导数与极限
（一）极限 1. 概念
（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） A
x f a
x =→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。
（2）单侧极限
左极限： =-)0(a f A
x f a x =-→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<- 右极限： =+)0(a f A x f a x =+ →)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<- （3）自变量趋向于无穷大的函数极限 定义1：0,0>?>?X ε，当 X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的 极限，记为()A x f x =∞ →lim 。 A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。 定义2：00>?>?X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =+∞→lim 。 定义3：00>?>?X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =-∞→lim 。 运算法则： 1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。 2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=?x g x f lim 。 3) 3) 若()∞=x f lim ，则 ()01 lim =x f 。 注：上述记号lim 是指同一变化过程。 （4）无穷小的定义 0>?ε，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0 )(lim =→x f a x 。 （5）无穷大的定义 0>?M ，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有M x f >|)(|，则称函数)(x f 在a x →时的无穷大（量），记为 ∞ =→)(lim x f a x 。 直线a x =为曲线()x f y =的垂直渐近线。 2．无穷小的性质 定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。 无穷小与无穷大的关系 若∞=→)(lim x f a x ，且)(x f 不取零值，则)(1 x f 是a x →时的无穷小。 3．极限存在的判别法 （1）A x f a x =→)(lim ?A a f a f =+=-)0()0(。 A x f x =∞→)(lim ?A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 。 （2）A x f a x =→)(lim ?α+=A x f )(，其中α是a x →时的无穷小。 （3）夹逼准则：设在点a 的某个去心邻域),(? δa N 内有 )()()(x h x f x g ≤≤，且已知A x g a x =→)(lim 和 A x h a x =→)(lim ，则必有 A x f a x =→)(lim 。 4．极限的性质 （1）极限的唯一性 若 A x f a x =→)(lim 且B x f a x =→)(lim ，则B A =。 （2）局部有界性 若A x f a x =→)(lim ，则0>?M ，在点a 的某个去心邻域),(? δa N 内有M x f <|)(|。 （3）局部保号性 （I ）若A x f a x =→)(lim ，且0>A （或0 δa N ，当),(? δa N x ∈时， 有0)(>x f （或0)( （II ）若在点a 的某个去心邻域),(?δa N 内有0)(≥x f （或0)(≤x f ），且A x f a x =→)(lim ，则0≥A （或 0≤A ）。 5．极限的四则运算与复合运算 设c 是常数，， ，B x g A x f a x a x ==→→)(lim )(lim 则 （1）； B A x g x f a x ±=±→)]()([lim （2）； B A x g x f a x ?=?→)]()([lim （3）； A c x f c a x ?=?→)]([lim （4）；，0)()(lim ≠=→B B A x g x f a x （5） ， ，有，且，若00)()0(),()(lim )(lim 0 u x g a U x A u f u x g u u a x ≠>∈?==Λ →→δδ 则A u f x g f u u a x ==→→)(lim )]([lim 0 . 6．两个重要极限 （1）1sin lim 0=→x x x ； （2）e x x x =+→1 0)1(lim 或 e x x x =+∞→)11(lim 。 7．无穷小的阶的比较 若α和β都是在同一自变量变化中的无穷小量，且≠β0，则 （1）若0lim =βα，则称α关于β是高阶无穷小量，记作)(βαo =； （2）若1 lim =βα，则称α和β是等价无穷小量，记作βα~； （3）若) 0(lim ≠=c c βα ，则称α和β是同阶无穷小量，记作)(βαO =； 一般情况下，若存在常数0>A ，0>B ，使成立 B A <<||βα，就称α和β是同阶无穷小量。 （4）若以x 作为0→x 时的基本无穷小量，则当)(k x O =α（k 为某一正数）时，称α是k 阶无穷 小量。 定理1 )(~ααβαβo +=?。 定理2 设αα'~，ββ'~，且 βα''lim 存在，则βαβα'' =lim lim 。 常用的等价无穷小 0→x 时，1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+x e x x x x x x ， 2 21 ~cos 1x x -。 （二）函数的连续性 1．定义 若函数)(x f y =在点a 的某个邻域内有定义，则)(x f 在点a 处连续 ? )()(lim a f x f a x =→0 lim 0 =??→?y x 。 2．连续函数的运算 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。 3．间断点 （1）间断点的概念 不连续的点即为间断点。 （2）间断点的条件 若点0x 满足下述三个条件之一，则0x 为间断点： （a ）)(x f 在0x 没有定义； （b ）) (lim 0 x f x x →不存在； （c ）)(x f 在0x 有定义，)(lim 0x f x x →也存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。 （3）间断点的分类： （i ）第一类间断点：在间断点0x 处左右极限存在。它又可分为下述两类： 可去间断点：在间断点0x 处左右极限存在且相等； 跳跃间断点：在间断点0x 处左右极限存在但不相等； （ii ）第二类间断点：在间断点0x 处的左右极限至少有一个不存在。 4．闭区间上连续函数的性质 （1）概念 若函数)(x f 在区间),(b a 上每一点都连续，在a 点右连续，在b 点左连续，则称)(x f 在区间],[b a 上连续。 （2）几个定理 最值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在此区间上必有最大和最小值。 有界性定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在此区间上必有界。 介值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任一值c ，必有 ],[b a x ∈- ，使得c x f =- )(。 零点定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，若0)()( ，使得0)(=- x f 。 （三）导数 1．导数的概念 （1）定义 设函数)(x f y =在点a 的某个邻域内有定义，当自变量在点a 处取得改变量)0(≠?x 时，函数)(x f 取得相应的改变量 )()(a f x a f y -?+=?，若极限 x a f x a f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 00 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点a 处的导数（或微商），记作 a x a x a x x x f x y y a f ===''d )(d d d )(或 ，，。 导数定义的等价形式有 a x a f x f a f a x --='→) ()(lim )(。 （2）左、右导数 左导数 a x a f x f a f a x --='- →-)()(lim )( 右导数 a x a f x f a f a x --='+ →+) ()(lim )( )(a f '存在 ?)()(a f a f +-'='。 2．导数的几何意义 函数)(x f y =在点a 处的导数)(a f '在几何上表示曲线)(x f y =在点))(,(a f a M 处的切线的斜率，即)(a f k '=，从而曲线)(x f y =在点))(,(a f a M 处的 切线方程为 ))(()(a x a f a f y -'=- 法线方程为 )()(1 )(a x a f a f y -'- =- 3．函数的可导性与连续性之间的关系 函数)(x f y =在点a 处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导 的必要条件，但不是充分条件。 因此，若函数)(x f 点a 处不连续，则)(x f 点a 处必不可导。 4．求导法则与求导公式 （1）四则运算 若w v u 、、均为可导函数，则 v u v u '±'='±)(， v u v u uv '+'=')(， w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(， u c cu '=')(（其中0≠c 为常数）， 2)(v v u v u v u '-'='， 2)1(v v v ' -= '（0≠v ）。 （2）复合函数求导 设)(u f y =，)(x g u =，且)(u f 和)(x g 都可导，则复合函数)]([x g f y =的导数为 x u u y x y d d d d d d ? =。 （3）反函数的导数 若)(y x ?=是)(x f y =的反函数，则 )(1 )(y x f ?'= '。 （4）隐函数的导数 由一个方程0),(=y x F 所确定的隐函数)(x f y =的求导法，就是先将方程两边分别对x 求导，再求 出x y d d 即可。 （5）对数求导法 先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。 对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。 （6）参数方程的导数 若参数方程 ?? ?==)()(t y t x ψ? 确定了一个函数 )(x f y =，且ψ?、均可导，则有 )()(d d t t x y ?ψ''= 。 （7）基本初等函数的导数公式 0)(='c 1)(-='μμμx x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -=' x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=' a a a x x ln )(='（0>a ，1≠a ） x x e e =')( a x x a ln 1)(log = '（0>a ，1≠a ） x x 1 )(ln = ' 211)(arcsin x x -=' 211 )(arccos x x --= ' 211)(arctan x x += ' 211)arccot (x x +-=' 5．高阶导数 （1）高阶导数的概念： 函数)(x f 的一阶导数)('x f 的导数称为)(x f 的二阶导数，)(x f 的二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数，… …，)(x f 的1-n 阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为 )()4(,,,,,n y y y y y ΛΛ''''''，或n n x y x y x y x y d d ,,d d ,d d ,d d 443322ΛΛ。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 （2）常用的n 阶导数公式 !) () (n x n n =， x n x e e =)()(， )2sin()(sin )(πn x x n + =， )2cos()(cos )(π n x x n +=， n n n x n x )1()! 1()1()] 1[ln(1) (+--= +-。 （3）莱布尼茨公式 设)(x u 和)(x v 都是n 次可微函数，则有 )()(0) () (k k n n k n v u k n uv -=∑???? ??=。 复习指导 重点：求函数的极限、连续、导数。 难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。 1．求极限的方法： （1）利用定义（δε-语言）证明。 （2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。 （3）初等函数)(x f 在定义区间上求极限：) ()(lim 00x f x f x x =→。 例：3103020132lim 220=++?-=++-→x x x x 。 （4）分解因式，约去使分母极限为零的公因式。 例：113lim )1)(1()3)(1(lim 134lim 11221-=+-=+---=---→→→x x x x x x x x x x x x 。 （5）利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。 例：2222sin lim 2sin lim 00=?=→→x x x x x x 但 πππ π44) 42sin(2sin lim 4 =?=→ x x x 。 （6）利用等价无穷小替换（条件：在乘积的条件下）。 例：3 3lim )1ln(3tan lim 00==+→→x x x x x x 。 （7）利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。 例：求22lim 2 -+→x x x 。 因为022lim 2=+-→x x x ，所以∞=-+→22lim 2x x x 。 （8）幂指函数求极限：若1 )(lim 0 =→x u x x ，∞ =→)(lim 0 x v x x ，则] 1)()[(lim ) (0 ) (lim -→→=x u x v x v x x x x e x u 。 （9）利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。 2．无穷小： （1）理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化趋势密切相关。 （2）掌握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。 （3）注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。 3．连续性的判断： 重点是分段函数在分段点处连续性的判断，此时需利用左右连续的概念进行判断。 4．间断点 （1）掌握间断点的分类规则，以及如何求解函数的间断点并对其分类。对于初等函数，首先找出无定义的点，然后通过计算它的左右极限得出其类型。对于分段函数，还要讨论它的分段点。 （2）注意对于可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值使得函数在该点连续。 5．闭区间连续函数的性质 掌握利用闭区间上连续函数性质来证明某个函数在闭区间上满足一些特殊性质的方法。例如要证明某个函数在一个闭区间上可以取到一个特定数值时，通常的方法是在这个闭区间内找两个函数值（一般是计算区间两个端点的函数值或者假设出函数在该区间上的最大和最小值），使得它们一大一小，恰好分布在这个特殊值的两边，而后利用介值定理得出结论。 当要证明方程0)(=x f 在某个区间内有根时，可以在此区间内找两个点，使得)(x f 在这两点的函数值一正一负，从而利用零点定理得出结论。 5．可导、连续和极限三个概念的关系： )(x f 在点0x 可导?)(x f 在点0x 连续?)(x f 在点0x 有极限； 但上述关系反之均不成立。 6．可导的判断： （1）若函数在某一点不连续，则必不可导。 （2）分段函数在分段点处是否可导的判断，需利用左右导数的概念进行判断。 7．求导数的方法： （1）利用导数的定义求导数。 （2）利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求初等函数的导数。 （3）利用复合函数求导的链式法则。 （4）利用隐函数求导法则。此时需注意若在方程中出现y 的函数项，则在对自变量x 求导 时，对这一项需利用复合函数求导的法则。 例：设02=-+x y e y ，求x y d d 。 解：方程两边同时对x 求导，有 0d )d(2d d d d d )(d =-+?x x x y x y y e y ，所以 12'+=y e y 。 （5）利用反函数求导法则。 （6）利用参数方程求导法则。此时需注意得到的y 对x 的导数实际上仍然由一个参数方程 所确定。 （7）利用对数求导法则。它主要在如下两种情况中应用： （i ）幂指函数求导； （ii ）需求导的函数由许多因式利用乘除法结合得到。 （8）分段函数在分段点处需利用左右导数求导。 第3章 微分学的基本定理 内容提要 （一）微分 1．概念 微分的定义：设函数)(x f y =在点0x 处可微，给定自变量x 的增量0x x x -=?，称对应的函数增量 )()()(00x f x f x f -=?的线性主部x x f ?)('0为函数)(x f 在点0x 处的微分，记作)(d 0x f 或0|d x x y =。 2．常用的微分公式 0)(d =c （c 为常数） x x x d )d(1-=μμμ x x x d cos sin d = x x x d sin cos d -= x x x d sec tan d 2= x x x d csc cot d 2-= x x x x d tan sec sec d = x x x x d cot csc csc d -= x a a a x x d ln d =（0>a ，1≠a ） x e e x x d d = x a x x a d ln 1log d = （0>a ，1≠a ） x x x d 1 ||ln d = x x x d 11arcsin d 2-= x x x d 11 arccos d 2 --= x x x d 11arctan d 2+= x x x d 11darccot 2+-= 3．微分运算法则 （1）四则运算 )(d )(d ])()([d 2121x v k x u k x v k x u k +=+； )(d )()(d )(])()([d x v x u x u x v x v x u +=； )() (d )()(d )()()(d 2x v x v x u x u x v x v x u -=。 （2）复合函数微分 若)(u f y =，)(x g u =，则 x x g u f y d )()(d ''=。 4．微分形式的不变性 若)(u f y =，)(x g u =，则有 u u f x x g u f y d )(d )()(d '=''=。 5．微分在近似计算中的应用 当||x ?很小时，有： x x f y y ?'=≈?)(d 0， x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000。 （二）微分中值定理 1．罗尔定理：设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则必存在),(b a ∈ξ，使得 0)(='ξf 。 2．拉格朗日中值定理：设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 上可导，则必存在 ),(b a ∈ξ，使得成立 a b a f b f f --= ')()()(ξ。 推论1 设函数 ()y f x =在闭区间[],a b 上连续，开区间(),a b 内可导，若对任意 (),x a b ∈有()0f x '=则 ()f x 在[],a b 上恒为常数。 推论2 若在),(b a 内恒有)()(x g x f '='，则存在常数C ，使得C x g x f +=)()(，),(b a x ∈。 3．柯西中值定理：设函数)(x f 和)(x g 均在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 上可导，且它们的导数不同时为零，又0)()(≠-a g b g ，则必存在),(b a ∈ξ，使得成立 )()()()()()(a g b g a f b f g f --= ''ξξ。 4．有限增量公式 若函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，则 ))(()()(a b f a f b f -'+=ξ，),(b a ∈ξ。 或 x f y ?'=?)(ξ， 其中)()(a f b f y -=?，a b x -=?。 （三）洛必达法则 1．00 型的洛必达法则： 若()x f 和()x g 满足 （1） ()()0 lim lim 0 ==→→x g x f x x x x ； （2）()x f 和()x g 在()δ,?0x N 内可导，且()0≠'x g ； （3） ()()）存在（或为∞''→x g x f x x 0 lim ，则()()()()x g x f x g x f x x x x ''→→00lim lim ＝。 （把0x 改为∞等，法则仍然成立）。 2．∞∞ 型的洛必达法则： 若()x f 和()x g 满足 （1）()()∞ =∞=→→x g x f x x x x 0 lim ,lim ； （2）()x f 和()x g 在()δ,?0x N 内可导，且()0≠'x g ； （3） ()()）存在（或为∞''→x g x f x x 0 lim ，则()()()()x g x f x g x f x x x x ''→→00lim lim ＝。 （把0x 改为∞等，法则仍然成立）。 3．其他待定型： ∞?0，∞-∞，∞1，0 0，0 ∞。 复习指导 重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法则求极限，泰勒公式。 难点：中值定理的应用。 1．中值定理的应用 （1）注意中值定理的条件只是充分条件，不是必要条件。 （2）中值定理的这些条件缺一不可。 （3）中值定理经常运用在等式和不等式的证明中。例如在证明)()(x g x f =时，可以构造一个辅助函数 )(x F ，将等式转化为0)(='x F 的形式，而后验证)(x F 在某个闭区间上满足中值定理的条件，从而得出 结论。在证明一个不等式时，可以考虑将其和一个函数及此函数在某个闭区间的两个端点上的函数值联系起来，从而可以利用拉格朗日中值定理得出结论。 3．洛必达法则 洛必达法则是解决待定型极限问题时的一种简便而有效的方法，但使用时注意以下几点： （1）每次使用前必须判断是否属于七种待定型： ∞∞∞-∞∞?∞∞ 1,,0,,0,,0 000。 盲目使用将导致错误。 （2）洛必达法则的条件是充分的而非必要的，遇到 ()()x g x f x x ''→0 lim 不存在时，不能断定()()x g x f x x 0lim →不存在。 例：1sin 1lim sin lim =??? ??+=+∞→∞→x x x x x x x ，但 1cos 1lim sin lim x x x x x x +≠+∞→∞→不存在。 （3）有些极限问题虽然满足洛必达法则的条件，但用此法无法求出极限 例： Λ=+=+=++∞→+∞→+∞ →x x x x x x x x x 22 21lim 11lim 1lim ， 但事实上111 lim 1lim 22=+=++∞→+∞→x x x x x 。 （4）洛必达法则对待定型∞∞,00的极限有特效，但并不是万能的，有时也并非为最佳的解题方法。 例： x xe x x x x x sin 3 cos sin lim 60 2 --- → 用泰勒公式展开较简便。 例： x x x x x sin 343sin 4)sin 3arctan()3arctan(sin lim 0 +-+-→ 用微分中值定理较简便 高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 高等数学 常用公式 ⒈等比数列 1 1n -=n q a a q q a s n n --=1) 1(1 ⒉等差数列 d n a a )1(1n -+= 2 )(1n a a s n n += ⒊ )12)(1(6 1 3212222++= ++++n n n n ⒋ 2 33332)1(321?? ? ???+=++++n n n 极限 一、 对于和式 n u u u ++∑=2n 1 11 进行适当放缩有两种典型的方法 ①当n 为无穷大时，则 n ?u min ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max ②当n 为有限项，且u i ≥0时，则 u max ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max 二、 常用极限： )m 3,2,1i (}max {lim .1n 21n a ==++∞→， i m m n n a a a n a b i n a b a f x f dx x f n i n i b n i i --+ =?=∑?∑=∞ →=→)(lim )(lim )(.21 a 1 ξλ n a b n a b i a f x f dx x f n i n i b n i i ---+ =?=∑?∑=∞ →=→)))(1((lim )(lim )(31 a 1 ξλ 1lim .3=∞ →n n a 为常数），（，b a ,1lim .4=+∞ →n n b an 1 lim .50 x =+→x x ，则 若a a n n =∞ →lim ..6 a n a a a n n =+++∞→ 21lim .① a a a a n a n n n n ==>∞ → 21lim )3,2,1(0.② ，则若 三、 常见等价无穷小代换总结 总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠; 高等数学读书笔记 ——定积分与不定积分 马燕妮 四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。 【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义： 设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 导数与极限 （一）极限 1. 概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） A x f a x =→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。 （2）单侧极限 左极限： =-)0(a f A x f a x =-→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<- 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ ?? 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83) 高数解题技巧。高数（上册）期末复习要点 高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。（高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 如何学好高等数学——致大一新生 以下是为大家整理的如何学好高等数学——致大一新生的相关范文，本文关键词为如何,学好,高等数学,大一,新生,，您可以从右上方搜索框检索更多相关文章，如果您觉得有用，请继续关注我们并推荐给您的好友，您可以在成教大学中查看更多范文。 如何学好高等数学——致大一新生 如何学好高等数学——致大一新生 如何学好高等数学——致大一新生 新生刚刚从中学跨入大学的校门，不了解《高等数学》课程的特点和重要性，难于掌握一套科学的学习方法，以及对高等数学课程学习的重要性没有足够的认识，而导致某些同学没能学好这门课。 高等数学是理工科大一新生必修的一门理论基础课程。它对于各专业后继课程的学习，以及大学毕业后这类工程技术人员的工作状况，高等数学课程都起着奠基的作用。如在校继续学习中只有掌握好高等数学的知识后，才能比较顺利地学习其他专业课程。如物理，控制科学、计算机科学、工程力学、电工电子学、通信工程、信息科学…等 等，也才能学好自己的专业课程。又如当毕业走向工作岗位后，要很好地解决工程技术中的问题，势必要经常应用到数学知识。因为在科学技术不断发展的今天，数学方法已广泛渗透到科学技术的各个领域之中。因此，工科类大学生在学习上一个很明确的任务是要学好高等数学这门课程，为以后的学习和工 作打下良好的基础。 那么，大一新生怎样才能学好高等数学呢？以下几点看法，仅供同学们参考。 一、摒弃中学的学习方法，尽快适应环境 一个高中生升入大学学习后，不仅要在环境上、心理上适应新的学习生活，同时学习方法的改变也是一个不容忽视的方面。 从中学升入大学学习后，在学习方法上将会遇到一个比较大的转折。首先是对大学的教学方式和方法会感到很不适应。这在高等数学课程的教学中反应特别明显，因为它是一门对大一新生首当其冲的理论性较强的基础理论课程。而学生正是习惯于模仿性和单一性的学习方法。这是从小学到中学的教育中长期养成的，一时还难以改变。 中学的教学方式和方法与大学有质的差别，中学的学习学生是在教师的直接指导下进行模仿和单一性的学习，大学则是在教师的指导下进行创造性的学习。【例如，中学的数学课教学完全是按教材的内容进行的，老师在课堂上讲，学生听，不要求学生记笔记。教师授课慢，讲得细，计算方法举例多，课后只要求学生能模仿课堂上所讲的内容解决课后习题就可以了，没有必要去钻研教材和其他参考书（为 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2 cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )!1()1()(ln 1 )(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00 ,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： lim →x =--0 ) 0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1 sin )(? = 0 lim →x x x K 1 sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ? ?>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?? ???=≠?-?='--0 ,00,1cos 1sin )(21 x x x x x Kx x f K K 大一高数一知识点总结 一、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、集合及其表示 1、集合的含义： “集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。 所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。 2、集合的表示 通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。a、b、c就是集合A中的元素，记作 a∈A ，相反，d不属于集合A ，记作 dA。 有一些特殊的集合需要记忆： 非负整数集(即自然数集) N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 集合的表示方法：列举法与描述法。 ①列举法：{a,b,c……} 大学考研数学分析笔记 |国家研究生入学考试专业课程高分数据 大学 “数学分析” 注释 备注:目标大学目标专业本科生备注或辅导班备注有意义:目标大学目标专业本科生教学课件期末试题:目标大学目标专业本科生期末试题2-3套模拟试题:目标大学目标专业研究生模拟试题2套复习题:目标大学目标专业研究生导师复习题真题:目标大学目标专业历年考试真题，此题为赠品，非 目录 第二模块备注................................................................................................................ .. (3) 第一部分实数集和函数....................................................................................................3第二部 分顺序限制................................................................................................................. 9第三部分功能限制........................................................................................................10第四部分功能连续性.............................................................................................16第五部分导数和微分.. (30) 第六部分微分中值定理及其应用..................................................................................36第八部分不定积分........................................................................................................51第九部分定积分................................................................................................55第十部分定积分的应用..........................................................................................61部分不当积分....................................................................................................69第十二部分数字术语系列.....................................................................................................73第十三部分功能术语系列..................................................................................91第十四部分电源系列..................................................................................................102第十五部分傅立叶级数....................................................................的限 高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α αββ'', 且lim βα''存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞→∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 第一章 基础知识部分 &1.1初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x 与y ，如果对于变量x 在实数集合D 内的每一个值，变量y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数 ，记作y=f （x ），其中自变量x 取值的集合D 叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 （1）解析法 即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x ︱，y=lg(x+1),y=sin3x 等。 便于对函数进行精确地计算和深入分析。 （2）列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 （3）图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 ???--≥+=0,120 x 1,2x y x x ()?????=≠=0 0, 1sin x f x x x x 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x 2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x 、y 之间的函数关系式是由一个含x ，y 的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，0e y x =--+y x 等。 而由2x+y-3=0可得y=3-2x ，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y 之间的函数关系是通过参数式方程()()()? ? ?∈==T t t y t x ， ψ?给出的，这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t 称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y 看作自变量，x 也是y 的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=f ˉ1(y)或y= f ˉ1(x)(以x 表示自变量). 二、函数常见的性质 1、单调性（单调增加、单调减少） 2、奇偶性（偶:关于原点对称，f （-x ）=f （x ）；奇：关于y 轴对称，f （-x ）=-f(x).） 3、周期性（T 为不为零的常数，f （x+T ）=f （x ），T 为周期） 4、有界性（设存在常数M ＞0，对任意x ∈D ，有f ∣(x)∣≤M,则称f(x)在D 上有界，如果不存在这样的常数M ，则称f(x)在D 上无界。 5、极大值、极小值 《高等数学》考研同济大学考研复习笔记和考研真题第1章函数与极限 1.1 复习笔记 一、映射与函数 1函数 （1）函数的性质（见表1-1） 表1-1 函数的性质 （2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数f和反函数f－1的单调性一致。 b．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称。 ②复合函数 g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。（3）函数的运算 设函数f（x），g（x）的定义域为D f，D g，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算 和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。 积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。 商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。 （4）初等函数 5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。二、数列的极限 1数列极限的定义 数列{x n}收敛于a???ε＞0，?正整数N，当n＞N时，有|x n－a|＜ε。数列{x n}是发散?不存在。 2收敛数列的性质 （1）唯一性 如果数列{x n}收敛，则它的极限唯一。 （2）有界性 如果数列{x n}收敛，则数列{x n}一定有界。 ①有界数列：存在正数M，使得对于一切x n都满足不等式|x n|≤M。 ②无界数列：不存在正数M，使得对于一切x n都满足不等式|x n|≤M。 （3）保号性 如果，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有x n ＞0（或x n＜0）。 推论：如果数列{x n}从某项起有x n≥0（或x n≤0）且，则a≥0（或a≤0）。（4）收敛数列与其子数列间的关系 ①如果数列{x n}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。高等数学大一上学期知识要点
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