x) =x-[x] ,其中[x] 表示不超过x 的最大整数,如[ -1.2] x ,f(x) 在区间(0,2)上零点的个数记为3m,f(x) =-与g(x)=-2,[1.2] =1,[1] =1.又函数g(x) (,则的值是n的图象交点的个数记为)n g(x)dx m 4 5 .-A .-B32 7 5 DC.-.-64 [答案]A 由题意可得,当0 所以当x∈(0,2)时,函数f(x) 有一个零点,由函数f(x) 与g(x) 的图象可知两个函数有4 个交 x5 x2. =14=-=-dx 点,所以m=1,n=4,则g(x)dx 4n-2361m 11.(2010 江·苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛, 比赛规则如下:甲从区间[0,1] b,乙从区间[0,1]c(b、上随机等可能地抽取一个实数记为上随机等可能地抽取一个实数记为 c 可以相等),若关于x 的方程x2 +2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比 赛中甲获胜的概率为() 1 2 13 A. B. C.D.4332 [答案]A 方程x2+2bx+c=0有实根的充要条件为[解读]=4b2-4c≥0,即b2≥c, 1b2db01=由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为p.= 1×13 12.(2010 ·林省调研吉)已知正方形四个顶点分别为O(0,0) ,A(1,0) ,B(1,1) ,C(0,1),曲 线y=x2( x≥0)与x 轴,直线x=1 构成区域M ,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点 落在区域M 内的概率是() 11 A. B. 4212 C.D. 53[答案] C 4/13 --- ----- 1p,故所求概率=1x2dx =x3|011[解读],区域M 的面积为S=如图,正方形面积1 3301 = .3 2.如图,阴影部分面积等于() A.2 3B.2-3 3235 C.D. 33 ]答案[C [解读]图中阴影部分面积为 1321S= .=x2)|1--2x)dx =(3x -x3 3-(3-x2 33-3 3. 24-x2dx =() A .4πB.2π π C.π D.2 [答案] C 令解读[ ]y=4-x2,则x2+y2=4(y ≥,0)由定积分的几何意义知所求积分为图中阴 影部分的面积, 1S=∴×π×=22π.4 5/13 --- ----- 4. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的 t0 和t1,下列判断中一定正确速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的 的是() A .在t1 时刻,甲车在乙车前面 B.在t1 时刻,甲车在乙车后面 C.在t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 [答案]A [解读]判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t0,t1 时刻,甲、乙 两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时 v(t) 的图象与间段内速度函数的定积分,即速度函数t 轴以及时间段围成区域的面积.从图 v 乙的图象与象知:在t0 时刻,v 甲的图象与t 轴和t=0,t=t0 围成区域的面积大于轴和t t=0,t =t0 围成区域的面积,因此,在t0 时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度 刚刚赶上甲车的速度,所以选项C,D 错误;同样,在t1 时刻,v 甲的图象与t 轴和t=t1 围成区域的面积,仍然大于v 乙的图象与t 轴和t=t1 围成区域的面积,所以,可以断定: 6/13 --- ----- 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 11-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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