数学竞赛中的几何问题
欧几里得几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维方面仍有不可替代的教育价值（许多科技工作者由此而启蒙），因而，历来受到数学竞赛的青睐，平面几何证明已经属于IMO届届必考的内容，少则1题，多则2~3题．我国高中联赛加试（二试）和冬令营考试，也是年年必有平面几何题．
IMO中的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主．立体几何题从第22届（1981年）开始已经20多年没有出现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难．
一、数学竞赛中的几何问题的三个层次
1．第一层次，中学几何问题．
这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．2．第二层次，中学几何的拓展
这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．
3．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉
这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．这类问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精巧的构思．不仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了构思．
二、IMO中几何问题的主要特征
IMO1-50届各类试题统计表
1．数量较多
由上表可知，在302道IMO试题中，第一、二层次的几何题有93道，第三层次的几何题有33道，共计126道，占
总题量的42%，平均到每一届至少有两道．
在几何内容中，平面几何占四分之三以上，立体几何从22届开始已连续29年没有出现，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难．
平面几何内容之所以受到命题者的重视，是因为中学教材中最适合做竞赛题的首推平面几何．另外，随着参赛队的增多，占压倒多数的弱队都希望有些常规题，来确定自己的队员不至于背着零分回国．正是在这样的背景下，每届IMO 都有几何题，少则一道，多则三道．
22．难度适中
平面几何的一个特点就是能够提供各种层次、各种难度的题目，它离中学教材最近，并且很容易花样翻新，是数学竞赛中一个方便而丰富的题源．统计显示，常规几何题大多为第1、4题，至多为第2、5题，只有极个别的情况下才为第3、6题．这反映了主试委员会选题时有一种由易到难的顺序心理，如果选一道几何题，通常是选容易的，作1、4题；如果选两道几何题，那就再添一道稍难的．
之所以常规几何题的难度多为中低档，不是几何中找不到难题，而是作为竞赛数学的构成中，还有比常规几何更难的部分．已经有人分析指出，数学竞赛中，“与中学教材距离最近的首推几何，而最远的当然是组合数学．因此，在每
届IMO的6道试题中，几何题经常是较易的、常规的题目；组合题往往是非常规的难题．前者反映了弱国的要求，而后者则适应强国的愿望．”事实上，IMO的命题是常规与非常规题之间，弱队与强队之间互相制约又协调统一的结果．对于弱队，难度适中的几何题是得分的主要来源；而对于强队，几何题则是拉开对手距离、确保夺冠的重要战场．原因是，难题对每一个队都难，那个强队也不敢保证自己的选手全部不落马翻车，但是这个队有一、二名队员翻车，那个队也有一、二名队员翻车，总体上只影响选手个人的成绩，而不影响全队的总分．至于中下档的题目则就不一样了，有的强队是可以做到少丢分或不丢分的，因此，某个强队一旦在几何问题上有一、二名选手翻车，则夺魁也就随之成为泡影．中国队这几年在IMO中的成绩，几何上的优势功不可没．最近几届IMO中，中国选手的几何题绝大多数为满分，个别的只被扣掉1、2分．
3．方法多样
IMO中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，主要有三大类：
⑴综合几何法．（平面几何因主要用综合几何，我们把综合几何理常用的方法称为综合几何法）IMO中的几何题以常规题为主，因而大多可以用综合几何的方法来求解，如全等法、相似法、面积法等．其中出现频率较大的是与圆有关
的命题．
⑵ 代数演算法．IMO 中的几何题也考查用代数方法处理几何问题的能力，如代数计算法，复数法，坐标法，三角法和向量法等，但不占优势，另有些几何不等式经过变换之后，就成为正数的代数不等式了（如图），反之，也可以把代数问题转化为几何问题．
??
?
??+=+=+=x z c z y b y x a ,,
⑶ 几何变换法.有平移、旋转、对称、位似、反演等. 4．组合几何的异军突起
组合几何的问题在第六届（56-IMO ）就出现，但近30年来，随着组合数学对竞赛的大规模介入，组合几何在内容、形式和难度上都上了新的台阶．成为一类极有竞赛味也极具挑战性的新颖题目．组合几何诞生于20世纪五六十年代，是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质，所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质，在历届IMO 中，已出现33道此类问题．
三、数学竞赛中几何问题的基本内容
C
图
主要有4个定义，16条定理．
定理1 对任意三个点A ，B ，C ，有
BC AC AB +≤．
等号成立当且仅当点C 落在线段AB 之间，或A ，B ，C 三点重合．
定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．
定义2 如果对点集 A 中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A 称为是凸的．
定理2 任意一个凸n 边形（3≥n ）的n 个内角之和等于
180)2(?-n ；外角和为1802?（每一个顶点处只计算一个外角）．
定义3 设n M M M ,,,21 是多边形，如果n UM U UM M M 21=并且当j i ≠时，i M 与j M 没有公共的内点，则称多边形M 剖分为多边形n M M M ,,,21 ．
定义4 如果凸多边形N 的所有顶点都在凸多边形M 的边上，则称多边形N 内接于多边性M ．
定理3 凸四边形ABCD 内接于圆的充分必要条件是：
180=∠+∠=∠+∠DCB BAD CDA ABC ．（四点共圆）
定理4 凸四边形ABCD 外切于圆的充分必要条件是
AD BC CD AB +=+．
定理5 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长
的积相等．（相交弦定理）
定理6 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（切割线定理）
定理7 在
ABC
?中，三边长为
c
b a ,,，半周长为
R c b a p ),(2
1
++=是外接圆半径，r 为内切圆半径，a h 是边BC 上
的高，a r 是与边BC ，AB ，AC 的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC ?的面积S 为：
a ah S 21
)1(=
. A bc S sin 21
)2(=.
))()(()3(c p b p a p p S ---=. R
abc
S 4)4(=
. rp S =)5(.
)(21
)6(a c b r S a -+=.
)2sin 2sin 2(sin 2
1
)7(2C B A R S ++=.
)2sin 2sin 2(sin 2)8(2C B A R S ++=.
定理8 在ABC Rt ?中，
222a b c +=.
1(),22
c r a b c R =+-=.
2222,2,.,.a m n b mn m n m n c m n ?=-?
=>??=+?
一奇一偶 定理9 设AD 是ABC ?中A ∠的平分线，则
DC
BC
AC AB =.
定理10 在ABC ?中，有
R C
C
B b A a 2sin sin sin )
1(===.（正弦定理） B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2)2(222222-+=-+=
C ab b a c cos 2222-+=（余弦定理） C C B C B A cos sin sin 2sin sin sin )3(222-+=
定理11 一直线截ABC ?的边BC ，CA ，AB 或其延长线于D ，E ，F ，则
1=??FB
AF
EA CE DC BD .（梅内劳斯定理） 定理12 设O 是ABC ?内任意一点，AO ，BO ，CO 分别交对边于D ，E ，F ，则
1=??FB
AF
EA CE DC BD ，
（塞瓦定理） 定理13 在ABC ?中，D 是BC 上一点，则
2
2
222
BC AB DC BD BC AB DC AC BD AD ??-
?+?=.
（斯特沃尔特定理）
定理14 过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三垂足共线.（西姆松定理）
定理15 若四边形的两对边的乘积之和等于它的对角线的乘积，则该四边形内接于一圆，反之亦真．（托勒密定理）
定理16 设P 是ABC ?内一点，其到三边的距离分别为PD ，PE ，PF ，则
)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++
等号成立当且仅当ABC ?为正三角形，且P 是ABC ?的重心．（厄尔斯——摩德尔定理）
例题讲解（常规几何题）
例1 （作业）证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u 、v
满足112
u v
+
≤<．
[“《数学周刊》杯”2007全国初中数学竞赛试题]
讲解 有两种思维水平的处理． 水平1 （参考答案）设任意
ABC 的三边长为,,a b c ，不
妨设a b c ≥≥．若结论不成立，则必有
12a b +≥， ①
b c ≥． 5分 ②
记,,b c s a b t c s t =+=+=++显然0,0s t >>，代入①得
11s t
c s t c c s c s c
++
++≥≥++
令,s t x y c c
==，则
11x y x ++≥+ ③
由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1t y c =<．
由②得
112
b c s x c
c
++
==+≥， ④
由③，④得
()111y x ?≥+≥=????
， ⑤
此式与1y <矛盾，从而命题得证． 15分 评析 这个证明写得很曲折，其实③式就是①式、④式就是②式，解题的实质性进展在两个知识的应用上．
（1）三角形基本定理：三角形两边之和大于第三边．使用“增量法”，引进四个参数,,,s t x y 推出1t
c
<是基本定理的变
形，构成矛盾也是与基本定理的变形1a b y c
-=<矛盾．
（2）特征数据的性质．这表现在⑤式用到的两个
运算
=1 1=． 抓住这两点，立即可得问题的改进解法：若结论不成立，则存在
ABC ，满足a b c ≥≥，且使
a b ≥，b c
≥
同时成立，得
111
a b c c b b b +≤<=+≤== 矛盾．故对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u 、v 满
足1u v
≤<
这还只是局部上的修修补补，更关键的是抓住实质性的知识可以构造不等式
0()a b c >-+ （提供不等式）
a b c =-+????
）
=a b ???
?? ??????
⑥
据此可以成批得出本题的证明． 水平2 记任意
ABC 的三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≥≥，又设,a b x min b c ??
=????
，
则1,1,,a b
b
x x a b x c b c
x
≤≤≤≤?≥≤，代入基本定理，
有
210,
a b c
b
bx a b c b x
x x <+?<<+<+?--<
解得
1x ≤<
说明 对比这两种思维水平，所用到的知识是相同的，结论也都正确．但水平一仍然停留在浅层结构的认识上，有在外围兜圈子之嫌，而水平二则更接近问题的深层结构，思路清晰而简明．
例2 （2005、全国高中数学联赛） 如图1，设AB AC >，过A 作
ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，
AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ，交直线l 于
E 、
F ．证明：DE 、DF 通过ABC 内心和一个
旁心.
分析：1.
题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义
如何．
（1）,CAE ABC DAF ACB ∠=∠∠=∠， （2）
DEF 中，
()11
,
2211
,22
90.
DEF DAF ACB DFE DAE ABC BAC DFE ∠=∠=∠∠=∠=∠+∠∠=
（3）等腰
ADE 中，
()()1
1802
11
18022
ADE DAE ABC BAC ACB ∠=-∠=
-∠-∠=∠
（4）等腰ADF 中，
()11
1809022
ADF AFD DAF ACB ∠=∠=
-∠=-∠.
2.弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．结论成立需要什么？
（1）结论有两个：,DE DF 一个通过ABC 的内心，一个通
过
ABC 的旁心.什么是通过，数学实质是证三线共点.
①应是DE 通过ABC 的内心 ②应是DF 通过
ABC 的旁心
（2）放下旁心，立即想“内心”的定义，这导致我们作
ABC 的内角平分线.由于B 点的信息量最少，
因而优先考虑,A C ∠∠的平分线，这就出现了A ∠的平分线IA ，联结IC ，问题
转化为证IC 是C ∠的平分线. 即
1
2
ACI ACB ∠=∠
3.弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．沟通条件与结论的数学联系
题目的条件和结论是两个信息源．从条件发出的信息，预示可知并启发解题手段，从结论出发的信息预告需知并诱导解题方向，抓住条件和结论“从何处下手、向何方前进”就有一个方向
（1）由结论1
2
A C I A C B
∠=∠的需要，联想何处能提供1
2
ACB ∠？想到 11
22
ADE AED DAF ACB ∠=∠=∠=∠
问题转化为证
1
2
ACI ADE ACI AED ACI DAF
∠=∠∠=∠∠=∠
其中之一
（2）由于,AC AD AI =公共，CAI DAI ∠=∠，故ACI ADI =，
所以ACI ADI ∠=∠是可以实现的.
证明：作BAC ∠的平分线交DE 于I ，联结IC ，由
,AC AD AI =公共，CAI DAI ∠=∠，
得 ACI ADI =，
有ACI ADI ∠=∠. 即DE 通过
ABC 的内心.
例 3 （1986
227-IMO ）在平面上给定点0P 和321A A A ?，
且约定当4≥S 时，
3-=S S A A 。构造点列,,,,210 P P P 使得1+k P 为点k P 绕
中心1+k A 顺时针旋转 120所到达的位置，,,2,1,0 =k 求证，如果
01986P P =，则321A A A ?为等边三角形。
证明 引进复平面，以各点的字母表示各点上的复，并设
())120sin(120cos -+-=i ω
i 2
3
21--= 则01,123=++=ωωω 依题意，有（如图）
().111ω+++-=-k k k k A P A P
P k+1
P 1
A k+1 图
有
()11-+-=n n n p A P ωω
()()]1[121--+-+-=n n n P A A ωωωω
()()2211--++-=n n n P A A ωωω
=……
()o n n n n n P A A A A ωωωωω+++++-=---][111221
当n =1986时，由于
,,1,1,1986233o S S P P A A =--===-ωωω
有 (
)()
o P A A A P +++-=122319861662ωωω ()()().][166219861213P A A A A +-+--=ωω
得
()()(
)
60sin 60cos 122113i A A A A A A +-=-=-ω
这说明，A 1A 3可由A 1A 2绕A 1逆时针旋转60°得到，故321A A A ?为正三角形。
例4 （P.80例2-6-7）ABCD 和
1111A B C D 是一个国家的同一区域的正方形地图，但是按不同的比例尺画出，并且重叠如图，求证小地图上只有一点O 与大地图上表示同一点1O 重合.
解 在复平面上，两地图有函数关系
,,w az b a b C =+∈
令z az b =+， 得唯一的公共点1b
z a
=
-. 四、数学竞赛中的组合几何题
1．计数问题（数数问题． sh u ∨
`
shu ）
⑴ 基本含义 ⑵ 基本方法
例1-1 圆周上有n 个点，两两连线无三线共点，将圆面分成了几块区域？
22a =
34a = 48a = 516a = 6?a =
例1-2 凸n 边形（4n ≥）玫瑰园的n 个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．
⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵树()f n 的表达式． ⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．
例 2 在等边
ABC
所在的平面上找这样的一点p ，使
,,PAB PBC PCA 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个？
(6)1
()1
n n P n -+?=?
?
35
6
n n ≤≤≥ 2．结构问题 基本含义
例1 已知平面上有25个点，其中任何三个点中一定有
两个点之间的距离小于1．证明必有一个半径为1的圆，它至少包含这25个点中的13个点．
例2（例2-47 1995年、高中．p．118）
将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2009，并且每一个三角形的三个顶点同色．
3．覆盖问题
基本含义
例 1 已知凸四边形ABCD，求证这个凸四边形一定可以被以,,,
AB BC CD DA为直径的作的半圆共同覆盖．
4．染色
基本含义
例1 用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，存在同色两点，它们的距离为1或为2．解法1：抽屉原理
解法2：反证法（与染色矛盾）
解法3：8种情况（+ + +）、(+ + -) 、(+ - +)、(+ - -)、
(- + +) 、(- + -) 、(- - +) 、(- - - ) 例2 （例2-4-1）证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互相不认识，这种情况至少发生2次.
证明1
证明2 设i A 引出i x 条红边，5i x -条蓝边，则以i A 为顶点的非同色三角形有()5i i x x -个由
()2
552i i x x ??
-≤ ?
??
，
得
()56i i x x -≤，
非同色三角形的总数
()6
1
15182i i i x x =-≤∑， 同色三角形至少有
()6
36
1
15201822i i i N C x x ==--≥-=∑.（个）
例3 联结圆内接等腰梯形ABCD 的对角线
,AC BD 相交于E ，已知图中各条线段均为正整
数，且22120,7AED ABD ACD AD ∠=∠=∠==.
(1)求证图中存在一个三角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列. 图1
(2)若给点,,A E D 染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.
证明 (1)在
AED 中，由120,7AED AD ∠==知，AD 为最长
边，且由余弦定理得
()2
2227AE DE AE DE AE DE AE DE =++?=+-?.
把,AE DE 取{}1,2,3,4,5,6
中的值验证，得
,AE DE 只能取3，5.故存在AED ，其三边长3，5，7均为素数
且组成一个等差数列.
(2) 不妨设5,3AE DE ==，由
22120
AED ABD ACD ∠=∠=∠=
图6 知，
ABE 是边长为
5的等边三角形，CDE 是边长为3的等边
三角形.作边长为7的等边
ADF ，等边BCG ，联结FG 交BD 于
H
.再联结,,BF FC DG ，由60DEC DBF ACF ∠=∠=∠=∠得//EC BF ，
//EB CF
，四边形
EBFC
为平行四边形，
3
BF CE ==，又
60
DBF GFB ∠=∠=∠，得BFH 是边长为3的等边三角形.同理，
GHD 是边长为5的等边三角形.
当,,B F C 中有红点时，命题已成立. 当,,B F C 中无一为红点时，考虑H ，若H 为蓝点，则
BFH 是同蓝色的等边三角形，
其边长为素数3；若H 为红点，考虑点G ，若G 为红点，则
GED
是同红色的等边三角形，其边长为素数5；若G 为蓝点，则
GBC 是同蓝色的等边三角形，其边长为素数
7.综上得，圆面
上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
初中数学竞赛第二轮专题复习（4) 几何 1、如图,D ，E 分别为?ＡB Ｃ的边ＡB ，ＡC 上的点,且不与?A ＢC 的顶点重合.已知ＡE 的长为m,AC 的长为n,A Ｄ,ＡＢ的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． (Ⅰ)证明：C ，B,D,E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=9０°，且m=4， n=６,求C,B ，D,E 所在圆的半径． 解:(Ⅰ)连接DE,根据题意在△ADE 和△ＡCB 中，A Ｄ×A Ｂ=mn=A Ｅ×A Ｃ，即AD AE AC AB =． 又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠AD Ｅ=∠A ＣB ，所以C ， B, D, E 四点共圆． (Ⅱ)ｍ＝4, n ＝6时,方程ｘ2-14x ＋mn=０的两根为ｘ1＝２,x 2＝12. 故AD ＝2，ＡB ＝1２. 取CE 的中点G ，DB 的中点F,分别过Ｇ，F 作AC ，AB 的垂线,两垂线相交于Ｈ点,连接ＤH ． 因为C ， B ， Ｄ, E 四点共圆,所以Ｃ， B ， Ｄ, E 四点所在圆的圆 心为H,半径为DH. 由于∠Ａ＝９０°，故ＧＨ∥AB,H Ｆ∥AC ．H Ｆ＝AG=5,D Ｆ=12 (12-２)=5. 故C,B,D,Ｅ四点所在圆的半径为 ． 2、在等腰?AB Ｃ中,顶角∠AC Ｂ＝80°,过A ， Ｂ引两直线在?ABC 内交于一点Ｏ．若∠O ＡB=１0°, ∠ＯＢA=20°，求∠ACO 的大小，并证明你的结论. 解:60ACO ∠=?（４分) 以OA 为轴翻转OAB ?到OAB '?,连接,CB BB '',由10OAB ∠=?知20BAB '∠=?且AB AB '=,ABB '为等 腰三角形，故80AB B ACB '∠=?=∠，从而知,,,A B B C '四点共圆，再由20ABO ∠=?知60OBB '∠=?,BB O '?为 等边三角形．由四点共圆知100ACB '∠=?，又 30OBC B BC '∠=∠=?，OB B B '=,BC 公共，故OBC B BC '???． 再由100ACB '∠=?,80ACB ∠=?，故20OCB ∠=?,从而得证:60ACO ∠=?. 答题要点:60ACO ∠=? 以OA 为轴翻转OAB ?到OAB '?，连接,CB BB '' ①OBB '?为正三角形;
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 如图所示，若AM平分∠BAC，则AB AC =BM MC 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD DC =AB AC 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足BD DC =AB AC ，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则BD DC =AB AC =BE EC 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利 用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ . 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 为了线段比的转化 ∥＝ A D B P Q 图1P E D G A B F C 图2 A N E B Q K G C D M F P 图3
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案） 1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=?，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心. 解析 如图，由条件45BAE ∠=?，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点. 另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 12EM MF BC ==，1 2 EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点. 从而命题获证. 2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ， 点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线. 解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=?，有 tan cot ASB ATB S SP AS BS P T S AT BT αβ'?===?'?△△ MS ST MS SP ST TE TE PT = ?== ， 即点P 与点P '重合. 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. 解析 连结OB 、OD . B M N A S P T F E D M C N O L A K B
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.
小学数学竞赛几何图形集锦 第一部分基础题 1、（06年清华附中考题） 如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 2、（06年西城实验考题） 四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米. 3、（05年101中学考题） 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修 4、（05年三帆中学考题） 右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是平方厘米． 5、 (06年北大附中考题)
三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？ 6、（★★）如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ， 求三角形DEF 的面积。 7、（★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？ 8、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面 积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？ 9、（★★★）如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且ADG ?的 面积比EFG ?的面积大6平方厘米。?的面积是多少平方厘米 ABC ? A B C D E F G 10、（★★）长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
几何证明题综合训练 1． 线段或角相等的证明 （1） 利用全等△或相似多边形； （2） 利用等腰△； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换； （5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2． 线段或角的和差倍分的证明 （1） 转化为相等问题。如要证明a=b±c ，可以先作出线段p=b±c ，再去证明a=p ， 即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。 （2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt △斜边上的中线等于斜边的一半； △的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3． 两线平行与垂直的证明 （1） 利用两线平行与垂直的判定定理。 （2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。 （3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 【竞赛例题剖析】 【例1】从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD 。从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F 。求证：BE 平分CD 。 【分析1】构造两个全等△。 连结ED 、AC 、AF 。 CF=DF ←△ACF ≌△EDF ← ←? ?? ?? ?????←←∠=∠∠=∠=∠←∠=∠←??? ∠=∠=四点共圆、、、P B F A ABP AFC ABP AEF EFD EFD AFC CD //AE EDF ACF ED AC ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF 、?? ?? ?=∠←=∠←=、、、P B F O 90 OBP 90OFP DF CF 0 ←∠PFB=∠POB ← ←? ??←∠=∠←∠=∠是切线、PB PA AEB POB CD //AE AEB PFB
面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 和角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(+=+ A B B A B A sin sin cos cos )cos(-=+ B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(-+=+ 差角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(-=- A B B A B A sin sin cos cos )cos(+=- B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(+-=-
常用角度的三角比
相关练习题： 1.已知ABC ?中，,75 =∠B ,60 =∠C ,10=BC 求AB 与AC 的长及三角形的面积 2.求证面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 3.求证海伦公式 ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 4. 已知ABC ?中，,7=AB ,8=BC ,9=AC 求sinA ， sinB ， sinC 5.在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 6.已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点是P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长． 7.在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。 A B C E F A B C P
平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有
1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3 若 tan ∠CAD= 4 ，AB ＝20，则线段 EF 的长为 C F 2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1 ∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点 2 F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为 3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1 交于点 G 。若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为
4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为 E B 5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为 6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为 A B 7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若 3
全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N
5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0
学习必备 欢迎下载 小学数学竞赛辅导测卷(几何问题部分) 1、 如图是边长4厘米的正方形，则阴影部分 的周长是（ ）厘米。 2、如图∠1＝（ ）度。 3、如图的长方形纸片，若按虚线剪成四块，这四 块纸片可拼成一个正方形。那么所拼成的正方 形的周长是（ ）厘米。 4有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用 这9个小长方形拼成的大长方形（如图）的面积是 45平方厘米。这个长方形的周长是（ ）厘米。 5、如图，阴影部分的面积是（ ）。 6、如图长方形ABCD 中，AD ＝15厘米，AB ＝8厘米， 四边形OEFG 的面积是9平方厘米。则阴影部分的 面积是（ ）。 7、在正方形里面画四个小三角形（如图）， 三角形Ⅰ与Ⅱ的面积之比是2﹕1；三角形Ⅲ与Ⅳ的面积相等； 三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和是4 1平方米； 三角形Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积之和是61平方米。 那么四个小三角形面积之总和是（ ）平方米。 8、一个正方形（如图），被分成四个长方形，它们的 面积分别是101米2、51米2、103米2、52米2。图中 阴影部分是正方形，它的面积是（ ） 9、有三个小正方体，拼成如图的样子，表面积比原来减少 了16平方厘米。则小正方体的棱长是（ ）厘米。 10、如图是一个表面被涂上红色的棱长10厘米的正方体 木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没 有被涂上红色的所有表面积和是（ ）平方厘米。 11、如图：把四边形ABCD 的各边都延长至原来的2倍， 得到一个新四边形EFGH 。如果ABCD 的面积为5平方 厘米，则EFGG 的面积为（ ）平方厘米。 镇 年级 班 姓 座号 …………………线………………………………封………………………密……………………… 1题 9 单位：厘米 第3题 1 30° 42° 第2题 第4题 G F E O D C B A 第6题 第8题 第10题 B A H G F E D C 第11题 第9题
第十七讲平面几何中的定值问题 定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法． 例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值． 分析欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么， 然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连 结BQ．因为AB=AC，所以 ∠ABC=∠ACB． 又因为∠ACB=∠AQB，所以 ∠ABC=∠AQB． 又因为∠BAQ=∠PAB，所以 所以 AP·AQ=AB2(定值)． 注意如果连结QC，将怎样证明？请读者思考． 例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．
分析从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值． 证作AD⊥BC于D，则 所以 所以 又因为 所以 所以
所以 由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值． 例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)． 分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合， 证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以 EP2=AP·PB=CP·PD ＝(OC-OP)·(OD+OP) ＝r2-OP2，
初中几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC 是正三角形． 3、如图，已知四边形ABCD、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM⊥BC 于M．（1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO． 6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA⊥MN 于A，自A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线EB 及CD 分别交MN 于P、Q． 求证：AP＝AQ． A N F E C D M B · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M
P C G F B Q A D E 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC、DE，设CD、EB 分别交MN 于P、Q． 求证：AP＝AQ． 8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 9、如图，四边形ABCD 为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE 与CD 相交于F． 求证：CE＝CF． ·O Q P B D E C N M ·A A F D E C B