第三章单自由度有阻尼系统的振动

第三章 单自由度有阻尼系统的振动

3—1 阻尼的作用与分类

前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。

阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。 1.干摩擦阻尼：

两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。

2.粘性阻尼：

物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间

产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x c F ,式中c 为粘性阻尼系

数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速度

在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2

x

b F ，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。

3.结构阻尼、

材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。

由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。

3－2具有粘性阻尼的自由振动

单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为

kx x c x m －＝－

式中 ： x c 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

将上式写成标准形式，为

0 kx x c x m (a)

令p 2=

m k , m

c

n 2, 则上式可简化为 022 p x n x (3-1)

这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st

e x ，其中 s 是待定常数。代入（3-1）式得 0)2(2

2

st

e

p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，

必须022

2

p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为

222,1p n n s （b ）

于是微分方程（3-1）的通解为

)(2222212121t

p n t

p n nt t s t s e c e

c e e c e c x

（3-2）

式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式22p n 是实数、零、还是虚数。对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2// （3-3）

当n>p 或 >1,根式22p n 是实数，称为过阻尼状态，当n

2p n 是虚数，称为弱阻尼状态，当n ＝p ，即 ＝1，称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。

1.过阻尼状态

此时 >1，即2

2p n

s e 1及t

s e

2是两根下降的指数曲线，故（3-2）式所表

示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。

2.临界阻尼状态

此时 ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的

根是重根，方程（3-1）的另一解将为te

－pt

，故微分方程（3-1）的通解为

x ＝（c 1＋c 2t ）e

－pt

（c ）

式中等号右边第一项c 1e －pt

是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下

形式：

!

/!3/!2//12322

/22n t p t p t p p t c e c te c n

n t pt pt

从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt

也趋近于零。因此（c ）式表示的运动也不是振

动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态

此时p>n,或 <1。利用欧拉公式

t n p i t n p e e t

n p t

p n 2222sin cos 2222

可将（3-2）式改写为

)

sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt t

n p i

t

n p i

nt

或

)sin(22 t n p Ae x nt （3-4-1）

令22n p p d

，则

)sin( t p Ae x d nt （3-4-2）

式中A 与 为待定常数，决定于初始条件。设t ＝0时，x ＝x 0，0x x ，则可求得

0012002

,)(x nx x p

x tg p nx x A d d （3-5）

将A 与 代入（3-4-1）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线nt

Ae

之内随时间不断衰减的衰减

振动。如图3-3所示。这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为

2221 P n P P d

2

2222

22211

11221122

T

P n P T f P n P f d d

式中P 、f 、T 是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。

由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n 都比P 小得多，属于小阻尼的情况。例 =n/p=0.05时，f d =0.9990f ，T d =1.00125T ；而在 =0.20时，f d =0.98f ，T d =1.02T ，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t 1时，A 1=Ae -nt 1；t=t 1+T d 时，A 2=A )

(1d T t n e

；t=t 1+2T d 时，A 3=A )

2(1d T t n e

，…..。而相邻两振幅之比是个常数。即

nTd j j e A A 1/ （3-6）

式中η称为减幅系数或振幅衰减率，n 称为衰减系数，n 越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。当 ＝0.05时，η＝1.37，A 2=A 1/1.37=0.73A 1，每一个周期内振幅减少27％，振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3％。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取（3-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即

d j j nT A A Ln )/(1 （3-7）

式中δ称为对数减幅或对数衰减率。

将22/

2n p T d 代入，得

2221/2/2 n p n （3-8-1）

当 <<1时，

δ≈2π （3-8-2）

因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数e nTd ，即

e e A A A A A A A A nTd j j 1433221/......///

故有

)/)......(/)(/(/1322111j j j A A A A A A A A j e

因此对数减幅δ也可表达为

)

1(11

j A A Ln j （3-9）

此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。因为

1

11

1

21

j j d j j d d j j A A Ln

T m c A A Ln T n nT A A Ln

故

1

2

j j d A A Ln

T m

c （3-10） 所以只要实测得出衰减振动的周期T

d 及相邻两次振幅A j 和A j+1，即可计算出系统的阻尼系数C 。

[例3-1] 在图3-1所示的振系中，弹簧刚度K=250N/cm ，阻尼系数C=6N ·s/cm ，物体重98N 。设物体从静平衡位置下拉1cm ，然后突然释放，求此后的运动。 解：先求阻尼比 判断阻尼状态，分析运动性质， 因为 16.0980

98250

2622

mk

c

mp c ，属弱阻尼振动，故运动方程为：

)sin( t p Ae x d nt 及)]sin()cos([ t p n t p p Ae x

d d d nt 式中：40)6.01(980

/98250

)1(1222

m k

p p d 1/s

2

0202

)(d p nx x x A 0

00nx x p x tg d

由初始条件：t ＝0时， x 0＝1cm 、00 x 及n ＝6.0 p ×

30980

/98250

1/s

代入以上两式，得 A=1.25cm ，3

4

tg ，即01530

所以 x ＝1.25e -30t sin(40t+0.928)

[例3-2] 设阻尼系数为C=1N ·s/cm ，其余数据同上例，试求对数减幅δ，并估计使振

幅减小到初始值的1%所需的次数及时间。

解：628.02,1.050

982980

1

振动次数 84.7628.0605

.410011

11

Ln A A Ln

j j

所需时间 01.150

8

22122

p j p j jT t d s [例3-3] 有阻尼弹簧质量系统中，物块重98N ，弹簧刚度k=7N/cm ，阻尼系数C 未知，如果测得幅值为每循环衰减率为10%，求阻尼系数C 。

解： /1()/(1Ln A A Ln j j 0.9)=0.105， m=98/980=0.1。 由（3-8）式得

0167.0)105.0(4/105.04/2222 N ·s/cm

所以 C=0279.071.00167.0222 mk mp

N ·s/cm 。

3—3在简谐激扰力作用下的强迫振动

单自由度粘性阻尼系统强迫振动的力学模型如图3-4所示。设系统中除了有弹性恢复力及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐扰力F （t ）=F 0sin ωt ，其中ω为激扰频率。由牛顿运动定律，直接写出系统的运动微分方程为：

t F kx x c x m sin 0 （3-11）

令 P 2=k/m, 2n=c/m ，q=F 0/m 。则（3-11）式可改写为下列形式

t q x p x n x sin 22 （3-12）

方程的通解由两部分组成。即

)()()(21t x t x t x

其中x 1(t)为齐次方程的通解，x 2(t)为方程（3-12）的特解， 在弱阻尼情况下，通解为（3-4）式，即

)sin()(221 t n p Ae t x nt （a ）

因为方程(3-12)的非齐次项为正弦函数，故其特解为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。令其形式为

)sin()(2 t B t x （3-13）

所以方程（3-12）的通解为

)sin()sin(22 t B t n p Ae x nt （3-14）

上式等号右边第一项已讨论过，是一个衰减振动，只在振动开始后的一段时间内才有意义，所以称其为瞬态振动；第二项是系统在简谐激扰力作用下产生的强迫振动，是一种持续等幅振动，称它为稳态振动。图3-5表示了在初始阶段由（3-14）式表示的由两种不同频率不同振幅的简谐运动迭加的结果。其中细实线表示等幅振动，粗实线表示某种情况下两种运动的迭加。通过一段时间后，粗实线逐渐与细实线相重合而成为单纯的稳态振动。因此在一般情况下，可以不考虑瞬态振动而仅研究强迫振动中持续的等幅振动。以下分析由（3-13）式所表示的稳态振动。

（3-13）式中，B 为强迫振动振幅，ψ为相位差，现求这两个待定常数。将式（3-13）代入式（3-12），有

t q t B n t B p sin )cos(2)sin()(22

将上式右侧改写成

)cos(sin )sin(cos sin t q t q t q

比较方程左右侧中)sin( t 及)cos( t 的系数，可得

cos )(22q p B ， sin 2q B n

解上列联立方程式，得

2

22224)( n p q

B

， 2

22

p n tg （b ）

仍用记号 m k p /2

，c c c p n mp c //2/ ,λ=ω/p ，并令B 0=q/p 2=F 0/k ，即常力F 0

作用下的静扰度。则（b ）式可改写成下列形式

2220)2()1(/ B B （3-15）

)211/2( tg （3-16）

从（3-13）、（3-15）、（3-16）式可以看出，具有粘性阻尼的系统受到简谐激扰力作用时，

强迫振动也是一种简谐振动，其频率与激扰力频率相同，振幅B 、相位差ψ都只是决定于系统本身的物理性质（质量m 、弹簧刚度k 、粘性阻尼系数c ），与激扰力的大小、频率及初始条件无关。

强迫振动的振幅大小在工程实际问题中有重要意义，因此有必要搞清楚影响振幅的各种因素。由式（3-15）知，影响振幅的因素为B 0、λ和ξ，现分别加以讨论。

1．B 0的影响:

因为B 0=F 0/K ，它反映了激扰力的影响，即振幅B 与激扰力幅F 0成线性关系，F 0越大则B 越大。

2．λ的影响： 为了说明λ对振幅B 的影响，先将式（3-15）写成如下无量纲形式

2220)2()1(/1/ B B （3-17）

式中β称为振幅放大因子，或振幅比。

现以振幅比β为纵坐标，以频率比λ为横坐标，以阻尼比 为参变量，据式（3-15）作出如图3-6所示的振幅频率影响曲线（简称振幅响应曲线），以表明频率对系统位移的影响特性。从（3-17）式或图3-6可看出：

1）当激扰频率很低，即λ=ω/P ＜＜1时，放大因子β接近于1，即振幅B 很近于B 0，此时的振幅相当于把激扰力力幅F 0当作静载荷加于系统上产生的静位移。

2）当扰频很高，即ω/p>>1时，放大因子β趋近于零，原因是，扰力方向改变很快，振动物体由于惯性来不及跟随，结果是停着不动。

3）当扰频与振系的固有频率很近，即ω/p ≈1，在 较小的情况下，振幅B 可以很大（即比B 0大很多倍），此即共振现象。在共振区附近振幅的大小主要取决于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在无阻尼的情况下，即 =0时，如2－3节中所提到的那样，振幅将变为无限大，共振振幅（ω=p 时）可由下式求出：

2/1 即 B=B 0/2 =F 0/CP （3-18）

严格地讲，放大因子β或振幅B 的最大值，并不是出现在ω=p 时。利用求极值的方法，可求出当2

21

时，使强迫振动的振幅有最大值的扰频，即共振频率：

p r 221 （3-19）

而共振时的放大率与振幅分别为

212/1 r ，20201/12/ CP F B B r （3-20）

在 ≤1时，（3-20）与（3-18）式相差很小，所以通常说在ω=p 时发生共振。为了避免共振，一般在设计机器或结构物时，应使固有频率高于或低于扰频约20%—30%。

3． 的影响：

由图3-6可以看出，阻尼仅在共振附近一定范围内对降低振幅有显著作用，当阻尼为零时，共振振幅B r 趋于无限大，增加阻尼，振幅可以明显下降，在离开共振稍远的范围，阻尼对降低振幅的作用很小，尤其在ω>>P 时，阻尼几乎没有作用。因此在ω接近于P 的区域必须考虑阻尼的影响。当 >0.7时，幅频响应曲线变成一平坦的曲线了。这一事实充分说明，阻尼对共振振幅有明显的抑制作用。

由式（3-16）可知，强迫振动的相位差ψ与频率比λ及阻尼比 有关。若以ψ为纵坐标，以频率比λ为横坐标，以阻尼比 为参变量，椐（3-16）式可绘成如图3-7所示的曲线，此曲线称为相位频率响应曲线（简称相频响应曲线）。从图中可以看出，ψ始终是正值，故强迫振动的位移总是滞后于激扰力，而且与阻尼比 的大小无关。还可看出，若 ≠0，则当λ<1时，ψ在0o-90o之间；当λ>1时，ψ在90o-180o

之间。若 =0，及系统无阻尼存在时相位差ψ与频率 图3-7

比λ的关系就如2-3节中图2-15所示那样，相位差ψ在λ=1处有一个突变，即λ<1时，ψ=0；λ>1时，ψ=180o。这就是说在ω＜p 时，强迫振动的位移与激扰力同相；在ω＞p 时，强迫振动的位移与激扰力反相。即强迫振动的位移在共振点前后出现突然的相位变化。若系统有阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋于平稳。当λ=1时（即共振时）相位差ω=90°与阻尼大小无关，这是共振的一个重要特征。

[例3-4] 如图3-4所示粘性阻尼振系，质量m 、弹簧刚度k 及阻尼系数c 均为已知，有扰

力F=F 0sin ωt 作用，ω=P ，设在t=0时，x=0、0 x

，求运动方程。 解：振动微分方程的通解为（3-14）式。因为ω=P ，系统发生共振，相位差ψ=90°，由（3-18）式，B=F 0/CP=F 0c ω。故特解为

t c c F

t c F t B x

cos )90sin()sin(0002

通解为：

t c F t n p Ae x nt

cos )sin(0

22

对时间求导，有

t n p n p Ae x

nt 2222cos([ ）t c

F t n p n sin )]sin(0

22 将初始条件代入，有

)sin cos (0,sin 0220

n n p A c F A

可求得

2

2221sin ,/1/ n n p tg 20201/1/ cp F c F A

所以，运动方程为

t cp

F t n p e cp F x nt cos )1sin sin(10

21222

[例3-5] 如图3-4所示振系，物块重980N ，弹簧刚度K=900N/cm ，阻尼系数C=24N ·s/cm ，铅垂向扰力F=90sin ωt N ，求：（1）在ω=P 时的振幅；（2）使振幅有极大值时的扰频ωr 及B r /B 。

解：振系的固有频率 30980/980900/

m k p 1/s ，

在ω=P 时， B=125.0)3024/(90/0 cp F cm 。 使振幅有极大值时扰频为

p r 221 ，

其中 4.030

9802980

242/

mp c

故 s r /71.2430)4.0(212

振幅的最大值为

201/ cp F B r ,

09.192.0/11/1/2 B B r

[例3-6] 如图3-8所示的振系在激扰力F 0sin ωt 作用下，求系统的角振幅。假定杆OA 为刚性均质杆，质量为m 。

解：取角位移θ为坐标，静平衡位置为原点，顺时针方向为正。根据刚体绕定轴转动的运动微分方程

I ，得系统的振动微分方程为

2202sin 3

cb Ka t L F L m 即

t mL F mL

ka mL cb sin 33302

2

22 将上面方程和方程（3-12）比较，得

mL F q mL cb n mL ka p /3,/32,/3022222

杆OA 在激扰力矩F 0Lsin ωt 作用下产生简谐振动

θ=Bsin(ωt-ψ)

振幅

2

2

2

)

2()1(1

p q

B

3—4偏心质量所引起的强迫振动

在旋转机械中，由于偏心质量所引起的强迫振动是极为普遍的现象，以下讨论这类振动现象。

具有偏心质量的旋转机械力学模型如图3-9所示，设旋转机械的质量为m ，转子的质量为m 1,偏心距为e ，转动角速度为ω，弹簧刚度为k ，阻尼器阻尼系数为c 。现只研究机器在垂直方向的振动。设机器位移为x （从静平衡位置算起，向下为正），偏心质量m 1的位移为x+esin ωt ，由动量定理，系统的振动方程可写成

dt

dx

c

kx t e x dt d m dt x d m m )

sin (22

1221 即

t e m kx x c x m sin 21 （3-21）

这就是机器在转子离心力作用下的运动微分方程。方程的稳态解为

)sin( t B x

其中振幅

22221)()(/ c m k e m B （3-22）

相角

)/(2 m k c tg （3-23）

引用记号 m k p /

，mp c 2/ ，p

，将（3-22）、（3-23）式写成无量纲形式

222221)2()1(// e m mB （3-24）

21/2 tg （3-25）

（3-24）式中β即放大因子。

以mB/m 1e 为纵坐标、λ为横坐标、 为参变量，由式（3-24）做出图3-10。因方程（3-25）与方程（3-16）完全相同，故ψ的曲线与图3-7一样。由式（3-24）、（3-25）及图3-10、图3-7，得到偏心质量所引起的强迫振动特征如下。 1） 当λ<<1（ω<

很小，

振幅很近于零，相角ψ亦近于零；2)当λ>>1（ω>>P ） 图3-10

时，λ2

β趋近于1，质量 （m-m 1）的振幅趋近于m 1e/m ，相角趋近于1800

；3）当λ=1（ω=P ）时，放大因子

21

，质量（m-m 1）的振幅B=m e m 2/1，相角ψ=900

，系统振幅受到阻尼的限制；4）当阻尼很小时，振幅很大，这就是共振现象。

3—5 单盘转子的临界转速

工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。这种使转子发生激烈振动的特定转速称为临界转速。现以单盘转子为例，说明这种现象。

如图3-11所示，在转轴中部有一质量分布不均的圆盘，圆盘的质量为m ，重心在G 点，几何中心在S 点，偏心距e=SG ，轴承中心连线穿过圆盘平面的O 点。假定转轴的质量忽略不计。当转子静止时，S 点与O 点重合，转子开始转动后，轴呈弓形变形，轴中点的挠度为OS ，这时转子有两种运动，一是转子在轴线弯曲后的绕轴转动，一是弯曲了的轴和轴承中心连线

所组成的平面的转动。后一种运动称为“弓状回旋”。弓状回转运动与轴的转向相同或相异，回转的速度可等于或不等于轴的转速。产生这种现象的原因比较复杂。这里只讨论最简单的所谓同步弓状回旋，即上述两种运动的转速相等，均为ω的情况。

取x0y 坐标如图所示。以（x 、y ）表示圆盘几何中心S 的位置，则圆盘重心G 的坐标为x c ＝（x+ecos ωt ）与y c ＝(y+esin ωt)。设轴及其轴承的刚度在x 和y 方向上均为K ，系统的阻尼为粘性阻尼，其阻尼系数为C 。由质心运动定理，可写出x 和y 方向的运动微分方程为

t me ky y

c y m t me kx x c x m sin cos 2

2 } （3-26）

将方程（3-26）与方程（3-21）相比较，可得稳态解

)sin()2()1()sin()

()()sin()

cos()

2()1()cos()

()()cos(2

2222

2

222

2

222

2

22

t B t e c m k t me y t B t e c m k t me x

（3-27）

其中 B=2

2

22

)2()1(/ e （3-28）

）（21211/2)]/([ tg m k c tg （3-29）

式中ψ是线段SG 比线段OS 所超前的相位角。它的大小不仅与系统的阻尼值有关，而且还与转子的转速ω有关。由（3-27）式，可求得轴的中点的挠度为

2

2

22

2

2

2

2

2

)

2()1()

()(

e c m k me y x os （3-30）

圆盘在x 、y 方向作等幅的简谐振动，二者的相位差为π/2。因此这两个方向的振动合成后，几何中心 S 的轨迹是一个圆)(2

2

2

R y x ，圆心为坐标原点O ，半径R=OS=B 。 图3-12表示了在三种不同转速情况下圆盘重心G 和几何中心S 之间的相对位置。从图3-12可以看出，ω

P 时，重心G 和回转中心O 处在几何中心的同侧；在ω=P 时，转轴剧烈“弓状回旋”，回转半径即转轴的横向位移达到最大值为OS=e/2ζ。

在不考虑其它因素时，ω=P 即数值上与转轴的横向弯曲振动固有频率相等时的转速即为临界转速，记为ωc 。

当λ>1时，振动挠度OS 为负值，当λ→∞时， ≈π，OS ≈–e ，这意味着动挠度与偏心距反相。这时轴围绕其重心旋转，重心G 与O 点重合，称为自动定心。这时转子运动平稳，没有振动。

必须指出，临界转速虽然在数值上和转轴横振的固有频率相同，但是“弓状回旋”与横向振动完全是两种不同的物理现象。不转动的轴作横向振动时，轴内产生交变应力。而“弓状回旋”对于转轴来说并不产生交变应力，但转子的离心惯性力却对轴承作用着一个交变力并导致支承系统发生强迫振动，此即临界转速时产生剧烈振动的原因，正因为这样，工程上常将临界转速时支承发生剧烈振动的现象和共振不加区分。

3—6 支承运动引起的强迫振动

以上讨论的强迫振动，激扰都是作用在质量上的，但有时激扰却作用在基础上或质量的支承上，再通过弹簧和阻尼器才使质量产生相应的运动。例如地基的振动引起机器的振动，机器的振动引起仪器的振动，汽车驶过不平的路面而产生的振动等。现就图3-13所示的单自由度系统受基础激扰的力学模型，研究支承运动引起的强迫振动。

设支承运动t a x s sin ，其中a 为运动的幅值， 为频率。取质量块m 研究，其位移以坐标x 表示。取系统平衡时m 的位置为坐标原点。则当质量块离开平衡位置的距离为x 时，

弹簧的变形应为x －x s ，而质量块与支承的相对速度则为s x x ，从而在质量块上作用有弹簧恢复力k （x-x S ）和阻尼力)(s x x c 。按牛顿定律，建立振动微分方程式

s s x x c x x k x m )( （a ）

或 s s x c kx kx x c x m （3-31）

把x S 、s x 值代入式（3-31）中，得

t a c t ka kx x c x m cos sin

（3-32） 此式表明，作用在系统质量m 上的激扰力由两部分组成：一部分是弹簧传给质量m 的力

t ka sin ，另一部分是阻尼器传给质量m 的力t a c cos 。两者可合成为：

)sin(0a t F F

其中 222220)()( c k a a c ka F

，k c tg /1 （b ）

于是微分方程（3-32）可写成

)sin(222a t c k a kx x c x m (3-33)

可见，方程（3-33）和方程（3-11）在形式上是一样的。所以方程（3-33）的稳态解可表示为

)sin( t B x

其中振幅B 及相角ψ，可应用3—3节的方法类似地求出为

)

2()1()2(1)(2

2

222

2

2

2222

a c m k c k a B （3-34）

2

23

2222)2(12)(

c m k k mc tg （3-35） 若以λ为横坐标，a

B

为纵坐标， 为参变量，则可根据（3-34）式作出如图3-14所示的幅频响应曲线。从图可以看出，在2 时，恒有,1 即无论多大阻尼，系统的振幅B

均等于支撑运动的振幅a ；当2

时，,1 振幅B 小于支撑运动的振幅a ，而且阻尼大

的系统比阻尼小的系统的振幅反而要稍大些；当2 时，强迫振动的振幅趋近于零，这

就是说支座的运动并不传递到物体m 上，这一特性在研究隔振和测振时是很有用的。

图3—14

以λ为横坐标，ψ为纵坐标，ζ为参变量，根据（3-35）式做出相频响应曲线，由于用处不太大，这里就不再讨论。

[例3-7] 小车重4900牛顿，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重物，弹簧刚度K=50牛顿/厘米，轮子的重量与变形略去不计。路面成正弦波形，可以表示为

L

x

a y 2sin

，其中a ＝4厘米，L ＝10米。如图3-15所示。试求小车在以水平速度υ＝36公里／小时行驶时，车身上下振动的振幅。设阻尼可略去不计。

解：小车的固有频率为

104900/980500/ m k p 1/s

设在t=0时，有x=0，则x=υt ，因而

t a L

t

a y sin 2sin

其中

2360010/10362/23 L t 1/s

故小车强迫振动的振幅

6.61021/41/22

P a B cm

［例3-8］惯性测振仪工作示意如图3-16所示。振动物体的运动规律为t a x s sin ，求质量m 相对于振动物体的振幅y 0。已知a=2毫米， ＝251.2弧度／秒， ＝0.7，系统的固有频率P ＝62.8弧度／秒。

解：惯性测振仪工作时，质量m 的运动就是图3-13所示的支承运动引起的强迫振动，振动微分方程如式（a ）所示，即

)()(s s x x c x x k x m

质量m 相对于振动物体的位移、速度和加速度分别为

s x x y ，s x x y ， s x x y

将y 、y 、y 代入上式，并注意到t a x s sin 2

，

得质量m 的相对运动的微分方程式为

t a m x m ky y c y m s

sin 2

将上式与（3-21）式比较，可知上面方程的特解可表示为

)sin(0 t y y

振幅y 0的表达式与式（3-22）及（3-34）形式相似，可得

222222

220)2()1(/)(/

a c m k ma y

代入数据：a=2毫米， ＝0.7，λ＝ω／p ＝4，得

）

mm y (29986.1)47.02()41(/4222220

从此例及图3-10可以看出，只要λ在2.5以上，且系统的阻尼足够大（ ＝0.65～0.7）时，y 0≈a 。测振仪指针指示的数值就是振动物体的位移，而质量m 的位移x ≈0（也就是测振仪工作时，质量几乎不动）。这就是位移计的工作原理。位移计要求本身的固有频率低，从而使λ＝ω／p 可以足够大，所以位移计是一种低固有频率的仪器。

振幅y 0可改写成如下形式：

2222a 222220)2()1(/)2()1(/ p A p a y

式中A a —振动物体加速度幅值。 当λ很小（即ω／p →0）时，y 0≈

2

a

P A 。测振仪指针指示的数值与振动物体的加速度幅值成正比，这就是加速度计的工作原理。加速度计要求本身的固有频率必须比振动物体的频率ω足够高，从而使λ＝ω／p 足够小。所以加速度计是一种高固有频率的仪器。必须指出，加

速度计的频率适用范围同样受阻尼影响。如以Aa p y /2

0为纵坐标，以λ为横坐标作曲线，可得与图3-6完全相同的图，只要将β以a 2

0/A p y 代替。从图中可以看到，在 ＝0.65～0.70时，λ＝0～0.4的范围内Aa p y /2

0接近于1。

3—7 隔振原理

机器设备所产生的振动，一方面会影响机器本身的工作精度和使用寿命，甚至引起机器本身结构或零部件的损坏；另一方面也会传给周围的机器设备，使它们也产生振动，伴随振动产生的噪音对人体的健康也是有害的。因此必须很好地研究怎样才能有效地进行振动的隔离。

根据振源的不同，一般分为两种性质不同的隔振，即主动隔振和被动隔振。对于本身是振源的机器或结构，为了减小它对周围机器、仪表及建筑物的影响，须将它与地基隔离开来，这种隔振措施称为主动隔振。对于允许振动很小的精密仪器和机器设备，为了避免周围振源对它的影响，须将它与振源隔离开来，这种隔振措施称为被动隔振。

主动隔振和被动隔振的原理是相似的，都是把

需要隔离的机器安装在合适的弹性装置（隔振器）上，使大部分振动为隔振装置所吸收。图

3-17为单自由度隔振系统动力学模型，其中（a ）为主动隔振，（b ）为被动隔振。图中m 为被隔离机器设备的质量，k 和c 为隔振器的弹簧刚度和阻尼系数。

一. 主动隔振

振源是机器本身的激扰力F 0sin ωt 。未隔振时机器与支撑之间是刚性接触（K →∞），故机器传给地基的最大动载荷是F 0，在有弹性元件和阻尼元件隔振时，机器传给支撑上的最大动载荷为F T ，F T 应为通过弹簧及阻尼器传到支撑上的最大动载荷的合力。因为振动位移x ＝

Bsin(ωt －ψ)，速度)cos( t B x ，位移与速度之间相位差为900，而弹簧力F K ＝KX ，

阻尼力F C =C x ,故最大弹簧力F Kmax =KB ，最大阻尼力F Cmax =CB ω。因此，它们的合力应为

222max 2max 2)2(1)()( KB CB KB F F F c k T （3-36）

因为

2220)2()1(/ K F B （a ）

所以

22220)2()1(/)2(1 F F T （3－37）

主动隔振的隔振效果用隔振系数（或传递系数）ηa 来表示。ηa 为机器隔振后传给支撑的动载荷F T 与未隔振时机器传给支撑的动载荷F 0的比值。

22220)2()1(/)2(1/ F F T a （3-38）

二. 被动隔离

振源是支撑的运动x s ＝asin ωt 。此时，机器也将产生强迫振动。其振动微分方程与前述的（3-31）式完全相同。稳态振幅即为（3-34）式，将（3-34）式改写成：

2222)2()1(/)2(1/ a B （b ）

与式（3-38）的形式完全一样。

被动隔振的效果用机器隔振后的振幅（或振动速度、加速度）与振源振幅（或振动速度、加速度）的比值ηb 来表示，也称隔振系数。由（b ）式得

2222)2()1(/)2(1/ a B b （3-39）

可见，当振源是简谐振动时，由（3-38）、（3-39）知，无论是主动隔振还是被动隔振，虽然两者含义不同，但隔振原理与隔振系数是相同的。系数η随频率比λ的变化规律都可用图3-14来表示，只是将纵坐标β换成η，并有下列一些共同特性：1. 在2 的区域内，

η＞1，无隔振效果，反而将原来的振动放大；2. 不论阻尼大小，在2

的区域内，η＜

1，才有隔振效果；3. 在2 以后，随着λ的增加，η值逐渐趋近于零。但在λ＞5以后，

η曲线几乎水平，即使采用更好的隔震装置，隔振效率提高有限。实用上选取λ值在2.5～5之间足够；4. 当2

时，η随ζ的增大而提高，即在此情况下，阻尼的增大是不利隔振

的，反而使隔振效果降低。

［例3-9］机器重10000牛顿，支以弹簧，弹簧刚度K ＝40000牛顿／厘米，阻尼比 ＝0.20。在转速为2380转／分时，不平衡力的幅值F 0＝2000牛顿，求此时机器上下振动的振幅、隔振系数以及传至地面的力。

解：机器的固有频率为

5.6210000/98040000/ m K P 1/s ，即596prm 。

频率比λ＝ω／p ＝2380／596≈4.0

由式（a ）知：

振幅 00331.0)

41.02()41(400002000

2

2

2 B cm

由式（3-39）知：

隔振系数 125.0)

42.02()41()42.02(12

222

a 传至地面的力 F T ＝2000×0.125＝250N 。

3－8 强迫振动过程的能量关系

若不计阻尼，自由振动的任意瞬时，系统的动能与势能的和总是等于振动开始时从外界输入的能量。根据机械能守恒定律，动能与势能可以互换，总和不变，从而维持系统的等幅自由振动。在有阻尼的自由振动时，由于阻尼存在，不断消耗能量而导致振幅衰减以致完全停息。在有阻尼的强迫振动中，一方面扰力对振动物体作功，不断向振系输入能量；另一方面系统的阻尼又不断消耗能量。若前者大于后者，振幅将增加。反之，振幅将减小。因此，要维持稳态的强迫振动，激扰力必须持续地作用，即不断对系统作功，向系统输入能量，当每周的能量消耗相等时，振幅将保持常值，系统将进行稳态振动。现在以弹簧—质量系统为例，来说明激扰力与阻尼在强迫振动中所作的功的计算方法。假定激扰力与振动都是正弦型的，而阻尼是粘性的。

1. 简谐激扰力在一个周期内所作的功（即输入的能量）

单自由度机械振动系统习题

单自由度系统机械振动 1. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯 滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统 的固有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的 质量为m ，弹簧刚度为K 。 2． 图所示，W=1000N ，k=2 104N/m ，图示位 置弹簧已承受初压力F 0=100N ，现将支承突 然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位 移表达式？（取重力加速度g=10m/s 2） 3．如图所示为一台机器，其总质 量为M ，安装在一个弹簧和一 个阻尼器上，弹簧常数为k ，阻 尼系数为c 。机器工作时旋转中 心为O ，角速度为ω，不平衡 质量大小为m ，偏心距离为e 。 机器只能在垂直方向运动。求机器振动时传给地面的力的最大值。 W K

4．图示系统中，质量m 上受激励力为 F （t ）=sin ωt+10sin10ωt 时， 求质量m 的稳态响应 5. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固 有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的质量为m ， 弹簧刚度为K 6. 一重块与两弹簧相连，W=490N ，k=9800N/m ， 图示位置弹簧不受力，现将支承突然撤去，重块 落下后作自由振动时的振动位移表达式？ 7. 如图所示为一台机器，其总质量为m ，通过一个弹簧和一个阻尼器安装在基础上，弹 簧常数为k ，阻尼系数为c 。基础的运动为 y(t)=Ysin ωt ，机器只能在垂直方向运动。求 基础振动时传给机器的力的最大值。 W K K

8．图示系统中，质量m上受激励力为 F（t）=sinωt+10sin10ωt时， 求质量m的稳态响应。 9.一般振动问题，如图所示： 三类振动问题分别是： （1）振动分析，已知，求； （2）振动环境预测或载荷分析，已知，求； （3）系统识别，已知，求。 10. 振动问题的分类，根据自由度数分，有， 和。 11. 简谐振动x=Asin(ωt+φ)，其中的振动位移为，振幅 为， 振动频率为为，振动的初相位为 12. n个自由度振动系统有个固有频率，有个固有 振型， 其中的第i阶主振型有个节点。

机械振动课程期终考试卷-答案

一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）

单自由度有阻尼系统的受迫振动实验

5□ 5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动 图5－1 单自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图

单自由度系统有阻尼受迫振动□ 5-2 图5－2 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2） 虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号

过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的显示内容，可使其单独显示“加速度信号”或“激励信号”的时间历程。也可同时显示“加速度/激励信号”的时间历程。 电压表 ：显示加速度信号的电压值。 频率计 ：显示加速度响应信号的频率。 李萨玉图 ：观察加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 拾取电压表和频率计当前的读数到测试数据表格内。若重复拾取某一频率的数据，则当前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取电压表和频率计当前的读数。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图5－3）。 图5－3

一、实验目的 ? 了解和掌握单自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现象。 ? 掌握根据李萨育图获得结构固有频率的方法（即相位共振法）。 ? 了解和掌握机械结构加速度幅频特性曲线的测量方法以及如何由幅频特性曲线得到结构的固有频率。 二、实验仪器 ? 单自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图5－1将综合实验台装配成单自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图5－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“单自由度系统有 阻尼受迫振动”实验操作界面（图5－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放

第1章--单自由度系统的自由振动题解

习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2 a θ＝h α 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 θ F sin α 2 θα h mg θ

其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2=== 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给

质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图

4-单自由度系统的受迫振动

1-2单自由度体系的受迫振动 主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应 1-3-5 隔振 1-3-4 等效阻尼 激励 响应 系统

1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应 单自由度系统振动方程 t F kx x c x m ωsin 0=++ 非自治系统 t f x x x n n ωω?ωsin 202=++

t k F t k F t x t x x n n n n ωλ ωλλωωωsin 11 sin 1sin cos 2 02000-+--+= 无阻尼系统 ???? ?====+0002 )0(,)0(,0sin x x x x t t f x x n ωω方程之解 无阻尼自由振动 无阻尼受迫振动 自由伴随振动 瞬态过程 稳态过程

实际系统中，阻尼的客观存在，随着时间的推移，瞬态响应逐渐衰减，系统进入稳态振动过程 系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式?ε λ21+=?0 →εt t f x n n ωεωε cos sin 20 -≈t t f x n n ωωcos 2 1 0-≈“拍”

无阻尼系统的稳态响应 t k F x ωλ sin 112 0-=k F st 0 = δ静变形 2 11λβ-= 动力放大因子 1<<λ?1 >>λ?1 =λ?1 →β系统表现为静态特征0 →β系统表现为动态特征∞ →β系统出现“共振”现象

θ βi e k -=1θβ 阻尼系统的稳态响应 t f x x x n n ωω?ωsin 202 =++ t i n n e f x x x ωω?ω02 2=++ 设系统的稳态响应为 t i Be x ω=B 为复振幅 )(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数 2 2 2) 2()1(1?λλ+-= 2 12arctan λ?λ -=动力放大因子响应与激励的相位差！系统的幅频特性 ！系统的相频特性 ??????+---=2222 )2()1(211)(?λλ?λλωi k H

单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比

:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向

振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际

单自由度系统

第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )

单自由度系统强迫振动(悬臂梁)

单自由度系统强迫振动（悬臂梁） 　 一、实验目的　 １、　测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率及阻尼常数；　２、　初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。 二、实验装置及原理　１、　实验装置　 一个单层框架结构的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，其简图如图１所示。这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统。　其中：　 ｍ：为悬臂梁系统的等效质量；　 ｋ：为悬臂梁系统的等效弹簧常数；　ｃ：为悬臂梁系统的阻尼常数；　 ｘ（ｔ）：为激振器激振器（谐振动）位移，ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ。 ２、　实验原理 图３　 　 测试系统的框图如图３所示。信号发生器可调节激振器的激振频率，激振器的激振频率由计数器读得，悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大，由电压表读得。　 　 三、实验步骤　１、　开机，注意开机顺序依次为：信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。　２、　调节信号发生器（其振幅一般保持不变）和功率放大器，使激振器以较小的振幅激振； 激振器

然后调节信号发生器的频率，从１０－４０Ｈｚ扫频，使振幅达到最大，即找到系统的共振频率，再轻微调节功率放大器的振幅峰Ｆ０，使共振时的位移达到所需振幅。　３、　然后从低频段各点扫描，找出各点频率下对应的位移振幅，频率间隔根据不同情况选取 （最好以位移振幅选取），并把各点数据记录表中和填入方格纸中，完成幅频曲线的绘制。　４、　检查幅频曲线的正确与否，偏差较大时，重新找取相应点的数据。根据图示幅频曲线， 由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。　５、　关机，把功率放大器的振幅调至最小，然后关闭仪器的电源，关机顺序正好与开机顺序 相反。 四、实验数据记录及计算结果 序号　频率　振幅　１ ２ …．　 　 　 　 按照幅频曲线，运用半功率原理得到：　 10 36 Frequency Response Function Curve A /A max f (Hz) 1 固有频率：m n f f =，　带宽：12f f f ?=?　相对阻尼系数：n f f 2?= ζ　五、实验要求　 １、　实验前必须带好方格纸，在实验过程中，将所测数据填入方格纸中，画出曲线的草图，并让老师检查方可离开。　 ２、　实验报告中必须达到实验报告基本要求，具备基本的数据表格和曲线图，认真做好实验报告。　 3、 认真完成实验，注意实验安全事项。

单自由度系统振动的基础知识

本文讨论简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下单自由度系统的振动微分方程 单自由度系统模型 F t=F0e iωt 式中：F(t)为系统的激振力，F0为简谐力的幅值，ω为激振力的频率，当m、k、c分别为系统的质量、刚度、阻尼，根据力的平衡关系可得该系统在简谐激振力作用下的振动微分方程： mx+cx+kx=F0e iωt 2、系统的响应表达式 单自由度受迫振动微分方程式二阶常系数线性非齐次常微分方程，它的解由两部分组成 x t=x1t+x2(t) 式中x1t是齐次方程mx+cx+kx=0的通解，即为单自由度系统的衰减振动，其通解表达式为 x1t=Ae?nt sin?(ωn t+α) x2t是振动微分方程的特解，其特解为 x2t=Xe iωt=|X|e i(ωt?φ) 受迫振动有两部分组成，前一部分为衰减振动，后一部分是受迫振动，

由于阻尼的存在，衰减振动经过一段时间后就会消失，在衰减振动完全消失之前，系统的振动称为暂态过程，亦称为暂态响应。在此之后是稳定的等幅受迫振动，这是受迫振动的稳态过程，亦称为稳态响应。它是一简谐振动，其频率与激励力的频率相同，与激励力相比落后一相位角φ，称为相位差，X为稳态响应的幅值。 3、频率响应函数 将稳态解代入振动微分方程中可得： ?ω2m+iωc+k Xe iωt=F0e iωt 则系统的频率响应函数可表示为： ω=X F0=1 ?ω2m+iωc+k 令ξ为阻尼比，ξ= mk,λ=ωω0,ω0为系统的固有频率，则 Hω=X F0=1 k[(1?λ2+i2ξλ)] 4、幅频特性曲线及相频特性曲线 根据频率响应函数，令X0=F0k,表示在激振力的作用下弹簧的静伸长量，称为静力偏移，频率响应函数可转变为 X X 0= 1 (1?λ2+i2ξλ) 运用平方差公式，将频率响应函数转化成标准复数形式，即 X X 0= 1 (1?λ2+i2ξλ)=1?λ2 (1?λ2)2+(2ξλ)2?i2ξλ (1?λ2)2+(2ξλ)2 将X X0表示为系统振幅与静力偏移的比值，称为放大系数或动力系数用希腊字母β表示。

第1章 单自由度系统的振动

第1章 单自由度系统的振动 1.1概述 机械振动是工程中常见的物理现象。悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。因此，机械振动就是在一定的条件下，振 动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。 实际中的振动系统是很复杂的。为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。例如图示1.1-1 就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。 如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。 振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。 机械振动分析方法很多。对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。 由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。 本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。 1.2单自由度系统的振动 1.2.1 无阻尼自由振动 如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述 ： 0=+kx x m (1.2.1-1) 令 m k n = 2ω ，方程的通解为 t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2) 式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。 式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t =0时，质量块的位移 x=x 0，其速度 00V x x == ,则 00 ,x b V a n == ω 即 图 1.1-1

第5章 两自由度系统的振动概要

第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角θ 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ???=+-=-+00212211dx cx x bx ax x (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-2两自由度的弹簧质量系统

5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+??? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 22 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 2 2 ,1bc ad d a d a p --??? ??++= bc d a d a +?? ? ??-+=2 22 (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比