东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分)
1.
()+∞
=-∞
→x f x lim
.
解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>?>
解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->?>?时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）
1． 求曲线2
10),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解
：
=
+=
?dx x f s β
α
2
)]('[1?
?
?
-
=-++
-=
-+=
--+2
1
2
1
2
22
1
2
2
2
13ln )11111(
11)12(1dx x
x
dx x
x dx x
x
2． 设都具有一阶连续
与且己知g f x y z e x g z y x f u y
,sin ,0),,(),,,(2===偏导
数，
.,0dx du z
g 求
≠??
解：由x
z z
f x
y y
f x
f dx
du dz g dy g e dx xg z e x g y y ???
??+
???
??+
??=
=++=从而知,02,0),,(3212
=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+ 3.求?dx x x 2
)ln (
解：令?=
===dx x
x dt e dx e x x t t
t 2
)ln (
,,,ln 则??dt e e
t
t t
22=?=-dt e t t 2t
t
te
e
t ----22
C e
t
+--2C x
x x +++-=2
ln 2)(ln 2
4.求()2
lim
x
a
x a x
x
x -+→()0>a
解：()2
l
i m
x
a
x a x
x
x -+→==
2
2
22
2
2
2
)]
()(ln 2
ln 1[)}(]11)[(ln 2
ln 1{lim
x
x o a x
a x x o a
a x
a x x ++
+-+++
++=→
=
a
a 21+
5.计算第二型曲面积分??++S
dxdy z dzdx y dydz x ,2
2
2
其中S 是曲面22y x z +=夹于0
=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤
??++S
dxdy z dzdx y dydz x
2
22
=??++S
dxdydz z y x )(2=?
?++π
θθθ20
1
2
)
sin cos (2r r r r d dr =π
6．求常数λ，使得曲线积分?+=
=-
L
y
x r dy r y
x dx r y
x 2
22
2,0λ
λ
对上半平面的任何光
滑闭曲线L 成立。 解：
7．在曲面)0,0,0(,14
2
2
2
>>>=+
+z y x z
y x 上
标轴上的截距的平方和最小。 解：设14
),,(2
2
2
-+
+=z
y x z y x F ,则
2
,
2,
2z z
F y y
F x x
F =
??=??=??,故所求切平面方程为：
0)(2
)(2)(2=-+-+-z Z z y Y y x X x ,求得在三个坐标轴上的截距分别为:
,44,444,4442
222
2
2
2
22z z
y x Z y
z
y x Y x
z
y x X ++=
++=
++=
)1161161(
)44(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z y x Z Y X d +
+++=++==
2
2
2
1611z
y
x
+
+
令)14
(1611),,(2
2
22
2
2
-+
+++
+
=
z
y x z
y
x
z y x P λ
则
02
132,
022,
0223
3
3
=+
-
=??=+-
=??=+-
=??λλλz z
z
P y y
y
P x x
x
P ,,
14
2
2
2=+
+z
y x
解得=
=y x ,16,2,2
1==
λz =m in d 16
三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）
1． 讨论级数∑
?
∞
=+1
1sin n n
dx x
x π
的敛散性。
解:
2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有
1)('',1)(< 解： , )0(2 )('')0)((')()0(2 x f x x f x f f -+-+=ξ2 )2(2 )('')2)((')()2(x f x x f x f f -+-+=η ])('')2)((''[21)('2)0()2(2 2 x f x f x f f f ?--+=-ξη ])('')2)((''[2 1)0()2()('22 2 x f x f f f x f ?--- -=ξη ≤ ?--+ -=])('')2)((''[2 1)0()2(2 1)('2 2x f x f f f x f ξη++ )0(2 1)2(21f f 2 2 )(''2 1) 2()(''2 1x f x f ?+-?ξη2 2 2 1)2(2 11x x + -+≤2 )1(2 +-≤x ， .2)('≤x f 3． 证明积分?+∞ -0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛。 证 明 : ,,0,,02121时并且当设δδ<->?>?m m m m ?? --=--2 1 2 1 )(m m xy xy m m xy d e dy xe )1(][)(2112121x m m x m x m x m m m xy e e e e e ------=-=-=取 ,1 δ = x ? ∞ +-= ,2 1dy xe xy 则取δ>为一常数A e A e e e e m m )(1()1()1(1 1 2->->--- δ ) 4． 证明函数x x x f ln )(= 在),1[+∞上一致连续。 证明：x x x x x x x f 22ln ln 21)('+= + = 1)(',1,021ln 21)(''m ax ===--= x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理,21212121)(')()(),,1[,x x f x f x f x x x x -?=-<-+∞∈?ξδ则当 <. ,21即可取δεδ==-x x 东南大学02高等代数 东南大学03数学分析 东南大学03高等代数 东南大学04高等代数 东南大学04高等代数解答 一、 方程系数矩阵行列式为 )(1 1 ∑=-+ n k k n a b b ，由克拉默法则，当 0)(1 1 ≠+ ∑=-n k k n a b b 时，方程组仅有零解；0)(1 1 =+ ∑=-n k k n a b b 时， 方程组有非零解。 当0=b 时， n n n x a a x a a x a a x x x ??????? ? ????????-++????????????????-+?? ? ?? ? ?? ? ???????-=????????????10010011 313212 21 当0)(1 =+ ∑=n k k a b 时，方程系数矩阵可化为 ??????? ? ????????++-1,1,0,0,00,0,1,1,000,0,1,1,),(232 n n a a a a a 秩为,1-n 基础解系只有一个解（1，1，1，1，。。。。，1） 二、 设二次型的相伴矩阵为A ，经计算特征多项式为)2()1()(2+---=a a f λλλ， ? ?? ?? ? ?? ? ?????????-=31,21,031,0,2131,21,21Q （2）当2=a 时，二次型的秩为2， 三、（1）证明：若),()()(x h x f x g =则1)()()(-==i i i a h a f a g ，则)(),(i i a h a f 必为整数，所以),,2,1(0)()(n i a g a f i i ==+则)()(x g x f +有n 个不同的整数根，又)()(x g x f +的次数小于n ，矛盾。 （2） 四、由)(),(x q x p 互素，存在1)()()()(=+x q x v x p x u 对任意的=∈αα,V ))](()()()([αf q f v f p f u +))(()())(()(ααf q f v f p f u += 令))(()(),)(()(21ααααf q f v f p f u == 则0))((,0))((21==ααf p f q ，所以S W V W S +=∈∈,,21αα 对任意的,S W ?∈α0))(())((==ααf p f q ，=α0))](()()()([=+αf q f v f p f u ， 所以是直和。 五、设正交变换H 在标准正交基下的矩阵为A 六、证明：由秩的不等式 ≥≥≥≥)()()(2 n A r A r A r ，所以必然存在,m 使得=)(m A r )(1 +m A r ， 则m A 的行向量组和1+m A 的行向量组等价，则它们则相互表出，所以存在矩阵B 使得题设 成立。 七、（1）经计算A 的特征多项式为)()(1αβλλλT n f -=-，又A A T αβ=2，所以αλβλT -2为A 的一个零化多项式，且0和αβT 都为A 的特征值，所以αλβλT -2为A 的最小多项式。 （2）由于最小多项式无重根，所以A 可对角化，进而A 的若当标准型为A 的对角形， A=)',0,,0,0(αβ diag 八、（1）容易证明A 对加法和数量乘法封闭，所以A 为线性变换； （2）δ变换在标准正交基下的矩阵为A （3）显然 九、充分性：反证：若A ，B 有公共特征值，设为x Ax λλ=,，则λ也是B ‘的特征值， 则y y B λ='，考察矩阵'xy 则,''xy Axy λ=')''('xy y B x B xy λ==，所以B xy Axy ''=与题设矛盾； 必要性：若A ，B 无公共特征值，则A ，B 的特征多项式)(),(λλg f 互素， 1)()()()(=+λλλλg v f u ，若AX=XB ，则g(A)X=Xg(B)=0， I A g A v =)()(，)(A g 可逆，所以只有X=0。 十、（1）证明：若存在},,2,1{0n i ∈，对任意的},{i j αα∈ n i j i ββαβββ,,,,,, 1, 1210 +-都线性相关，则n V 所以原题得证。 东南大学04数学分析 高数实验报告 学号： 姓名： 数学实验一 一、实验题目：（实验习题7-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。 2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。 三、程序设计 这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数方程来画图，即t t kr r z sin cos 22+= 输入代码： ParametricPlot3D [{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]}, {t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30] 式中k 选择不同的值：-4到4的整数带入。 四、程序运行结果 k=4： k=3： k=2： k=1: k=0: k=-1: k=-2: k=-3: k=-4: 五、结果的讨论和分析 k取不同值，得到不同的图形。我们发现，当|k|<2时，曲面为椭圆抛物面；当|k|=2时，曲面为抛物柱面；当|k|>2时，曲面为双曲抛物面。 数学实验二 一、实验题目 一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据： 2 + y+ = cx a bx 法确定系数a,b,c，并求出拟合曲线 二、实验目的和意义 1.练习使用mathematic进行最小二乘法的计算 2.使用计算机模拟，进行函数的逼近 三、程序设计 x={,,,,}; y={,,,,}; xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}]; q[a_,b_,c_]:=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]*x[[i]]-y[[i]])^2,{i,1 ,5}]; Solve[{D[q[a,b,c],a]?0,D[q[a,b,c],b]?0,D[q[a,b,c],c]?0},{a, b,c}] A={a,b,c}/.%; a=A[[1,1]]; b=A[[1,2]]; 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知 Image Image 高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） ___________学号_________姓名____________实验地点：计算机中心机房 实验一 1、 实验题目： 根据上面的题目，通过作图，观察重要极限：lim（1+1/n）n =e 2、 实验目的和意义 方法的理论意义和实用价值。 利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。 三、计算公式 （1+1/n）n 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 当n足够 Image Image 大时，所画出的点逐渐接近于直线，即点数越大，精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果，因此需要择优，从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础，因此在上机调试前要仔细审查细节，对程序进行尽可能的简化、改进与完善。 实验二一、实验题目 制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。 二、实验目的和意义 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。三、计算公式：y=sin cx 四、程序设计五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 c的不同导致函数的区间大小不同。 实验三 一、实验题目 观察函数f(x)=cos x的各阶泰勒展开式的图形。 二、实验目的和意义 利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 三、计算公式 东南大学VS 大连理工VS 华南理工 从此爱上她(cathy430073) 级别:新手上路 发帖:4 积分:4 来自:202.118.71.208 注册:2006-10-27 :0 :0 该三校均属当年的四大工学院行列. 四大工学院中,除了华科异军突起外 该三校综合实力属伯仲之间,值得PK 欢迎大家讨论,谢绝漫骂!!!! ------ 此帖被 likuns 在 2006-10-27 12:42:12 修改过 来自：219.133.230.* .楼主. 2006-10-27 12:29:42 从此爱上她(cathy430073) 级别:新手上路 发帖:4 积分:4 来自:202.118.71.208 注册:2006-10-27 :0 :0 东南大学是中央直管、教育部直属的全国重点大学，是国家“985工程”和“211工程”重点建设的大学之一。是国务院授权首批可授予博士、硕士、学士学位，审定教授、副教授任职资格及自批增列博士生导师的高校。学校座落在历史文化名城南京，主校区位于四牌楼2 号，是六朝宫苑的遗址，也曾是明朝国子监所在地，千百年来书声不断，学泽绵延。 东南大学是我国最早建立的高等学府之一，素有“学府圣地”和“东南学府第一流”之美誉。东南大学前身是创建于1902年的三江师范学堂。1921年经近代著名教育家郭秉文先生竭力倡导，以南京高等师范学校为基础正式建立东南大学，成为当时国内仅有的两所国立综合性大学之一。郭秉文先生出任首任校长。他周咨博访、广延名师，数十位著名学者、专家荟萃东大,遂有“北大以文史哲著称、东大以科学名世”之誉。1928年学校改名为国立中央大学，设理、工、医、农、文、法、教育七个学院，学科设置之全和学校规模之大为全国各高校之冠。1952年全国院系调整，文理等科迁出，以原中大工学院为主体，先后并入复旦大学、交通大学、浙江大学、金陵大学等校的有关系、科，在中央大学本部的原址建立了南京工学院。1988年5月，学校复更名为东南大学。 东南大学经过一百多年的创业发展，如今已成为一所以工为特色，理、工、医、文、管、艺等多学科协调发展的综合性大学。学校现有教职工6000多人，其中正、副教授1500多人，博士生导师300多人，两院院士8人，国务院学位委员会委员1人，国务院学位委员会学科评议组成员9人，“长江学者奖励计划”特聘教授、讲座教授20人，国家级、省部级有突出贡献的中青年专家，杰出青年科学基金获得者，“863”、“973”专家组成员等优秀人才130余人。 近年来，学校大力加强学科建设，取得了丰硕的成果。11个一级学科在2002-2004全国学科整体水平评估中名列全国前十名，其中６个一级学科位列全国前五名。目前，学校拥有60个本科专业，206个硕士点，93个二级学科博士点，16个一级学科博士学位授权点，15个博士后科研流动站，10个国家重点学科，6个国家重点学科培育点，10个江苏省重点学科（其中1个江苏省“重中之重”学科），22个国家级、省部级重点实验室和工程研究中心。 在长期的办学实践中，东南大学加大教育教学改革力度，努力推进素质教育，着力培养学生的创新精神和实践能力。1996年通过“本科教学优秀学校评价”，是全国首批获此殊荣的3所高校之一。2004年，在20年强化班办学经验基础上成立了吴健雄学院。该学院依托学校的重点学科，汇集学校一流教师，享用学校一流资源，采用分级导师制，是东南大学精英教育的“人才培养特区”。2005年，全校共有15门课程入选国家精品课程，其中大学语文、大学英语、大学数学、大学体育、大学物理和物理实验等课程，几乎惠及所有在校学生，精品课程数名列全国高校第七。学校共设有40多个院、系，全日制在校生26000多人，其中研究生9000多人。另有专业学位教育研究生近3000人。 东南大学办学条件优异。学校设有国家级电工电子基础课程教学基地、计算中心、现代分析测试中心、电化教育中心、工业发展与培训中心等教学实习基地，并建立了网上远程教育系统，实现了教学科研手段的现代化。学校图书馆面积3万多平方米，藏有各类图书资料227万册。 东南大学学校总面积427公顷，校园环境优美，历史文化底蕴深厚。建成于1930年的大礼堂、吴健雄先生曾经就读的“健雄院”、古劲苍笼的六朝松、为纪念清朝大书法家李瑞清先生而建的“梅庵”、典雅端庄的老图书馆、1923年落成的体育馆与新落成的吴健雄纪念馆、 东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.doczj.com/doc/bf5633661.html,work Information Technology Company.2020YEAR 2 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ； 2．当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3．设()1sin x y x =+，则d x y π == d x π- ； 4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ； 5．已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+ 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关 扫描电镜的网上预约及使用办法 本办法包括了XL30环境扫描电镜和Sirion场发射扫描电镜的网上预约及使用办法，开放运行时的开放时段和限定时间将视预约情况增减。 各课题组至少可获得一个“用户名/密码”，可随时查询或预约。机组实际操作人员必须通过考核获得上岗证，严禁无证人员独立操作机组。 应至少提前3个工作日预约，最多可预约到第三周，每1小时为一个预约基本单元。每个用户每次预约时间不得低于1小时，但不得超过限定值（大、中、小用户的限定值分别由管理员设定）；在可预约资源紧张时（即忙时），每个用户（大、中、小）每周预约时间不得超过限定值，且均需在一天内安排。 在完成预约、管理员确认前，委托人应填写“扫描电镜预约使用确认单”（在中心首页“下载区域”），经指导老师或其委托人签名确认后，交中心网管人员，网管人员在收到“预约使用确认单”后的1个工作日内完成预约的网上审核确认；确认后的预约不得随意撤除，若需撤销已经确认的上机时间，应提前1个工作日通知中心网管人员，否则认定为违约，违约金按已确认预约时间的50%收取。 拟上机人员应在预约时间的前1个工作日前将老师签名后的“预约使用确认单”交中心网管人员。若逾期未交，原预约时间将被取消。 应严格按照预约时间进行上机操作。上机人员应提前做好制样、表面处理等样品前处理工作，按时进出机组，不得延时以免影响后续人员使用；在后面无人上机的情况下，确需延时继续使用，应征得设备管理人员同意。 上机时间结束后由设备管理人员确认并记录实际使用时间和违约时间。如因预约人员原因迟到，仍按原约定时间开始计费；如预约时间比实际使用时间多30分钟以上，则余下时间收取50%的违约金。 各用户使用费用的统计结果可实时进行网上查询。 因设备或设备管理人员原因需取消有关上机预约，应提前通知委托人。 中心网管人员及联系方式：晏井利，52090661 东南大学分析测试中心 2009年2月制定，2011年1月修订 东南大学电工电子实验中心实验报告 数字逻辑设计实践 实验一数字逻辑电路实验基础 学院电气工程学院 指导老师团雷鸣 地点 104 姓名 学号 __________得分实验日期 1．实验目的 （1）认识数字集成电路，能识别各种类型的数字器件和封装； （2）学习查找器件资料，通过器件手册了解器件； （3）了解脉冲信号的模拟特性，了解示波器的各种参数及其对测量的影响，了解示波器探头的原理和参数，掌握脉冲信号的各项参数； （4）了解逻辑分析的基本原理，掌握虚拟逻辑分析的使用方法； （5）掌握实验箱的结构、功能，面包板的基本结构、掌握面包板连接电路的基本方法和要求； （6）掌握基本的数字电路的故障检查和排除方法。 2．必做实验 （1）复习仪器的使用，TTL信号参数及其测量方法 用示波器测量并记录频率为200KHz的TTL信号的上升沿时间、下降沿时间、脉冲宽度和高、低电平值。 接线图 理论仿真TTL图像 TTL实验数据表格 （2）节实验：电路安装调试与故障排除 要求：测出电路对应的真值表，并进行模拟故障排查，记录故障设置情况和排查过程。 接线图 真值表 F=1，G=1 序号S1B1S2B2L 100000110100001020110 103 110040 150110 006101107111001800 001190 思考题 ①能否用表格表示U8脚输出端可能出现1的全部情况 2 ②存在一个使报警器信号灯持续接通的故障，它与输入的状态无关。那么，什么是最有可能的故障？ 答：两个集成电路74HC00与74HC20未加工作电压VCC并接地，造成集成电路无法工作，L一直为低电平，Led发光。 ③下列故障的现象是什么样的？ a.U8脚输出端的连线开路。1答：无论S2与B2输入什么信号，都视为U4 与U5输入0信号(副驾驶有人22且安全带未扣上)，会造成报警。 b.U3脚的输出停留在逻辑0。1答：无论B1输入什么信号，都视为U13输 入0信号。（驾驶座安全带扣上）1 ④当汽车开始发动，乘客已坐好，而且他的座位安全带已扣上，报警灯亮，这结果仅与司机有关，列出可能的故障，并写出寻找故障的测试顺序。 可能情况：司机未系安全带 东南大学二○○二年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（高等代数） 一、以下结论是否成立，如成立，试证明。否则举实例。（每题4分，共24分） 1、若α为()f x '的k 重根，则α为)(x f 的1+k 重根。这里)(x f '表示多项式)(x f 的微商（或导数）。 2、设A 为n m ?阵，B 为m n ?阵，且,n m >则0AB =。 3、若,A B 均为n 阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A 与B 相似。 4、设4321,,,αααα线性无关，则12233441,,,αααααααα++++秩为3。 5、设21,v v 均为线性空间v 的子空间，满足{}021=?v v ，则21v v v ⊕=。 6、设A 为n 阶正定矩阵，则一定存在正定阵B ，使2 B A =。 二、（10分）以知线性方程组21ββ+=k Ax ，其中，=A ????? ??-----111121111，???? ? ??=3121β，????? ??-=1312β，求 k 使方程组有解，并求有解时的通解。 三、（10分）已知A 是n 阶实对矩阵，n λλ,,1 是A 的特征阵，相对应的标准正交特征向量为1,,n εε。求 证：T n n n T A εελεελ++= 111。这里“T ”表示转置。 四、（12分）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113?? ?- ? ??? 1、求值域AV ，核1(0)A -的基。 2、问1(0)V AV A -=+吗？为什么？ 五、（12分）设(),ij n n A a ?=如果10,1, ,n ij j a i n ===∑。求证：11221n A A A ===。 （这里ij A 为1j a 的代数余子式） 六、（12分）设A 为n 阶矩阵，试证：2A A =的充要条件为()()r A r I A n +-=。 （这里I 为n 阶单位阵，()r A 表示A 的秩） 七、（10分）设A 为4阶矩阵，且存在正整数k ，使0k A =，又A 的秩为3，分别求A 与2A 的若当（)Jordan 标准形。 八、（12分）证明，若()f x 与()g x 互素，并且(),()f x g x 次数都大于零，那么可以选取(),()u x v x 使(())(()),(())(()),u x g x v x f x ? ------------- ------------- ------------- (A) ∑ ∞ =1 21 n n (B) ∑∞ =??? ??+111ln n n (C) ()n n n n n ??? ??+-∑∞ =111 (D) ∑?∞=+1 1 04 d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有 ()()?? ≤b a d c x x f x x f d d . (B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()?? +=T T a a x x f x x f 0 d d . (D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分) 1. ()()30 2 0d cos ln lim x t t t x x ?+→. 2. 判断级数 ∑∞ =-1 354n n n n 的敛散性. 3. x x x x d cos cos 04 2?-π. 4. ?∞+13 d arctan x x x . 5. 求初值问题 ()()?? ? ??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解. 四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小 五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b a a b a b +-> 2ln . 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件 ()()()0d 1 10=+- +'?x t t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x 成立. 七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且 ()()0d tan d 1 1 11 ==??--x x x f x x f , x ln 高等数学数学实验报告实验人员：院（系） ___________学号_________姓名____________ 实验地点：计算机中心机房 实验一 一、实验题目： 根据上面的题目，通过作图，观察重要极限：lim（1+1/n）n=e 二、实验目的和意义 方法的理论意义和实用价值。 利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。 三、计算公式（1+1/n）n 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 当n足够大时，所画出的点逐渐接近于直线，即点数越大，精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果，因此需要择优，从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础，因此在上机调试前要仔细审查细节，对程序进行尽可能的简化、改进与完善。 实验二 一、实验题目 制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。 二、实验目的和意义 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。 三、计算公式：y=sin cx 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 c 的不同导致函数的区间大小不同。 实验三 一、实验题目 观察函数f(x)=cos x 的各阶泰勒展开式的图形。 二、实验目的和意义 利用Mathematica 计算函数)(x f 的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 三、计算公式 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高，但是对于任一确定次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。 实验四 一、实验题目 计算定积分的黎曼和 二、实验目的和意义 在现实生活中许多实际问题遇到的定积分，被积函数往往不能用算是给出，而通过图像或表格给出；或虽然给出，但是要计算他的原函数却很困难，甚至原函数非初等函数。本实验目的，就是为了解决这些问题，进行定积分近似计算。 三、计算公式 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 本实验求的近似值由给出的n 的值的不同而不同。给出的n 值越大，得到的结果越接近准确的 03～09级高等数学（A ）（上册）试卷 东南大学 2003级高等数学（A ）（上）期中试卷 一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→?（） （A ）等价的无穷小与x ?；（B ）同价但非等价的无穷小与x ?； （C ）低价的无穷小比x ?；（D ）高价的无穷小比x ?。 2.方程内恰有在) ,(0125 ∞+-∞=-+x x （） （A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。 3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1) (lim 0=-→x x f x 则处在 0 =x f （） （A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。 二、填空题（每小题4分，共24分） 1.=?????=≠-=a x a x x x x x f 0., ,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nx nx n e e x x x f +++=∞ →11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ， 其类型是 . 3.函数Lagrange x xe x f x 处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=x ye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0() (n f . 6.设2 2tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dx dy 则 三、（每小题7分，共28分） 1.求极限x x x 2cot 0 )]4 [tan(lim π +→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞ → 东南大学电工电子实验中心 实验报告 课程名称: 第次实验 实验名称: 院 (系 :专业: 姓名:学号: 实验室 : 实验组别: 同组人员:实验时间:年月日评定成绩:审阅教师: 一、实验目的 二、实验原理 三、预习思考题 1、下图中的两个电路在实际工程中经常用到,其中反相器为 74LS04,电路中的电阻起到了保证输出电平的作用。分析电路原理,并根据器件的直流特性计算电阻值的取值范围。 N 个 N 个 (a (b 答:①电路 (a使用条件是驱动门电路固定输出为低电平 ②电路 (b使用条件是驱动门电路固定输出为高电平 2、下图中的电阻起到了限制前一级输出电流的作用,根据器件的直流特性计算电阻值的取值范围。 N 个 答: 3、图 2.4.1 用上拉电阻抬高输出电平中, R 的取值必须根据器件的静态直流特性来计 算,试计算 R 的取值范围。 5 V 图 2.4.1 用上拉电阻抬高输出电平 答: 4、图 2.4.3(a中 OC 外接上拉电阻的值必须取的合适,试计算在这个电路中 R 的取值范围。 (a OC 门做驱动 答: 5、下图中 A 、 B 、 C 三个信号经过不同的传输路径传送到与门的输入端,其中计数器为顺序循环计数, 即从 000顺序计到 111, C 为高位, A 为低位。 A 、 B 、 C 的传输延分别为 9.5nS 、 7.1nS 和 2nS 。试分析这个电路在哪些情况下会出现竞争-冒险,产生的毛刺宽度分别是多少。 答: 四、实验内容 必做实验: A 2.5节实验:门电路静态特性的测试 内容 7. 用 OC 门实现三路信号分时传送的总线结构框图如图 2.5.4所示, 功能如表 2.5.2所示。 (注意 OC 门必须外接负载电阻和电源, E C 取 5V D 2 D 1 D 0 图 2.5.4 三路分时总线原理框图①查询相关器件的数据手册,计算 OC 门外接负载电阻的取值范围,选择适中的电阻 值,连接电路。 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * * **x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________ )(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0,00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。 4．若dt t t x f x ?+-=2032 4 )(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x xe y -=的拐点是__________ 6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 东南大学教务处 校机教〔2018〕26号 关于举办“东南大学 本科生2018年高等数学竞赛”的通知 各院系、学生会、学生科协： 为贯彻教育部关于高等学校要注重数学素质教育的相关精神，加强我校的数学教学工作，提高和激发学生学习高等数学的积极性，推动高等数学的教学改革，提高数学类课程教学质量，同时搭建平台，为“江苏省高等数学竞赛”和“全国大学生高等数学竞赛”等高级别竞赛选拔优秀学生参赛。 学校决定于2018年4月举办“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”，欢迎全校各专业各年级同学积极报名参与。 报名网址：教务在线—课外研学—学科竞赛管理系 报名时间：2018年3月19日～3月29日24点整。 竞赛时间：2018年4月3日（星期二）晚18:00-21:00。竞赛联系人：刘国华老师 联系电话：52090590 附件：“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”章程 东南大学教务处 东南大学高等数学竞赛组委会 2018年3月15日（主动公开） “东南大学本科生2018年高等数学竞赛”章程 “东南大学本科生2018年高等数学竞赛”是面向本校各级全体本科生组织的校级课外学科竞赛。 1、竞赛时间 2018年4月3日（星期二）晚18：00--21：00 2、报名时间：2018年3月19日－3月29日； 报名方式：登录教务在线—课外研学—学科竞赛管理系统； 输入信息：学号、姓名、性别、校园一卡通、所在校区 竞赛考试的具体地点待报名结束后另行通知； 竞赛获奖名单2018年4月9日开始公示一周； 4、竞赛内容范围 极限，连续，一元函数微积分，微分方程。（高等数学上册内容） 5、竞赛形式 竞赛采用笔试、闭卷的考试方式进行，题型为计算题及证明题。 6、竞赛组织管理 设立竞赛组委会（组委会名单见附录），负责竞赛的组织和实施工作。 7、竞赛获奖及奖励 竞赛设一等奖，二等奖，三等奖，获奖比例为：一等奖（约占实际竞赛人数的2％），二等奖（约占实际竞赛人数的4％），三等奖（约占实际竞赛人数的11％）。 获奖者由教务处颁发获奖证书(竞赛结果发文后请获奖同学到各任课老师处领取)。同时参照《东南大学本科生课外研学学分认定办法》规定获得相应课外研学学分。 竞赛获奖者经选拔可以参加2018年江苏省高等数学竞赛和2018年全国高等数学竞赛。 东南大学本科生2018年高等数学竞赛组委会名单 组长：陈文彦 副组长：沈孝兵 成员：潮小李周吴杰徐春宏 秘书：刘国华 东南大学高等数学竞赛组委会 2018年3月 抄送：学生处、团委、档案馆 东南大学教务处2018年3月15日印发 东南大学 2001－2002学年教育基金会奖教金获奖名单 一、吴健雄、袁家骝奖(吴仲裔教育基金会)(奖金总额4000元) 李敏(材料系)）潮小李（应用数学系）吴桂平(物理系) 葛裕华（化学化工系） 何农跃（生医系） 二、东南大学――华为奖教金（深圳华为技术有限公司设立）（奖金总额65000元） 达庆利（经济管理学院）单建（土木工程学院）钱春香（材料科学与工程系） 费树岷（自动控制系）孙桂菊（公共卫生学院）万德钧（仪器科学与工程系） 归柯庭（动力系）刘必成（临床医学院）吴国新（计算机系） 杨永宏（物理系）吴镇扬（无线电系）张道一（艺术学系） 张丽珊（基础医学院） 三、中国移动通信教奖金(江苏移动通信有限责任公司设立)(奖金总额20000万) 孙达明（党委办公室）冀民（学生处）施建宁（校长办公室）周志林（保卫处） 俞元生（科技处）王振华(后勤管理处) 周虹（宣传部）陈涛（团委） 杨向东（党委武装部）吴荣(人事处) 张敬慧（工会）支海坤（审计处） 梁尚荣(机关总支) 程永元（研究生院）郑又楷（老干部处）高进（财务处） 王振芬（研究生院）陈怡（教务处）余嘉龙（纪委）姚林（国际合作处）刘平（教务处） 四、常州市人民政府奖教金（常州市人民政府设立）（奖金总额50000元） 李东（经济管理学院）周敏倩（经济管理学院）蒋犁（临床医学院） 陆惠民（土木工程学院）喻开安（机械工程系）陆健（交通学院） 袁晓辉（自动控制系）王蓓（公共卫生学院）周健义（无线电系） 高建明（材料科学与工程系）蒋平（电气工程系）蔡旭东（外语系） 王培红（动力工程系）程向红（仪嚣科学工程系）飞鹏（自动化所） 吕晓迎（生物医学工程系）翟亚（物理系）陶思炎（艺术学系） 王海燕（应用数学系）王勤（体育系）刘桦（基础医学院） 金远平（计算机系）沈军（计算机系）何伦（文学院） 张萌（电子工程系） 五、诺基亚奖教金（诺基亚中国投资有限公司设立）（奖金总额10000元） 张建琼（基础医学院）陈爱华（哲科系） 六、金坛市政府奖教金（金坛市人民政府设立）（奖金总额5000元） 张晓（公共卫生学院）戚晓芳（材料科学与工程系）张来明（体育系） 高山（电气工程系）赵兴朋（生医系） 七、常锻奖教金（常州锻造总厂设立）（奖金总额24000万） 俞燕（土木工程学院）郑建芳（土木工程学院）陈锋（材料系）赵永利（交通学院）方磊（交通学院）何红嫒（机械工程系）贾宁（机械工程系）陈斌（机械工程系）黄克（机械工程系）储成林（机械工程系）王海燕（机械工程系）董寅生（机械工程系）八、许尚龙奖教金（许尚龙设立）（奖金总额20000元） 梅姝娥（经济管理学院）袁榴娣（基础医学院）余新泉（材料科学与工程系） 仲兆平（动力系）胡济群（体育系）胡平（艺术学系） 王宁华（外语系）蒯劲超（外语系）胡伍生（交通学院） 唐洪丽（临床医学院） 九、如皋市人民政府奖励金(如皋市人民政府设立)(奖金总额10000元) 东南大学考试卷（A卷） 适用专业自动化考试形式闭卷考试时间长度120分钟 一．单项选择题（20分，每题1分） 1. 目前我们所说的个人台式商用机属于（） A 巨型机 B 中型机 C 小型机 D 微型机 2. 下列元件中存取速度最快的是（） A Cache B 寄存器 C 内存 D 外存 3. 动态RAM刷新是以（）为单位进行的。 A 存储单元 B 行 C 列 D 存储矩阵 4. 在程序中断控制方式中，堆栈常用于（） A 数据移位 B 保护程序现场 C 程序转移 D 输入输出 5. 在微程序控制器中，机器指令和微指令的关系是（） A 每一条机器指令由一条微指令来执行 B 一条微指令由若干条机器指令组成 C 每一条机器指令由一段用微指令组成的微程序来解释执行 D 一段微程序由一条机器指令来执行 6. 水平型微指令与垂直型微指令相比，下列说法正确的是（） A 前者一次只能完成一个操作 B 后者一次只能完成一个操作 C 两者都是一次只能完成一个操作 D两者都是一次能完成多个操作 7 计算机的存储器采用分级方式的原因是（） A 减少主机箱的体积 B 解决容量、价格、速度三者之间的矛盾 C 保存大量数据方便 D 操作方便 8. 属于顺序存取存储器的是（） A 软盘 B 磁带 C 硬盘 D 光盘 9. 下列哪个不是输入设备（） A 鼠标 B 触摸屏 C LC D D 光笔 10. 在计算机的指令系统中，通常采用多种确定操作数的方式。当操作数直接由指令给 出时，其寻址方式称为（） A 间接寻址 B 直接寻址 C 立即数寻址 D 变址寻址 共8页第1页 11. 在中断响应的过程中，保护程序计数器PC的作用是（） A 使CPU能找到中断处理程序的入口地址 B 使中断返回时，能回到断点处继续原程序的执行 C 使CPU和外部设备能并行工作 D 为了实现中断嵌套 12. 在32位微机系统中，存储器的地址若采用4字节对齐方式，下列结构体的大小 sizeof(sa)的字节数是（） struct data { char c1; int i; short s; } sa A 7 B 8 C 12 D 16 13. cache存储器介于CPU与主存之间，由（）组成。 A DRAM B SRAM C ROM D Flash 14. 若某个寄存器存储的数据为C768H，逻辑右移三位，结果是（） A 3B40H B 18EDH C F8EDH D 以上都不是 15. 程序计数器（PC）属于（） A 运算器 B 控制器 C 存储器 D I/O接口 16. 中断系统的实现方式是（） A 仅用硬件 B 仅用软件 C 软、硬件结合 D 以上都不对 17. 下列哪个不是RISC的特点, （） A CPU中通用寄存器数量相当多 B 以微程序控制方式为主 C 大部分指令在一个或小于一个机器周期内完成 D 避免使用复杂指令 18. 指令周期是指（） A CPU从主存取出一条指令的时间 B CPU执行一条指令的时间 C CPU从主存取出一条指令加上执行这条指令的时间 D 时钟周期时间 19. 根据传送信息的种类不同，系统总线分为（） A 地址线和数据线 B 地址线、数据线和控制线 C 地址线、数据线和响应线 D 数据线和控制线 20. 页表用虚拟页号作为索引，它所包含的项数与虚地址空间的总页面数相同。如果虚 地址为28位，页大小为4KB，每个页表项为4字节，那么页表的大小是（） A 64K B B 128KB C 256KB D 512KB 共8页第2页 电路实验 实验报告 第二次实验 实验名称：弱电实验 院系：信息科学与工程学院专业：信息工程姓名：学号： 实验时间：年月日 实验一：PocketLab的使用、电子元器件特性测试和基尔霍夫定理 一、仿真实验 1.电容伏安特性 实验电路： 图1-1 电容伏安特性实验电路 波形图： 图1-2 电容电压电流波形图 思考题： 请根据测试波形，读取电容上电压，电流摆幅，验证电容的伏安特性表达式。 解：()()mV wt wt U C cos 164cos 164-=+=π， ()mV wt wt U R sin 10002cos 1000=??? ? ? -=π，us T 500=； ()mA wt R U I I R R C sin 213.0== =∴，ππ 40002==T w ； 而()mA wt dt du C C sin 206.0= dt du C I C C ≈?且误差较小，即可验证电容的伏安特性表达式。 2.电感伏安特性 实验电路： 图1-3 电感伏安特性实验电路 波形图： 图1-4 电感电压电流波形图 思考题： 1.比较图1-2和1-4，理解电感、电容上电压电流之间的相位关系。对于电感而言，电压相位 超前 （超前or 滞后）电流相位；对于电容而言，电压相位 滞后 （超前or 滞后）电流相位。 2.请根据测试波形，读取电感上电压、电流摆幅，验证电感的伏安特性表达式。 解：()mV wt U L cos 8.2=， ()mV wt wt U R sin 10002cos 1000=?? ? ?? -=π，us T 500=； ()mA wt R U I I R R L sin 213.0===∴，ππ 40002==T w ； 而()mV wt dt di L L cos 7.2= dt di L U L L ≈?且误差较小，即可验证电感的伏安特性表达式。 二、硬件实验 1.恒压源特性验证 表1-1 不同电阻负载时电压源输出电压 2.电容的伏安特性测量 东南大学二00三年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 课程编号：433 课程名称：高等代数 一、填空题（每小题6分，共30分） 1、设12312,,,,αααββ均为四维列向量，且四阶行列式12311223,,,,,,,m n αααβααβα==。则四阶行列式32112,,,()αααββ+= 。 2、已知()111,2,3,1,,23αβ?? == ??? ，设T A αβ=，其中T α表示α的转置，则n A = 。 3、设矩阵A 的行列式因子为()3 1,1,1λλ--，则A 的初等因子为 ，A 的若当标准形为 。 4、设V 是数域P 上全体次数4<的多项式与零多项式组成的线性空间，且232,,1,1x x x x x +++是V 的一组基，则223x x ++在这组基下的坐标（写成行向量形式）为 。 5、()()43232341,1f x x x x x g x x x x =+---=+--的最大公因式()(),()f x g x 为 。 二、选择题（每小题6分，共30分） 1、设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）12312,,,k αααββ+线性无关 （B ）12312,,,k αααββ+线性相关 （C ）12312,,,k αααββ+线性无关 （D ）12312,,,k αααββ+线性相关 2、设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） （A ）当m n >时，0AB ≠ （B ）当m n >时，0AB = （C ）当n m >时，0AB ≠ （D ）当n m >时，0AB = 3、设n ()2≥阶矩阵A 可逆，* A 为A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）()*1*n A A A += （ B ）()*1*n A A A -= （ C ）()*2*n A A A += （ D ）()*2 *n A A A -= 4、设12324369Q t ?? ?= ? ??? ，P 为三阶非零矩阵，且满足0PQ =，则（ ） （A ）当6t =时，P 的秩必为1 （B ）当6t =时，P 的秩必为2 （C ）当6t ≠时，P 的秩必为1 （D ）当6t ≠时，P 的秩必为2 5、已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是0Ax =的基础解系，12,k k 为任意常数，东南大学高数a下实验报告
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