二次函数与一元二次方程1 三维目标 一、知识与技能 1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义. 2.能结合二次函数的图象与x 轴的交点的个数，判断一元二次方程的根的存在性和根的个数. 3.了解函数的零点与对应方程根的联系. 二、过程与方法 1.通过了解函数的零点与方程根的联系，渗透算法思想，为后面系统学习算法作准备. 2.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法. 3.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及分析问题的能力. 三、情感态度与价值观 1.通过学习二次函数图象与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的系统性. 2.在教学过程中，通过学生的相互交流，体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法，培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识. 教学重点 根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数，函数零点的概念. 教学难点 函数零点的概念. 教具准备 多媒体课件、投影仪. 教学过程 一、创设情景，引入新课 （多媒体动画演示） 从某幢建筑物10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙垂直，如下图），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3 40米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是多少米? 如下图建立直角坐标系，则A 点坐标为（0，10），M 点坐标为（1， 340）.由于M 为最高点，所以可设抛物线为y =a （x －1）2+340，将点A （0，10）代入，得10=a ×1+3 40，a =－310，即抛物线方程为y =－310（x －1）2+3 40.水流落地时B 点纵坐标y =0，代入上式，解得x =3，即水流落地点B 离墙的距离OB 是3米.
一元二次方程根的分布习题 1、一元二次方程0422=-+x x 的根的情况是----------------------------------------（ ） A 、有两个相等的实数根 B 、有两个不相等的实数根，且两根同号 C 、有两个不相等的实数根，且两根异号 D 、没有实数根 2、已知关于x 的方程012=++-k kx x 有两个负根，则实数k 的范围是______________ 3、当∈m ____________时，二次方程01032=+-m x x 有两正实根； 当∈m __________时，二次方程 01032=+-m x x 有一正根一负根。 4、关于x 的二次方程 （1）有两个大于2的实根，求实数 m 的取值范围。 （2）有两个小于2的实根，求实数 m 的取值范围。 （3）一根大于2，一根小于2，求实数 m 的取值范围。 2 (2)50 x m x m +-+-=225.p αβαβ为什么数时，关于x 的方程7x -(p+13)x+p -p-2=0的两根,分别满足0<<1,1<<2?
答案： 1， C 2， 3，（1） , （2） 4，（1） （2） ()()()2245022,-5
第三十课时二次函数与一元二次方程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3．体验并理解函数与方程相互转化的 数学思想和数形结合的数学思想． 自学评价 1.二次函数的零点的概念 一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点． 2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 （1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ?判别式0?>?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ； （2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ?判别式0?=?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ； （3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根?判别式0? ∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =?+?-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证． 例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =． 听课随笔 二次函数与 一元二次方程 函数的零点 二次函数的零点与对应 一元二次方程根的关系 函数的零点与 对应方程的关系 二次函数 的零点
教学任务 教学流程说明 教学过程设计
一元二次方程、不等式与函数 一、填空： 1、已知函数m x x y --=2 26的值恒小于零,那么m ____________ 2、已知不等式3 1 21022 <<- >++x bx ax 的解为,则a = ;b = 3、方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m =0的一根大于2、一根小于2，那么实数m 的取值范围是 4、已知函数)0,(log ) 2(22 -∞=-在区间x x a y 上单调递增,则a 的取值范围是_________ 5、已知A={x|x 2+(p+2)x+1=0，x ∈R}，且A ∩R +=φ，则实数p 的范围是____________ 6、若方程2ax 2－x －1=0在x ∈（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是___________ 7、二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，对称轴为x =1，图象与x 轴有两个不同的交点，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），那么以下四个结论正确的是：__________ (1)ab ＞0 (2)a ＋b ＋c ＜0 (3)a ＋c ＞b (4)3b ＞2c 二、解答 8、关于x 的方程：3x 2－5x ＋a =0的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，求实数a 的取值范围. 9、若对于任意[1,1]a ∈-, 函数2 ()(4)42f a x a x a =+-+-的值恒大于零, 求x 的取值范围 10、已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等。 （1）求a 的值； （2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； 11、已知函数22 ()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围 12、对于函数2 ()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点. （1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围。
一元二次方程单元复习题 1．将方程22x =3(x -6)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为( ) A ．2、3、-6 B ．2、-3、18 C ．2、-3、6 D ．2、3、6 2．解方程2(2x -1)2=6x -3，最适当的方法应是 ( ) A ．直接开平方法 B ．配方法 C ．公式法 D ．西式分解莹 3．一元二次方程3x 2=2x 的根是 ( ) A ．x 1=0，x 2=32 B ．x 1=0，x 2=23- C ．x=0 D ．x 1=0，x 2=23 4．已知一元二次方程x 2+kx -3=0的一个根是x=1，则另一个根是 ( ) A ．x=3 B ．x=-1 C. x=-3 D ．x=-2 5．若关于x 的方程2x 2-ax+a -2=0有两个相等的实数根，则a 的值为 ( ) A ．-4 B ．4 C ．4或-4 D ．2 6．关于x 的一元二次方程x 2-mx+(m -2)=0的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 7．关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x+m 2+2m -3=0有一个根是0，则m 的值为( ) A ．3或-1 B ．-3或1 C ．1 D ．-3 8．九年级(3)班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组一共互赠了240本图书．设全组共有x 名同学，依题意,列出的方程是 ( ) A ．x(x+1)=240 B ．x(x -1)=240 C ．2x(x+1)=240 D ． 12 x(x+1)=240 9．根据下面表格中的对应值： 判断方程以ax 2+bx+c=0(a ≠0，a 、b 、c 都为常数)一个根x 的取值范围为 ( ) A ．6 一元二次方程根的分布 一．知识要点 二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究． 若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +?的符号，从而判断出实根的情况． 若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定． 分布 情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（0 >a ） 得出 的结 论 ()020b k a f k ?>???-?? ()020b k a f k ?>???->??>?? ()0 大 致 图象 （ >a ） 得出 的结 论 ()()0002f m f n b m n a ?>??>??>???<-?? 或()()()()00f m f n f p f q ，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间 ()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为 2m ，由213m <<得223 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或32 m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故32 m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =- 2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 1x = ，2x =， 则有 122 2b b b b x x a a a -+---+=+==-； 221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a -+----====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的两根．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． 例3 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根。 （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求2212 11x x +的值；（3）x 1 3＋x 23 。 说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则 12b x a -=，22b x a --=，韦达定理：x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ． 高一数学二次函数与一元二次方程教案 知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。 （2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。 能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入 等式20ax bx c ++=()0a ≠是关于x 的一元二次方程，关系式2 y ax bx c =++()0a ≠则 是关于自变量x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考： 1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如 ①方程2230x x --=与函数2 23y x x =--； ②方程2210x x -+=与函数2 21y x x =-+； ③方程2230x x -+=与函数2 23y x x =-+。 研讨探究 问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ⑴以①为例（幻灯片） 结论：一元二次方程2230x x --=的判别式?＞0 ?一元二次方程2 230x x --=有两个 不相等的实数根?对应的二次函数2 23y x x =--的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。 （2）再研究②③，能得类似的结论吗？ 结论：一元二次方程2210x x -+=判别式?=0一元二次方程2 210x x -+=?有两 等根?对应的二次函数2 21y x x =-+的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。 一元二次方程判别式2230x x -+=?﹤0 ?一元二次方程2 230x x -+= 方程无实数根?对应的二次函数2 23y x x =-+的图象与x 轴没有交点。 联想发散 2、一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数 2y ax bx c =++（a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？） 新高一数学 第4课时 一元二次方程 1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx 2.韦达定理内容： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， 即 p ＝ ，q ＝ ， 3. 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 4.求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根有哪些方法？ 例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 例2 已知方程2 560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． 例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求2212 11x x +的值； （3）x 13＋x 23． 例5 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 练 习 1．（1 ）方程22 30x k -+=的根的情况是 （2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 2．（1）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （2）以－3和1为根的一元二次方程是 ． 3 |1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值． 课后练习 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 一.引入 1.作出一次函数y=2x-4的图像， 试问：（1)当y=0时，x的值为 (2)当y>0时，x的取值范围为 (3)当y<0时，x的取值范围为 2.解方程或不等式 （1)2x-4=0的解 (2)2x-4>0的解 (3)2x-4<0的解 探究：如何由一次函数y=ax+b（a≠0）图像写出不等式ax+b>0,ax+b<0的解集？ 二.拓展 1.作出二次函数y=x2-12x+20的图像， 试问：（1)当y=0时，x的值为 (2)当y>0时，x的取值范围为 (3)当y<0时，x的取值范围为 2.解方程或不等式 （1)x2-12x+20=0的解 (2)x2-12x+20>0的解 (3)x2-12x+20<0的解 探究：如何由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像写出不等式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集？ 请归纳求解一元二次不等式() 200 ax bx c ++><的解集的步骤： 练习：不等式220 x x -<的解集是 三、新授 1.定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二 次不等式.其一般形式可表示为：20 ax bx c ++>或20 ax bx c ++< ()0 a≠ 练习：下列关于x的不等式中是一元二次不等式的是() A.2220 a x x +≥ B. 2 1 3 x < C.20 x x m -+-≤ D.32410 x x x +-+> 2.定义：使ax2+bx+c=0的实数x叫二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 零点 练习：函数y=3x2-2x-3的零点是 3.二次函数y=ax2+bx+c（a>0）与二次方程、二次不等式的解的关系 例1.作出下列二次函数图像,并指出y>0时x的取值范围. (1)y=x2+x-2 (2)y=-2x2+x+1 第 2 课时：§3.2 一元二次不等式（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； 2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图； 3.掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用； 4.培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。 二、过程与方法 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 三、情感、态度与价值观 1.激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育. 2.创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。 【教学重点与难点】： 重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学方法：诱思引探教学法 3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 观察函数2 510 4.8y x x =-+的图象，可以看出，一元二次不等式2510 4.80x x -+<的解集就是二次函数2510 4.8y x x =-+的图象（抛物线）位于x 轴下方的点所对应的x 值的集合． 因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集． 第一步：解方程2 510 4.80x x -+=，得120.8, 1.2x x ==； 第二步：画出抛物线2510 4.8y x x =-+的草图； 第三步：根据抛物线的图象，可知2510 4.80x x -+<的解集为{|0.8 1.2}x x <<． 二、研探新知 求解一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>>的过程，可用下图所示和流程图来描述：高一数学一元二次方程根的分布
高中数学《一元二次方程的根与系数的关系》学案
高一数学二次函数与一元二次方程教案
新高一数学 一元二次方程
高中数学人教A版(2019)必修第一册2.3.1二次函数与一元二次方程 学案
(完整word版)高中数学一元二次不等式教案
相关主题
文本预览