第3次作业
一、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分）
1.
设则______
2.
函数在上连续是在该区间上可积的 ______ 条件
3.
= ____________
4.
为函数______ 间断点
5.
已知，则______
6.
函数的一个原函数是 ______
7.
将函数用分段形式表示为______
8.
若在上连续，且，则＝______ 9.
若则= _______
10.
函数的拐点是 ______
二、计算题（本大题共48分，共 8 小题，每小题 6 分）
1.
求极限
2.
求曲线上点处的切线方程与法线方程。3.
讨论函数在处的可导性?
4.
求
5.
用第二类换元积分法求
6.
求定积分的值
7.
计算
8.
对一个半径为的圆作内接矩形，求使得矩形周长最长时的边长？
三、证明题（本大题共12分，共 2 小题，每小题 6 分）
1.
如果,证明
2.
证明函数单调增加
答案：
一、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分）
1.
参考答案：
解题方案：
先求一阶导数，再求二阶导数
评分标准：
2.
参考答案：
充分
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
解题方案：
利用等价无穷小求解
评分标准：
4.
参考答案：
无穷
解题方案：
直接用间断点的定义判断
评分标准：
5.
参考答案：
解题方案：
利用不定积分的定义求解
评分标准：
6.
参考答案：
解题方案：
利用基本求积公式和原函数的定义求解评分标准：
7.
参考答案：
解题方案：
按绝对值展开
评分标准：
8.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
9.
参考答案：
解题方案：
利用重要极限求解
评分标准：
10.
参考答案：
解题方案：
凹凸区间的分界点
评分标准：
二、计算题（48分，共 8 题，每小题 6 分）
1.
参考答案：
解：。
解题方案：
洛必达法则
评分标准：
2.
参考答案：
解：因为，故，
所以曲线在处的切线斜率为，
因此切线的方程为：，
而法线的斜率为，故法线的方程为：
解题方案：
导数的几何意义
评分标准：
3.
参考答案：
解：在处：
，
，
从而函数在处不连续，因此不可导。
在处；首先函数在该点连续（可以不证明）
，，从而函数在处可导。（左右导数相等）解题方案：
评分标准：
先看是否连续，在连续的情况下，求左右导数，看是否相等
4.
参考答案：
解：
解题方案：
不定积分的第一类换元法
评分标准：
5.
参考答案：
解：令，则，代入得：
解题方案：
不定积分的第二类换元法
评分标准：
6.
参考答案：
解：它表示一个以原点为圆心，半径为9的的圆，
于是。
解题方案：
定积分的几何意义
评分标准：
7.
参考答案：
解：
解题方案：
分部积分法
评分标准：
8.
参考答案：
解：设矩形其中的一个边长为，周长为，则另一个边长为：。则：，，令，得：。
由于这是实际问题，因此是的唯一根，在此处必有周长最长，所以周长最长的边为。
解题方案：
构造周长关于边长的函数，求极值和最值
评分标准：
三、证明题（12分，共 2 题，每小题 6 分）
1.
参考答案：
证明：
解题方案：
函数奇偶性的判别过程即是证明过程
评分标准：
2.
参考答案：
证明：，
故函数单调增加。
解题方案：
求一阶导数，证明一阶导数大于0
评分标准：
A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得
习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=
（6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =-
A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在
A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '， 证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明 证明：设3 2 ()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =， x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明：设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=
第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D.x e x 2sin 4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数2 11)(x x f -=的原函数是（A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1 2 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（B ） A.x 2 B.2 C.2 x D.-2 8.若c e dx e x x +=? ,则? x d e x 22=（A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12.函数2 1 1)(x x f - =的原函数是（A ） A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++ 12
第3次作业 一、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分） 1. 写出级数的通项为： ______ 。 2. 级数的敛散性为 ______ 。 3. 函数的定义域为 ______ 。 4. 设平面通过点（1，3，-2），且垂直于向量 ，求该平面的方程。 5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为 ______ 。 6. 设，且函数f可微，则 ______ 7. 已知D由及x轴围成，则
______ 。 8. 过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为 ______ 。 9. 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。 10. 设，其中 具有连续的二阶偏导数， ____________。 二、计算题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分） 1. 判断级数的敛散性。 2. 利用二重积分的性质估计 (其中是
矩形区域 )的值。 3. 求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。 4. 求两平面， 的夹角。 5. 已知三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5), C(2,4,7)，求三角形的面积。 6. 求微分方程满足的 特解。 7. 求的所有二阶偏导数。 8. 把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L为 (1)在 xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线 从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)。
三、证明题（本大题共20分，共 2 小题，每小题 10 分） 1. 证明：若数列收敛于a,则级数 。 2. 设级数和收敛, 证明级数 收敛。 答案： 一、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分） 1. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 2. 参考答案： 发散 解题方案：
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数211)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32 x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2 x 8.若 c e dx e x x +=? , 则 ?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数21 1)(x x f - =的原函数是（ A ）
重 庆 大 学 《 高等数学 》（II-1）期末试卷参考答案 2013~ 2014 学年 第 一 学期 一．单项选择题（每小题3分，共15分） （1 ）设()1f x =，则当0x →时，有（ C ） 。 （A ）()f x 与x 是等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同价无穷小，但不等价 （C ）()f x 是x 的高价无穷小 （D ）()f x 是x 的低价无穷小 （2）设()f x 为可导函数，且满足条件0(2)(2)lim 22x f x f x x →+--=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的法线的斜率为（ C ）。 （A ）2 （B ）1- （C ）1 2 （D ）2- （3）设2s ()sin x co x x F x e xdx π += ? ，则()F x （ A ）。 （A ）恒为零 （B ）为负常数 （C ）为正常数 （D ）不为常数 （4）11 lim 32x x x x →∞ ??- ???为（ B ）。 （A ）2ln 3 （B ）3 ln 2 （C ）0 （D ）不存在 （5）设函数()2 ()ln 1f x x =+，其表示的曲线的拐点个数为（ B ）。 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二．填空题（每空3分，共15分） （1）tan 01lim ()1x x x +→=。 （2）设()y x 是由方程1y y xe =-确定的可导函数，则()1y y e y x xe -'= +。 （3）1 ln tan sin cos dx x c x x =+?。 （4）设，则 -10 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
习题1-4 A 组 1.当0x →时，2 2x x -与2 3 x x -相比，哪一个是高阶无穷小? 解析：考查无穷小量的比较，只需对两个无穷小量的比值求极限，根据所得进行判断 解：22 30022lim lim (1) x x x x x x x x x →→--==∞-- 根据定义4.4，2 3 x x -是比2 2x x -高阶的无穷小 2.证明：在0x →时，sec 1x -与2 2 x 是等价无穷小量 解析：考查无穷小量的比较，等价无穷小量只需两个无穷小量的比值的极限为1 证明：因为2 222000sec 11cos 2lim lim lim 1222 x x x x x x x x x cosx →→→--===?（其中21cos 2 x x -:） 则sec 1x -与2 2 x 是等价无穷小量 3，利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）0tan 5lim 2x x x →（2）0sin() lim (sin )n m x x x →（m ，n 为正整数） （3 ）0 x →（4）1 23 0(1)1 lim cos 1 x x x →+-- （5）lim x b x b a a x b →-- 解析：考查函数极限的求解，利用等价无穷小首先需要非常了解常用的几个等价无穷小，例 如sin x x :，tan x x :，2 1cos 2 x x -:等等，具体可见定理4.6 解：（1）因为tan x x :，则00tan 555 lim lim 222x x x x x x →→== （2）因为sin x x :，则000 sin()lim lim lim (sin )n n n m m m x x x x x x x x -→→→== 当n m >时，0sin()lim 0(sin )n m x x x →=；当n m =时，0sin() lim 1(sin )n m x x x →=；当n m <时，
重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷 2009 ~2010 学年 第二学期 开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2010年6 月 考试方式： 考试时间：120 分 一、 填空题（每空3分，共15分） ⒈过点M （1，2，-3）且平行于直线 3 1 1 3 5 y x z --= = 的直线方程为 1231 3 5 x y z --+==。 2．已知2 2 ln()z x y =，则(1,1) dz =22dx dy +。 ⒊级数11 2 n n ∞ =∑的和为1 。 4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2D dxdy =??1/2。 ⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,1x y e y ==，则该 微分方程为30y y '''-=。 二、 计算题（共18分） ⒈（9 分）设y x z e =，求 z z x y ????和 及dz ． 解：21 ()y x y z z dz dx dy dx dy x y x x e ??=+=-+??. 2．（9分） 求函数u xyz =在点(1,1, 2)处沿从点(1,1,2)到点(2, 4,3)的方 向导数。 u u u yz xz xy x y z ???===??? (1,1,2) (1,1,2) (1,1,2) 2 2 1u u u x y z ???===??? {} 1,3,1l l == = cos cos cos αβγ= = = cos cos cos 1319221u u u u l x y x αβγ????= ++????=?+? ? = 三、 计算题（共18分） 1．（9分）求旋转抛物面22z x y =+在点15(1,,)24 -处的法线方程和切平面方程． 解：抛物面2 2 22z x y =+的法向量为(2,2,1) n x y =-- ，在点 15 (1,,)24 -处(2,1,1)n =- ， 命 题人： 组 题人： 审题人： 命题时间： 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
习题1-1 A 组 1.确定下列函数的定义域和值域 （1 ）y = （2 ）y =（3）1cos y x π= （4）ln(sin )y x π = 解析：本题考查函数定义域和值域的概念，定义域指的是自变量的取值范围，值域指的是函 数的取值范围，一般定义域和值域可以用区间或描述法来表示，根据此可以求解 解：（1）因为303x x ->?>，则函数的定义域为(3,)+∞，值域为(0,)+∞ （2）因为2 32021x x x x -+≥?≥≤或，则函数的定义域为(,1][2,)-∞+∞U 值域为[0,)+∞ （3）因为1cos 02x x n π≠?≠+（n 为整数），则函数的定义域为12{,}2 n x x n z +≠ ∈ 值域为(,1][1,)-∞-+∞U （4）因为11 sin 02(21)1212n n x x x x x n n π π π πππ>? << <+?><<+或或 （n 是不为0 的整数） 则函数的定义域为11 {,{0}}(1,)212x x n Z n n <<∈-+∞+U ，值域为(,1]-∞ 2.设函数()f x 的定义域为[2,3] ，求复合函数f 的定义域 解析：考查复合函数定义域的求解， 本题中可以令u 则本题就是求函数()f u 的 定义域，也就是求函数u 解：由已知可得[2,3]x ∈ ，则u = 则复合函数f 的定义域为 3.设函数2 1,0 ()2,0x x x f x x ?+-∞<≤?=?<<+∞ ??求(2)f -，(0)f ，(2)f 解析：考查分段函数的函数值，注意找对变量所在的区间 解：2 (2)1(2)5f -=+-=，2 (0)101f =+=，2 (2)24f ==
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?'))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.?=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数21 1)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] ='?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2x D.-2 8.若c e dx e x x +=? , 则?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数211)(x x f +=的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数211)(x x f -=的原函数是（ A ） A.c x x ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12