数学物理方程第二版答案
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
)()(x l g x T -=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程
x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x
u
x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2
2x u
x l x g t u ??-??=??。
5. 验证 2
221),,(y x t t y x u --=
在锥2
22y x t -->0中都满足波动方程
222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y
x t t y x u --=在锥2
22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且
t y x t t
u
?---=??-
23
222)( 22
52222
3
2222
2
)
(3)
(t y x t y x t t u ?--+---=??-
-
)2()(2
2223
222y x t y x t ++?--=-
x y x t x
u
?--=??-
23
222)(
(
)()
2252222322
22
23x y x t y x
t x
u ----+--=??
(
)(
)
222
252222y x t y x t -+-
-=-
同理 ()()
222252222
2
2y x t y x t y
u
+---=??-
所以 ()()
.22
22
2225222222
2t
u y x t y x t y
u x
u ??=++--=??+
??- 即得所证。
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
???
????==??=??=+=-).()(002
2
222x u x u x u a
t
u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0). G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。
8．求解波动方程的初值问题
???
???
?=??==??-??==x t u u x
t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得
τξξτααττd d d t x u t t x t x t
x t x ???-+--+-+=0)
()
(sin 21
sin 21),(
=?----+---+-t
d t x t x t x t x 0
))](cos())([cos(21
)]cos()[cos(21ττττ
=?
-+t
d t x t x 0
)sin(sin sin sin τττ
=t
t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。
§3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解：
(1)
???
?
?
?
???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0
22
222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o
t t π
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
)()(),(t T x X t x u =
得固有函数x l
n x X n π
sin
)(=，且 t l
an B t l an A t T n n n π
πsin cos )(+=，)2,1(Λ=n
于是 ∑∞
=+=
1
sin )sin cos
(),(n n n x l
n t l an B t l an A t x u π
ππ
今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得
∑∞==1
sin 3sin n n x l n A l x π
π ∑
∞
==-1
sin )(n n x l n B l an x l x π
π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n
?-=l
n xdx l n x l x an B 0
sin )(2π
π
??? ??+???? ??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππ
ππππ
π
cos sin cos 2
2222 )}
))1(1(4cos 2sin 2443
333222n l
an l x
l n n l x l n n x l --=--π
π
π
ππ 因此所求解为
∑∞
=--+=1
4
4
3
sin sin )1(143sin 3cos ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π
ππππ
(2) ???
?
?
????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0
),0(022222x t
u
x l h x u t l t u
t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =
得：??
?='==+''0)(,
0)0(0
l X X X X λ (1)
及 )2(02
=+''X a T λ。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。
ο1 0<λ时，方程的通解为
x
x
e C e
C x X λλ--
-+=21)(
由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=-----
-l
l
e C e
C λλλλ
解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。
ο2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+=
由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。
ο30>λ时，方程的通解为
x c x c x X λλsin cos )(21+=
由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得
0cos 2=l c λλ
为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是
2
212??
?
??+==πλλl n n )2,1,0(Λ=n
且相应地得到x l
n x X n π21
2sin
)(+= )2,1,0(Λ=n 将λ代入方程(2)，解得
t a l
n B t a l n A t T n n n ππ21
2sin 212cos
)(+++= )2,1,0(Λ=n 于是 ∑∞
=++++=0
21
2sin )212sin 212cos
(),(n n n x l
n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得
???
????++=+=∑∑∞
=∞
=00
212sin 2120212sin n n n n x
l n B a l n x l n A x l h
πππ 容易验证?
??
???+x l n π212sin
)2,1,0(Λ=n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ?????=≠=++?n m l n
m xdx l n x l m l
当当2
0212sin 212sin 0ππ
利用?
??
???+x l n π212sin
正交性，得 xdx l
n x l h l A l
n π212sin 20+=?
l
x l n n l x l n x n l l h 0
2
2212sin )12(2212cos )12(22???????
?
??+???
?
??++++-=ππππ
n n h
)1()12(82
2-+=
π
0=n B
所以 ∑∞
=+++-=02
221
2sin 212cos )
12()1(8),(n n x l n t a l n n h
t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为
???
?
???=??===??=??0)0,()0,(sin ),(,
0),0(22
222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l
A
t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足
0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(=
令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足
)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22
2222???
?
???-=??===+??=??x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω
),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l
n x X n π
sin
)(=，)2,1,0(Λ=n 故设 )2(sin
)(),(1
∑∞
==
n n x l
n t T t x v π
将方程中非齐次项t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按?
??
???x l n πsin 展成级数，得 ∑∞
==1
2sin )(sin n n x l n t f t x l A π
ωω 其中 ?=l
n xdx l
n t x l A l t f 02sin sin 2)(π
ωω
l
x l n n l x l n x n l t l A 0
22222
sin cos sin 2???
??
?+-=ππππωω x l A t n A n ω
ωπω--=+sin )1(212
x l
n n n πψsin
1∑∞
== 其中 n l
n n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=?πω
πωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足???
???
?-='=-=??
?
??+''+n
n n n n
n
n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12
2
π
ω
ωπωπ
解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l
an t
n A t l an B t l an A t T n n n n
由始值，得0=n A
222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ?π??ππ?π?π--=----=+ 所以 ∑∞
=--=12
2sin )
()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π
?π?
x l n t n l an l A n π
?π
?π?sin }sin 1)()(2)1(22221?--++
x l n t n l t l an a l an l A n π
?π?π?π?sin }sin sin {)
()()1(212
22∑∞
=---=
因此所求解为
∑∞
=--+=12
22
)
()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ?π??
x l
n t nt l t l an a π
??πsin }sin sin
{-? 3．用分离变量法求下面问题的解
???
?
?
?
???===??=+??=??====0||0||00022
222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin
)(Λ==n x l
n x X n π
设 ∑∞
==
1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin
x l
n π
展开级数，得 ∑∞
==1
sin
)(n n x l
n t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l
n πππ2)1(sin 2)(2221
+-==+? 将 ∑∞
==
1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π
代入原定解问题，得)(t T n 满足 ????
?
='=+-=+''+0
)0(,0)0(2)1()()(
)(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为
shl l
n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos
)(+-+?++=ππ
πππ 由0)0(=n T ，得：shl l
n bn an l A n n 12222)1(2)(+-+-=ππ
π 由0)0(='n T ，得0=n B
所以 )cos 1()1(2)1()(12222t l
an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为
∑∞=+-+-=12
22122sin )cos 1()
()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π
πππ §4 高维波动方程的柯西问题
1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++=
的柯西问题 ?????=+===0
0230t t t u z
y x u
解：泊松公式
ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+??
??????????=ψ
πφπ4141 现 z y x 2
3
,0+==φψ
且 ????=Φ=Φ
ππ
?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M
at
其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (2
3
θ?θ?θr z y r x ++++=
?θ?θ?θ3
3
2
2
2
2
2
2
3
cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++=
θ?θ?θcos sin sin sin sin 22
22r y rz yzr +++ θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 22
32r yr ++
计算
??Φππ
?θθ?θ020
sin ),,(d d r r
)
(4)cos (2)(sin )(23020
02323z y x r z y x r d d r z y x +=-?+=+?
?
πθπψθθππ
π
????==?ππ
π
π
??θθ?θθ?θ020
20
2
2
22
0cos sin
3sin cos sin 3d d r
x d d r r x
?
???=?ππ
π
π
??θθ?θθ?θ020
20
2
3
3
222cos sin 3sin cos sin 3d d xr
d d r xr π
πφφθθ200
33]2sin 4
12[]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ
d d r r xr sin cos sin 433020
3?=??
3320
4
4
4cos sin xr d d r
π??θ
θπ
π
==?
?
????==?π
π
ππ
??θθ?θθ?θ0
202
2
020
0sin sin
2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr
z r z r d d rz d d r z r 320
03320
20
3
020
2
2
2
3
4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ?
?θθ?θθ?θπππ
π
ππ=-?-==????
?
????==?π
π
ππ
?θθθ?θθθ0
20
22020
2
0sin cos sin cos d d r y d d r r y
????==??π
π
ππ
??θθθ?
θθ?θθ20
23020
2
sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr
???
?
=?=?ππ
ππ
??θθθ?θθθ?θ0
20
234020
2
230
sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r
所以
]
3
1
[4]344)(4[22222233
22z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat
M
at
r +++=+++=Φ??=ππππ
u(x,y,z)=
??Φ
?
??Sat
M
r a t π41
z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2222232232233]
3
1
[+++=+++??=
即为所求的解。
2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题
????
?==++===)
,,(),,,()
(002
z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt φ? 当u 不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：
?????=====)(),(0
02z u z u u a u t t
t zz tt φ?
利用泊松公式求解 ????+??=
Sat
M Sat
M ds r
a ds r a t u ?
π?π41}41{ 因只与z 有关，故
????
?+=
Sat
M
d d at at
at z ds r
ππ
?θθ???
200
2sin )()
cos (
θθθ??π
π
d at at z d sin )cos (20
??+=
令α= atcos +z ,α d = d atsin -
得 ???+-=Sat
M
at
z at
z d ds r αα?π?
)(2
所以
??+-+-
+??=at z at z at
z at z d a d a t t z u ααφαα?)(21
)(21),(
?+-
+-++=at
z at z d a at z at z ααφ??)(21
)}()({21 即为达郎贝尔公式。
3. 求解平面波动方程的柯西问题：
()
()
?????=+=+===0
||0202t t t yy
xx tt u y x x u u u a u
解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：
()()
()()
????
?
∑----??
=??m
at
d d y x t a t a t y x u ηζηζηζ?π2
2
2
2,21,,
()
()()
??
???∑----+
??
m
at
d d y x t a ηζηζηζψ2
2
22,
()
?
?-++??
=
π
θθθ?π20
2
220
sin ,cos 21rdrd r
t a r y r x t
a at
又 ()()()θθθθ?sin cos cos sin ,cos 2
r r y x r x r y r x ++++=++
()()()θθ222
cos cos 2r y x r y x x y x x
+++++=
()()θθθθθcos sin cos 2sin cos 2
2
++++xr r x ()θθθsin cos cos 2
3
++r
因为
???===π
πππθθθθθθ20
2
20
20
cos ,0sin ,0cos d d d
.0sin cos ,0cos ,0cos sin 20
220
3
20
???===π
π
πθθθθθθθθd d d 所以
()
??
-++at rdrd r
t a r y r x 020
2
22sin ,cos θθθ?π
()
()?
?
-++-+=at
at
r
t a dr r y x r
t a rdr y x x 0
2
2
232
2
22
32ππ
又
?
=--=-at
at
at r t a r t a rdr 0
02222
22|
?
?-+--=-at
at
at
rdr r t a r t a r
r t a dr r 0
2220
2
222
2
2232|
()
3302
32
223
2|3
2t a r
t a a
=
--=
于是 ()()()??
?
??+++??=
y x a y x ax t a t y x u 332221,,332
πππ ()()y x t a y x x +++=3222
即为所求的解。
4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如()t r u u ,=的解，
)22y x r +=.
解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式
()()()()()()()()()]`
,,[21,,2
2
22
2
2????∑
----+
∑
----??
=
m
att
m
att
y x at d d y x at d d t
a t y x u ηζη
ζηζψηζη
ζηζ?π
由于u 是轴对称的(),,t r u u =故其始值?,ψ只是r 的函数，()r u t ?===0|，,
()()().,|222
2
0t a y x r u m
at t t ≤-+-=∑=ηζψ为圆又记圆上任一点()ηζ,p 的矢径为ρ
22ηζρ+=圆心),(y x M 其矢径为22y x r +=记()()22y x s -+-=
ηζ则由余弦
定理知，θρcos 22
2
2
rs s r -+=，其中θ为oM 与Mp 的夹角。选极坐标),(θs 。
()()(
)θ?ρ?ηζ?cos 222rs s r -+==，
()()()θψρψηζψcos 2,2
2
rs s r
-+==
于是以上公式可写成
()(
)()???
?--+??=
?
?θθ
?ππ
sdsd s at rs s r t
a t y x u at 20
2
2220
cos 221,,
()()??
?--++?
?
θ
θ
ψ
π
sdsd s at rs s r
at
20
2
222
cos 2 由上式右端容易看出，积分结果和),(t r 有关，因此所得的解为轴对称解，即
??-++??=
at sdsd s
at rs s r t a t r u 0202222)(cos 2[21),(πθθ?π +
])(cos 2(020
2
2
22θθ
ψπ
sdsd s
at r s r at ??
--+
解法二：作变换θcos r x =,θsin r y =.波动方程化为
)1(22
222r
u r r u a t u ??-+??=?? 用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得
?????=++=+0
2'"22"R r rR R r t a T λλ
解得：
?????=+=)
()(sin cos )(0r J r R t
a B t a A t T λλλλλ
令μλ=叠加得
du J t B t A t r u )()sin )(cos )((),(00
μγαμμαμμ?
∞
+=
5.求解下列柯西问题
??
?
??=??=++===),(),,()(0022y x r v
y c v v c v v a v t t yy xx tt ψ? [提示：在三维波动方程中，令),,(),,(t y x v e z y x u a
cz =] 解：令 ),,
(),,,(t y x v e t z y x u a cz
=
则 yy a cz yy
xx a cz xx
tt a cz
tt v
e u v
e u v
e u =
=
=,,
v e a
c u a cz
zz
22= 代入原问题，得
?????==++===)
,(),,()(002y x e u y x e u
u u u a u a cz
t t a cz t zz yy xx tt ψ? ds a ds a t t z y x u M
at
a c M at
a c S r e S r e ????+??=)
,(41}41{),,,(),(ηξψζ
ζ
ππηξ? 22222)()()(:t a z y x S M
at =-+-+-ζηξ
记+M at S 为上半球，-
M at S 为下半球，
∑
M
at 为M
at S 在ηξo 平面上的投影。
ηξηξd d y x t a at
ds 2
2
2
2)
()(----=
,则
??
??
??+-
+=
M at
M at
M at
S
S S a c a c a c ds e r ds e r ds r
e ),(1
),(1)
,(ηξ?ηξ?ηξ?ξ
ξζ
??
∑----=
----+M
at
d d y x t a e
y x t a z a
c
ηξηξ?ηξηξ),()()(2
2
2
2))()((2222
ηξηξ?ηξηξd d y x t a e
M
at
y x t a z a
c
),()
()(2
2
22))()((2222??
∑----+
-----
ηξηξ?ηξηξd d y x t a y x t a a c
ch e
M
at
a
cz ),()
()()()(222222222??
∑--------= θθθ?πrdrd r y r x r t a r a
c
t c ch e
at a
cz )sin ,cos ()(2200
2
2
22
22++--=??
所以 +--??=
??
x r
t a r a
c
t c ch e a
t z y x u at a
cz ()(21{),,(200
2
2
22
22?ππ
++})sin ,cos θθθtftf r y r
θθθψππrdrd r y r x r
t a r a c t c ch e a
at
a
cz )sin ,cos ()(21200
2
2222
2++--??
于是 +--?????=
??x r t a r a
c
t c ch a t t y x v at
()(21),,(200
2
2
22
22?ππ
}+--+
++??
x r
t a r a
c
t c ch a
rdrd r y r at
()(21)sin ,cos 200
2
2
22
22ψπθθθπ
θθθrdrd r y r )sin ,cos ++
即为所求的解。
6．试用4?第七段中的方法导出平面齐次波动方程 ),,()(2t y x f u u a u yy xx tt ++= 在齐次初始条件 0,00
====t t
t u u
下的求解公式。
解：首先证明齐次化原理：若),,,(τt y x w 是定解问题
?????=+===)
,,(,0)
(2
ττy x f w w w w a w t o t yy xx tt
的解，则?
=t
d t y x w t y x u 0
),,,(),,(ττ即为定解问题
?????==++===0
,0)
,,()(002
t t t yy xx tt u u t y x f u u a u
的解。
显然，00
==t u
ττττd t w
d t w t y x w t u t
t
t ????=??+=??=0
0),,,(
（ 0==τt w ）.所以
00
=??=t t
u
又 ττd t
w
t w
t
u t
t
???+??=??=0222
2
τττ
d y w
y u d x w x u d y
w
t y x f t
t
t
?????=????=????+=22
22
22
22
0220,),,(
因为w 满足齐次方程，故u 满足
)(),,(2222222y
x u a t y x f t u u ??+??+=?? 齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知
ηζηζττηζπττd d y x t a f a
t y x w M
t a ??
∑-----=
-)
(2
2
2
2
)
()()()
,,(21),,,(
所以
θττθθπτπ
rdrd r
t a r y r x f a t y x u t t a ???
---++=
)(0
20
2
2
2
)()
,sin ,cos (21
),,(
即为所求的解。
所以 ???---++=t t a d rdrd r
t a r y r x f a t y x u 0)(020222)()
,sin ,cos (21),,(τπτθττθθπ 7．用降维法来解决上面的问题
解：推迟势
dv r
a r
t f a t z y x u at
r ???
≤-=
)
,,(41),,,(2
ηξπ 其中积分是在以),,(z y x 为中心，at 为半径的球体中进行。它是柯西问题
???
??==+++===0
,0),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u
的解。对于二维问题u ，f 皆与z 无关，故
dsdr r
a r
t f a t y x u at
S M r ???
-
-=
02
)
,,(41
),,(ηξπ 其中M
r s 为以)0,,(y x M 为中心r 为半径的球面，即
2222)()(:r y x S M r =+-+-ζηξ
ηξηξd d y x r r
ds 2
2
2
)
()(----=
ds r a r
t f ds r a r t f ds r a r t f M r
M r
M
r S S S ??????
-
+-+-=-)
,,(),,(),,(ηξμξηξ
ηζηξηξd d y x r a r
t f M
r ??
∑-----=222)
()()
,,(2
其中-+
M r M r
s s ,分别表示M r s 的上半球面与下半球面，∑M
r 表示M r s 在ηξo 平面上的投影。
所以 ???
∑-----=
at
rM
d d y x r a r
t f a t y x u 02222
)
()()
,,(21
),,(ηξηξηξπ
dr d d r a r t y x f a at
r ?????
?
???????????--++=0020222),sin ,cos (21πθρρρθρθρπ 在最外一层积分中，作变量置换，令τ=-
a
r
t ，即),(τ-=t a r τad dr -=，当0=r 时t =τ，当at r =时，0=τ，得
???
---++=
t t a d d d t a y x f a t y x u 0
)(0
20
2
2
2
)()
,sin ,cos (21
),,(τπ
τθρρρ
ττθρθρπ
即为所求，与6题结果一致。
8． 非齐次方程的柯西问题
???+==-+?===yz
x u u t y u u t t t tt 2
00,0)
(2 解：由解的公式得
)1()
,,,(41
41),,,(2=-+=
?????
≤a dV r
a r
t f a ds r
a t z y x u M at
S at
r ζηξπψπ
计算
?????
++++=M
t S r z r y r x ds r ππ
θ?θ?θψ
020
2
)]cos )(sin sin ()
cos sin [(??+++=?=ππ
?
θ?θ?
θθ020
2222cos sin cos sin 2(sin r xr yz x d d r t
r t
r d d r r zr yr =+++?
θθ?θθ?θθsin )sin cos sin sin sin cos 2??=ππ
π?θθ020
,4sin d d
??=ππ
?θ?θ020
20cos sin d d ??=ππ
π?θ?θ020
2
3
,34
cos sin d d ??=ππ
?θθθ020
0cos sin d d
?
?=ππ
?θ?θ020
2
,0sin sin d d
??=ππ
?θ?θθ020
2
.0sin cos sin d d 所以
??
++=M
t S t yz x t ds r 323
4)(4ππψ
计算
???
???≤≤+-+=-t
r t
r d drd r r r t r y dV r r t f ?θθ?θζηξsin )sin sin (2),,,(2
???+-+=t d drd r r t r y 0020sin )sin sin (2ππ
?θθ?θ
??+-=t drd r r t y 00
sin )(4π
θθπ
.3443)(218320
32
t yt r r t y t
πππ-=???? ??+-=
所以 3
2323
131)(),,,(t yt t yz x t t z y x u -+++=
)(2
yt yz x t ++=
即为所求的解。
§5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性
1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程 t xx tt cu u a u -=2 证明其能量是减少的，并由此证明方程
f cu u a u t xx tt +-=2
的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。
证：ο
1 首先证明能量是减少。
能量 ?
+=l
x t dx u a u t E 0
2
22)()(
?+=l
xt x tt t dx u u a u u dt t dE 0
2)22()
( ]|[220
20
dx u u u u a dx u u xx l
t l
t x tt l
t ??-+=
l
t x xx tt l t u u a dx u a u u 0
2
20
|2)(2+-=?
因弦的两端固定， ,0|,0|0====l x x u u 所以
0|,0|0====l x t x t u u
于是
dx u a u u dt t dE xx tt l
t )(2)
(20
-=? 020
2
<-=?
dx u c l
t ()0>c Θ
因此，随着t 的增加，)(t E 是减少的。
.2 证明混合问题解的唯一性 混合问题:
???
??====+-=====)
(|),(|0
|,0|00
02x u x u u u f cu u a u t t t l x x t xx tt ψ? 设21,u u 是以上问题的解。令,21u u u -=则u 满足
???
??====-=====0
|,0|0|,0|00
02t t t l x x t
xx tt u u u u cu u a u
能量 dx u a u t E x l
t )()(2
20
2+=?
当,0=t 利用初始条件有,0|0==t t u 由,0|0==t u 得
0|0==t x u 所以 0)0(=E
又)(t E 是减少的，故当,0)0()(,0=≤>E t E t 又由)(t E 的表达式知,0)(≥t E 所以
0)(≡t E 由此得,0≡t u 及,0≡x u 于是得到
≡u 常量
再由初始条件,0|0==t u 得,0≡u 因此,21u u ≡即混合问题解的唯一的。
3.
证明解关于初始条件的稳定性，即对任何,0.>ε可以找到,0>η只要初始条件之差
2121,ψψ??--满足
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
孝感学院
解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’)
解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’)
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问题（10分） 设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程： （a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止 （b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力 F(t) 解：（a ）() ()()() ???? ?????≥='=≤≤==><< ,13c x y dx dy +-=→= 令???-=+=y x y x 3ηξ ???===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ??? ????++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得 ?????????+-=-+=++=-=+=ηη ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y 2329632 （4） 把（4）代入（1），可得 0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u 即 02 1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。 三、（每小题10分，共20分） ①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x y t y ??=??的通解。 ②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。 解：①设v t x u t x =-=+52,52，得 )()(v G u F y +=， )5()('5)('-?+?=????+????=??v G u F t v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1） 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为 2011-2012 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码 （A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。 1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题. (A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）. (A) 2260u u u u t x ??++-=??； (B) 2222cos 40?+-?-=?u t t u x x ； (C) 2 90???+-= ???? u xu t t ； (D) 22 60??+?-?=??t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）. (A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数； (D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）. (A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3 R Ω?为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）. (A) 若2 ()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f Γ??=Ω?=?在内 的解是唯一确定的； (B) 若2 1() ()u C C ∈ΩΩ，则2u u dV dS n Ω Γ??=?????? ； (C) 牛曼内问题20,|1u u n Γ??=Ω? ??=???在内有解且不唯一； 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===>< 2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）: 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -= 其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-?? 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：数学物理方程模拟试卷
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
数学物理方程谷超豪版第二章课后答案
数学物理方程试卷(B)
数学物理方程 答案 谷超豪
最新数学物理方程期末考试试题及答案
微积分课后题答案习题详解
数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案
数学物理方程期末试卷
数学物理方程习题解答案
高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解
相关主题
文本预览