【高中数学】单元《数列》知识点归纳
一、选择题
1．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ?=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =?=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=?，解得11,162
q a ==，所以
55
151
16(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
2．等差数列的首项为1
25
，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75??
+∞
???
C ．83,7525??
??
? D ．83,7525??
??
? 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】
由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项11
25a =，则10911a a >??≤?，
即1019
19181a a d a a d =+>??=+≤?，解得
83
7525d <≤. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．
3．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
21
31
n n A n B n -=+，则
3711
59
a a a
b b +++的值为（ ）
A ．
3944
B ．
58
C ．
1516
D ．
1322
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质将371159
a a a
b b +++化简为7
732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】
11337117131135971313()
3333213115213()2222313116
2a a a a a a A b b b b b B +++?-==?=?=?=++?+, 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920202S a =+
B ．201920212S a =+
C ．201920201S a =-
D ．201920211S a =-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为
1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，
所以201920211S a =-，选D. 【点睛】
本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+??
=
???
，则12312a a a a +++???+=（ ）
【答案】D 【解析】 【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+??
???
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项
公式，然后代入12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+?????
?=+=+==- ? ? ??????
?，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+???
?=+== ? ?
???
? 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++???+
22222212341112=-+-+-???-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+???+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+???++- 12341112=++++???++ 121+122
?=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
6．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=?=，选B.
7．设数列
是公差
的等差数列，
为前项和，若
，则
取得最
大值时，的值为
【答案】C 【解析】
，进而得到
，即
，数列
是公差
的等差数列，所以前五项都是正数，
或时，
取最大值，故选C.
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7
C ．8
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为1233
2
224
a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】
由题意得：131233
2
1231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.
9．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==，
335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-?=．
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质
的合理运用．
10．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则
2020S 与2020a 的关系是（ ）
A ．2020202021S a =+
B ．2020202021S a =-
C ．2020202041S a =+
D ．2020202043S a =-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，
0q >Q ，解得2q =，2019
2019
202012
a a q
∴==，()20201202020201211a q S q
-=
=--，
因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则
A ．140,0a d dS >>
B ．140,0a d dS <<
C ．140,0a d dS ><
D ．140,0a d dS <>
【答案】B 【解析】 ∵等差数列
，
，
，
成等比数列，∴
，
∴，∴
，
，故
选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念
12．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．
123111121
n n a a a a n +++?+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ????????+++=-+-++- ? ? ???+?
???????L L 122111n n n ??=-= ?++??，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．设函数()m
f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *
????∈??????
的前n 项
和是（ ） A ．
1
n
n + B ．
21
n
n + C ．
21
n
n - D ．
()
21n n
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
函数()m
f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可
求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()
2N n f n *
????∈??????
的前n 项和即可．
【详解】
Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，
1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，
11
2()()(1)221
f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111
n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．
14．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3
214633
f x x x x =
-+-的极值点，则2020
a =（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】
解：依题意1a 、4039a 是函数()3
214633
f x x x x =
-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根
∴140396a a =
又{}n a 是正项等比数列，所以2020a =
∴2020
1a ==.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
15．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则
16S =（ ）
A ．48
B ．90
C ．105
D ．106
【答案】C 【解析】 【分析】
根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S .
【详解】
由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列， 所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，
所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．在一个数列中，如果*n N ?∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为
8，则122020a a a ++???+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出3a 的值，推导出(
)3n n a a n N *
+=∈，再由202036731=?+，结合数列的周期性可
求得数列{}n a 的前2020项和. 【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，
312
8
4a a a ∴=
=， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，
202036731=?+Q ，因此，
()1220201231673673714712a a a a a a a ++???+=+++=?+=.
故选：B. 【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >
④数列{}n S 中的最大项为11S
⑤67a a >
其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】
Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，
∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，
∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，
12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.
故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
18．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
4
3
钱 B ．
73
钱 C ．83
钱
D ．
103
钱 【答案】C 【解析】 【分析】
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求． 【详解】
解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48333
a a +
==．
故选：C ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知(
)*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=，若
23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【答案】A 【解析】 【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n
S =，发现不存在这样的偶数能满
足此式，当n 为奇数时，可得21+34
2
n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++???++
(213)(233)[2(1)3]n =?++?++???+-+ 2[13(1)]32n n =?++???+-+?2+32
n n
=，
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ?+?====，
所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++???++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+?++?++???+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722
S a a +?-=+=+，
25111513514
13752
S a a +?-=+=+，
又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.
20．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．
【详解】
由程序框图可知，输入，，，
第一次运算：，；
第二次运算：，；
第三次运算：，；
第四次运算：，；
第五次运算：，；
第六次运算：，；
第七次运算：，；
第八次运算：，；
第九次运算：，；
第十次运算：，，
综上所述，输出的结果为，故选B．
【点睛】
本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与 c 所成的角的大小为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 2．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{ } 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{} 12x x ≤< 3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5 y x =± D ．53 y x =± 6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．328．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， .
因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项